Matlab Pdetool. Lezione 2 Conduzione Stazionaria. Ing. Flavio Calvano

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1 Matlab Pdetool Lezione 2 Conduzione Stazionaria Ing. Flavio Calvano

2 Modello conduzione stazionaria; Utilizzo del pdetool in modalità grafica; Esercitazione di laboratorio ü Calcolo potenziale e curve di livello; ü Calcolo resistenza; ü Calcolo corrente; ü Confronto dati numerici-sperimentali.

3 Modello conduzione stazionaria Aγ B E t d = V AB

4 Modello differenziale E = 0 E = U J = 0 2 U = 0 con J = σ E U l1 = V 1 U l2 = 0 U n l3 l 4 = 0 l 1 l2 l 3 l 4

5 Pdetool

6 Geometria

7 Condizioni al contorno Potenziale assegnato sugli elettrodi->dirichlet Componente Normale densità di corrente nulla->neumann J ˆn = 0 E nˆ = 0 E = u u n = 0

8 Condizioni di Dirichlet Ele;rodo 1 potenziale=10 V Ele;rodo 1 potenziale=0 V

9 Condizioni di Neumann Derivata normale del potenziale nulla all interfaccia aria-conduttore

10 Mesh

11 Soluzione del problema Equazione di tipo ellittico con c=1

12 Soluzione del problema

13 Post processing Curve di livello del potenziale

14 Campo ele;rico Campo elettrico

15 Esercitazione 2 Conduzione stazionaria

16 Geometria problema 1

17 Geometria problema 1 Doppio clic sui lati Linea di comando: pdepoly([ 0, , , ,... 0,... ],... [ 0,... 0, , ],... 'P1');

18 Condizioni al contorno pdesetbd(5,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd(4,... 'dir',... '1',... num2str(v)) pdesetbd(3,... 'dir',... '1',... num2str(v)) pdesetbd(2,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd( 'dir',... '1',... '0')

19 Geometria problema 2 pdepoly([ 0, , , , ,... 0,... ],... [ 0.12, , ,... 0, ,... 0,... ],... 'P1');

20 Condizioni al contorno pdetool('changemode',0) pdesetbd(6,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd(5,... 'dir',... '1',... '0') pdesetbd(4,... 'dir',... '1',... '0') pdesetbd(3,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd(2,... 'dir',... '1',... num2str(v)) pdesetbd( 'dir',... '1',... num2str(v))

21 Geometria problema 3 pdepoly([ 0, , , , , , ,... 0,... ],... [ 0.12, ,... 0,... 0, , ,... 0,... 0,... ]

22 Condizioni al contorno pdesetbd(8,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd(7,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd(6,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd(5,... 'dir',... '1',... '0') pdesetbd(4,... 'dir',... '1',... '0') pdesetbd(3,... 'dir',... '1',... '0') pdesetbd(2,... 'neu',... '0',... '0') pdesetbd( 'dir',... '1',... num2str(v))

23 Meshing 0.12 set(findobj(get(pde_fig,'children'),'tag','pdeeval'), 'String','P1') gd=get(findobj(get(pde_fig,'children'),'flat',... 'Tag','PDEMeshMenu'),'UserData'); dl=decsg(gd); [p1,e1,t1]=initmesh(dl,'hmax',0.01,'init','off'); [p2,e2,t2]=refinemesh(dl,p1,e1,t1,'regular'); [p,e,t]=refinemesh(dl,p2,e2,t2,'regular');

24 Solving Esportazione condizioni al contorno h=findobj(get(pde_fig,'children'),'flat','tag','pdeboundmenu'); bl=get(findobj(get(h,'children'),'flat',... 'Tag','PDEBoundMode'),'UserData'); % PDE coefficients: u = assempde(bl,p,e,t,'1','0','0'); Soluzione equazione alle derivate parziali

25 RisultaF pdecont(p,t,u,9) hold on pdegplot(dl) Linee di livello del potenziale Campo elettrico [UX,UY]=pdegrad(p,t,u); pdeplot(p,e,t,'flowdata',[ux;uy],'flowstyle','arrow') hold on pdegplot(dl)

