Derivazione dell eq. di Schrödiger mediante l analogia ottica-meccanica

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1 Derivazione dell eq. di Schrödiger mediante l analogia ottica-meccanica Roma, 28 novembre Introduzione, 2. Ottica geometrica, 3. Analogia con la meccanica, 4. Ottica ondulatoria, 5. Limite dell ottica geometrica, 6. Nuova forma dell analogia, 7. Derivazione eq. di Schrödinger

2 1. Introduzione Moto di una particella classica ẋ = H p, ṗ = H x, (x(t), p(t)) traiettoria nello spazio delle fasi. p2 H(x, p) = + V (x) (1) 2m

3 1. Introduzione Moto di una particella classica ẋ = H p, ṗ = H x, (x(t), p(t)) traiettoria nello spazio delle fasi. p2 H(x, p) = + V (x) (1) 2m Moto di una particella quantistica (per es. un elettrone) i ψ t = 2 ψ + V (x)ψ (2) 2m ψ(t) traiettoria nello spazio di Hilbert L 2. Necessita : gli elettroni (e in genere le particelle microsopiche) manifestano comportamenti ondulatori, come descritto nell esperimento delle due fenditure.

4 1. Introduzione Moto di una particella classica ẋ = H p, ṗ = H x, (x(t), p(t)) traiettoria nello spazio delle fasi. p2 H(x, p) = + V (x) (1) 2m Moto di una particella quantistica (per es. un elettrone) i ψ t = 2 ψ + V (x)ψ (2) 2m ψ(t) traiettoria nello spazio di Hilbert L 2. Necessita : gli elettroni (e in genere le particelle microsopiche) manifestano comportamenti ondulatori, come descritto nell esperimento delle due fenditure. Vogliamo derivare (2) seguendo un punto di vista piu storico.

5 Negli anni il problema era la descrizione dell atomo: dagli esperimenti risultava un modello planetario, instabile secondo le leggi classiche. Tentativo di spiegazione provvisoria di Bohr (1913): livelli discreti E n di energia; nel passaggio E n E m viene emessa radiazione di frequenza ν nm = En Em h Idea di Schrödinger (1926) (e prima di De Broglie (1924)): l elettrone va descritto da un onda ψ(x, t), che soddisfa una opportuna eq. d onda. La motivazione e che una eq. d onda in un dominio, con opportune condizioni al bordo, produce uno spettro discreto di frequenze. Quindi la speranza e trovare i livelli energetici discreti come autovalori di un problema al contorno per l eq, d onda. Naturalmente, in un opportuno limite, la ψ(x, t) deve riprodurre l evoluzione classica (principio di corrispondenza).

6 Per indovinare l eq. d onda per ψ(x, t), Schrödinger si fa guidare da: - analogia tra ottica geometrica e meccanica classica - procedimento di limite ottica ondulatoria ottica geometrica

7 Per indovinare l eq. d onda per ψ(x, t), Schrödinger si fa guidare da: - analogia tra ottica geometrica e meccanica classica - procedimento di limite ottica ondulatoria ottica geometrica ottica ondulatoria meccanica delle onde λ 0 ˆλ 0 ottica geometrica meccanica classica

8 2. Ottica geometrica L ottica geometrica e una teoria della propagazione luminosa fondata sull ipotesi che la luce consista di un fascio di raggi sottili, ciascuno dei quali segue una ben definita traiettoria.

9 2. Ottica geometrica L ottica geometrica e una teoria della propagazione luminosa fondata sull ipotesi che la luce consista di un fascio di raggi sottili, ciascuno dei quali segue una ben definita traiettoria. Problema: determinare la traiettoria dei raggi una volta assegnato l indice di rifrazione n(x) del mezzo (e quindi la velocita della luce v(x) = c n(x) ).

10 2. Ottica geometrica L ottica geometrica e una teoria della propagazione luminosa fondata sull ipotesi che la luce consista di un fascio di raggi sottili, ciascuno dei quali segue una ben definita traiettoria. Problema: determinare la traiettoria dei raggi una volta assegnato l indice di rifrazione n(x) del mezzo (e quindi la velocita della luce v(x) = c n(x) ). Fissati due punti A e B di R 3, si considera la classe di curve γ in R 3 di punto iniziale A e punto finale B e si definisce il funzionale cammino ottico L(γ) = c dt dove c denota la velocita della luce nel vuoto. γ

