Appunti di Costruzioni Edili

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1 Giacomo Sacco Appunti di Costruzioni Edili Progetto e verifica a flessione semplice, a taglio e a sforzo normale Acciaio, legno, calcestruzzo armato. - Metodo agli stati limite 1

2 1. ACCIAIO 1.1 Caratteristiche dell Acciaio L acciaio per carpenterie metalliche (ad esempio: profilati IPE HE NP) ha un comportamento elastico lineare, fino al valore della tensione di snervamento e poi ha un comportamento elasto-plastico, cioè le deformazioni impresse non vengono più completamente recuperate al cessare delle tensioni. Ciò avviene sia per quanto riguarda la resistenza a trazione che per la resistenza a compressione. Il modulo di elasticità è lo stesso per tutti i tipi di acciaio e vale: E = N/mm 2 Il valore f yd, è il valore della tensione che porta allo snervamento ed alla rottura l acciaio. I tipi di acciaio più usati, riconosciuti dalla normativa, sono quelli mostrati nella tabella seguente: Resistenza di calcolo dove: La resistenza di calcolo dell acciaio f yd si ottiene nel seguente modo: f yd f f yk è il valore di snervamento del materiale, γ M è il fattore parziale. yk M Resistenza delle Sezioni di Classe γ M0 = 1,05 Resistenza all instabilità delle membrature γ M1 = 1,05 Resistenza all instabilità delle membrature di ponti stradali e ferroviari γ M1 = 1,10 Resistenza, nei riguardi della frattura, delle sezioni tese (indebolite dai fori) γ M2 = 1,25 Nella tabella seguente sono riportate, per i vari tipi di acciaio, le resistenze di calcolo allo stato limite di rottura. Tipo di acciaio Valore di snervamento effettivo f yk (N/mm 2 ) Valore di snervamento di calcolo per flessione e compressione f (N/mm 2 ) yk f f yk yd f yd 1,05 1, 25 Valore di snervamento di calcolo per trazione con elementi indeboliti da fori. (N/mm 2 ) S ,8 188 S ,1 220 S ,1 284 S ,

3 Classificazione delle sezioni Le sezioni trasversali degli elementi strutturali si classificano in funzione della loro capacità rotazionale. Esistono 4 classi, che vanno dalla sezione con massima capacità di rotazione, in grado di sviluppare una cerniera plastica, a quella con minori capacità rotazionali. 1.2 Verifica a trazione Nel caso di sezione soggetta a trazione, le tensioni sono costanti in tutti i punti e raggiungono il valore della resistenza di progetto fyd. Se indichiamo con N Ed lo sforzo normale che deve sopportare la sezione e con N t,rd lo sforzo normale massimo che può sopportare la sezione, ossia la resistenza di progetto, l azione assiale di calcolo N Ed deve rispettare la seguente condizione: N Ed N t,rd dove, la resistenza di calcolo a trazione N t,rd di membrature con sezioni indebolite da fori per collegamenti bullonati o chiodati deve essere assunta pari al minore dei valori seguenti: a) la resistenza plastica della sezione lorda, A, N t,rd A f yd b) la resistenza a rottura della sezione netta, A netta, in corrispondenza dei fori per i collegamenti: N t,rd 0,9 A netta f yd 1.3 Verifica a compressione Anche nel caso di sezione soggetta a compressione, le tensioni sono costanti in tutti i punti e raggiungono il valore della resistenza di progetto fyd. Non considerando, per ora, il fenomeno dell'instabilità, come invece è necessario fare e faremo in seguito, la forza di compressione di calcolo N Ed deve rispettare la seguente condizione: N Ed N c,rd dove la resistenza di calcolo a compressione della sezione N c,rd vale: N c,rd A f yd per le sezioni di classe 1, 2 e 3, N c,rd A eff f yd per le sezioni di classe 4. Non è necessario dedurre l area dei fori per i collegamenti bullonati o chiodati, purché in tutti i fori siano presenti gli elementi di collegamento e non siano presenti fori sovradimensionati o asolati. 3

4 1.4 Verifica a flessione semplice Tale verifica, in pratica consiste nel calcolare il momento che riesce a rompere una sezione composta da un determinato materiale e confrontarlo col momento di esercizio della sezione, indicato con M E, che non è altro che il momento massimo ricavato dal diagramma dei momenti. Il momento che porta a rottura la sezione, viene indicato con M u (momento ultimo). Calcolato tale momento, lo si riduce dividendolo per un coefficiente, indicato con γ R (si legge gamma erre), stabilito dalla normativa. Calcolo del momento ultimo. Per calcolare il momento ultimo, bisogna conoscere la tensione che fa superare al materiale il limite elastico, ossia la tensione di snervamento dell acciaio di calcolo f yd Indicando con W XPL, il modulo di resistenza plastico della sezione, che è uguale al doppio del momento statico di mezza sezione, il momento ultimo si calcolo così: M U f yd W XPL La verifica si esegue in questo modo: Esercizio. ME M u Verificare una sezione IPE 200 in acciaio S235, sottoposta ad un momento flettente di dnm. Svolgimento. Dalla tabella dei profilati IPE si ricava il modulo di resistenza plastico: Wxpl=1.307 cm 3. Si calcola quindi il momento di rottura M U f yd W XPL dncm dnm Poiché risulta : < , la sezione è verificata. Progetto della sezione Se invece della verifica, si vuole eseguire il progetto, ossia si vuole determinare il valore di W XPL, si deve utilizzare la formula inversa, che si ricava in questo modo: si pone ; dalla relazione: si ricava 4

5 Esercizio Si vuole progettare la sezione di acciaio che sopporti il carico della trave in figura. La forza sia dovuta a carico permanente. Le fasi sono le seguenti: Si calcola la forza di esercizio: Si calcolano le reazioni vincolari, che sono: Va = dn e Vb = dn ; si traccia il diagramma dei momenti, da quale si desume che il momento massimo è di dnm; si procede alla scelta del tipo di acciaio, in questo caso S235, la cui tensione ultima è: f yd =235 N/mm 2 = 2350 dn/cm 2 ; sezione mediante la formula: si calcola il modulo di resistenza plastico della si sceglie, utilizzando la tabella, la sezione IPE330 con W XPL = 804,3 cm 3 e peso a metro lineare P = 49,1 dn/ml; si calcola il peso di esercizio Si esegue, quindi, la verifica. Si determina il momento dovuto al peso proprio, nella stessa sezione dove si ha il momento massimo dovuto alla forza; Il momento totale nella sezione, si calcola così: Mtot = = dnm; Tale valore deve risultare più piccolo del momento ultimo della sezione, che adesso calcoliamo: < La sezione è verificata. 5