26 Problema 1 Linee di livello del potenziale Campo elettrico

27 Problema 2 Linee di livello del potenziale Campo elettrico

28 Problema 3 Linee di livello del potenziale Campo elettrico

29 RisultaF sperimentali Potenziale x1=[[0:0.01:0.06];[0:0.01:0.06];[0:0.01:0.06];[0:0.01:0.06];[0:0.01:0.06];[0:0.01:0.06];]; y1=[[0.02*ones(1,7)];[0.03*ones(1,7)];[0.04*ones(1,7)];[0.05*ones(1,7)];[0.06*ones(1,7)];[0.07*ones(1,7)];]; v=[[ ];[ ];[ ];... [ ];[ ];[ ];]; figure contour(x1,y1,v,10)

30 RisultaF sperimentali Potenziale y1=[[0.01:0.01:0.11];[0.01:0.01:0.11];[0.01:0.01:0.11];[0.01:0.01:0.11];[0.01:0.01:0.11];[0.01:0.01:0.11];[0.01:0.01:0.11]]; x1=[[0.01*ones(1,11)];[0.02*ones(1,11)];[0.04*ones(1,11)];[0.05*ones(1,11)];[0.06*ones(1,11)];[0.07*ones(1,11)];[0.08*ones(1,11)]]; v=[[ ];[ ];[ ];... [ ];[ ];[ ];.[ ];]; figure contour(x1,y1,v,7)

31 RisultaF sperimentali Potenziale y1=[[0.06:0.01:0.11];[0.06:0.01:0.11];[0.06:0.01:0.11];[0.06:0.01:0.11];[0.06:0.01:0.11];[0.06:0.01:0.11]]; x1=[[0*ones(1,6)];[0.01*ones(1,6)];[0.02*ones(1,6)];[0.047*ones(1,6)];[0.057*ones(1,6)];[0.067*ones(1,6)]]; v=[[ ];[ ];[ ];... [ ];[ ];[ ];]; figure contour(x1,y1,v,8)

32 %Calcolo potenza sigma=0.05; %conducibilità acqua ro=1/sigma; l z =0.016; %calcolo delle componenti del %gradiente di u lungo x e y [UX,UY]=pdegrad(p,t,u); %area di ogni triangolo area=abs(pdetrg(p,t)); P=0 for n=1:size(t,2); J2=([(-sigma*UX(n))^2+... (-sigma*uy(n))^2]); %norm(j)^2 P=P+ lz*ro*j2*area(n); end Rcalc=V^2/P Imeas=4.5e-03 ; Rmeas=V/Imeas Y Z P = l z Resistenza S 2 V 2 ρj ds = R R = V 2 J 2 da J 2 ρ da Atot lz=spessore lungo z Atriangolo J 2 da Ntriangoli n=1 Atriangolo_ n 2 A triangolo_ n J baricentro_ n X P

33 y=0.05; x=linspace(0,0.06,500); flowdata1=pdeprtni(p,t,ux); flowdata2=pdeprtni(p,t,uy); Jx=tri2grid(p,t,sigma*flowdata1,x,y); Jy=tri2grid(p,t,sigma*flowdata2,x,y); dx=x(2)-x(1); I1=lz*sum(Jy*dx) I2=V/Rcalc flowdata1=pdeprtni(p,t,ux); Interpolazione del campo di corrente (definito sui baricentri dei triangoli) sui nodi della mesh Calcolo Corrente l z lx i I 1 = l z lx J n dl I 2 = V / R calc Y 0.05 Z lx=dimensione lungo x J dx l z J dx lx J dx N.B. Il comando tri2grid esegue l interpolazione da nodi della mesh sui punti definiti dall utente con il comando pdeprtni che interpola da baricentri a nodi. Le correnti I 1 e I 2 calcolate numericamente devono essere approssimativamente uguali. N l n=1 lx i J xi lx i I 1 è calcolata utilizzando il flusso di J attraverso una superficie di taglio. I 2 è calcolata utilizzando R X

34 RisultaF Calcolo Resistenza Sigma acqua=0.05 S/m; R calc =1.6669e+003 Ω R meas = e+003 Ω Con l z =0.016; Caso 1 R calc =1.8864e+003 Ω R meas = e+003 Ω Con l z =0.008; Caso 2 R calc = e+003 Ω R meas = e+003 Ω Con l z = 0.011; Caso 3

35 RisultaF Calcolo Corrente I1=4.5e-03 A I2 = 4.5e-03 A Caso 1 Imeas=4.5e-03 A I1= 2.4e-03 A I2 = 2.4e-03 A Caso 2 Imeas= 2.5e-03 A I1= 8.0e-03 A I2 = 8.0e-03 A Caso 3 Imeas= 8.4e-03 A