11 Il cammino ottico e proporzionale, attraverso la costante c, al tempo impiegato dalla luce per andare da A a B lungo la curva γ. Sia γ : λ x(λ), λ [λ 1, λ 2 ], con x(λ 1 ) = A e x(λ 2 ) = B Inoltre dt = ds v = nds c e quindi λ2 L(γ) = dλ n(x(λ)) ( ) dxi (λ) 2 (3) λ 1 dλ i=1,2,3

12 Il cammino ottico e proporzionale, attraverso la costante c, al tempo impiegato dalla luce per andare da A a B lungo la curva γ. Sia γ : λ x(λ), λ [λ 1, λ 2 ], con x(λ 1 ) = A e x(λ 2 ) = B Inoltre dt = ds v = nds c e quindi λ2 L(γ) = dλ n(x(λ)) ( ) dxi (λ) 2 (3) λ 1 dλ Principio di Fermat: i=1,2,3 la traiettoria descritta da un raggio luminoso per andare dal punto A al punto B nel mezzo di indice di rifrazione n e quella che rende stazionario il cammino ottico (3). N.B.: se n(x) = cost. allora L(γ) si riduce alla lunghezza della curva che unisce A e B: i raggi in un mezzo omogeneo si propagano in linea retta.

13 In generale l equazione della traiettoria si puo ottenere risolvendo le equazioni di Eulero-Lagrange associate al funzionale (3) d dλ n(x(λ)) i=1,2,3 ( dxi (λ) dλ ) 2 dx k (λ) dλ = n(x(λ)) x k i=1,2,3 ( dxi (λ) dλ ) 2

14 3. Analogia con la meccanica Definiamo un nuovo parametro τ mediante la relazione λ 1 τ(λ) = dν ( ) dxi (ν) 2 λ 1 n(x(ν)) dν i=1,2,3 N.B.: per n = 1, si riduce all ascissa curvilinea Posto y(τ) = x(λ(τ)) si ha dy k dτ = i n ( dxi dλ ) 2 dx k dλ Derivando ancora rispetto a τ e usando l eq. per x(λ) si ottiene l eq. per y(τ)

15 Inoltre risulta dτ 2 y k(τ) = 1 n 2 (y(τ)), k = 1, 2, 3 (4) 2 y k d i=1,2,3 ( dyi (τ) dτ ) n2 (y(τ)) = 0 (5)

16 Inoltre risulta dτ 2 y k(τ) = 1 n 2 (y(τ)), k = 1, 2, 3 (4) 2 y k d i=1,2,3 ( dyi (τ) dτ ) n2 (y(τ)) = 0 (5) L equazione (4) ha evidentemente la forma dell equazione di Newton per un punto materiale di massa m = 1 e soggetto a una forza di energia potenziale U(y) = 1 2 n2 (y).

17 Inoltre risulta dτ 2 y k(τ) = 1 n 2 (y(τ)), k = 1, 2, 3 (4) 2 y k d i=1,2,3 ( dyi (τ) dτ ) n2 (y(τ)) = 0 (5) L equazione (4) ha evidentemente la forma dell equazione di Newton per un punto materiale di massa m = 1 e soggetto a una forza di energia potenziale U(y) = 1 2 n2 (y). N.B.: l analogia formale non puo essere spinta fino a identificare la propagazione del raggio con il moto del punto materiale. Infatti dalla (5) si vede che al crescere di n(y) deve crescere anche la velocita del punto materiale, contrariamente alla evidenza sperimentale. (e la difficolta del modello corpuscolare di Descartes e Newton)

18 4. Ottica ondulatoria L ottica ondulatoria e una teoria della propagazione luminosa fondata sull ipotesi che la luce consista di onde elettromagnetiche, con una specifica frequenza o lunghezza d onda Le onde e.m. sono descritte da campi E(x, t), H(x, t) che soddisfano le equazioni di Maxwell.

19 4. Ottica ondulatoria L ottica ondulatoria e una teoria della propagazione luminosa fondata sull ipotesi che la luce consista di onde elettromagnetiche, con una specifica frequenza o lunghezza d onda Le onde e.m. sono descritte da campi E(x, t), H(x, t) che soddisfano le equazioni di Maxwell. Problema: trovare le soluzioni E, H delle eq. di Maxwell una volta assegnate le condizioni iniziali e le proprieta del mezzo (indice di rifrazione)

20 Equazioni di Maxwell nei mezzi materiali e in assenza di sorgenti div D = 0 rot H = 1 c D t div B = 0 rot E = 1 c B t dove D = E + 4πP(E) B = H + 4πM(H) Le funzioni P(E), M(H) descrivono la risposta del mezzo (relazioni costitutive) e si considerano assegnate.

