Progetti per l esame di PDE2 A.A

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1 Progetti per l esame di PDE2 A.A PROGETTO 1 Si consideri il seguente problema su = (0, 1) εu u = 2ε 2x, u(0) = (1) = 0, la cui soluzione esatta si calcoli analiticamente (eventualmente servendosi del toolbox simbolico di Matlab). Si approssimi tale problema con il metodo di Galerkin usando elementi finiti di grado r = 1, 2, 3, rispettivamente. Si consideri ε = 1 e si calcoli il valore della norma H 1 e L 2 dell errore commesso utilizzando i metodi implementati. Si commentino i risultati. Sia consideri ora ε = 10 5 e si calcoli di nuovo il valore della norma H 1 e L 2 dell errore, commentando i risultati. Si proponga e implementi un possibile rimedio alle instabilità numeriche ottenute in questo caso (si lavori in questo caso solo per r = 1). PROGETTO 2 (*) Sia K il triangolo (elemento di riferimento) definito nel piano di coordinate ξ = (ξ, η) t e di vertici ξ 1 = (0; 0), ξ 2 = (1; 0), ξ 3 = (0; 1). Sia con F K : K K, F K = B K ξ + b K, [ ] x2 x B K = 1 x 3 x 1, b y 2 y 1 y 3 y K = 1 la trasformazione affine che mappa l elemento di riferimento nell elemento generico K della triangolazione nel piano x = (x, y) t. Tale elemento K ha vertici (x i, i = 1, 2, 3) tali che x i = F K (ξ i ), i = 1, 2, 3. Sia inoltre P K la trasformazione di Piola, definita come P K : (L 2 ( K)) 2 (L 2 (K)) 2, [ x1 y 1 ], P K τ = 1 m K B K τ, m K := det B K. Per una funzione a valori scalari w e una funzione a valori vettoriali τ definite su K si ha allora, rispettivamente w(x) = ŵ( x), τ (x) = P K τ ( x) 1

2 1. Si verifichi empiricamente che la mappa di Piola preserva le tracce normali sui lati delle funzioni a cui è applicata: A questo scopo, si proceda calcolando le quantità τ n e le corrispondenti τ n per un generico elemento, considerando come τ, successivamente, le tre funzioni di base degli elementi di tipo RT 0. Si verifichi, invece, sullo stesso esempio pratico che la mappa affine non preserva le componenti normali. 2. Seguendo la falsariga del codice agli elementi finiti continui lineari sviluppato nei laboratori, si scriva un codice per la discretizzazione del problema ellittico 2D scritto in forma duale mista usando per l approssimazione del campo scalare funzioni costanti a tratti e per l approssimazione del campo vettoriale funzioni di Raviart- Thomas di grado zero. Il codice deve calcolare gli integrali relativi alle matrici locali sull elemento di riferimento e poi mapparle sul triangolo generico, utilizzando opportune formule di quadratura. Si verifichi la correttezza del codice su un semplice caso test con condizioni al bordo di Dirichlet. PROGETTO 3 (*) Si considerino le equazioni di Navier Stokes nel caso di un fluido densità ρ e viscosità cinematica ν costanti u + (u )u + p ν u = f, in x, t > 0, t u = 0 in x, t > 0, dove è un dominio aperto in R 2 con bordo regolare e dove u = (u 1, u 2 ) è la velocità, p la pressione e f = (f 1, f 2 ) il termine forzante. Sono assegnate inoltre le condizioni al contorno di Dirichlet u = u D su e la condizione iniziale u(x, 0) = u 0 (x), x. Si consideri il seguente approccio per la discretizzazione temporale del problema di Navier Stokes: primo passo: risolvere la equazione di diffusione per la incognita intermedia u : u u n ν u + (u n )u n = f (n+1), t u = u D secondo passo: risolvere il problema ellittico nella incognita p (n+1) : p n+1 = 1 t u, p n+1 n = 0, e post calcolare u n+1 = u t p n+1 : Dopo aver scritto la formulazione debole corrispondente ai problemi al primo e secondo passo, si introduca sul dominio una triangolazione regolare T h, e si denoti con h il diametro del triangolo T T h. Si considerino per le velocità elementi finiti di grado 2 e globalmente continui e per le pressioni elementi finiti di 2

