Ing. Alessandro Pochì

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1 Dispense di Matematica classe quarta Limiti e derivate Questa opera è distribuita con: Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate. Italia In. Alessandro Pochì Appunti di lezione svolti all ITIS M.M.Milano Aiornamento al maio 4 Questo opera è distribuita con licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 4. Italia.

2 Limiti e orme indeterminate Indice Intorno di un punto Concetto di ite Limite destro e sinistro Deinizione di ite inito Le orme indeterminate Le derivate Deinizione di derivata Deinizione di unzione crescente e decrescente Deinizione di massimo e minimo Deinizione di unzione concava e convessa Deinizione di lesso Teoremi sulle unzioni derivabili Teorema di De l Hospital Teorema di Larane Teorema di Rolle Pa.

3 Deinizione di Intorno di un punto Consideriamo un punto X. Si deinisce intorno del punto X di raio δ l insieme: ] δ + δ [, Creare un intorno del punto X equivale a puntare un compasso nel punto X e, con raio δ, trovare i punti X - δ e X + δ - δ + δ L intorno del punto 5 di raio, è costituito dall insieme: Inatti: se X 5, risulta: X -5- e X +5+7 ],7[ Poiché il raio δ può essere scelto piccolo a piacere, dire prendiamo un punto nell intorno di X può siniicare prendiamo un punto molto vicino a X. Concetto di ite Nei normali calcoli che eseuiamo per determinare il valore di una unzione, siamo obbliati ad escludere quei valori che stanno al diuori del campo di esistenza. Proprio in questi punti, però, spesso accadono comportamenti molto interessanti e che vorremmo esaminare. Poiché NON POSSIAMO are una semplice sostituzione, perché, per esempio, avremmo una divisione per zero, ricorriamo ai iti. Diremo quindi che calcoliamo il valore di una unzione NON nel punto ma, per esempio, per il valore di X che tende a zero. Facciamo un esempio considerando la unzione: Questa unzione ha, come campo di esistenza, tutti i valori dell asse escluso il punto. Sarebbe quindi impossibile andare a calcolare il valore perché otterremmo una divisione non accettabile. Ricorriamo quindi ai iti calcolando Il ite della unzione / per che tende a zero Vediamo che cosa accade, quando i valori della variabile si avvicinano al punto zero, cioè quando utilizziamo dei valori compresi in un intorno di zero. Per tale motivo realizziamo una tabella: Avviciniamoci allo zero iniziando dalla parte neativa: cioè da sinistra ,5 -, ,65 -,,5 / -, -, Avviciniamoci allo zero iniziando dalla parte positiva: cioè da destra,5,,65,5,5,5 / ,5, Vediamo che nella prima tabella mentre la tende a zero, la diminuisce rapidamente. Nella seconda invece, mentre la tende a zero, la aumenta altrettanto rapidamente. Avvicinandoci ulteriormente al punto zero, sia da destra che da sinistra, la unzione tenderà ad ininito sia in senso positivo che neativo. Pa.

4 Rappresentando su di un raico tutte queste coppie di punti, otterremo: O Come si vede chiaramente, al punto di ascissa la unzione a corrispondere + dalla parte destra e - dalla parte sinistra. Ciò siniica che possiamo deinire Limite destro: + + Limite sinistro Dopo aver descritto, quindi i iti, dal punto di vista pratico, vediamo adesso di scriverne la deinizione in modo più rioroso: Pa.4

5 Deinizione di ite inito Si dice che il ite per che tende a è uuale a l, e si scrive: l Quando, issato un valore di Ɛ > risulta che, per oni valore di appartenente ad un intorno di, Risulta: ] δ, + δ [ l ε < < l + ε In pratica, ad oni valore di che appartiene all intorno di, siamo sull asse delle corrisponde un valore della unzione che sta in un intorno di Ɛ siamo sull asse. Ecco il raico: O - δ + δ Pa.5

