Matlab Pdetool. Lezione 1 Ele1rosta4ca. Ing. Flavio Calvano

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1 Matlab Pdetool Lezione 1 Ele1rosta4ca Ing. Flavio Calvano

2 Argomen4 tra1a4 Riciami sul metodo degli elemen4 fini4; Pdetool in modalità GUI; Pdetool su linee di comando; Calcolo Capacità in ele1rosta4ca.

3 Formulazione Classica Elettrostatica E = 0 in Ω E = E = 0 in Ω - u Le soluzioni sono funzioni di classe C (W u = 0 in u = 10 l1 u = 0 l u = 0 n Ω Ω Moltipliciamo l equazione di Laplace per un arbitraria funzione test w and integriamo su Ω: Ω w u dω = 0

4 Formulazione Debole Sfruttando l identità vettoriale: (w u = w u + ( w ( u, e la formula di Green: Questa forma è detta debole. Sia u sia w devono essere continue e derivabili a tratti. Sono introdotti dei vincoli per w, mentre i requisiti per u sono meno stringenti rispetto al problema originale. (w uds = w( u ˆndl w u ds + w u Ω Ω n dl = 0 Ω Ω u = 0 w u ds = 0 n Ω Ω

5 Metodo di Galerkin w u dω = 0 Ω Per risolvere numericamente tale equazione si può applicare il metodo di Galerkin. Si cerca un approssimazione della soluzione u in uno spazio a dimensione finita, imponendo ce l equazione sia verificata per ogni funzione peso appartenente a tale spazio. u M (r = M u w (r =1 w(r = w (r con = 1: M Se si considera una base B M dello spazio finito U M, la soluzione così come le funzioni peso possono essere espresse attraverso le relative funzioni base w ottenendo il seguente sistema lineare di M equazioni negli M coefficienti incogniti u k : M M w u k w k dω = u k w w k dω = 0 con = 1: M Ω k=1 k=1 Ω N.B. In u k saranno presenti implicitamente ance i termini noti sui nodi corrispondenti alla frontiera dove sono imposte condizioni di Diriclet di potenziale assegnato. Questi vengono esclusi dalle incognite e assemblati come termine noto del sistema.

6 Funzioni di Forma 1D Il modo più semplice ed efficace di costruire funzioni di base appartenenti a C 1 [, +1 ] consiste nel considerare funzioni continue e lineari a tratti. u( = a + b u( +1 = a +1 + b a = u( +1 u( +1 b = u( u( +1 u( +1 a X -1 X X +1 u( = u +1 u +1 + u u b u +1 u( = ( u + +1 u +1

7 Funzioni lineari a trah u( = u p ( + u +1 p +1 ( p = 1 = 0 = +1 p +1 = 0 = 1 = +1 u = u( u +1 = u( +1

8 Funzioni di Forma 1D = altrove 0 per per ( w Per valutare gli integrali: d d dw d dw l k l k = 0 = Δ + = = Δ = altrove 0 per 1 1 per 1 k k e k l k D è la lungezza dell elemento finito Le funzioni di base devono quindi essere lineari a tratti e verificare: 1 ( 0 e w w ( u ( u k k k i k k = = =

9 Discretizzazione del dominio in elementi triangolari 0 u w, w k k M 1 k = > < = l,k = k w w, ( ( ( (, ( r r r r c y b a y w + + = ( 1 ( j i r r y y A a = ( 1 ( i j r r A b = ( 1 ( i j j i r r y y A c = A r = 1 iy j j y i ( + j y y j ( + y i i y ( [ ] y b a y w r k r k r k ˆ ˆ, ( ( ( ( + = l n,k = w w k dv = w w k dv = (a (r a k (r + b (r b k (r A r r=1 N t Ω r r=1 N t Ω L M u M =0 La matrice L M è simmetrica e definita positiva. Funzioni di Forma D

10 Definizione del problema fisico Definizione della geometria Discretizzazione del dominio (Mes Assemblaggio matrici e soluzione del problema Condizioni al contorno