3 grado 1 e globalmente continui. Si implementi un codice Matlab con tali scelte di approssimazione. Si osservi che nel primo passo è stata usata una discretizzazione esplicita dei termini non lineari, per la quale deve sussistere la seguente condizione che lega il passo di discretizzazione temporale t e quello spaziale h h t C max x u n. Si consideri la seguente soluzione esatta del problema di Navier Stokes: u 1 (x 1, x 2, t) = cos x 1 sin x 2 e 2t, u 2 (x 1, x 2, t) = sin x 1 cos x 2 e 2t, p(x 1, x 2, t) = 1/4(cos(2x 1 ) + cos(2x 2 ))exp 4t, nel dominio = (0, π) 2 e per t (0, 0.1). Si prendano il termine forzante, le condizioni al bordo e le condizioni iniziali dalla soluzione esatta. Si approssimi tale problema con il codice sviluppato e si calcoli l errore di discretizzazione nelle norme spazio temporali opportune. Si provi a valutare tale errore considerando come approssimazione della velocità u n+1 sia u. Che conclusioni se ne possono trarre riguardo la qualità della approssimazione? PROGETTO 4 (*) Si consideri il seguente problema ellittico scritto in forma mista: trovare u e p tali che: p + D u = 0, (1) p + f = 0, dove R 2, D R è il coefficiente di diffusività e f L 2 () è un termine noto. Si consideri per semplicità la condizione al contorno u = 0 su. 1. Si scriva la formulazione debole del problema (1), dopo aver definito gli opportuni spazi funzionali 2. Dopo aver introdotto una triangolazione T h di, si considerino i seguenti spazi di approssimazione agli elementi finiti Q h = q h H div (); T T h, q h T RT 0 (T )}, V h = v h L 2 (); T T h, v h T P 0 (T ) }, rispettivamente per il campo vettoriale e quello scalare. Si scriva la formulazione debole discreta del problema (1) e se ne discuta la corrispondente forma matriciale, soffermandosi in particolare sulle caratteristiche della matrice di massa e discutendone la struttura di sparsità e invertibilità. Quale è il costo computazionale della risoluzione della formulazione proposta? 3. Per ridurre il costo computazionale del problema scritto al punto precedente, è possibile rilassare il vincolo di appartenenza allo spazio H div () delle funzioni discrete 3

4 vettoriali, introducendolo poi a posteriori in forma debole tramite un moltiplicatore di Lagrange (procedura di ibridizzazione). Sia E h,i l insieme di tutti i lati interni della triangolazione, R 0 (e) lo spazio delle funzioni costanti su ciascun lato e E h,i e siano definiti gli spazi discreti: Q h = q h [L 2 ()] 2 ; T T h q h T RT 0 (T ) }, V h = v h L 2 (); T T h v h T P 0 (T ) }, Λ h = ξ h L 2 (E h,i ); e E h,i ξ h e R 0 (e) }. Si consideri la seguente formulazione debole: trovare (p h, u h, λ h ) ( Q h V h Λ h ), tali che ( ) p h q h dx + u h q h dx λ h q h n ds = q h Q h, T T T T T E h,i h v h p h dx + fv h dx = 0, v h V h, T T h T T h T T E h,i ξ h p h n ds = 0 ξ h Λ h. Si commenti in particolare il significato dell ultima equazione. 4. Si discutano ora le caratteristiche della matrice di massa così ottenuta, con particolare riferimento alla struttura della sua inversa. Partendo dal codice sviluppato in laboratorio, si implementi un risolutore ad elementi duali misti ibridizzati. A questo scopo, si consideri la seguente formulazione matriciale, equivalente alla formulazione debole di cui al punto 3 A B t C t p 0 B 0 0 u = f C 0 0 λ 0 Basandosi sulle osservazioni sulla matrice di massa A, si scriva, effettuando opportune manipolazioni algebriche un sistema del tipo Mλ = G e lo si risolva con Matlab. Si ricostruiscano poi i vettori soluzione p e u. 5. Si consideri una soluzione esatta del problema (1) e si calcolino le seguenti norme dell errore p p h Hdiv (), u u h L 2 (), λ λ h 1/2,h dove ξ h 1/2,h = e ξ h L 2 (e) e E h,i Quali sono gli ordini di convergenza ottenuti? Si commentino i risultati ottenuti. 4 1/2

