k 03 k 31 k 14 k 42 k 04 k 01 k 21 Lezione 2) I dent ificabilit à. Riprendiamo l esempio della settimana scorsa.

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1 Lzon ) I dn fcbl. Rprndmo l smpo dll smn scors. 3 Allor vvm o v s o qullo ch s ruscv r cvr snz usr l form ulzon dl m odllo. Or crchm o d vdr u o qullo ch d pù s rsc d o nr sfru ndo ppno l m odllzzzon com pr m n l. Prm d uo, rcordmoc ch nll pos d ssm n so szonro d rccn dl o d pccol pr urbzon, l quzon ch s r cv è un quzon lnr I NDI PENDENTEMENTE dl po d cn c ch rgol l compormno dll sosnz ch s vuol rccr. Dopo vr mrco ogn comprmno d ogn flusso n mnr opporun (rcordmo ch j rpprsn l coffcn frzonro d rsfrm n o d j ), possm o scrvr l quzon dl ssm: Ñq& Ô q& Ò Ôq & Ô Óq& 3 ( 3) ( ) + ( ) u dov u u rpprsnno du possbl npu d du rccn. + u I l ssm d quzon può ssr rscro n form mrcl: dt $ ¼ T + % ¼ X d \ & ¼ T ov l m rc A è sprss n funzon d coffcn frzonr d rsfrmno: () ()

2 $ Î ( ) 3 3 ( ) ( ) Î % (3) Î & V L mrc B C rpprsnno rspvmn l mrc d sgnl d npu (nl nosro cso, sommnsrzon d un rccn nl comprmno d un rccn nl com pr m n o ) d qull d ou pu ( nl nos ro cso, msur dll concnrzon d ognuno d du rccn nl comprmno ). S consdrm o l quzon cr rs c: dt $ ¼ T d vdmo ch qus rcord molo d vcno l sprsson ch lg l funzon sponnzl ll su drv. Dll lgbr m rcl rovm o nf ch l soluzon qus quzon è d d: T( ) n [ ¼ ov n è l dmnson dll mrc (nl nosro cso, ), gl [ H L sono rspvmn gl uovor gl uovlor dll mrc $, gl sono coffcn dpndn dll condzon nzl. Vdm o qund ch l quzon ch rgolno l vrbl d so sono somm d sponnzl, l numro d rm n è l m ssm o ugul l num ro d com pr m n prsn nll sruur d modllo (dcmo l mssmo, prché uno d coffcn o uno d componn dgl uovor può ssr dncmn ugul ). Nl nosro cso, qund, pr ognun dll vrbl d so bbmo un somm d quro sponnzl. Scrvndo splc m n v or nll loro com ponn, rovmo: q q q q 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 () (5) (6)

3 Gl oupu y y, ch dscrvono l msur d concnrzon nl comprmno dl rccn sommnsro nl comprmno (npu ) dl rccn sommnsro nl com prmno (npu ) rspvmn, s sprmono com: y y ( ) ( ) q V q V ( ) ( ) u u dov coffcn sono dvrs prché rlv condzon nzl dvrs (l condzon sono q () u, q () q 3 () q () pr l npu nl comprmno, q () u, q () q () q 3 () pr l npu nl comprmno ). Qund srbb suffcn ndr fr un f dll du funzon y () y () ULVSHWWLYL VHW GL GDWL VSHULPHQWDOL SHU WURYDUH L YDORUL GHL SDUDPHWUL H GHL coffcn, cos bbsnz sm plc vso ch l funzon sono lmnr ch ss ono m ol sof wr, pù o m no sofs c, ch prm ono d ffur quso po d f. Pr po r cr rzzr l m odllo, prò, bsogn po r rslr, d prm r dl f così rov, corrspondn prmr dl modllo (coè, j, nl nosro cso, nch l volum V ). Dobbmo rovr qund l rlzon r coffcn dl f prm r dl m odllo, qus s rov rsolvndo l'quzon gl uovlor dll mrc $: $ [ l ¼ [ ¼, ch s può rscrvr com: ( l, ) ¼ [ $. Qus quzon h soluzon non null qundo l drmnn dll mrc ($,) è ugul. Allor, pr rcvr l rlzon r prmr dl f prmr dl modllo nl nosro cso, ndmo rcvrc l drmnn d l mrc: Î $ l ¼, ( l ) 3 3 ( l ) Svluppmolo prr dll rz rg: D ( $ l, ) ( l ) Î ¼ D ( l ) l ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) ¼{ ( l ) ¼[ ( l ) ¼ ( l )] ¼[ ¼( l ) ¼ ]} Un soluzon è d d 3 mnr l lr s rcvno dll quzon d rzo grdo: 3 (7) (8) (9)

