Introduzione elementare al metodo degli Elementi Finiti.

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1 Introduzione elementare al metodo degli Elementi Finiti

2 Obie4vi Introduzione elementare al metodo degli elemen8 fini8 Analisi Termica Analisi Stru>urale Analisi Fluidodinamica U8lizzo del soaware COMSOL 3.5

3 Un po di filosofia Come avviene anche in altri se>ori di ricerca, la modellis8ca di per sé non è un'a4vità esclusivamente scien8fica, anche se, naturalmente vi sono conce4 universali che essa deve riprodurre, quali ad esempio la conservazione di massa e energia di un fluido, del momento d'inerzia di una stru>ura,..., vi è in effe4 anche una componente ar#s#ca dietro una simulazione di successo, che deriva dal sapere quali domande ha senso porre, quale livello di de>aglio ha senso me>ere nelle diverse componen8 del modello, quali semplificazioni apportare in modo da favorire una sua integrazione con modelli diversi. In mol8 se>ori industriali e dell'ingegneria la modellis8ca matema8ca è ormai di uso consolidato. Alfio Quarteroni

4 Analisi agli elemen8 fini8 Metodo per la risoluzione numerica di una equazione differenziale, sia essa alle derivate totali o parziali Più precisamente si tra>a di un metodo per approssimare una equazione differenziale con un sistema di equazioni algebriche

5 Terminologia Campo fisico (termico, elas8co, fluidodinamico) Stazionario Sta8co Variabile Leggi (equazioni differenziali) Sorgen8 Interne Esterne (condizioni al contorno) Potenziale del campo (problema fondamentale)

6 Problema fondamentale Assegnata la regione entro la quale si vuole considerare il campo Assegnato l intervallo di tempo entro il quale si vuole considerare il campo Precisata la natura dei materiali contenu8 entro la regione Assegnate la posizione e l intensità delle sorgen8 Precisate le condizioni al contorno della regione Determinare in ogni punto ed in ogni istante i potenziali del campo

7 Nozioni preliminari (1/4) Gradiente di uno scalare a) b) y g( r ) = T i T y j T z k z g q s c) d)

8 Nozioni preliminari (2/4) Densità di flusso z z gi aci tura di massi mo fl n A ma r A Q r n ma Qma Figura 1.3. Il vettore densità di flusso di calore ha la direzione del q(r) = lim A 0 y Q A ma n ma. efinito prende il nome di vet y

9 Nozioni preliminari (3/4) Divergenza di un ve>ore z k n P n i n n P P P P n P P n y j q q y y q z z = q (1.33)

10 Nozioni preliminari (4/4) Operatore ve>oriale nabla = i j y k z Quindi il gradiente diventa grad u = i j y k z u = u E la divergenza diventa div q = i j y k z [q i q y j q z k] = q q y y q z z = q (1.33)

11 Prima equazione cos8tu8va la quan8tà di calore che transita a>raverso un elemento di superficie piana tangente ad una superficie isoterma per unità di area e per unità di tempo è proporzionale al salto di temperatura per unità di lunghezza misurato perpendicolarmente alla superficie q = k g. ucibilità ter

12 Seconda equazione cos8tu8va Incremento dell energia interna legato all aumento della temperatura. d t u = cd t T cifico ( capac

13 Equazione di Bilancio calore generato = calore accumulato calore uscente Q gen = Q acc Q usc calore. = u t q q y y q z z.

14 Equazione fondamentale c T t k 2 T 2 T 2 y 2 T 2 z 2 =. fondamentale ρc T t k T = σ ρc T t k 2 T = σ ρc T t kδt = σ

15 I tre casi c T t k 2 T 2 T 2 y 2 T 2 z 2 k 2 T 2 T 2 y 2 T 2 z 2 = 0 Fourier = Poisson quazione 2 Tdi Poisson 3 Nel caso in cui anche l 2 T 2 y 2 T 2 z = 0 2 Laplace

16 Condizioni al contorno 1/3 k 2 u 2 u 2 y 2 σ =. potenziale assegnato flusso assegnato flusso assegnato potenziale assegnato flusso assegnato potenziale assegnato Figura 1.6. Il contorno della regione si può divide