5 PROGETTO 5 (*) Si consideri il problema di Stokes: trovare (u, p) tali che ν u + p = f in, u = 0 in, u = 0 su, (2) dove R 2 e f L 2 (). Siano V = (H0 1())2 e Q = L 2 0 () e si definiscano le forme bilineari a : V V R e b : V Q R a(v, w) = ν v w d, b(v, q) = q v d, tali che il problema (11) diventa: trovare (u, p) (V Q) tali che a(u, v) + b(v, p) = (f, v) v V, b(u, q) = 0 q Q. (3) 1. Si introduca sul dominio una triangolazione regolare T h, e si denoti con h T il diametro del triangolo T T h. Si scelgano dapprima per la sua approssimazione elementi finiti lineari globalmente continui sia per la pressione che per la velocità e si consideri quindi la seguente versione discreta di (12): trovare (u h, p h ) (V h Q h ) tali che a(uh, v h ) + b(v h, p h ) = (f, v h ) v h V h, b(u h, q h ) = 0 q h Q h. (4) Si discuta il comportamento teorico di tale coppia di approssimazione. Si scelga un caso test per il quale si dispone di una soluzione esatta e si verifichi numericamente tramite l implementazione di un codice Matlab tale comportamento. 2. Si consideri ora il seguente approccio stabilizzato: trovare (u h, p h ) W h tali che dove W h = (V h Q h ) e A h (u h, p h ; v h, q h ) = (f, v h ) (v h, q h ) W h, A h : W h W h R, A h (u h, p h ; v h, q h ) = a(u h, v h ) + b(v h, p h ) + b(u h, q h ) δ ( ν u h + p h f) ( ν v h + q h ) dt, T T h h 2 T T essendo δ un parametro positivo da scegliere opportunamente, detto parametro di stabilizzazione, e dove gli spazi V h e Q h sono gli stessi utilizzati al punto 1. (a) Si scriva la forma matriciale risultante dalla discretizzazione e si discuta la sua struttura 5

6 (b) Si implementi il metodo proposto in un codice Matlab, modificando opportunamente quello sviluppato per il metodo MINI (NB: attenzione ai termini di laplaciano nella parte di stabilizzazione!) (c) Si risolva ora il medesimo caso test con soluzione numerica esatta utilizzato al punto 1. e si discutano i risultati al variare di δ. PROGETTO 6 Si consideri il seguente problema, detto di Darcy per i mezzi porosi: trovare il campo di velocità di filtrazione u e la pressione p tali che: u + K p = 0, u = f, (5) dove R 2, K R 2 2 è un assegnato tensore detto di permeabilità e f L 2 () è un termine noto di forza di volume. Si consideri la condizione al contorno u n = g su, essendo n il versore normale uscente da. 1. Siano (u, p) ((L 2 ()) 2 H 1 () \ R). Si scriva la formulazione debole, detta primale mista, risultante dall aver moltiplicato la Eq. (5) 1 per una funzione test v ((L 2 ()) 2 e la (5) 2 per una funzione test q H 1 () e aver integrato su. Si integri per parti il solo termine contenente u che proviene dalla (5) Dopo aver introdotto una triangolazione T h di, si considerino i seguenti spazi di approssimazione agli elementi finiti V h = v h (L 2 ()) 2 ; T T h, v h T (P 0 (T )) 2}, Q h = q h H 1 (); T T h, q h T P 1 (T ) }, rispettivamente per il campo vettoriale e quello scalare. Sulla base dei codici già sviluppati a laboratorio, si implementi un software per la risoluzione della formulazione individuata al punto 1. basandosi sull uso degli spazi di elementi finiti qui definiti. Quali sono le caratteristiche di questa formulazione? 3. Si consideri la seguente soluzione esatta per il problema di Darcy con K uguale alla matrice identità e e si calcolino gli errori u = ((x + 1/2) 2, 2(x + 1)/2(y + 1)/2) t, p = x 3 + y 3 u u h L 2 (), p p h H 1 (). Quali sono gli ordini di convergenza ottenuti? 6