6 1.5 Verifica a taglio semplice. Intendiamo, per taglio semplice, il caso in cui la sezione è sollecitata solo a taglio, ossia con momento flettente pari a zero. In questo caso, se Indichiamo con V ED il taglio agente nella sezione e con V RD il valore del taglio che provoca la rottura della sezione, la verifica sarà soddisfatta se risulta: VED V RD Per il calcolo del valore di V RD, se indichiamo con A R l area resistente a taglio della sezione, e con yk il valore della tensione tangenziale che provoca la plasticizzazione dell acciaio, si ha: V RD yk A R La tensione tangenziale che provoca la plasticizzazione, si calcola così: f yk fyk A V yk RD 3 3 L area resistente, non coincide con l area totale dell intera sezione A, di seguito è riportato il modo di calcolare tale area per le sezioni IPE ed HE. R A R A 2 b t f t w 2 r t f 6

7 1.6 Verifica a Taglio + Momento. Nel caso di presenza contemporanea di momento e tagli si procede in questo modo: se V ED 0,5V RD si trascura il taglio e si fa la verifica considerando solo il momento; se V ED >0,5V RD si riduce il valore del momento ultimo procedendo in questo modo: 1 si calcola il coefficiente: 2 V V RD ed Si calcola il momento ultimo M RD nel seguente modo: M RD W x,pl 2 A R f 4 tw y,d 3 Si esegue la verifica a momento: M E M R,D 7

8 1.7 Sforzo normale e verifica al carico di punta. Il carico di punta è un fenomeno di instabilità che si verifica quando si è in presenza di aste soggette a sforzo normale di compressione. In queste circostanze, l asta tende a non mantenere più la sua forma rettilinea, ma si inflette come sotto l azione di un momento. Come nelle figure 1 e 2. Per effetto di questa inflessione, nasce una distanza d dalla sezione, in questo caso di incastro e quindi nasce un momento flettente: M N d Il momento fa aumentare l inflessione, quindi la distanza d e quindi di nuovo il momento. In pratica dopo breve tempo si ha la rottura per flessione dell asta. 1 Pilastro incastrato 2 pilastro vincolato con cerniera - carrello Tale fenomeno dipende sostanzialmente, oltre che dal materiale di cui è fatto il pilastro, dalle sue dimensioni e dai vincoli. Le dimensioni incidono nel senso che più il pilastro è lungo e sottile, maggiore è il pericolo di instabilità. L effetto dei vincoli viene tenuto in conto calcolando L 0 detta lunghezza libera d'inflessione che indica la misura del segmento di trave che si incurva liberamente. Essa si calcola: L 0 K L 8

9 Per eseguire la verifica, dobbiamo calcolare la resistenza ultima del pilastro, che viene ridotta per effetto di tale fenomeno di instabilità. La verifica si intende soddisfatta se risulta: Con N E N b,rd Dove il coefficiente χ (chi) dipende dai parametri Φ e : che deve risultare 1, (se per qualsiasi motivo risulta > di 1, si assume il valore 1). Il coefficiente Φ si calcola con: mentre il coefficiente ; Il coefficiente α viene detto fattore di imperfezione ed è riportato nella tabella allegata. Il valore N cr viene detto carico critico, ed è il carico che provoca l instabilità. Esso si calcola con: ; dove: E è il modulo di elasticità dell acciaio (si può assumere il valore di dn/cm 2 = N/mm 2 ) I min è il più piccolo momento di inerzia della sezione, l 0 viene detta luce libera di inflessione e dipende dalla lunghezza del pilastro e dal modo in cui esso è vincolato. pilastro. ; con k che è un coefficiente che dipende, come detto, dai vincoli ed l è la lunghezza del Se oppure N D < 0,04 N CR, si può trascurare l instabilità ed assumere χ=1. Bisogna anche accertarsi che la snellezza i min è il raggio minimo di inerzia (si trova tabellato o si calcola così: ). 9

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11 1.8 Unioni bullonate Caratteristiche di resistenza dei bulloni. Le dimensioni caratteristiche di un bullone sono: d diametro nominale del gambo p passo della filettatura Ares area resistente 11

12 CALCOLO DELLA RESISTENZA A TAGLIO Per il calcolo della resistenza a taglio delle viti e dei chiodi, per il rifollamento delle piastre collegate e per il precarico (unioni ad attrito) dei bulloni, si adottano i fattori parziali γ M indicati in Tab. 4.2.XII. La posizione dei fori per le unioni bullonate o chiodate deve rispettare le limitazioni presentate nella Tab. 4.2.XIII. I fori devono avere diametro uguale a quello del bullone maggiorato al massimo di 1 mm, per bulloni sino a 20 mm di diametro, e di 1,5mm per bulloni di diametro maggiore di 20 mm. Si può derogare da tali limiti quando eventuali assestamenti sotto i carichi di servizio non comportino il superamento dei limiti di deformabilità o di servizio. Quando necessario, è possibile adottare accoppiamenti di precisione in cui il gioco foro-bullone non dovrà superare 0,3 mm per bulloni sino a 20 mm di diametro e 0,5 mm per bulloni di diametro superiore, o altri accorgimenti di riconosciuta validità. 12

13 La verifica allo Stato Limite Ultimo dipendente dal tipo di unione considerata (Unione a Taglio, Unione ad attrito, ecc.) viene effettuata verificando che il valore di calcolo della sollecitazione agente sia inferiore al valore di calcolo della resistenza come definito dalla normativa. Resistenza di calcolo a Taglio dei Bulloni La resistenza di calcolo a taglio dei bulloni Fv,Rd, per ogni piano di taglio che interessa il gambo dell elemento di connessione, può essere assunta pari a: F v,rd = 0,6 f tb A res / γ M2, per bulloni classe 4.6, 5.6 e 8.8 F v,rd = 0,5 f tb A res / γ M2, per bulloni classe 6.8 e 10.9; dove: A res indica l area resistente della vite e si adotta quando il piano di taglio interessa la parte filettata della vite; ftb, indica la resistenza a rottura del materiale impiegato per realizzare il bullone. Resistenza di calcolo a Rifollamento della lamiera La resistenza di calcolo a rifollamento F b,rd del piatto dell unione bullonata, può essere assunta pari a F b,rd = k α f tk d t/ M2 dove: d è il diametro nominale del gambo del bullone, t è lo spessore della piastra collegata, ftk è la resistenza a rottura del materiale della piastra collegata, α=min {e 1 /(3 d 0 ) ; f tb /f t ; 1} per bulloni di bordo nella direzione del carico applicato α=min {p 1 /(3 d 0 ) 0,25 ; f tb /f t ; 1} per bulloni interni nella direzione del carico applicato k=min {2,8 e 2 /d 0 1,7 ; 2,5} per bulloni di bordo nella direzione perpendicolare al carico applicato, k=min {1,4 p 2 / d 0 1,7, 2,5} per bulloni interni nella direzione perpendicolare al carico applicato, d 0 il diametro nominale del foro di alloggiamento del bullone Resistenza di calcolo a Trazione dei Bulloni La resistenza di calcolo a trazione degli elementi di connessione F t,rd può essere assunta pari a: F t, Rd = 0,9 ftb Ares /g M2 13