21 Caso particolare: mezzo disomogeneo (non dispersivo) D(x, t) = E(x, t) + 4πχ(x)E(x, t) ε(x)e(x, t) B(x, t) = H(x, t) + 4πχ m H(x, t) = µh(x, t)

22 Caso particolare: mezzo disomogeneo (non dispersivo) D(x, t) = E(x, t) + 4πχ(x)E(x, t) ε(x)e(x, t) B(x, t) = H(x, t) + 4πχ m H(x, t) = µh(x, t) Eq. per E(x,t) Uso prima rot E = 1 c B t e poi rot H = 1 c D t : rot rot E = 1 c t rot B = µ c t rot H = µ 2 D c 2 t 2 = µε(x) 2 E c 2 t 2

23 Siccome rot rot E = (div E) E, si ha Equazione vettoriale E µε(x) c 2 2 E (div E) = 0 t2

24 Siccome rot rot E = (div E) E, si ha Equazione vettoriale E µε(x) c 2 Approssimazione dell ottica scalare 2 E (div E) = 0 t2 0 = div D = div (εe) = ε E + εdiv E div E = ε ε E 0

25 Quindi, per la generica componente u del campo elettrico si ha u n2 (x) c 2 2 u t 2 = 0 n 2 (x) µε(x) e l indice di rifrazione del mezzo.

26 5. Limite dell ottica geometrica L ottica ondulatoria si e affermata perche capace di descrivere fenomeni (interferenza, diffrazione) non descrivibili con l ottica geometrica.

27 5. Limite dell ottica geometrica L ottica ondulatoria si e affermata perche capace di descrivere fenomeni (interferenza, diffrazione) non descrivibili con l ottica geometrica. D altra parte una nuova teoria si presenta sempre come una teoria piu generale della vecchia teoria (altrimenti e solo una ipotesi ad hoc ).

28 5. Limite dell ottica geometrica L ottica ondulatoria si e affermata perche capace di descrivere fenomeni (interferenza, diffrazione) non descrivibili con l ottica geometrica. D altra parte una nuova teoria si presenta sempre come una teoria piu generale della vecchia teoria (altrimenti e solo una ipotesi ad hoc ). Quindi l ottica ondulatoria deve essere capace di descrivere anche i fenomeni (riflessione, rifrazione) gia descrivibili con l ottica geometrica.

29 5. Limite dell ottica geometrica L ottica ondulatoria si e affermata perche capace di descrivere fenomeni (interferenza, diffrazione) non descrivibili con l ottica geometrica. D altra parte una nuova teoria si presenta sempre come una teoria piu generale della vecchia teoria (altrimenti e solo una ipotesi ad hoc ). Quindi l ottica ondulatoria deve essere capace di descrivere anche i fenomeni (riflessione, rifrazione) gia descrivibili con l ottica geometrica. Problema: in che senso l ottica ondulatoria riproduce le leggi delll ottica geometrica.

30 E necessario anzitutto tradurre (approssimativamente) i termini teorici della nuova teoria (onde) nel linguaggio proprio della vecchia teoria (raggi). Per es., la traiettoria di un pacchetto d onda molto concentrato in posizione e frequenza puo rappresentare un raggio.

31 E necessario anzitutto tradurre (approssimativamente) i termini teorici della nuova teoria (onde) nel linguaggio proprio della vecchia teoria (raggi). Per es., la traiettoria di un pacchetto d onda molto concentrato in posizione e frequenza puo rappresentare un raggio. Poi bisogna dimostrare che effettivamente, sotto opportune condizioni, la traiettoria del pacchetto e con buona approssimazione quella di un raggio luminoso, come descritta dal principio di Fermat.

32 E necessario anzitutto tradurre (approssimativamente) i termini teorici della nuova teoria (onde) nel linguaggio proprio della vecchia teoria (raggi). Per es., la traiettoria di un pacchetto d onda molto concentrato in posizione e frequenza puo rappresentare un raggio. Poi bisogna dimostrare che effettivamente, sotto opportune condizioni, la traiettoria del pacchetto e con buona approssimazione quella di un raggio luminoso, come descritta dal principio di Fermat. Le opportune condizioni sono: lunghezza d onda piccola rispetto alla scala di variazione tipica dell indice di rifrazione. λ L dove L e definita da n 2 (x + L) n 2 (x) n 2 (x) Equivalentemente: frequenza ν = v f λ grandi. o numero d onda k = 2π λ

33 Cerchiamo allora soluzioni approssimate di u n2 (x) 2 u = 0 c 2 t 2 nella forma u(x, t) A o (x, t)e ik 1S o(x,t), S o (x, t) = W o (x) c t per k 1 (cosicche la frequenza e ν = k 1 c).