7 PROGETTO 7 Si consideri il problema della elasticità lineare isotropa: trovare il campo di spostamento u tale che: σ(u) = f in (6) u = 0 su, dove si è introdotto il tensore degli sforzi σ tramite la legge costitutiva (semplificata) essendo λ e µ le cosiddette costanti di Lamé del materiale. σ(u) = µ u + λ u (7) 1. Si verifichi che il problema (6) ammette la seguente formulazione debole primale: trovare u (H0 1())2, tale che µ u : v d + λ ( u)( v) d = f v d v (H0 1 ()) 2. (8) Si approssimi tale formulazione scegliendo elementi finiti lineari conformi. Si fissi µ = 1 e si svolgano vari esperimenti numerici per vari valori di λ crescente (ad esempio, λ = 1, 10 2, 10 4, 10 6 ) considerando il caso con termine noto f corrispondente alla seguente soluzione esatta assegnata sul dominio = ( 1, 1) 2 : Cosa si osserva? u 1 = (x2 1) 2 (y 2 1)y 4, u 2 = (y2 1) 2 (1 x 2 )x Si consideri ora la seguente formulazione mista del problema dell elasticità lineare σ = f in, u + p = 0 in, (9) λ u = 0 su, dove si è introdotto il parametro di pressione p tale che ora la legge costitutiva per σ diventa σ(u, p) = µ u p Id 2 2 (10) dove Id 2 2 è il tensore identità di dimensione 2 2. Si osservi come ora, per λ + il problema dell elasticità sia formalmente identico a quello di Stokes. Si scriva quindi la formulazione debole del problema (9) introducendo gli spazi funzionali opportuni e lo si approssimi con elementi finiti di tipo MINI (per ogni valore di λ). Si discutano le differenze sulla soluzione discreta u h confrontandola con i risultati ottenuti con la formulazione primale del punto precedente, ripetendo il caso test con µ = 1 e vari valori di λ come al punto 1, con stesso carico f. 7

8 PROGETTO 8 Si consideri il problema di Stokes: trovare (u, p) tali che ν u + p = f in, u = 0 in, u = 0 su, (11) dove R 2 e f L 2 (). Siano V = (H0 1())2 e Q = L 2 0 () e si definiscano le forme bilineari a : V V R e b : V Q R a(v, w) = ν v w d, b(v, q) = q v d, tali che il problema (11) diventa: trovare (u, p) (V Q) tali che a(u, v) + b(v, p) = (f, v) v V, b(u, q) = 0 q Q. 1. Si introduca sul dominio una triangolazione regolare T h, e si denoti con h T il diametro del triangolo T T h. Si scelgano dapprima per la sua approssimazione elementi finiti lineari globalmente continui per la velocità e costanti a tratti (discontinui) per la pressione. Si consideri quindi la seguente versione discreta di (12): trovare (u h, p h ) (V h Q h ) tali che a(uh, v h ) + b(v h, p h ) = (f, v h ) v h V h, (13) b(u h, q h ) = 0 q h Q h. Si scelga un caso test per il quale si dispone di una soluzione esatta e si verifichi numericamente tramite l implementazione di un codice Matlab tale comportamento. Si discuta il comportamento di tale coppia di approssimazione. 2. Si modifichi lo spazio utilizzato per la velocità, considerando funzioni polinomiali a tratti di secondo grado. Si consideri ancora lo spazio di funzioni (discontinue) costanti a tratti per le pressioni. Si ottiene così l elemento P 2 /P 0 già discusso a lezione. Si ripeta l esercizio di cui al punto 1 con il nuovo elemento. Se ne commenti il comportamento. In particolare, quale risulta essere l ordine di convergenza per velocità (in norma H 1 ) e pressione (in norma L 2 )? (12) PROGETTO 9 Si consideri il seguente problema di diffusione con condizioni al bordo omogenee u = f in, u = 0 su, (14) dove R 2 e dove f sia una funzione sorgente assegnata. 8