14 PROFILATI SERIE HE HE Dimensioni principali peso area asse forte y-y caratteristiche statiche asse debole h b a t r G A h1 Ix Wx Wx,pl ix Iy Wy Wy,pl iy Tipo mm mm mm mm mm kg/m cm2 mm cm4 cm3 cm3 cm cm4 cm3 cm3 cm HE 100 A ,7 21,2 80,0 349,2 72,8 83,0 4,06 133,81 26,76 41,14 2,51 HE 100 B ,4 26,0 80,0 449,5 89,9 104,2 4,16 167,27 33,45 51,42 2,53 HE 100 M ,8 53,2 80,0 1142,6 190,4 235,8 4,63 399,15 75,31 116,31 2,74 HE 120 A ,9 25,3 98,0 606,2 106,3 119,5 4,89 230,90 38,48 58,85 3,02 HE 120 B , ,7 34,0 98,0 864,4 144,1 165,2 5,04 317,52 52,92 80,97 3,06 HE 120 M , ,1 66,4 98,0 2017,6 288,2 350,6 5,51 702,77 111,55 171,63 3,25 HE 140 A ,5 8, ,7 31,4 116,0 1033,1 155,4 173,5 5,73 389,32 55,62 84,85 3,52 HE 140 B ,7 43,0 116,0 1509,2 215,6 245,4 5,93 549,67 78,52 119,78 3,58 HE 140 M ,2 80,6 116,0 3291,4 411,4 493,8 6, ,34 156,76 240,51 3,77 HE 160 A ,4 38,8 134,0 1673,0 220,1 245,1 6,57 615,57 76,95 117,63 3,98 HE 160 B ,6 54,3 134,0 2492,0 311,5 354,0 6,78 889,23 111,15 169,96 4,05 HE 160 M ,2 97,1 134,0 5098,3 566,5 674,6 7, ,77 211,90 325,46 4,26 HE 180 A , ,5 45,3 152,0 2510,3 293,6 324,9 7,45 924,60 102,73 156,49 4,52 HE 180 B , ,2 65,3 152,0 3831,1 425,7 481,4 7, ,85 151,43 231,01 4,57 HE 180 M , ,9 113,3 152,0 7483,1 748,3 883,4 8, ,13 277,43 425,19 4,77 HE 200 A , ,3 53,8 170,0 3692,1 388,6 429,5 8, ,51 133,55 203,82 4,98 HE 200 B ,3 78,1 170,0 5696,2 569,6 642,5 8, ,37 200,34 305,81 5,07 HE 200 M ,1 131,3 170, ,9 967,4 1135,1 9, ,21 354,49 543,22 5,27 HE 220 A ,5 64,3 188,0 5409,7 515,2 568,5 9, ,56 177,69 270,59 5,51 HE 220 B , ,5 91,0 188,0 8091,0 735,5 827,0 9, ,26 258,48 393,88 5,59 HE 220 M , ,3 149,4 188, ,8 1217,1 1419,4 9, ,05 443,54 678,55 5,79 14

15 HE Dimensioni principali peso area asse forte y-y caratteristiche statiche asse debole h b a t r G A h1 Ix Wx Wx,pl ix Iy Wy Wy,pl iy Tipo mm mm mm mm mm kg/m cm 2 mm cm 4 cm 3 cm 3 cm cm 4 cm 3 cm 3 cm HE 240 A , ,3 76,8 206,0 7763,2 675,1 744,6 10, ,81 230,73 351,69 6,00 HE 240 B ,2 106,0 206, ,3 938,3 1053,1 10, ,66 326,89 498,42 6,08 HE 240 M ,7 199,6 206, ,5 1799,2 2116,9 11, ,62 657, ,93 6,39 HE 260 A ,5 12, ,2 86,8 225, ,9 836,4 919,8 10, ,56 282,12 430,17 6,50 HE 260 B , ,0 118,4 225, ,4 1147,6 1282,9 11, ,51 394,96 602,25 6,58 HE 260 M , ,4 219,6 225, ,8 2159,1 2523,6 11, ,58 779, ,47 6,90 HE 280 A ,4 97,3 244, ,3 1012,8 1112,2 11, ,64 340,19 518,13 7,00 HE 280 B , ,1 131,4 244, ,3 1376,4 1534,4 12, ,52 471,04 717,57 7,09 HE 280 M , ,5 240,2 244, ,3 2551,4 2965,6 12, ,76 914, ,68 7,40 HE 300 A , ,3 112,5 262, ,5 1259,5 1383,3 12, ,55 420,64 641,17 7,49 HE 300 B ,0 149,1 262, ,6 1677,7 1868,7 12, ,82 570,85 870,14 7,58 HE 300 M ,9 303,1 262, ,0 3482,4 4077,7 13, , , ,18 8,00 HE 320 A , ,6 124,4 279, ,6 1479,3 1628,1 13, ,23 465,68 709,74 7,49 HE 320 B ,5 20, ,7 161,3 279, ,5 1926,5 2149,2 13, ,82 615,92 939,10 7,57 HE 320 M ,0 312,0 279, ,8 3795,8 4435,0 14, , , ,72 7,95 HE 340 A ,5 16, ,8 133,5 297, ,1 1678,4 1850,5 14, ,99 495,73 755,95 7,46 HE 340 B , ,2 170,9 297, ,4 2156,3 2408,1 14, ,93 646,00 985,72 7,53 HE 340 M ,9 315,8 297, ,6 4051,5 4717,6 15, , , ,71 7,90 HE 360 A , ,1 142,8 315, ,8 1890,8 2088,5 15, ,84 525,79 802,28 7,43 HE 360 B ,5 22, ,8 180,6 315, ,4 2399,6 2683,0 15, ,16 676, ,49 7,49 HE 360 M ,3 318,8 315, ,0 4297,1 4989,3 16, , , ,35 7,83 HE 400 A ,8 159,0 352, ,4 2311,2 2561,8 16, ,82 570,92 872,86 7,34 HE 400 B , ,3 197,8 352, ,5 2884,0 3231,7 17, ,03 721, ,04 7,40 HE 400 M ,7 325,8 352, ,1 4820,3 5570,6 17, , , ,13 7,70 HE 450 A , ,8 178,0 398, ,6 2896,4 3215,9 18, ,32 631,02 965,53 7,29 HE 450 B ,1 218,0 398, ,5 3550,6 3982,4 19, ,32 781, ,66 7,33 HE 450 M ,3 335,4 398, ,3 5501,4 6331,0 19, , , ,20 7,59 HE 500 A ,1 197,5 444, ,7 3550,0 3948,9 20, ,05 691, ,51 7,24 HE 500 B , ,3 238,6 444, ,7 4287,0 4814,6 21, ,91 841, ,65 7,27 15

