Il metodo esaminato in questo paragrafo prende spunto dal metodo di stima di Wiener-Kolmogorov, che può essere enunciato nel modo seguente:

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1 Inrpolzon n b ll or d Wnr-Kolmogorov I mod clc d nrpolzon bno ll o d prcolr fmgl d fnzon, rl dpndono dll drbzon d pn d cmponmno d vlor rlv q pn; n q d è conn l conocnz dponbl ll grndzz d nrpolr Pò prò ccdr ch voglno lzzr conocnz ggnv pror ll nflnz ch vlor no dll fnzon poono rcr ll vrzon dll fnzon n norn d pn d cmponmno, pr dor procdr d nrpolzon n qlch modo d l fnomno n m Un mpo lmnr gà ro è qllo d md mobl p con p ch ono fnzon n gnrl dcrcn dll dnz d pn d pplczon Il modo mno n qo prgrfo prnd pno dl modo d m d Wnr-Kolmogorov, ch pò r nnco nl modo gn: S Y n proco occo o n fnzon c vlor pr fo ono vrbl lor con vlor o { Y } fnzon d covrnz { Y Y ' } ' Allor, d n rzon d Y n pn,, con vlor,,, lo mor lnr d Y n n gnrco pno n fnzon dll vrbl dllo cro { Y Yˆ } n n Y,, Y n è d d Y, ch mnmzz l vrnz ˆ Y, dov l mrc è dfn d, Qnd, ono no vlor,, n pn,,, l m n n ˆ pò r nrpr com n nrpolzon d vlor,,, S l proco fo n rmor bnco, coè l vrbl Y foro ncorrl, qnd ' pr ', Y non rbb nflnz d vlor n n pn,, n, l m non porbb r ch ˆ, gl l o vlor o poblà d vr n m non nll è qnd lg d n qlch nflnz d vlor n n lr pn, ch n qo co è pr n rmn probblc procdr opr dcr fornc n nrpolzon d vlor cmpon Inf ˆ l l, l S vol nr cono dgl rror d mr gl,, pò dcrvr l proco com ν Z Y ν, dov ν è n rmor bnco ncorrlo con ZZ ZY YY Y, con vrnz Allor, pr ', ' ' ', mnr ZZ ˆ, YY YZ ν m dvn qnd ZZ YY YY ν I, ch fornc n nrpolzon pprom, n Sm mprc dll fnzon d covrnz rlmn l vro problm è qllo d rovr n pron pr l fnzon ' Inf, rgor, pr porn fr n m bognrbb dporr d n nmro, poblmn lvo, d rzon dl proco, mnr n rlà h dpozon olno n cmpon n n nmro fno, n mol c poo pccolo, d pn

2 In prc, n modo pr ffronr l problm con nll mr n qlch form d rgolrà pzl d ', n modo d por frr l nmroà dl cmpon Un pc nzon è qll d zonrà, ch compor { Y } co, ' ' prm condzon è n qo co vrfc, do ch { Y } ; l cond è molo for, mpon fr l lro ch l corrlzon fr d pn orop, o non dpnd dll drzon dl vor congngn d pn vdn ch poono mmgnr n c concr d qnà drb gogrfcmn ch non rpno q condzon In ogn co, mndo l condzon d zonrà, pò dr l gn m d vlor dcr r : r ˆ r ', dov ' ono pn cmpon è l nmro d copp l c r ' < r dnz è nll fc r r < r Pr mr po l fnzon r, bogn nr cono ch dv r dfn pov, o l mrc nrodo opr dv r dfn pov pr ogn cl d,, n Q condzon è vrfc d lcn fmgl d fnzon, fr l ql v crc qll ch dà l mglor nrpolzon pprom d vlor ˆ r r pr Krgng µ, m µ è n fnzon no, l problm rcondc dr n m d Y Z µ con l modo opr dcro, porr po z ˆ ˆ µ S { Z } S nvc µ, pr ndo r com n qnà drmnc, non è no, occorr drn n m; nolr non è pobl d vlor mr z rcvr vlor corrpondn l proco Y, qnd bogn gr l m drmn Z S condr nzlmn l co con µ con S crc n m lnr Zˆ λz corr o non dv, o rchd { Z ˆ } { Z }, d c g λ mnmzzzon d { Z Zˆ } Z λ λλ, q vol v f oo l condzon λ ; occorr qnd nrodrr n molplcor d grng S on l qzon λ,, ch, n ll condzon λ, conn d rcvr λ µ µ S procd po ll rcrc dll m lnr corr d µ, λ con λ mnmzz ˆ µ { } µ { } λ Z µ ˆ Z, ch µ µ µ µ λ λ, Anch n qo co µ µ µ nrodc n molplcor d grng, on l qzon λ, S non m ch µ con, è ncro crcr l m n no pzo fnzonl ˆ ; nolr, pr l m dmnon fn, gnro d n b { ϕ,, ϕ } : µ c ϕ K