4 l 3 ( ) Ë l ¼ Ì Í l ¼ Û 3 Ü Ý () Un vol rcv gl uovlor, rspv uovor [ s rcvno VRVWLWXHQGRLOYDORUHGL QHOODPDWULFHHULVROYHQGRO HTXD]LRQH ( l,) ¼ [ $ () 3HUHVHPSLRQHOFDVRGL, l quzon dvn Î ( ) 3 3 ( ) ch, sprss n form d ssm, s scrv: ( 3) ¼ ¼ + ( ) Ñ Ô Ò Ô Ô Ó 3 ¼ ¼ + ( ) D cu s rcv: ¼ ¼ ¼ ¼ ( ) Î 3 () (3) (dll rz quzon); (dll scond); (dll ulm). 3 è ndrmno (gl uovor sono smpr ndrmn), lo s m pr sm plc ugul. Qund, l u ov or rl vo ll u ovlor s può sprmr com: Î [ () S ornm o ll quzon ch sprm l vrbl d s o ( 6), vdo ch l WHUPLQHFRQ sr prsn solo nll quzon d q 3, do ch com ponn dll uovor [ rlv q, q q sono. Quso è bbsnz vdn, YLVWR FKH dscrv l usc dl com pr m n o 3, qus usc non nflunz nssuno dgl lr com prmn. Qund qu g vdmo ch con l nformzon ch s hnno dsposzon (l concn rzon n ), non s po r m d rm nr uno d prm r dl m odllo ( nch s ruscss fr un prf o f dll funzon ( 7) pun sprmnl). Pr gl lr coffcn j, dovr rsolvr l quzon () vdr s ss un rlzon bunvoc con prm r dl f ch n prm l dn fczon. +

5 Qus o è un problm orco m ol o m por n, ch v so o l nom d I DENTI FI CABI LI TA A PRI ORI. Prm d pplcr un modllo (o mglo ncor, prm d progrm m r un sprm n o) dvo vrfcr ch l s ru ur d modllo scl s I DENTI FI CABI LE, s coè possbl rcvr un vlor prcso d unvocm n d rm n o pr ognuno d prm r ncogn. Qus propr dpnd solo dll sruur d modllo sclo dll vrbl d so ch s voglono (o possono) monorr; è coè ndpndn dl numro o dll qul d d sprm n l rccol ( pr qus o s chm dn fcbl A PRI ORI ). Prndmo quso puno un smpo pù smplc rspo qullo ch bbmo vso fnor: I l ssm d quzon ch dscrv quso sm plc modllo è do d: Ñ dq Ô d Ò dq Ô Ó d ( ) ¼q ¼q + q ¼d( ) ¼q ( ) ¼q L concnrzon dl rccn nl comprmno é d d: y (5) q ( ) ( ) ¼ + b ¼ (6) V dov l l q b q + ( ) ¼( ) ¼ V ¼ ( ) ¼( ) + ( ) ¼( ) ¼ V ¼ ( ) ¼( ) ( ) + ( ) ¼( ) ( ) ( ) ¼( ) V é l volum dl comprmno. (7) F ndo l quzon drv col m odllo d sprm n l s possono d rm nr qund qun á, m n r prm r ncogn sono 5 ( coffcn d rsfrmno pú l volum dl com prmno ). Smo qund

6 n prsnz d un ssm d quzon ndrmno, l modllo rsul non dn fcbl, ANCHE SE GLI EVENTUALI DATI SPERI MENTALI SONO I N PERFETTO ACCORDO CON L ANDAMENTO BI ESPONENZI ALE. Qus o vuol dr ch ssrnno nfn combnzon d vlor d prmr ch corrspondono l s d coffcn rov col f. L consgunz d qus non dn fcbl sono ch Concnrzon nl comp. (u..) Concnrzon nl compr. (u..).5..5 s s d sprmnl l m odllo non h lcun sgnfco d po prdvo. Consdrm o nf l fgur l o: corrspondono ll curv d concn rzon n comprmn dl m odllo con du dvrs s d prmr. Enrmb s d prm r rscono dscrvr bn d sprm n l ( n pr c, corrspondono ll'dn co s d coffcn rcvbl dl f), m prvdono, pr l scondo comprmno, ndmn dvrs. dcsmn Msurndo l qun á d. rccn nl prm o comprmno l poso.5 dll concn rzon non cm b null, prché n. 6 8 Tmpo (mnu) qus o cso l quzon ul rcvr prmr ncogn s rducono 3. Dl ssm (7) s on nf ch b + q / V (8) qund un dll quzon rsul non fornr lcun nformzon nl cso n cu V s noo. Com s vd, l I MPOSSI BI LI TA d rm nr prm r è d po m m co; non dpnd d qun m sur s fccno nl com pr m n o monoro, né dll prcson d l msur. L ndrmnzon n prmr è nrnsc ll combnzon modllo/ oupu scl. L unch possbl pr rsolvr l nd rm nzon sono: ) rform ulr l m odllo ( purchè l rform ulzon non prgudch lo scopo pr cu l modllo r so svluppo); ) modfcr l dsgn sprmnl, ndndo m on orr nch l r vrbl d s o; 3) rcuprr n m nr ndpndn (s., dll lrur) nformzon ggunv ch prmno d rsolvr l nd rm nzon.