11 Matlab pdetool modalità GUI

12 Disegno geometria Forme d Creazione geometria Variazione parametri geometrici

13 Condizioni al contorno Fissiamo le condizioni al contorno Passiamo in boundary mode R1- E1- E

14 u=r Condizioni di Diriclet

15 Condizioni di Neumann n c grad(u+qu=g

16 Equazione differenziale risolvente pde mode Elliptic equation -div(c grad(u+a u=f

17 Mes a elemen4 fini4 Initialize mes Refine mes

18 Equazioni alle derivate parziali u + u yy f (, y in Ω Ellittice = ut u = f (, y in Ω Parabolice ut u = t f (, y in Ω Iperbolice

19 Post processing Selezione dei plot

20 Potentiale Contour Plot

21 Campo Ele1rico Arrow plot

22 Utilizzo di pdetool da linea di comando

23 Geometria Comando pderect Definizione della geometria: pderect([min ma ymin yma],'r1'; pdecirc(c,yc,r, 'R set(findobj(get(pde_fig,'cildren','tag','pdeeval','string','r1' Esportare la geometria dl=get(findobj(get(pde_fig,'cildren','flat',.'tag','pdeboundmenu','userdata';

24 Condizioni al contorno Neumann c grad(u+qu=g pdesetbd(5,... 'neu',... 1,... '0',... '0' Diriclet u=r V=numstr(10 pdesetbd(4,... 'dir',... 1,... '1',... V Esportare condizioni al contorno: =findobj(get(pde_fig,'cildren','flat','tag','pdeboundmenu' bl=get(findobj(get(,'cildren','flat, 'Tag','PDEBoundMode','UserData'

25 Mes La mes viene esportata per default nelle matrici p, e, t [p1,e1,t1]=initmes(dl,'hma',0.01,'init','off'; inizializzazione [p,e,t]=refinemes(dl,p1,e1,t1,'regular'; rifinitura pdeplot(p,e,t. Plot della mes Matrice p: matrice dei nodi della mes [*Np] (Np è il numero di nodi della mes. La prima riga contiene le ascisse dei nodi, la seconda contiene le ordinate. Matrice e: matrice del contorno della mes [7 *Ne] (Ne è il numero di nodi del contorno. La prima e la seconda riga contengono gli indici dei nodi iniziali e finali dei segmenti elementari di frontiera, la terza e la quarta riga contengono i valori iniziali e finali del parametro (non rilevante ai fini della nostra trattazione, la quinta riga contiene il numero del segmento di frontiera, la sesta e la settima contengono i numeri dei sottodomini a destra e a sinistra del segmento Matrice t: matrice dei triangoli della mes [ 4* Nt ] (Nt è il numero di triangoli. E forse la più importante in quanto fornisce la relazione di appartenenza tra nodi e triangoli. La generica colonna r-ma corrisponde al r-mo triangolo e contiene la terna antioraria degli indici dei nodi, i, j appartenenti ad esso.

26 Assemblaggio matrici e soluzione - div(c grad(u+a u=f u=assempde(bl,p,e,t,c,a,f assembla e risolve: bl è la matrice delle condizioni al contorno, ottenuta con il comando: =findobj(get(pde_fig,'cildren','flat','tag','pdeboundmenu' bl=get(findobj(get(,'cildren','flat, 'Tag','PDEBoundMode','UserData' p,e,t sono le matrici ce descrivono la mes, ottenute con il comando: [p1,e1,t1]=initmes(dl,'hma',0.01,'init','off'; inizializzazione [p,e,t]=refinemes(dl,p1,e1,t1,'regular'; rifinitura

27 Esercitazione 1 Calcolo capacità in regime ele1rosta4co

28 Definizione del problema d u potenziale elettrostatico E=-grad(u campo elettrico u = 0 u = 10 l1 u = 0 l u = 0 n inf ρ (ρ ρ u + z (ρ z u = 0 u l1 = 10 u l = 0 ρ u = 0 n inf

29 min=0*10^-; ma=10*10^-; ymin=-10*10^-3; yma=10*10^-3; d= ; epsr=.9 Costruzione geometria pderect([min ma d/ yma],'r1'; pderect([min ma -d/ ymin],'r'; pderect([1.5*min 1.5*ma 5*ymin 5*yma],'R3'; Piano r-z set(findobj(get(pde_fig,'cildren','tag','pdeeval','string', R3-R-R1' dl=get(findobj(get(pde_fig,'cildren','flat',.'tag','pdeboundmenu','userdata';