16 PROFILATI IPE h b a e r Peso Area Moduli di resistenza Plastici Momenti di inerzia Moduli di resistenza Raggi di inerzia Area res. A taglio mm mm mm mm mm kg/m WxPl WyPL Jx Jy Wx Wy ix iy Av cm2 cm3 cm3 cm4 cm4 cm3 cm3 cm cm cm ,8 5,2 5 6,0 7,6 23,2 5,8 80,1 8,5 20,0 3,7 3,24 1,05 3, ,1 5,7 7 8,1 10,3 37,4 9,2 171,0 15,9 34,2 5,8 4,07 1,24 5, ,4 6,3 7 10,4 13,2 60,7 13,6 317,8 27,7 53,0 8,7 4,90 1,45 6, ,2 6,9 7 12,9 16,4 88,3 19,3 541,2 44,9 77,3 12,3 5,74 1,65 7, ,0 7,4 9 15,8 20,1 123,9 26,1 869,3 68,3 108,7 16,7 6,58 1,84 9, ,3 8,0 9 18,8 24,0 166,4 34,6 1317,0 100,9 146,3 22,2 7,42 2,05 11, ,6 8, ,4 28,5 220,6 44,6 2211,0 142,4 194,3 28,5 8,26 2,24 14, ,9 9, ,2 33,4 285,4 58,1 3891,6 204,9 252,0 37,3 9,11 2,48 15, ,2 9, ,7 39,1 366,6 73,9 5789,8 283,6 324,3 47,3 9,97 2,69 19, ,6 10, ,1 46,0 484,0 97,0 5789,8 419,9 428,9 62,2 11,23 3,02 22, ,1 10, ,2 53,8 628,0 125,2 8356,1 603,8 557,1 80,5 12,46 3,35 25, ,5 11, ,1 62,6 804,3 753, ,9 788,1 713,1 98,5 13,71 3,55 30, ,0 12, ,1 72,7 1019,0 191, , ,6 122,8 14,95 3,79 35, ,6 13, ,3 84,5 1307,0 229, ,3 1317,8 1156,4 146,4 16,55 3,95 42, ,4 14, ,6 98,8 1702,0 276, ,8 1502,4 1331,5 176,4 18,48 4,12 50, ,2 16, ,7 115,5 2194,0 335, ,0 2141,7 1928,0 214,2 20,43 4,31 59, ,1 17, ,0 134,4 2787,0 400, ,0 2440,1 254,1 22,35 4,45 72, ,0 19, ,0 156,0 3512,0 485, , ,9 24,30 4,66 83,80 16

17 2. IL LEGNO 2.1 IL LEGNO COME MATERIALE DA COSTRUZIONE Caratteristiche e struttura del legno Nel comparto edilizio le opere in legno possono impiegare non solo componenti, prodotti o semilavorati in legno massiccio (o massello), cioè come viene naturalmente prodotto nella sua massa dall albero, ma anche in legno ricostruito (detto pure legno ricomposto o migliorato). Il legno è un materiale solido, naturale, organico e cellulare. Si tratta di un composto costituito da un complesso chimico di cellulosa, emicellulose, lignina ed estrattivi. Il legno è molto anisotropo: le fibre sono orientate in una direzione preferenziale e perciò il materiale reagisce alle sollecitazioni in maniera diversa in ogni direzione. Il legno si ricava da due grandi categorie di piante note sotto il nome di latifoglie (angiosperme) e conifere (gimnosperme, aghifoglie, resinose). L osservazione del legno ad occhio nudo mostra non soltanto differenze tra conifere e latifoglie e tra le diverse specie, ma anche differenze in uno stesso provino, per esempio alburno e durame, legno primaverile e tardivo, la distribuzione dei pori, e l aspetto del legno di reazione. Tutti questi fenomeni sono il risultato dello sviluppo e della crescita del tessuto legnoso. Conifere e latifoglie differiscono tra loro per il tipo di cellule. Caratteristiche meccaniche del legno senza difetti. Le caratteristiche meccaniche del legno variano entro limiti amplissimi, che dipendono dall essenza, dal peso specifico secco, dal grado d umidità, dalla direzione delle fibre rispetto alla sollecitazione e dai difetti del legno stesso ( nodi, cipollature, ecc.). Le prove si effettuano su campioni ricavati da legno sano e In generale la resistenza a trazione risulta più grande di quella a compressione, sempre riferita parallelamente alle fibre; se si fa il rapporto tra il carico di rottura ed il peso specifico, si rileva che il legno lavora quasi meglio dell acciaio. Tuttavia la resistenza a trazione è notevolmente ridotta dalla presenza dei nodi e dalle irregolarità della fibratura. Il legno sottoposto a flessione è soggetto al fenomeno del fluage (termine francese per indicare un lentissimo scorrimento delle fibre del materiale nel tempo, nelle strutture sotto carico, e caratteristico anche di altri materiali, quali il ferro ed il calcestruzzo). Gli effetti del fluage nel legno si verificano con un aumento notevole della freccia di inflessione, che dopo vari mesi risulta più che raddoppiata. Il coefficiente di proporzionalità E (modulo di elasticità) è ricavabile, per il legno dalle prove di trazione o compressione ( si ottengono due valori quasi simili) oppure dalle prove di flessione, misurando con precisione le deformazioni dovute ai carichi. Il valore di E è influenzato dall umidità; in genere varia da legno a legno da un minimo di 7500 ad un massimo di N/mm 2. 17

18 Diagramma tensione deformazione Il diagramma tensione-deformazione, nel legno sottoposto a compressione, ha un andamento rettilineo fino alla rottura. Manca completamente il tratto plastico che è invece presente nell acciaio. Non c è nemmeno tensione di snervamento: la tensione cresce in modo direttamente proporzionale con le deformazioni fino al valore di rottura K. A trazione, invece è presente un breve tratto plastico, tuttavia, poiché nella flessione sono presenti sia trazione che compressione, il comportamento a flessione è condizionato dalla compressione. 2.2 RESISTENZA DI CALCOLO I valori di calcolo per le proprietà del materiale a partire dai valori caratteristici si assegnano quindi in funzione della classe di servizio, ossia delle condizioni ambientali in cui si viene a trovare la struttura, e alla durata del carico. Il valore massimo della tensione di calcolo σ D del legno viene calcolato mediante la relazione: dove: D K mod M K σk è il valore caratteristico (resistenza a rottura) a flessione; M è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale, i cui valori sono riportati nella Tab.1 Kmod è un coefficiente correttivo che tiene conto dell effetto, sui parametri di resistenza, sia della durata del carico sia dell umidità della struttura. I valori di kmod sono forniti nella Tab. 2 18