6 Le orme indeterminate. Nel calcolo di alcuni iti può accadere di trovarsi di ronte a orme del tipo:,,, Tali orme venono dette indeterminate o F.I. in quanto solo trasormando le unzioni che le hanno enerate potremo riuscire a risolverle. A secondo del tipo di indeterminazione, la metodoloia di risoluzione varia. In caso di diicoltà, comunque, nei primi due casi potremo utilizzare la reola di De L Hopital. Caso : orma indeterminata polinomio al numeratore di rado superiore Questo tipo di indeterminazione si eina mettendo in evidenza sia nel polinomio al numeratore che nel polinomio al denominatore, la variabile con la potenza più elevata. + Andando a svolere il ite otteniamo la F.I. La potenza più elevata del polinomio al numeratore è La potenza più elevata del polinomio al denominatore è Mettiamo quindi in evidenza: e, andando a sempliicare otteniamo: Se svoliamo adesso il ite, tutte le razioni con al denominatore, spariranno, in quanto tendenti a zero: Caso : orma indeterminata polinomi al numeratore e denominatore di pari rado Anche in questo caso l indeterminazione si eina mettendo in evidenza sia al numeratore che al denominatore, la variabile con la potenza più elevata Pa.6

7 Andando a svolere il ite otteniamo la F.I. La potenza più elevata al numeratore è La potenza più elevata al denominatore è Mettiamo quindi in evidenza: e, andando a sempliicare otteniamo: Se svoliamo adesso il ite, tutte le razioni con al denominatore, spariranno, in quanto tendenti a zero: Caso : orma indeterminata polinomio al denominatore di rado superiore Anche in questo caso l indeterminazione si eina mettendo in evidenza sia al numeratore che al denominatore, la variabile con la potenza più elevata. Andando a svolere il ite otteniamo la F.I. La potenza più elevata al numeratore è La potenza più elevata al denominatore è Mettiamo quindi in evidenza: e, andando a sempliicare otteniamo: Se svoliamo adesso il ite, tutte le razioni con al denominatore, spariranno, in quanto tendenti a zero: Pa.7

8 + + + Da quanto visto nei seuenti tre casi, si intuisce che possiamo, in enerale capire immediatamente il risultato del ite applicando la seuente reola: Se il polinomio al numeratore ha rado superiore rispetto al polinomio al denominatore, il risultato del ite sarà. Se il polinomio al numeratore ha rado ineriore rispetto al polinomio al denominatore, il risultato del ite sarà. Se il polinomio al numeratore e quello al denominatore sono di pari rado, il risultato del ite sarà un numero reale dato dal rapporto dei coeicienti dei termini di rado maiore. Caso 4 : orma indeterminata La orma indeterminata in questione non può essere risolta con il metodo precedente, in quanto non eicace. In questo caso dovremo utilizzare un metodo di scomposizione. + 9 Essendo il denominatore, un polinomio di secondo rado, in questo caso una dierenza di quadrati troviamo i due zeri + e - e riscriviamo il denominatore come prodotto di due binomi: A questo punto, sempliicando: Pa.8

9 Le derivate. Per comprendere il concetto di derivata possiamo utilizzare diverse deinizioni: Deinizione isica di derivata Supponiamo che un autovettura viai a velocità costante. In questa situazione possiamo sicuramente dire che l auto ha una accelerazione o decelerazione nulla. Possiamo quindi associare al concetto di variazione di velocità proprio l accelerazione. Se associamo alla velocità la unzione, avremo che la unzione associata all accelerazione sarà propria la sua derivata. Deinizione eometrica di derivata Considerata una unzione, si deinisce derivata di nel punto, il coeiciente anolare delle retta tanente alla unzione nel punto di ascissa. Concordando con la deinizione isica osserviamo che se la velocità è costante, essa sarà rappresentata da una retta orizzontale che ha, appunto, coeiciente anolare nullo così deve essere l accelerazione. retta tanente Pa.9

10 Deinizione matematica di derivata La derivata di una unzione in un punto è il ite del rapporto incrementale per che tende a + h h Rapporto incrementale +h +h Osservando inatti il raico, si nota che e non sono altro che coseno e seno ed il loro rapporto sarà la tanente cioè, in accordo con le deinizioni precedenti, il coeiciente anolare della retta tanente. Pa.

11 Tabella delle derivate elementari c n n n esempio: 4 4 sen cos cos sen lo a a lo a e e è l unica unzione uuale alla propria derivata ta + ta cos cot + cot sen lo n n n arc sen arc cos arc t + arc cot + Pa.