30 Condizioni al contorno pdesetbd(6,... 'neu',... 1,... '0',... '0' pdesetbd(5,... 'neu',... 1,... '0',... '0' pdesetbd(4,... 'dir',... 1,... '1',... '0' pdesetbd(3,... 'dir',... 1,... '1',... '0' pdesetbd(,... 'dir',... 1,... '1',... numstr(v pdesetbd(1,... 'dir',... 1,... '1',... numstr(v pdesetbd(1,... 'neu',... 1,... '0',... '0' pdesetbd(11,... 'neu',... 1,... '0',... '0' pdesetbd(10,... 'neu',... 1,... '0',... '0' pdesetbd(9,... 'dir',... 1,... '1',... numstr(v pdesetbd(8,... 'dir',... 1,... '1',... '0' pdesetbd(7,... 'neu',... 1,... '0',... '0' Neumann in aria (in blu=campo elettrico nullo all infinito Diriclet sulle armature (in rosso= definizione dei potenziali sulle armature

31 Definizione mes [p1,e1,t1]=initmes(dl,'hma',0.1,'init','off'; [p,e,t]=refinemes(dl,p1,e1,t1,'regular';

32 Calcolo soluzione ( u + y ( u = 0 div(grad(u = 0 y Passaggio a coordinate cilindrice ->ρ for n=1:size(t, ni=t(1,n; nj=t(,n; nk=t(3,n; % t(4,n=n; % indici dei nodi del triangolo n-mo c a f u = assempde(bl,p,e,t,,'0','0'; i=p(1,ni; % coordinate dei vertici del triangolo n-mo yi=p(,ni; j=p(1,nj; yj=p(,nj; k=p(1,nk; yk=p(,nk; rc=(i+j+k/3; % coordinate del baricentro (n=rc; end

33 Energia immagazzinata da un condensatore Energia = 1 CΔV 1 εa d E d = 1 ε(ade = 1 ετe Energia 1 = ε E 3 R (, y,zdτ

34 Calcolo capacità con energia del Energia sistema π zma ρma π zma ρma = 1 1 ε dθ E(r, z ρd ρdz = CΔV C = ε dθ E(r, z ρd ρdz / ΔV Nt=size(t,; [UR,UZ]=pdegrad(p,t,u; %calcolo del campo elettrico %componenti lungo r e z for n=1:nt ni=t(1,n; nj=t(,n; nk=t(3,n; % indici dei nodi del triangolo n-mo i=p(1,ni; % coordinate dei vertici del triangolo n-mo yi=p(,ni; j=p(1,nj; yj=p(,nj; k=p(1,nk; yk=p(,nk; rc=(i+j+k/3; % coordinate del baricentro (n=rc; D=[1 i yi; 1 j yj; 1 k yk]; A=det(D/; aa=rc*([ur(n^+uz(n^];%termine integrando ce(n=(aa*a; end cnumerico=epsr*(1/v^*(8.85e-1*sum(ce**pi cteorico=epsr*(8.85e-1*pi*((ma^/d Ntriangoli E ρdρ E Atot n= 1 Atriangolo E Atriangolo ρdρ A triangolo E ρda baricentro ρ baricentro

35 Plot soluzione- Potenziale u figure pdegplot(dl old on pdecont(p,t,u,1

36 Campo Ele1rico Campo Elettrico figure pdegplot(dl old on uu=pdeprtni(p,t,ur; %conversione baricentri-nodi vv=pdeprtni(p,t,uz; scale=0.5; =p(1,:'; y=p(,:'; quiver(,y,-uu,-vv,scale,'r-'; title('campo Elettrico' Oppure semplicemente con il comando pdeplot(p,e,t,'flowdata',-[ur;uz],'flowstyle','arrow' Ma esso non consente l opzione scale Campo Elettrico

37 Risulta4 R=10 cm; D=.9 mm; c numerico = e-009 F c piattoindefinito = e-009 F