34 Cerchiamo allora soluzioni approssimate di u n2 (x) 2 u = 0 c 2 t 2 nella forma u(x, t) A o (x, t)e ik 1S o(x,t), S o (x, t) = W o (x) c t per k 1 (cosicche la frequenza e ν = k 1 c). Sostituendo nell equazione A o ( Wo 2 n 2 (x) ) i + 1 ( k1 2 A o + n2 (x) c 2 k 1 2 A o t 2 ( 2 A o W o + A o W o + 2 n2 (x) c ) = 0 separando parte reale e parte immaginaria e trascurando il termine proporzionale a k1 2, si ottiene ) A o t

35 W o 2 = n 2 (x) (6) 2 W o A o + A o W o + 2 n2 (x) A o c t = 0 (7) Risolvendo (6) e (7), si ha dunque la soluzione approssimata dell equazione nel limite k 1. Si tratta di verificare che tale soluzione si comporta come un raggio.

36 Equazione per la fase (iconale) W o 2 = n 2 (x) Si cerca un integrale completo, cioe una soluzione W o (x; α 1, α 2 ) che dipende dai due parametri reali α 1, α 2 in modo che la matrice 2 W o x j α k, j = 1, 2, 3, k = 1, 2 abbia rango due.

37 Equazione per la fase (iconale) W o 2 = n 2 (x) Si cerca un integrale completo, cioe una soluzione W o (x; α 1, α 2 ) che dipende dai due parametri reali α 1, α 2 in modo che la matrice 2 W o x j α k, j = 1, 2, 3, k = 1, 2 abbia rango due. Si costruisce la famiglia di superfici al variare di C W o (x, x, û) = C tale che una superficie della famiglia passi per x, con versore normale û.

38 Equazione per la fase (iconale) W o 2 = n 2 (x) Si cerca un integrale completo, cioe una soluzione W o (x; α 1, α 2 ) che dipende dai due parametri reali α 1, α 2 in modo che la matrice 2 W o x j α k, j = 1, 2, 3, k = 1, 2 abbia rango due. Si costruisce la famiglia di superfici al variare di C W o (x, x, û) = C tale che una superficie della famiglia passi per x, con versore normale û. Si definisce la traiettoria τ y(τ) ortogonale a tale famiglia e passante per x; tale traiettoria e la soluzione di dy(τ) dτ = W o (y(τ); x, û), y(0) = x (8)

39 Equazione per la fase (iconale) W o 2 = n 2 (x) Si cerca un integrale completo, cioe una soluzione W o (x; α 1, α 2 ) che dipende dai due parametri reali α 1, α 2 in modo che la matrice 2 W o x j α k, j = 1, 2, 3, k = 1, 2 abbia rango due. Si costruisce la famiglia di superfici al variare di C W o (x, x, û) = C tale che una superficie della famiglia passi per x, con versore normale û. Si definisce la traiettoria τ y(τ) ortogonale a tale famiglia e passante per x; tale traiettoria e la soluzione di dy(τ) dτ = W o (y(τ); x, û), y(0) = x (8) Derivando ulteriormente la (8) si ha

40 d 2 dτ 2 y i(τ) = d dτ W o (y(τ)) = x i j 2 W o x j x i (y(τ)) W o 2 W o (y(τ)) dy j(τ) x j x i dτ ( ) 2 Wo (y(τ)) x i x j = (y(τ)) = 1 x j 2 j j = 1 n 2 (y(τ)) (9) 2 x i

41 d 2 dτ 2 y i(τ) = d dτ W o (y(τ)) = x i j 2 W o x j x i (y(τ)) W o 2 W o (y(τ)) dy j(τ) x j x i dτ ( ) 2 Wo (y(τ)) x i x j = (y(τ)) = 1 x j 2 j j = 1 n 2 (y(τ)) (9) 2 x i La (9) e proprio l equazione della traiettoria del raggio luminoso con condizioni iniziali y(0) = x, dy dτ (0) = n( x)û.

42 Quindi le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici W o = C coincidono con le traiettorie dei raggi luminosi.