3 d Z pr l m d µ, l condzon d corrzz dvn µ λ µ, ch compor l K condzon dl nmro d pn ϕ λ ϕ Ovvmn, l nmro K dv r pù pccolo cmpon, pr lcr d grd d lbrà coffcn λ d mr Pr l ro, procd com nl co prcdn, lvo ch bogn nrodrr K molplcor d grng OTA In goc vngono cnch nlogh qll opr llr, no con l nom d rgng, ch pplcno zon pù gnrl, n c l ch non ono dfn pr l ngol vrbl Z, m olno pr loro ncrmn Z Z ' l rgng non vn l fnzon d covrnz, m l vrogrmm γ ' { } Z Z ', ch, n co d zonrà, dpnd olo d h ', o nch, n prnz d orop, olo d h In qo co, n nlog qno vo pr l fnzon d covrnz, pò r d pr l vrogrmm n m cmponr dcrzz: ˆ γ r ' Z Z r ' < r In rlà c è n rlzon fr vrogrmm fnzon d covrnz S zonro, non olo o ncrmn, llor Z µ con, { Z µ Z ' µ } ', { } qnd Z Prno Z Z ' { µ } { Z ' µ } { } { Z Z ' µ } ' µ D congnz, n qo co γ h h Wnr-Kolmogorov com modo co d m Z è o o Il procdmno d m d Wnr-Kolmogorov pò r formlo n mnr pù gnrl d qll v opr, n n cono non ncrmn lgo ll nrpolzon S m d dovr mr n qnà vndo dpozon n vor d d, pponndo no, Pr mplcà, m {} {} mnmzz l rror qdrco mdo d m, T T T { h } h h h S crc n m lnr, ˆ h h T, ch { ˆ } S on Annllndo l drv rpo ll componn d h, on h, o h, qnd ˆ T, ch corrpond ll forml d nrpolzon v opr S no ch, con l vlor d h ono, h T T { } < T h >, do ch è dfn pov Qo gnfc ch, è corrl con, l rror qdrco mdo d m è nfror ll ncrzz pror d, qnd n ff l o d d fornc n nformzon l pr l m d

4 τ SRIZIO: d l fnzon d covrnz zonr τ D vlor cmpon f, f, f 3, rpprnr l fnzon nrpoln f nll nrvllo [, 5] ; vrfcr ch l mrc d covrnz è ffvmn dfn pov rczo pò r o l co d n rngolo nl pno, cmponndo n cro nmro d vlor n lcn pn dl rngolo, condrndo l fnzon d covrnz ' p ' ' ' Un pobl pplczon dl modo d Wnr-Kolmogorov h nllo do dll r mporl, ch ono qnz dcr d vrbl lor, ll ql poono r nrodo dvr p d modllzzzon lnr copo prdvo, ggr n gnrl d n nl c dl fnomno n m Un mpo ono modll orgrv AR, l c form è p, dov { } è n rmor ncorrlo: { } ; { } δ ; { } pr com n prcdnz m pr < { } mplcà p è do ordn dl modllo D prcolr nr ono l r zonr, pr l ql, olr ll condzon { } { } µ con, rchd nch condzon d zonrà mpon d vncol l compormno dll qnz Ad mpo, condr n modllo AR dl I ordn: { } { }, on:, do ch { }, o ; nolr { } { } { }, o Qnd, d, pò rcvr pr ogn Vcvr, {,, } è modllzzbl com AR, pò mr ˆ, ˆ, ˆ ˆ ˆ /, ˆ ˆ ˆ o, è pobl lzzrl pr n m prdv d d,, : ˆ Qnd l prdzon d olno dl do mmdmn prcdn Anlogmn, pr n modllo AR dl II ordn zonro, n g mmdmn dll form dl modllo AR, dpnd, h