19 Classe di servizio 1 Classe di servizio 2 È caratterizzata da un umidità del materiale in equilibrio con l ambiente a una temperatura di 20 C e un umidità relativa dell aria circostante che non superi il 65%, se non per poche settimane all anno. È caratterizzata da un umidità del materiale in equilibrio con l ambiente a una temperatura di 20 C e un umidità relativa dell aria circostante che superi l 85% solo per poche settimane all anno. Classe di servizio 3 È caratterizzata da umidità più elevata di quella della classe di servizio 2. Se una combinazione di carico comprende azioni appartenenti a differenti classi di durata del carico si dovrà scegliere un valore di Kmod che corrisponde all azione di minor durata. Tabella 1 Coefficienti parziali M per le proprietà dei materiali Stati limite ultimi γ M legno massiccio 1,50 legno lamellare incollato 1,45 Tabella 2 Valori di Kmod per legno e prodotti strutturali a base di legno Materiale Classe di servizio Classe di durata del carico Permanente Lunga Media Breve Istantanea Legno massiccio Legno lamellare incollato 1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90 Classe di durata del carico Durata del carico Permanente più di 10 anni Lunga durata 6 mesi -10 anni Media durata 1 settimana 6 mesi Breve durata meno di 1 settimana Istantaneo -- 19

20 2.3 VERIFICA A FLESSIONE Si deve avere, affinché la sezione sia verificata, che M E M R,D Tuttavia, per il legno, il momento resistente di progetto (momento ultimo) si raggiunge quando la tensione massima raggiunge il valore della tensione di progetto, σ D, (tensione ultima) a causa della mancanza del tratto plastico, quindi, la verifica precedente, equivale a porre max σ D. Vediamo come fare per calcolare la tensione massima. Il diagramma delle tensioni sulla sezione ha un andamento come in figura. La risultante degli sforzi di compressione C e la risultante degli sforzi di trazione T sono uguali per l equilibrio alla traslazione orizzontale. Il loro valore è dato dal volume del solido formato dalle tensioni, ossia dall area del triangolo per la base b della sezione. Per calcolare il punto di applicazione delle risultanti C e T, ricordiamo che il baricentro di un triangolo rettangolo è posizionato come in figura: Poiché nel nostro caso, l altezza del triangolo delle tensione è uguale a metà dell altezza della sezione, cioè: la distanza del baricentro dall asse neutro sarà: Per l equilibrio alla rotazione, il momento M deve essere uguale al momento della coppia interna. Calcoliamo il momento della coppia interna rispetto al baricentro della risultante degli sforzi di trazione: Indicando con si ha: e quindi: W x viene chiamato modulo di resistenza della sezione, rispetto all asse x. Se si vuole calcolare il momento resistente di progetto, si pone σ max =σ D e M=M R,D : 20

21 Il momento M, può essere anche posto in relazione col momento di inerzia della sezione, nel seguente modo: moltiplicando primo e secondo termine per si ha: Quindi: 2.4 PROGETTO A FLESSIONE Per il progetto a flessione si usa la formula precedente, calcolando dapprima il modulo di resistenza della sezione, ponendo σ max =σ D e M = M max : ; Per ricavare le dimensioni b ed h dal modulo di resistenza W x, si pone b=0,7h che è il rapporto migliore tra base ed altezza per le sezioni in legno, si ha quindi: quindi: Deve essere soddisfatta la seguente condizione: 2.5 VERIFICA A TRAZIONE max σ T D dove:,max è la tensione di calcolo a trazione parallela alla fibratura; Kmod T, σt,d è la corrispondente resistenza di calcolo: T, D 2.6 VERIFICA A TAGLIO Deve essere soddisfatta la condizione: M K max D Kmod D dove: max è la tensione massima tangenziale di calcolo, valutata secondo la teoria di Jourawski; D è la corrispondente resistenza di calcolo a taglio, k è la resistenza caratteristica a taglio (indicata con f v,k nella tabella ) M K 21

22 Per le sezioni rettangolari il diagramma delle tensioni tangenziali è il seguente, col valore massimo in corrispondenza del baricentro della sezione. 2.7 Verifica a compressione parallela alla fibratura Deve essere soddisfatta la seguente condizione: dove: C, D K mod M C, K σ C,K K crit tensione caratteristica di rottura a compressione; coefficiente riduttivo per instabilità di colonna. Per calcolare il coefficiente K crit procediamo nel seguente modo: Calcoliamo la snellezza λ: con nel caso in figura: σ c,k resistenza caratteristica a compressione parallela alla fibratura; Quando λ rel 0,3 si deve porre Kcrit = 1, altrimenti: ; con: β coefficiente di imperfezione, che può assumere i seguenti valori: - per legno massiccio β = 0,2; - per legno lamellare β = 0,1. 22

23 Esempio di progetto a flessione Le tensioni di calcolo del materiale, a flessione, risultano: Problema: progettare la trave in figura. Legno Abete/Nord S1, Classe di servizio 1, carichi variabili di lunga durata. Le tensioni caratteristiche del materiale valgono a flessione; a taglio M dove: il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (legno massiccio) vale: M=1,5 ; il coefficiente correttivo di modello per la Classe di servizio 1 e con carichi variabili di lunga durata, si trova dalla tabella: Valori di k mod Classe di Classe di durata del carico Materiale servizio Permanente Lunga Media Breve Istantanea Legno massiccio Legno lamellare incollato Microlamellare (LVL) D K 1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10 2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10 3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90 mod K e vale: K mo =0,70; D K mod M K 0,70x4,15 2 1,94 N/mm 1,50 19,4 dn/cm 2 Calcolo delle sollecitazioni. Il carico di esercizio sarà: Il taglio dovuto al carico di esercizio risulta pari a. Il momento massimo dovuto al carico di esercizio è dato da: Abbiamo trascurato in prima approssimazione il contributo del peso proprio q perché, in questa fase, non conoscendo le dimensioni della trave, è incognito. 23

24 Progetto a flessione. Il modulo di resistenza di progetto è dato da: Assumendo si ha: Assunte le dimensioni 15x24 il peso proprio risulta: g E = 1,3x16,2 = 21,06 dn/m 22 dn/m Il modulo di resistenza effettivo vale: Verifica a flessione e a taglio Le sollecitazioni prodotte dal peso proprio g valgono: Il momento dovuto al peso proprio, va calcolato nella stessa sezione dove si ha il momento massimo, ossia per a= 2,00 m. ; Il momento totale è dato da: M tot = M F + M g = = dn Il Taglio totale è : V tot = V A + V Ag = = 955 dn; Sezione verificata a flessione Sezione verificata a taglio. Tabella classi di resistenze del legno Pioppo e conifere Latifoglie C14 C16 C18 C22 C24 C27 C30 C35 C40 D30 D35 D40 D50 D60 D70 Proprietà di resistenza N/mm 2 Flessione s k Trazione parallela alle fibre s T,k Compressione parallela alle fibre s c,k Taglio τ k 1,7 1,8 2,0 2,4 2,5 2,8 3,0 3,4 3,8 3,0 3,4 3,8 4,6 5,3 6,0 Rigidezza KN/mm 2 Modulo di elasticità medio E 0,medio parallelo alle fibre Modulo di elasticità parallelo E 0,05 4,7 5,4 6,0 6,7 7,4 8,0 8,0 8,7 9,4 8,0 8,7 9,4 11,8 14,3 16,8 alle fibre Peso specifico medio dn/m 3 γ