43 Quindi le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici W o = C coincidono con le traiettorie dei raggi luminosi. La velocita di fase e la velocita con cui i punti della superficie W o (x) ct = C si spostano in direzione normale e vale v f = W o (x) ct = C, W o (x + x) c(t + t) = C sottraendo c t = W o (x + x) W o (x) W o (x) x per t 0 si ha W o (x) dx = 0 dt c n(x)

44 Quindi le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici W o = C coincidono con le traiettorie dei raggi luminosi. La velocita di fase e la velocita con cui i punti della superficie W o (x) ct = C si spostano in direzione normale e vale v f = W o (x) ct = C, W o (x + x) c(t + t) = C sottraendo c t = W o (x + x) W o (x) W o (x) x per t 0 si ha W o (x) dx = 0 dt c n(x) Resta infine da verificare che l ampiezza, o meglio l intensita, dell onda si propaga effettivamente lungo le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici, con velocita v g = c n(x).

45 Conclusione La soluzione approssimata e un pacchetto d onda che si propaga come un raggio luminoso. In questo senso l ottica ondulatoria riproduce le leggi dell ottica geometrica. Quindi le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici W o = C coincidono con le traiettorie dei raggi luminosi. La velocita di fase e la velocita con cui i punti della superficie W o (x) ct = C si spostano in direzione normale e vale v f = W o (x) ct = C, W o (x + x) c(t + t) = C sottraendo c t = W o (x + x) W o (x) W o (x) x per t 0 si ha W o (x) dx = 0 dt c n(x) Resta infine da verificare che l ampiezza, o meglio l intensita, dell onda si propaga effettivamente lungo le traiettorie ortogonali alla famiglia di superfici, con velocita v g = c n(x).

46 6. Nuova forma dell analogia ẋ i = H p i, ṗ i = H x i, H(x, p) = p2 2m + V (x)

47 6. Nuova forma dell analogia ẋ i = H p i, ṗ i = H x i, H(x, p) = p2 2m + V (x) Metodo di Hamilton-Jacobi: si trova W (x, α) soluzione di W 2 + V (x) = E, con 2m 2 W x i α j 0, α 1 E

48 6. Nuova forma dell analogia ẋ i = H p i, ṗ i = H x i, H(x, p) = p2 2m + V (x) Metodo di Hamilton-Jacobi: si trova W (x, α) soluzione di W 2 + V (x) = E, con 2m 2 W x i α j 0, α 1 E si pone p i = W x i, β i = W α i, x = x(β, α), p = p(β, α)

49 6. Nuova forma dell analogia ẋ i = H p i, ṗ i = H x i, H(x, p) = p2 2m + V (x) Metodo di Hamilton-Jacobi: si trova W (x, α) soluzione di W 2 + V (x) = E, con 2m 2 W x i α j 0, α 1 E si pone p i = W x i, β i = W α i, x = x(β, α), p = p(β, α) quindi nelle nuove coordinate H (β, α) = α 1 β 1 = 1, e α 1, α 2, α 3, β 2, β 3 sono costanti

50 L equazione di Hamilton-Jacobi si puo riscrivere W 2 = 2m(E V (x)) formalmente identica all iconale, con ˆn(x, E) = 2m(E V (x)). p = W la traiettoria della particella coincide con quella di un raggio luminoso in un mezzo di indice di rifrazione ˆn(x, E)

51 L equazione di Hamilton-Jacobi si puo riscrivere W 2 = 2m(E V (x)) formalmente identica all iconale, con ˆn(x, E) = 2m(E V (x)). p = W la traiettoria della particella coincide con quella di un raggio luminoso in un mezzo di indice di rifrazione ˆn(x, E) N.B.: Si puo anche definire una velocita di fase della particella: velocita dei punti della superficie W (x) Et = C lungo la normale. Si trova ˆv f = E W = E mv inversamente proporzionale alla effettiva velocita della particella.