7 Consdrm o l sgun sm po, ch rgurd l m odllo dll ssorbm n o nll crcolzon ss m c d sos nz ngr d è form ul o pr r dl modllo dl ro gsronsnl consglo dll'i CRP: Somch Smll nsn 3 3 Trnsfr comprmn 3 3 Orgns & ssus Dll'quzon ch lg prm r dl m odllo coffcn dl f pr nrmb l curv d rccn (qu clcol non vngono mosr), s rov ch pr ognuno d prmr, 3 v sono possbl soluzon (cos nrssn, comunqu è ch l prmro f, coè l frzon ssorb rvrso l pr dl ro gsronsnl, ch è l prmro d nrss 3 pr l rdoprozon ch rsul do dll rlzon: f, rsul dn fc o n m nr unvoc). Ad ogn m odo, è possbl rsolvr l problm d qus nd rm nzon con sm plc consdrzon d po fsologco: l prmro dscrv lo svuomno dllo somco, mnr l prmro lo svuomno dll'nsno. Quso scondo procsso è pù ln o rsp o l prm o; qund, l vld dl rsul o s può vrfcr confronndo r loro vlor d prmr consdrndon l plusbl. A qus o pun o, vdm o d nqudrr n m nr rgoros l problm dll dn fcbl, com ncm o dr dll dfnzon: Un prmro p s dc,'(7,),&$%,/( nll nrvllo [,T] s ss un num ro,),,7 d soluzon. S un m odllo h nch un solo prm ro,'(7,),&$%,/(, llor l n r s ru ur s dc,'(7,),&$%,/(. Un prmro p s dc,'(7,),&$%,/( nll nrvllo [,T] s ss un numro ),,7 d soluzon (dvrs d qull dncmn null). S u prmr sono,'(7,),&$%,/,, llor l nr sruur s dc,'(7,),&$%,/(. 3

8 Un prmro p s dc 8,9&$(7(,'(7,),&$%,/( nll nrvllo [,T] s ss UNA E UNA SOLA soluzon. S u prmr sono 8,9&$(7(,'(7,),&$%,/,, llor l n r s ru ur s dc 8,9&$(7(,'(7,),&$%,/(. S nch un solo prmro non è 8,9&$(7(,'(7,),&$%,/(, llor l nr sruur s dc 8,9&$(7(,'(7,),&$%,/(. Ess ono d m od s ndrd ch prm no d rcvr l'dn fcbl o mno d un sruur com prmnl snz ndr d splcr l rlzon ch ss ono r prm r dl m odllo coffcn dl f? Nl cso d un s ru ur com pr m n l LI NEARE, l lbro Crson Cobll Fnls n: " Th m hm cl m odlng of m bolc nd ndocrn sys m s. John Wly & Sons, NY, 983 rpor du m od, qullo bs o sull $75,&( '(, 3$5$(75,',$5.9, qullo bs o sull $75,&('(//()8,, ',75$6)(5,(7 MATRI CE DEI PARAMETRI DI MARKOV: L mrc d prmr d Mrov è dfn com: ( S) Î &( S) %( S) ( ) $ ( S) %( S) & S n ( ) $ ( S) %( S) & S dov [ p, LL ] M p p. (9) S è l vor d prmr ncogn. I l modllo è dnfcbl VHHVRORVH I L RANGO DELLA MATRI CE Î p M p n L O L p M p p n p () è ugul S ( NUMERO DI PARAMETRI DA DETERMI NARE) pr ogn possbl vlor dl vor S. Com s vd, non è un m odo m ol o sm plc, n qun o bsogn prm clcolrs l n soomrc, ognun dll qul h dmnson mr (ssndo n l numro d comprmn, m l numro dgl oupu, r l numro dgl npu), pr ognun d qus fr p drv przl: n pr c, bsogn clcolrs n m r p drv przl, po clcolrs dvrs drmnn dll soomrc dll mrc dll drv pr rovrs l rngo dll mrc (s dc rngo dll m r c l'ordn dll pù grnd so om rc l cu d rm n s dvrso d ). Un com p o dcsm n rduo nch pr sofwr mmc pù vnz. MATRI CE DELLA FUNZI ONE DI TRASFERI MENTO +(s,s).