25 3 - IL CALCESTRUZZO ARMATO 3.1 CONCETTI FONDAMENTALI Il calcestruzzo ha una bassa resistenza a trazione, mentre possiede una discreta resistenza a compressione. Inserendo delle barre di acciaio nelle zone sottoposte a trazione si realizza un materiale che resiste a flessione: il calcestruzzo armato detto anche cemento armato. L unione dei due materiali, è resa possibile dal fatto che il cemento aderisce perfettamente all acciaio, costringendo quest ultimo a deformarsi allo stesso modo del calcestruzzo, pur avendo, l acciaio, un modulo di elasticità molto maggiore, ossia è più difficilmente deformabile. Questo comporta, come si dimostra nel seguito che per avere le stesse deformazioni, l acciaio sarà sottoposto a maggiori tensioni. Inoltre, poiché i due materiali hanno un coefficiente di dilatazione termica praticamente uguale non nascono tensioni aggiuntive per effetto della temperatura. Il cemento armato è composto da due materiali diversi, non è pertanto, un materiale omogeneo. Per studiarne il comportamento è necessario studiarlo come se fosse un materiale omogeneo. Per fare questo si deve trasformare l acciaio in calcestruzzo equivalente, partendo dal fatto che, per l aderenza tra i due materiali, le deformazioni sono uguali. Vediamo come si fa. Consideriamo un pilastro in calcestruzzo con una barra di ferro posta al centro sia l 0 la lunghezza prima dell applicazione del carico. Dopo l applicazione del carico il pilastro si accorcia di una quantità: l = l 0 l 1, Tale deformazione sarà la stessa sia per il calcestruzzo che per l acciaio presente. Indichiamo con: c la deformazione percentuale nel calcestruzzo; a la deformazione percentuale nell acciaio; c la tensione nel calcestruzzo; a la tensione nella acciaio; E c il modulo di elasticità nel calcestruzzo; E a il modulo di elasticità nell acciaio. Si ha: ; Il rapporto tra i due moduli di elasticità, si indica con n ed è uguale circa a 6, ma si assume pari a 15 per tenere conto delle deformazioni di lunga durata. 3.2 VALORI DI CALCOLO Sono i valori da assumersi nella progettazione o verifica delle opere per coprire la probabilità di errori di esecuzione e di valutazione, nonché le imperfezioni di calcolo. Va osservato che tali valori non coprono errori gravi di calcolo o di concezione strutturale e tanto meno da quelli di esecuzione, che, peraltro, per la loro natura escono da una concezione probabilistica della sicurezza. 25

26 3.2.1 Calcestruzzo Diagramma convenzionale c1 Prova cilindrica Prova cubica cubo 15x15x15 Il valore f ck è la resistenza a rottura del calcestruzzo ottenuta con provini cilindrici, R ck è invece la resistenza ottenuta con provini cubici. Quest ultima è maggiore di quella ottenuta con provini cilindrici, secondo la relazione: In base alla resistenza a rottura, al calcestruzzo viene attribuita una classe di resistenza, formata da due numeri, il primo dei quali esprime la resistenza cilindrica, il secondo quella cubica. Ad esempio un calcestruzzo di classe C20/25; ha i seguenti valori di rottura: e. La resistenza di calcolo del calcestruzzo si ottiene: dove: α cc è il coefficiente riduttivo per le resistenze di lunga durata, pari a 0,85 γ c è il coefficiente parziale di sicurezza relativo al calcestruzzo, assunto pari a 1,5; f ck è la resistenza caratteristica cilindrica a compressione del calcestruzzo a 28 giorni. 26

27 In definitiva, la resistenza di calcolo del calcestruzzo si ottiene, in funzione della resistenza caratteristica cubica: Acciaio per il cemento armato L acciaio per cemento armato è denominato B450C ed è caratterizzato dai seguenti valori tensioni : delle Tensione caratteristica di snervamento f yk 450 N/mm 2 Tensione di rottura f tr 540 N/mm 2 Si assume per l acciaio un diagramma convenzionale bilineare. Si può ipotizzare che la rottura avviene sempre per compressione del calcestruzzo, cioè l acciaio teso non si rompe mai per avere raggiunto l allungamento massimo, che è pari nella realtà, al 7,5% Diagramma convenzionale acciaio ε yd = , e la massima deformazione elastica. La resistenza di calcolo dell acciaio si ottiene: Dove: f yk è la tensione caratteristica di snervamento dell acciaio; γ c è il coefficiente parziale di sicurezza relativo all acciaio che si assume sempre, per tutti i tipi di acciaio pari a 1,15. In pratica il valore di calcolo dell acciaio è pari a: 3.3 Verifica a sforzo normale centrato La rottura avviene per crisi del calcestruzzo ossia con ε c =0,0035, mentre il ferro è certamente in campo plastico, ossia con ε s > 0,000182, quindi, in entrambi i materiali la tensione raggiunge il massimo valore di calcolo. Se indichiamo con: A c area del calcestruzzo; A s area del ferro; Il calcolo dello sforzo normale ultimo si esegue: Per la verifica è necessario che sia: Non si sta tenendo conto, del fenomeno di instabilità a carico di punta che per il cemento armato è un fenomeno raro, a differenza di quello che succede per l'acciaio ed il legno. Ciò è dovuto al fatto che le sezioni in c.a. sono più massicce e quindi le strutture meno snelle. 27