52 7. Derivazione eq. di Schrödinger Torniamo allo schema ottica ondulatoria meccanica delle onde λ 0 ˆλ 0 ottica geometrica meccanica classica Cerchiamo l eq. per ψ(x, t) che descrive la meccanica delle onde

53 7. Derivazione eq. di Schrödinger Torniamo allo schema ottica ondulatoria meccanica delle onde λ 0 ˆλ 0 ottica geometrica meccanica classica Cerchiamo l eq. per ψ(x, t) che descrive la meccanica delle onde 1. Determiniamo grandezze tipicamente ondulatorie da associare al moto della particella indice di rifrazione ˆn(x, E) = 2m(E V (x)) velocita di fase ˆv f = E W = E mv occorrono frequenza e lunghezza d onda

54 Frequenza In ottica ondulatoria una soluzione approssimata e A o (x, t)e ik 1S o(x,t), con W o (x) sol. eq. iconale. S o (x, t) = W o (x) ct

55 Frequenza In ottica ondulatoria una soluzione approssimata e A o (x, t)e ik 1S o(x,t), S o (x, t) = W o (x) ct con W o (x) sol. eq. iconale. Per analogia, supponiamo che la nuova meccanica ondulatoria abbia soluzioni approssimate del tipo A(x, t)e i 2π b S(x,t), S(x, t) = W (x) Et con W (x) sol. eq. H-J e b costante tale che E b e una frequenza. Seguendo le idee di Einstein, e allora naturale porre b = h, cioe ˆν = E h e ˆω = 2πˆν = E

56 Lunghezza d onda Come in ogni teoria ondulatoria ˆλˆν = ˆv f, quindi ˆλ = ˆv f ˆν = E h mv E = h p

57 Lunghezza d onda Come in ogni teoria ondulatoria ˆλˆν = ˆv f, quindi ˆλ = ˆv f ˆν = E h mv E = h p In definitiva abbiamo il vocabolario: indice di rifrazione ˆn(x, E) = 2m(E V (x)) velocita di fase ˆv f = E W = E mv frequenza ˆν = E h, ˆω = E lunghezza d onda ˆλ = h p

58 2. Eq. d onda stazionaria In ottica la soluzione stazionaria u(x, t) = ũ(x)e iωt soddisfa ũ + n2 (x) c 2 ω 2 ũ ũ + 4π2 ν 2 ũ = 0 v 2 f

59 2. Eq. d onda stazionaria In ottica la soluzione stazionaria u(x, t) = ũ(x)e iωt soddisfa ũ + n2 (x) c 2 ω 2 ũ ũ + 4π2 ν 2 ũ = 0 Per analogia, supponiamo che la soluzione stazionaria ψ(x, t) = ψ(x)e i ˆωt, ˆω = 2πˆν, soddisfi ψ + 4π2ˆν 2 ˆv 2 f v 2 f ψ = 0

60 2. Eq. d onda stazionaria In ottica la soluzione stazionaria u(x, t) = ũ(x)e iωt soddisfa ũ + n2 (x) c 2 ω 2 ũ ũ + 4π2 ν 2 ũ = 0 Per analogia, supponiamo che la soluzione stazionaria ψ(x, t) = ψ(x)e i ˆωt, ˆω = 2πˆν, soddisfi cioe, usando il vocabolario ψ + 4π2ˆν 2 ˆv 2 f ψ = 0 2 2m ψ + V ψ = E ψ v 2 f

61 3. Eq. d onda dipendente dal tempo Eq. per ψ(x, t) che ammetta le soluzioni stazionarie gia trovate.

62 3. Eq. d onda dipendente dal tempo Eq. per ψ(x, t) che ammetta le soluzioni stazionarie gia trovate. La scelta non e univoca. Per es. si puo scegliere ) 2 2 ψ ( )( t 2 = 2 2m + V 2 2m ψ + V ψ

63 3. Eq. d onda dipendente dal tempo Eq. per ψ(x, t) che ammetta le soluzioni stazionarie gia trovate. La scelta non e univoca. Per es. si puo scegliere ) 2 2 ψ ( )( t 2 = 2 2m + V 2 2m ψ + V ψ Infatti se ψ(x, t) = ψ(x)e i ˆωt allora 2 ˆω 2 ψ = ) ) ( )( 2 2m + V 2 2m ψ + V ψ = E ( 2 2m ψ + V ψ Siccome E = ˆω, si riottiene l eq. stazionaria.

64 Oppure si puo scegliere i ψ t = 2 2m ψ + V ψ

65 Oppure si puo scegliere i ψ t = 2 2m ψ + V ψ Infatti se ψ(x, t) = ψ(x)e i ˆωt allora i ( i ˆω) ψ = 2 2m ψ + V ψ.

66 Oppure si puo scegliere i ψ t = 2 2m ψ + V ψ Infatti se ψ(x, t) = ψ(x)e i ˆωt allora i ( i ˆω) ψ = 2 2m ψ + V ψ. Schrödinger fu costretto a scegliere quest ultima per motivi di semplicita.

67 Osservazioni: - argomenti euristici - eq. lineare - contiene i - interpretazione di ψ