12 Pa. Reole di derivazione Derivata della somma di due unzioni: + + lo + + Derivata della dierenza di due unzioni: cos 5 sin 4 5 Derivata del prodotto di due unzioni: * * * + lo lo + Derivata del prodotto di una costante per una unzione: * * c c Esempio sin cos Derivata del rapporto di due unzioni: [ ] * * sin cos sin

13 Deinizione di unzione crescente Una unzione è crescente in un intervallo [a,b] se, all aumentare dei valori della, aumentano anche quelli della. In modo più rioroso: Una unzione è crescente in un intervallo [a,b] se, considerando due punti e appartenenti ad [a,b] con < risulta: < Considerando lo studio delle derivate, possiamo dire che: una unzione è crescente in un punto se > cioè quando è positiva la sua derivata prima calcolata in quel punto. Funzione crescente Deinizione di unzione decrescente Una unzione è decrescente in un intervallo [a,b] se, all aumentare dei valori della, diminuiscono anche quelli della. In modo più rioroso: Una unzione è decrescente in un intervallo [a,b] se, considerando due punti e appartenenti ad [a,b] con < risulta: > Considerando lo studio delle derivate, possiamo dire che: una unzione è decrescente in un punto se < cioè quando è neativa la sua derivata prima calcolata in quel punto. Deinizione di massimo relativo Una unzione presenta un massimo relativo in un punto se, considerato un intorno I del punto, per tutti i valori di appartenenti a tale intorno, risulta: Pa.

14 < Considerando lo studio delle derivate, possiamo dire che: una unzione presenta un punto di massimo o minimo relativo in un punto se cioè quando è nulla la sua derivata prima calcolata in quel punto. Massimo relativo Ma Deinizione di minimo relativo Una unzione presenta un minimo relativo in un punto se, considerato un intorno I del punto, per tutti i valori di appartenenti a tale intorno, risulta: > Considerando lo studio delle derivate, possiamo dire che: una unzione presenta un punto di minimo o massimo relativo in un punto se cioè quando è nulla la sua derivata prima calcolata in quel punto. Deinizione di unzione concava Una unzione è concava in un punto se,considerata la retta tanente nel punto,, risulta che, per oni in un intorno di, l ordinata sulla retta tanente è minore di quella sulla unzione stessa. La unzione sta al disotto della retta tanente. Considerando lo studio delle derivate, possiamo dire che: una unzione è concava in un punto se > cioè quando è positiva la sua derivata econda calcolata in quel punto. Deinizione di unzione convessa Una unzione è convessa in un punto se,considerata la retta tanente nel punto,, risulta che, per oni in un intorno di, l ordinata sulla retta tanente è maiore di quella sulla unzione stessa.la unzione sta al dispre della retta tanente. Considerando lo studio delle derivate, possiamo dire che: una unzione è convessa in un punto se < cioè quando è neativa la sua derivata seconda calcolata in quel punto. Pa.4

15 Funzione convessa retta tanente Deinizione di lesso Una unzione presenta un lesso in un punto se, in quel punto, la unzione passa da concava a convessa o viceversa. Considerando lo studio delle derivate, possiamo dire che: una unzione presenta un punto di lesso in un punto se cioè quando è nulla la sua derivata seconda calcolata in quel punto. Flesso F Pa.5

16 Teoremi sulle unzioni derivabili. Teorema di De l Hôpital Consente di risolvere i iti che si presentano con le orme indeterminate oppure IPOTESI Date due unzioni ed Sono deinite in tutti i punti di un intorno I di un punto c, escluso al più il punto c. e sono derivabili nell intorno di I e risulta I { c}. e sono entrambe ininitesimi oppure ininiti per che tende a c. esiste il ite: TESI Allora: c c c Il teorema di Larane IPOTESI Data una unzione. è continua in un intervallo chiuso [a,b]. è derivabile nei suoi punti interni TESI Allora esiste almeno un punto c, interno all intervallo [a,b], in cui vale la relazione : b a c b a Pa.6

17 Il teorema di Rolle IPOTESI Data una unzione. è continua in un intervallo chiuso [a,b]. è derivabile nei suoi punti interni. La unzione assumi valori euali ali estremi dell intervallo [a,b]: ab TESI Allora esiste almeno un punto c, interno all intervallo [a,b], in cui si ha la relazione : c Teorema di Rolle Retta tanente orizzontale ab a c b Pa.7