28 Esempio 1 Si verifichi un pilastro di dimensioni 40x40 armato con 4 ϕ 16. I materiali sono: calcestruzzo con R ck = 25 N/mm 2 (250 dn/cm 2 ), acciaio B450C con f yk = 450 N/mm 2 (4500 dn/cm 2 ); N E = dn. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; A c = 40x40 = cm 2 ; A s = 4x2,01= 8,04 cm 2 ; Il pilastro è verificato. 3.4 Progetto a sforzo normale Nel progetto, scelti i materiali, si vogliono dimensionare le aree di calcestruzzo e di acciaio. Le incognite sono quindi A c area del calcestruzzo ed A s area del ferro. Per l equilibrio si ha:. Essendo due le incognite, stabiliamo il rapporto dell area di ferro con l area di calcestruzzo. La nostra equazione diventa: ; mettendo in evidenza A c si ha: Esempio 2 Si progetti un pilastro in cemento armato che deve reggere uno sforzo normale di dn. Si scelgono i materiali. Calcestruzzo con R ck = 25 N/mm 2, acciaio B450C con f yk = 450 N/mm 2 ; Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: Stabiliamo la percentuale di ferro µ = 1% =0,01. ; Stabiliamo un lato del pilastro: B= 25 cm; ; Si adotta una sezione di 25x35. Calcolo dell area di ferro:. Si adottano 4 ϕ 16 = 8,04 cm 2 (Vedi tabella 1). 28

29 3.5 Flessione semplice: calcolo delle tensioni in campo elastico Si intende che sia la tensione nel ferro teso che la tensione nel calcestruzzo compresso, sono inferiori ai valori di snervamento. Assumiamo per il calcestruzzo un diagramma delle tensioni ancora più semplificato, ossia con il primo tratto rettilineo. Le incognite da calcolare sono tre: c, f e x, occorrono quindi tre equazioni. Due sono le equazioni di equilibrio: equilibrio alla rotazione tra tensioni interne e momento esterno, equilibrio alla traslazione orizzontale. La terza equazione è una proporzione tra le tensioni di trazione e di compressione che si basa sulla similitudine dei triangoli delle tensioni. Risolvendo tale sistema si ottengono le incognite cercate: I n è il momento di inerzia della sezione reagente, composta da ferro teso e calcestruzzo compresso. I valori delle tensioni, così calcolati, possono utilizzarsi per la verifica da eseguire col metodo delle tensioni ammissibili oppure per gli stati limiti di esercizio, quando le tensioni massime rimangono in campo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili è applicabile solo in zona sismica di quarta categoria. Consiste nel verificare che le tensioni massime nel calcestruzzo e nel ferro, non superino i seguenti valori delle tensioni, dette, appunto, tensioni ammissibili: calcestruzzo; acciaio; 29

30 La verifica si intende soddisfatta se risulta: 3.6 Flessione semplice: calcolo agli stati limite. La rottura può avvenire in molti modi, a seconda la posizione dell asse neutro che, a sua volta, dipende dalle dimensioni della sezione e dall area di ferro teso e compresso presente nella sezione. Esaminiamo solo tre casi di rottura, possibili: Caso 1: rottura del ferro teso (, calcestruzzo in campo plastico ( ; caso 2: rottura del ferro teso ( e contemporanea rottura del calcestruzzo compresso ( ; caso 3: rottura del calcestruzzo compresso, ferro in campo plastico Determiniamo la posizione dell asse neutro nei tre casi visti in precedenza. Poniamo x=kd e scriviamo la proporzione tra le deformazioni del ferro teso e del calcestruzzo compresso: Caso 1: rottura del ferro teso (, calcestruzzo in campo plastico (. La normativa attuale non fornisce un limite per la rottura convenzionale del ferro teso. La normativa precedente indicava un allungamento massimo del 10. Adottiamo questo valore. Caso 2: rottura del ferro teso ( e contemporanea rottura del calcestruzzo compresso (. Caso 3: rottura del calcestruzzo compresso, ferro in campo plastico. 30

31 Regione 1 K 167 Rottura del ferro teso, calcestruzzo in campo elastico Regione 2 (celeste) 0,167 K 259 Rottura del ferro teso, calcestruzzo in campo plastico Regione 3 (gialla) 0,259 K 6 Rottura del calcestruzzo, ferro in campo plastico Regione 4 (verde) K 6 Rottura del calcestruzzo, ferro in campo elastico Verifica - Metodo semplificato STRESS BLOCK. Tale procedimento consiste nell approssimare il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo con un rettangolo: il cosiddetto stress-bloch. Tale metodo è valido solo se la crisi avviene per rottura del calcestruzzo con acciaio in campo plastico, ossia l asse neutro cade nella regione 3. Scriviamo l equilibrio alla traslazione: ; sostituendo si ha: dividendo per e ricordando che si ha: 31

32 ponendo rapporto tra area del ferro compresso e area del ferro teso, e detta percentuale meccanica di armatura, si ha: Equilibrio alla rotazione, rispetto al baricentro del ferro teso: Per la verifica deve risultare: M M u Si osserva che il valore della risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo, calcolato esattamente sarebbe pari a Mentre la distanza della risultante, dal bordo superiore, sarebbe anziché. Esercizio 3 Verificare la sezione in figura. Dati: M = dnm; A s = 3 14 = 4,47 cm 2 ; A S = 5 14 = 7,70 cm 2 ; R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con f yk = 450 N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; d = 50 3 =47 cm; Facciamo la verifica considerando lo schema semplificato stress - block. il metodo semplificato dello stress-block, va verificata col metodo normale. siamo nella regione 1, perciò non può essere verificata con 32

33 Esercizio 4 Verificare la sezione in figura. Dati: M = dnm; A s = 3 14 = 4,62 cm 2 ; A S = 7 16 = 10,05 cm 2 ; R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; d = 40 3 =37 cm; Facciamo la verifica considerando lo schema semplificato stress - block. plastico; siamo nella regione 2 ossia calcestruzzo in campo. La sezione è verificata. Progetto - ipotesi semplificata stress bloch. Progettiamo la sezione nell ipotesi di rottura contemporanea del calcestruzzo compresso e del ferro teso (k=0,259). Anche il ferro posto nella zona compressa sarà allo stato plastico. Le incognite sono B, h, As, A s. Le incognite sono troppe, poiché disponiamo solo di due equazioni di equilibrio: equilibrio alla traslazione orizzontale ed equilibrio alla rotazione. Dobbiamo fissare due parametri. Conviene fissare B e porre. Scriviamo l equilibrio alla traslazione: sostituendo a, u spostando 33

34 Equilibrio alla rotazione: In fase di progetto poniamo M u = M e Poniamo il copriferro, con c che assume il valore di 0,07 per h>b e c = 0,14 per h B; Poniamo: I coefficienti r e t si possono trovare nella tabella 2 in funzione di. I valori riportati, sono riferiti, in realtà, al calcolo esatto e non al diagramma stress-block, ma i valori sono molto simili. Esercizio 5 Progettare una sezione rettangolare che deve sopportare un momento di dnm. Scegliamo i materiali: R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio B450C con f yk = 450N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; Fissiamo u=0,2; c=0,07; B = 30 cm. H=d+ = 69, = 72,97 cm 75 cm; ; 34

