Equazioni differenziali - 3

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Gaspare Martinelli
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1 Equazioni differenziali - 3 Antonino Polimeno Università degli Studi di Padova

2 Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 1 Equazione differenziale (lineare alle derivate parziali del secondo ordine: n i,j a ij (x) 2 y x i x j + n i b i (x) dy dx i + c(x)y = ˆLy = f (x) a ij, b i, c, f sono funzioni R n R; y è in generale una funzione R n C. ˆL è un operatore lineare omogenea se f = 0 le soluzioni dell equazione omogenea sono uno spazio vettoriale, se y 0 è una soluzione generale dell equazione omogenea e ȳ è una soluzione particolare dell equazione non omogenea, y = ȳ + y 0

3 Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 2 Una forma quadratica q = n i,j=1 m ijh i h j = h tr mh è una funzione polinomiale di secondo grado R n R definita positiva o negativa se q > 0 o q < 0 per ogni h 0 (autovalori di m tutti positivi o negativi) semidefinita positiva o negativa se q 0 o q 0 per ogni h 0 (autovalori di m non negativi o non positivi) indefinita in ogni altro caso Consideriamo un punto generico x 0, e valutiamo nel punto la forma quadratica n q = a ij (x 0 )h i h j i,j ˆL è ellittico in x 0 se q è definita (positiva o negativa) ˆL è iperbolico in x0 se q è indefinita ˆL è parabolico in x0 se q è semidefinita

4 Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 3 L equazione di Laplace è ellittica in R 3 2 y = y = 0 infatti q = n i=1 h2 i è sempre positiva se h 0 L equazione di D Alembert (delle onde) è iperbolica in R 4 ( 2 t 2 c2 2 ) y = y = 0 infatti q = h 2 4 c2 3 i=1 h2 i è positiva o negativa. L equazione di diffusione è parabolica in R 4 ( ) t D 2 y = 0 infatti q = D 3 i=1 h2 i è non negativa o non positiva in R 4.

5 Equazioni lineari alle derivate parziali al secondo ordine - 4 L equazione di Schrödinger dipendente dal tempo per una funzione d onda in n coordinate è parabolica in R n+1 ( i t 2 2 n i=1 infatti q = 2 n hi 2 2 i=1 m i R n+1. ) 1 2 m 2 i x + V ψ(x, t) = 0 i è non negativa o non positiva in Ma l equazione di Schrödinger indipendente dal tempo è ellittica in R n ( ) n m 2 i x + V ψ(x) = Eψ(x) i i=1 infatti q = 2 n hi 2 2m i=1 m i è sempre negativa se h 0.

6 Condizioni al contorno - 1 A ogni tipo di equazione (ellittica, parabolica, iperbolica) corrispondono tipi naturali di condizioni al contorno. Dato un processo chimico o fisico descritto da un equazione differenziale alle derivate parziali nelle n variabili (reali) indipendenti x, si definirà una regione dello spazio D R n detta dominio di definizione dell equazione. Al dominio D possiamo associare una frontiera F Per la definizione di una soluzione univocamente definita è necessario stabilire delle condizioni aggiuntive in D, dette condizioni al contorno

7 Equazioni ellittiche - Condizioni al contorno - 2 Consideriamo le condizioni al contorno per una generica equazione ellittica (per esempio l equazione di Laplace) in R n ˆLy = f Sia D dominio in R n, con una frontiera F. Parliamo di condizioni (o problema) di Dirichlet se ˆLy = f per x D e y = y 0 se x F Neumann se ˆLy = f per x D e y ν = y 1 se x F, dove y ν è la derivata normale a F di y in x Robin se ˆLy = f per x D e y + α y ν = y 1 se x F, con α > 0 Le condizioni si dicono miste se per esempio in una parte di F valgono le condizioni di Dirichlet, in un altra quelle di Neumann.

8 Equazioni paraboliche - Condizioni al contorno - 3 Consideriamo le condizioni al contorno per una generica equazione parabolica (per esempio l equazione di diffusione o l equazione di Schrödinger dipendente dal tempo) in R n+1. In generale possiamo restringere l analisi al caso in cui una coordinata sia trattata a parte (il tempo) e le altre (coordinate spaziali) siano descritte da un operatore ellittico in R n y t ˆLy = f Sia D dominio in R n, con una frontiera F. Parliamo di condizioni (o problema) di Cauchy-Dirichlet se y t ˆLy = f per x D, t > 0 e y(t, x) = y 0 (t, x) se x F, t > 0 e y(0, x) = y 1 (x) se x D Cauchy-Neumann se y t ˆLy = f per x D, t > 0 e y(t, x) = y ν 0 (t, x) se x F, t > 0 e y(0, x) = y 1 (x) se x D

9 Equazioni paraboliche - Condizioni al contorno - 4 L equazione di Schrödinger dipendente dal tempo che descriva la funzione d onda di un elettrone confinato a muoversi in un regione sferica D di raggio L in R 3 e inizialmente localizzato al centro della sfera, ha per esempio condizioni di Cauchy-Dirichlet dove r = x 2 + y 2 + z 2. i ψ t = Ĥψ x D, t > 0 ψ(t, x) = 0 r = L, t > 0 ψ(0, x) = δ(r) t = 0

10 Equazioni iperboliche - Condizioni al contorno - 5 Anche in questo caso possiamo restringere l analisi al caso in cui una coordinata sia trattata a parte (il tempo) e le altre (coordinate spaziali) siano descritte da un operatore ellittico in R n 2 y t 2 ˆLy = f Sia D dominio in R n, con una frontiera F. Parliamo di condizioni (o problema) di Cauchy-Dirichlet se 2 y t 2 ˆLy = f per x D, t > 0 e y(t, x) = y 0 (t, x) se x F, t > 0 e y(0, x) = y 1 (x), y t t=0 = y 2 (x) se x D Cauchy-Neumann se y t ˆLy = f per x D, t > 0 e y(t, x) = y ν 0 (t, x) se x F, t > 0 e y(0, x) = y 1 (x), y t t=0 = y 2 (x) se x D

11 Condizioni al contorno - 6 per le equazioni lineari con condizioni al contorno lineari vale il principio di sovrapposizione : la soluzione di un problema avente dati (cioè l insieme di condizioni al contorno) non nulli si ottiene sommando le soluzioni di piú problemi, ciascuno avente un solo dato non nullo Un problema ben posto è un problema tale che a un piccolo errore nei dati (al contorno e iniziali) corrisponde un piccolo errore nella soluzione; in termini più precisi 1. per ogni scelta dei dati la soluzione esiste 2. la soluzione è unica 3. la soluzione dipende con continuità dai dati, cioè a una piccola variazione dei dati corrisponde una piccola variazione della soluzione

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