5 { } { } { } { }, d c 3 Qnd ˆ Aggornmno S condr or, olr l vor d d, ch ppon d dmnon, n lror qnà mr, ch ppon corrl con, con, qnd fornc n lror nformzon pr l m d rlmn è pobl cor con n vor ~ d dmnon, d lzzr pr n nov m d con l modo d Wnr-Kolmogorov Qo modo d procdr non è prò convnn, do ch l nvron dll mrc d covrnz ~ v g -novo, nz por lzzr clcol n prcdnz In lrnv, pò clcolr, ggngr l vor d d, nzché l componn, l qnà ˆ T ˆ nnovzon Il vnggo è ch ˆ T prncpo d orogonlà: l nnovzon è ncorrl con d dponbl n prcdnz, qnd l nov mrc ~ h l form ~, d c, dov / ~ T D congnz l nov m d è

6 ˆ ˆ T dov T ˆ S vd ch l nov m on dll vcch mplcmn ggngndo n rmn dpndn dl novo do ggornmno In modo nlogo pò vdr ch l novo rror qdrco mdo d m on d qllo vccho mplcmn orndo l rmn qnd rdcndolo lrormn / Flro d Klmn Un co pco n c pò r pplco l modo d m d Wnr-Kolmogorov è qllo n c l vor d d è coo d n qnz mporl d mr ff d rror d n cr qnà,, n pr n, vol mr n grndzz d c è noo pror n modllo ppromo d volzon mporl S pn, d mpo, d n ro ch vgg con n moo ppromvmn rlno nform, con flzon c dll prnz dl vno, d c non è pobl fornr n modllo drmnco Qo mpo h n rlvnz nch n mbo opogrfco, pn, d mpo, ll rcorzon dll ror dll ro d n qnz d mr g con n rcvor GPS bordo All modllzzzon c dll rror d mr ffnc qll dll ncrzz nl modllo d volzon Inolr, vol clcolr l m n mpo rl, è l pplcr n procdr d ggornmno com qll opr dcr SPIO: pr dcrvr n moo ppromvmn nform:, dov è lo pzo prcoro, l vlocà con rpprn n flzon non dcrvbl n rmn drmnc, pò nrodrr n vor d o prmr l volzon mporl mdn n modllo lnr d propgzon: S mr drmn lo pzo prcoro, l modllo orvvo, ch prm n rlzon lnr fr l orvbl l vor d o, è, dov è l rror d mr Il modo d clcolo doo, do flro d Klmn, è o lboro norno l 96, n rlzon llo do dl moo d ll rfcl d ml blc o con n n procdr rcorv ch, lzzndo d ogn po l conocnz pror ll volzon mporl dl fnomno nov d cq, por l clcolo dll covrnz ll ggornmno dll m ddzon dll forml, ch è poo lbor, vn q chmcmn forn n n co mplc: l qnà è clr, vn orv drmn O F ν ν

7 dov l qnà ono clr S m pr mplcà ch bbno vlor o nllo, nolr m ch ν, ν no ncorrl fr d loro, ncorrl con gl gl n prcdn, ch ν ncorrlo con llo o n S pr d d,,, mrzon d dvr n n ccon Sm Wnr-Kolmogorov d gl n : ˆ ˆ OTA: do ch { } ˆ ˆ Propgzon ν, g ch, qnd { } F { } { ν } { ν } F ˆ F ˆ Aggornmno ggng l do ˆ ˆ K, dov ˆ, K BISOGA AOAR, OTA poché ˆ è combnzon lnr dgl,,, pr l prncpo d orogonlà, g ch { ˆ } Qnd { } { }, { } ˆ { ˆ ˆ } ˆ ν ˆ ˆ, { } { } do ch, com gà vo, ˆ ˆ, ν è ncorrlo con, con,,,, qnd con ˆ D lr pr, { } { } { ν ˆ } { ˆ } ν Bogn qnd concnrr l nzon l rmn ˆ

8 { ˆ } { [ F ˆ ν ] } F { ˆ } ν gl,,,, qnd con ˆ do ch ν è ncorrlo con, con Or, ˆ, pr l prncpo d orogonlà, è ncorrlo con gl,,,, qnd con ˆ D congnz { ˆ } { ˆ } { ˆ K } { ˆ } K { } { ˆ } K { } nll lmo pggo è ncor fo o dl prncpo d orogonlà ndo nm vr pgg, gng ll forml d rcorrnz { ˆ } F { ˆ } K { } ν ch conn mmdmn d clcolr, q lm rchd nch l conocnz d, ndo noo, nfn K, ch prm ν l ggornmno; nolr ono clcol l vrnz dgl cr ˆ, ˆ Pr por vr l proco d rcorrnz, bogn ch no no, pr gl, { } { } nolr ˆ, dov è poo ˆ, ch gnfc ch l m d l mpo, prm ch vng f ql mr, è nll co rgonvol, do ch l vlor o d è nllo ν ν