17 Condizioni al contorno 2/3 k 2 u(, y) = σ(, y) u(, y) = assegnata su una parte del contorno k u(, y) n = assegnata sulla parte rimanente del contorno potenziale assegnato flusso assegnato (1 flusso assegnato potenziale assegnato flusso assegnato potenziale assegnato Figura 1.6. Il contorno della regione si può divide

18 Figura 1.9. Un esempio di soluzione del problema di Dirichlet: la funzione è nulla su tutto il contorno e c è un carico distribuito uniformemente, dovuto ad una depressione. Le linee indicate sono le linee di livello. Condizioni al contorno 3/3 {membrana} 56} Il caso complementare è che sull intero contorno sia noto il valore della derivata normale della funzione: si parla allora del problema di Neumann. La tabella (1.49) riassume la nomenclatura introdotta. problema misto problema di Dirichlet problema di Neumann k u = σ k u = σ u A = assegnato k u = σ u = assegnato k u n = assegnato k u n B = assegnato A B = (1.49) Come capita sempre nella vita, è facile porre un problema... ma il di cile è il trovare la soluzione! Cosa fare se la regione ha una forma generica, oppure se la funzione (, y) non ha una semplice forma analitica, o addirittura se è assegnata in forma numerica, oppure se le

19 Analisi agli elemen8 fini8 l l l l Elemen8 Nodi Funzioni Forma Gradi di libertà

20 Analisi agli elemen8 fini8 Il FEM è un metodo numerico (pertanto approssimato) che perme>e la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali. Il metodo degli elemen8 fini8 consiste nella discre#zzazione di un assegnato dominio in elemen( fra loro connessi in un numero finito di pun8, ver8ci degli elemen8 chiama8 nodi, in corrispondenza dei quali sono valutate le componen8 della funzione incognita. Il valore della funzione all'interno del singolo elemento è o>enuto sulla base dei valori dei parametri nodali a>raverso l'uso di opportune funzioni di forma. La scelta di tali funzioni, come pure del 8po di mesh con cui discre8zzare il dominio è di importanza cruciale per una corre>a convergenza della soluzione.

21 Analisi agli elemen8 fini8 u soluzione esatta (incognita) u soluzione approssimata (incognita) u() u() p a u h u i h e i b p a u h ui h e i b Figura 2.1. La funzione da determinare e la poligonale che la

22 Analisi agli elemen8 fini8 Funzioni forma (elemen8) u u 1 h N e i () N e h () e i 1 h e i a) b) a u e () = Nh e () u h Ne i () u i Figura 2.2. a) Le funzioni di forma di un elemento unidimensio- u 1 u h h e i u i b

23 Analisi agli elemen8 fini8 Funzioni forma (nodi) N e h N e h 1 2 h-1 e h h 2 e h1 a) b) u u h h-1 1 h e h1 u h N h N h Figura 2.3.

24 Analisi agli elemen8 fini8 Descrivere la funzione approssimanente come una combinazione delle funzioni di forma nodali: u u() ū() = n ū h N h () 1 u h u h1 h=1 h h1 a poligonale che approssima la fun

25 Analisi agli elemen8 fini8 Risoluzione: metodo di Galerkin (minimizzazione dell errore) Se l equazione di partenza è k d2 u() d 2 = s() La soluzione approssimata conterrà un errore n r(;ū 1, ū 2,...ū n ) = k h=1 d 2 N h () d 2 ū h s()

26 Analisi agli elemen8 fini8 Determinare i migliori coefficien8 minimizzano gli errori (metodo di Galerkin) Residuo ortogonale alle n funzioni nodali Integrazione per par8 sulla derivata seconda per abbassare l ordine delle dervate Formazione del sistema algebrico (matrice fondamentale) n h=1 f ih ū h = s i c i (i = 1, 2,...n)

27 Nota Esistono altri strade che possono portare alla formulazione della matrice fondamentale Metodi variazionali (principio dei lavori virtuali) Formulazione dire>a Minimizzazione di un funzionale (energia potenziale totale)

28 Mesh Free Mesh Mapped Mesh Etruded Mesh Revolved Mesh

29 Comsol Mul8physics

30 Esercizio Conduzione Z=0.14m

31 Documen8 u8li h>p:// elemen8fini8.pdf

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