9 Anch qus o scondo m odo non brll pr sm plc. L m r c dll funzon d rsfrmno (TRANSFER FUNCTI ON MATRI X) è dfn com: [ (, S) ] ÎL y + (s, S) &( S) [ s, A( S) ] B( S) () L[ u j() ],m j,r dov H j è l rsform d Lplc dll rspos ll npu unro j. Possm o rscrvr l'quzon gnrl dll'ou pu sm o com : n ( ) ( S) y (, S ) A () j dov A j combn n sé l componn dll'uovor, l coffcn d rm n o dll condzon nzl l'vn ul f or d scl n rodo o nll m sur (d s., l volum s vngono m sur dll concnrzon). L su rsform d Lplc dvn qund: L(y (, )) Y ( s, S) n ( S) b s n j A ( S) S (3) n s l ( S) j s + s j ( S) S u j è un bolus, l () s rsform com H j ( s, ) [ (, S) ] L u ( ) ( s, S) ÎL y ÎY S [ ] () j I l modllo è dnfcbl VHHVRORVH l RANGO DELLA MATRI CE Î b b L p pp M M n n L p pp *( S) M M (5) mr mr b b L p pp M M mr mr n n L p pp è ugul S pr ogn possbl vlor dl v or S. Anch n qus o cso, bbm o bsogno d clcolr n m r p drv przl dopo vr f o l

10 rsform d Lplc, rp r l gochno co d rm nn dll soomrc. A m no qund d s ru ur com pr m n l sm plc, l problm dll'dn fcbl è d dffcl soluzon nl c. Ess ono prò dll condzon ncssr pr l'dn fcbl, ch prlom no prm ono d scludr n prnz l sruur scurmn non dnfcbl: ) l ss m dv ssr npu ou pu connc bl ( OGNI COMPARTI MENTO E RAGGI UNGI BI LE DA ALMENO UN I NPUT ED E COLLEGATO AD ALMENO UN OUTPUT) ) n u ˆ n, dov n u è l numro d prmr ncogn, n è do dll sprsson: r h m r h m n n n + w z (6) h h h h n numro d comprmn n numro d soossm chus w h numro d comprmn dl ssm h mno l lunghzz dl prcorso pù brv (s l, s prnd comunqu ) z h s rfrsc ll comun pr n csc r un ssm h d un lro ssm g consdro n prcdnz, ov con pr n csc s nnd un nsm d com pr m n l ch ogn suo com pr m n o è nflunz o dll s rno solo rvrso un d o com pr m n o ( f) nflunz l s rno solo rvrso un do comprmno (g); z h è ugul l numro d comprmn comun mno l lunghzz dl prcorso f> g pù brv mno Prndmo d smpo l modllo rporo nll fgur nll pgn sgun (numro d com prmn n 8). I n qus o cso,bbm o un npu nl com pr m n o ( r ) du ou pu (m ), uno nl comprmno uno nl comprmno 6. Abbmo qund combnzon: h (> ); h (> 6). Pr l soossm (,), l prcorso pù brv è lungo (w ); pr l soossm (,6), l prcorso pù brv è ugulmn ugul (w 5 3). I so oss m chus sono : l prm o conss nll copp 5 ( scm bno con num n r loro m non com uncno con l s rno), l scondo nl comprmno 6 (nch sso non comunc con l srno). Qund n. L pr com un n csc conss nl so onsm d com pr m n [,,3], pr cu l conrollo dll srno vvn rvrso l com prmno (f) l conrollo sull srno vvn rvrso l comprmno 3 (g): qus comprmn fnno pr s dl soossm (,) ch dl soossm (,6). I l prcorso pù brv r è 3 h lunghzz. Qund z 3. A quso puno n

11 Qund l ss m non è dn fcbl s l num ro d prm r ncogn d drmnr è mggor d. I nolr, l ssm non è nè npu nè oupuconncbl (7 non è rgguno d nssun npu, 8 non è collgo nssun oupu).