35 Calcolo delle tensioni - metodo esatto. Per il calcestruzzo si usa il diagramma convenzionale c1, costituito da un tratto elastico parabolico e da un tratto plastico rettilineo. Calcolo degli sforzi nei diversi materiali. Risultante degli sforzi nel calcestruzzo: Se il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo, fosse rettangolare, con ovunque il valore f cd, la risultante sarebbe: essendo il diagramma in parte o tutto parabolico, la risultante sarà, ovviamente più piccola. Possiamo ottenerla moltiplicando il valore precedente per un coefficiente minore di uno: ; con La risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo sarà posizionata ad una distanza Si osserva che il coefficiente corrisponde al valore di 0,80 del metodo semplificato stress- block, mentre corrisponde al valore 0,4. Le equazioni rimangono le stesse con l avvertenza di sostituire al posto di 0,80 e al posto di 0,40. Si ottiene: ; Progetto. Anche per il progetto valgono le stesse equazioni, modificate allo stesso modo. Progettiamo considerando la rottura contemporanea del calcestruzzo e del ferro, ossia deformazione nel calcestruzzo compresso pari al 3,5 e nel ferro teso pari al 10. In tal caso si ha: k=0,259, = 0,8093, = 0, Poniamo:

36 I coefficienti r e t si possono trovare tabellati in funzione di. Esercizio 6 Verificare la sezione in figura utilizzando il metodo esatto. Dati: M = dnm; A s = 3 14 = 4,62 cm 2 ; A S = 6 16 = 12,06 cm 2 ; R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; B = 30 cm; H = 35 cm; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; d = 35 3 =32 cm; Facciamo la verifica ipotizzando che la rottura avvenga per crisi del calcestruzzo con l acciaio in fase plastica. Si ha: 0,259 k 0,658 ; = 0,8093, = 0,416. Poiché 0,259 < k < 0,658, la crisi avviene per rottura del calcestruzzo con acciaio teso snervato. Si può quindi procedere: La sezione è verificata. 6 36

37 Esercizio7 Progettare una sezione rettangolare che deve sopportare un momento di dnm, utilizzando le tabelle. Scegliamo i materiali. R ck = 25 N/mm 2 ; Acciaio AQ 450 con fyk = 450N/mm 2 ; = = 3 cm. Calcoliamo le tensioni convenzionali dei materiali: ; Fissiamo u=0,2; c=0,07; B = 30 cm. Dalla tabella 2.1 ricaviamo t =0,0079; r = 0,1901; 37

38 3.7 - Il Taglio nel Cemento Armato Lo sforzo di taglio fa nascere delle tensioni tangenziali nella sezione. In una sezione rettangolare, le tensioni tangenziali variano dal valore zero, che si ha sul bordo compresso della sezione, fino al valore massimo, che si ha in corrispondenza dell asse neutro. Dall asse neutro fino al ferro teso, il valore della tensione tangenziale rimane costante, perché il momento statico non varia poiché il calcestruzzo teso viene ignorato nella resistenza della sezione e quindi non va conteggiato nel calcolo del momento statico. La tensione tangenziale massima si calcola con: Ponendo il rapporto: ; d * che rappresenta il braccio della coppia interna, ossia la distanza tra la risultante degli sforzi di trazione nel ferro e la risultante degli sforzi di compressione, si ha: La tensione tangenziale non agisce solo sulla sezione perpendicolare all asse della trave (quella mostrata nella figura precedente) ma agisce anche nelle sezioni parallele all asse della trave, come mostrato nella figura seguente, dove, con dx si è indicata una piccola lunghezza di trave in cui la tensione tangenziale si può ritenere costante. Se invece consideriamo un tratto di trave, che poniamo, per comodità pari a 100 cm, in questo tratto la tensione tangenziale avrà valore variabile perché, in generale, il taglio varia a secondo la sezione in cui ci troviamo. Tuttavia, noi possiamo considerare la tensione tangenziale costante, prendendola pari al valore massimo che essa assume in tale tratto, andando così a vantaggio di stabilità. La somma di tutte queste tensioni tangenziali, agenti nel tratto lungo 100 cm (1 metro), indicata con S, è data da: Questo sforzo, detto sforzo di scorrimento viene assorbito da un meccanismo a traliccio, composto da bielle compresse di calcestruzzo e bielle tese di ferro di armatura resistente a taglio. Quest ultima composta da sole staffe oppure da staffe e ferri sagomati. Lo sforzo di scorrimento, sostituendo, è pari a: 38

39 Se usiamo contemporaneamente staffe e ferri sagomati, lo sforzo di scorrimento S sarà suddiviso tra i due tipi di armatura. Il progettista decide quanto sforzo di scorrimento verrà assorbito dalle staffe e quanto dai sagomati. Da tenere presente che le normative europee impongono che alle staffe sia assegnato almeno il 50% dello sforzo di scorrimento mentre non c è alcuna indicazione per i sagomati. Se indichiamo con p la percentuale attribuita alle staffe, si ha: ; Dove con S sta abbiamo indicato lo sforzo di scorrimento assegnato alle staffe e con S sag lo sforzo di scorrimento assegnato ai ferri sagomati. Assumendo per d * il valore approssimato di 0,9d si ha: Calcoliamo l area di ferro che devono avere complessivamente le staffe nel tratto di 100 cm. Considerando la biella di calcestruzzo compresso inclinata di 45, il triangolo delle forze è isoscele, quindi si ha T sta = S sta ; l area di ferro necessaria è data da: ; (1) Se indichiamo con n sta il numero delle staffe da mettere nel tratto di un metro, con n b il numero delle braccia delle staffe, di solito pari a 2 e con ω l are del ferro di cui è fatta una staffa, si ha: mettendo le staffe a distanza costante, tale distanza sarà: ; ; e quindi: ; 39

40 Va calcolato anche lo sforzo di compressione nella biella compressa, perché è necessario verificare che il calcestruzzo della biella non vada in crisi a compressione. Per eseguire la verifica della biella di calcestruzzo è necessario calcolare anche lo sforzo derivante dal traliccio formato con i sagomati. Calcolo dell area dei sagomati Lo sforzo di trazione nei sagomati, disposti a 45, è: E quindi l area dei sagomati: Lo sforzo di compressione nella biella di calcestruzzo è:. Si può ora eseguire la verifica a compressione della biella compressa di calcestruzzo. Lo sforzo totale è: Lo sforzo normale ultimo della biella è: calcestruzzo., con resistenza di calcolo del Per la verifica deve aversi: Armatura minima da regolamento. La normativa prevede un armatura minima costituita da sole staffe, tale armatura deve essere scelta tra la maggiore delle tre: Per calcolare lo sforzo di taglio che tale armatura è in grado di sopportare, si parte dalla formula (1): ponendo p=1, ossia assegnando tutto il taglio alle staffe, indicando T con T r si ha: Quindi, dove il taglio T è minore di T r, basta adottare l armatura da regolamento, dove T>T r si deve calcolare l armatura necessaria a sopportare lo sforzo di taglio. 40