9 Si consideri la sua discretizzazione con elementi finiti di grado uno e globalmente continui, e si indichi con u h la soluzione discreta. Si consideri poi il seguente stimatore a posteriori del errore η = 1/2, T T h (η T ) 2 (η T ) 2 = h 2 T u h + f 2 L 2 (T ) h T [ u h / n e ] 2 L 2 (e) T T h, dove h T indica il diametro del elemento T, e rappresenta il generico lato del triangolo T e [ u h / n e ] rappresenta il salto della derivata normale di u h attraverso il lato e (si osservi infine che u h = 0 su ogni triangolo nel presente caso, poichè il grado polinomiale è uno). Tale stimatore costituisce appunto una stima calcolabile del errore e T u u h H 1 () η. Si implementi a calcolatore lo stimatore di cui sopra, e si consideri poi il problema in = [0, 1] 2 con soluzione nota e carico f in accordo. u(x, y) = x(1 x)y(1 y)arctan(15x 60y + 30) (x, y), 1. Si generi con il pdetool una griglia non strutturata sul dominio, con massimo diametro pari a 0.2. Oltre ad esportare le abituali variabili p,e,t, si esporti e conservi anche la geometria g ottenuta dalla scelta del menu di pdetool Boundary Export Decomposed Geometry. Si risolva quindi il problema sulla griglia generata. 2. si calcolino gli errori locali u u h H 1 (T ), T T h e si faccia un grafico della funzione costante a tratti associata. Si faccia l analogo con gli stimatori locali η T. Si confronti dove l errore è piu elevato e se c è corrispondenza tra i due casi (errore ed errore stimato). 3. Si consideri il 30% di triangoli dove lo stimatore η T ha valore più elevato e li si elenchino nel vettore colonna it. Si usi quindi il comando refinemesh nella seguente forma: [p1,e1,t1] = refinemesh(g,p,e,t,it) Si risolva ora il problema sulla nuova mesh definita dai parametri p1,e1,t1. e si calcoli il nuovo errore u u h H 1 (T ). Lo si confronti con l errore commesso se si considerasse una mesh ( si usi sempre il pdetool) con circa lo stesso numero di gradi di libertà di quella ottenuta dal raffinamento secondo la stima. PROGETTO 10 Si consideri il seguente problema di Stokes: u + p = f, u = 0, u = 0, in in su (15) 9

10 dove R 2 è un dominio poligonale e f [L 2 ()] Sia T h } una sequenza di triangolazioni di. Dopo aver descritto la oppurtuna formulazione debole del problema, si consideri la seguente discretizzazione a elementi finiti: V h = v h [ H0 1 () C 0 () ] } 2 vh T [P 2 (T )] 2, T T h Q h = q h L 2 0() q h T P 0 (T ), T T h }, costituita da velocità globalmente continue e quadratiche a tratti e da pressioni costanti a tratti, globalmente a media nulla (e pertanto non continue, naturalmente). La coppia V h Q h costituisce il cosiddetto elemento P 2 P 0, che è inf-sup stabile, guardare ad esempio Brezzi-Fortin Mixed and hybrid finite element methods. 2. Si consideri un caso test con soluzione analitica su = [0, 1] 2. Dopo aver implementato il metodo, si studi numericamente la convergenza per gli errori H 1 sulle velocità e L 2 sulle pressioni. Cosa ci si aspetterebbe a livello teorico? Cosa si osserva? PROGETTO 11(*) Si consideri il seguente problema di Poisson: u = f in u = g su (16) dove = (0, 1) 2 e f e g siano in H k () e H k ( ), k N rispettivamente (ovverosia, siano due funzioni molto regolari sui loro dominii di appartenenza). Il fatto che abbia un angolo rientrante di 270 implica che, pur avendo f e g con regolarità arbitraria, i teoremi di promozione di regolarità implicano solamente che la soluzione del problema di Poisson spettrale viva in H 5 3 (), vedere ad esempio Schwab p and hp finite element methods. 1. A livello teorico, cosa implica il fatto che la regolarità della soluzione sia fissata e bassa? Che tipo di convergenza per l errore H 1 ci si aspetta in termini di h mesh size function usando approssimazioni con funzioni globalmente continue e a tratti polinomiali di grado p = 1? p = 2? p grande arbitrario? 2. Si consideri una singola decomposizione T di definito in (??) (allo scopo usare opportunamente il PDEtool di Matlab). Si implementi un codice a elementi finiti con: V h = v h H 1 0 () C 0 () v h T P p (T ), T T h }, p = 1, 2, Si studi, per la triangolazione fissata T e variando il grado polinomiale locale p = 1, 2, 3 il comportamento dell errore H 1 per il caso test con soluzione esatta (da cui si prendano le condizioni al bordo): u(x, y) = sin(x) sin(y) Quale ordine di convergenza si osserva sperimentalmente? 10