Risposte canoniche dei sistemi del 1 e 2 ordine. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada

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1 Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Fodamei di Auomaica Prof. Silvia Srada

2 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Moivazioi Perchè olo iemi del e ordie? Perchè ripoe ad igrei caoici, cioè imp, ca, ram,? Obieivo: racciare maualmee l ucia, coocedo guadago, ipo, poli,zeri della fuzioe di raferimeo

3 Parameri geerali della ripoa allo calio y y max y valore di regime. y y. y.9y Sul racciao di ua geerica ripoa allo calio defiiamo: y S% max y y maima ovraelogazioe perceuale.y max Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie a max a iae di maima ovraelogazioe empo di alia empo di aeameo all 99% periodo ocillazioe

4 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Eempi di iemi fiici del ordie Fd di ipo: u y Circuio RC parallelo R RC R RC 4

5 5 Eempi di iemi fiici del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Serbaoio cilidrico co ucia lamiare A h u y α α α α A A X Y X U A X Fd di ipo:

6 6 Eempi di iemi fiici del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Fd di ipo: c C C X Y U C X u y Codeaore

7 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Eempi di iemi fiici del ordie Fd di ipo: u w e Serbaoio cilidrico di puro accumulo y A A 7

8 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Eempi di iemi fiici del ordie Fd di ipo: Circuio R-C-R erie R C R C RC RC RC RC 8

9 9 Eempi di iemi fiici del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Serbaoi cilidrici co ucia lamiare Fd di ipo: A h u A h A h α h y α h α α α α A A A A

10 Eempi di iemi fiici del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Ocillaore armoico meccaico ω ξω ω Fd di ipo: u M h M h M k k M k M h M k k k h k M k h k M k h M ω ξ ξω ω k k y

11 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie g I cai poibili oo: g g g g g

12 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie, g Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario:, e y U Y U ca u L

13 4 6 8 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie y e, ripoa covergee a Sep Repoe. ripoa divergee Sep Repoe.8.6 Ampliude.4-5. Ampliude - > polo ime ecod -5 < iema a. abile < 8 9 ime ecod polo > iema iabile 3

14 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Coiderimao il cao >, cioè quello per cui il iema è aioicamee abile, che è ache l uico di oro ieree. Sappiamo che il guadago è il rapporo ra il valore di regime dell ucia e dell igreo: y u Quidi, per uo calio i igreo di ampiezza geerica A: u Aca y A 4

15 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie La forma del raiorio è ivece ifluezaa ecluivamee dalla coae di empo La derivaa dell ucia è:.5 y e y.5 pedeza iiziale y.5 Il raiorio è ao più veloce quao più piccola è 5

16 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Aalizziamo ora la ripoa allo calio del iema alla luce dei parameri caraeriici mei i evideza per la geerica ripoa all izio della lezioe: ymax y S% y è ulla Sovraelogazioe maima perceuale max iae di maima ovraelogazioe o è defiio L iae * a cui l ucia aume il valore y* i calcola facilmee come: * * * * * y * y y e e l a empo di alia empo di aeameo all 99% periodo l l l a.99 l l 4. 6 o defiio perché o ocillazioi

17 7 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie, g Sudio della ripoa forzaa all impulo:, e y U Y U imp u L

18 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie.5 Impule Repoe y e, Impule Repoe.3.5 Ampliude Ampliude ime ecod > Ache qui Il raiorio è ao più veloce quao più piccola è o equivaleemee quao più il polo è loao dall origie del piao compleo < ime ecod N.B. La ripoa all impulo è la derivaa della ripoa allo calio circoaza geerale

19 9 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie, g Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario:, e y U Y U ca u L La ripoa allo calio di queo iema coicide co la ripoa all impulo di quello precedee, oia co la derivaa della ua ripoa allo calio. Ifai, queo iema differice dal precedee per la preeza di u derivaore. La ripoa all impulo coiee ea ea u impulo.

20 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario: u ca U Y U, g Sep Repoe 8 y L ram Ampliude ime ecod L uciarampa è l iegrale dell igreo calio e queo è geerale poiché il iema i compora empre da iegraore / dell igreo.

21 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Sudio della ripoa forzaa all impulo: u imp U Y Impule Repoe y L ca Ampliude ime ecod L uciacalio è l iegrale dell igreo impulo poiché, come deo, il iema i compora da iegraore dell igreo.

22 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie, g Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario:, / / / / e y U Y U ca u L

23 Sep Repoe ime ecod Sep Repoe ime ecod Sep Repoe ime ecod y e, << zero a iira del polo o x Siemi del ordie Ampliude << zero a dera del polo x o Ampliude << zero el emipiao dero x o Ampliude < iema iabile!

24 .5.5 Sep Repoe ime ecod Sep Repoe ime ecod Sep Repoe ime ecod y e,. Siemi del ordie.8 o x Ampliude.6.4. x o Ampliude Lo zero el emipiao iiro aicipa la ripoa ripeo al cao eza zero, cioè ea i pora ubio ad u valore divero da zero dello eo ego del valore di regime..5 x o Ampliude Lo zero el emipiao dero riarda la ripoa, cioè ea aume iizialmee u valore di ego oppoo a quello del valore di regime.

25 coiuare da quea lide Siemi del ordie Coviee comporre il iema come egue:, g Ripoa allo calio: 8 Il iema i compora come la omma di u iema di guadago ed u iegraore di guadago Sep Repoe u ca U Y U y ram ca Ampliude > < ree co pedeza : ram Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie ime ecod

26 6 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie g Riuciado ad eamiare l iera caiica, i cai che coidereremo oo:, R g R g R g R g ω ξω ω

27 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie g R Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario: Y Ipoei: iema aioicamee abile, > Calcolo del valore iiziale della ripoa e delle ue prime derivae: y lim Y lim y lim y lim [ Y y ] [ Y y y ] lim lim 7

28 8 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Y Ipoei: iema aioicamee abile, > Calcolo del valore fiale della ripoa: lim lim Y y L epreioe aaliica della ripoa allo calio i oiee co Heaviide:, e e y

29 Siemi del ordie 5 e e Sep Repoe 8 6 Ampliude ime ecod

30 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie La ovraelogazioe maima perceuale è empre ulla. E compleo ivece legare il empo di alia e di aeameo alle coai di empo! Se però >> allora il raiorio è domiao dalla coae di empo più grade raiorio aociao all epoeziale co coae di empo più piccola, eaurice molo più rapidamee mere il, i e e epoeziale aociaa alla co. di empo più piccola e quidi va più rapidamee a zero y e, La ripoa del iema è approimabile a quella di u iema del ordie co coae di empo coae di empo domiae e il polo aociao è il polo domiae a 5

31 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie g Siemi del ordie Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario: Y R Ipoei: iema aioicamee abile > Sep Repoe 8 Airaformado i ha l epreioe aaliica: y e e, L adameo qualiaivo è imile al cao precedee Ampliude a empo di aeameo all 99% a ime ecod 3

32 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie g, Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario: Y R Ipoei: iema aioicamee abile, > Calcolo del valore iiziale della ripoa e della ua derivaa prima: y y lim Y lim lim [ ] Y y lim Calcolo del valore fiale della ripoa: y lim Y lim 3

33 33 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie, R g L epreioe aaliica della ripoa allo calio i oiee co Heaviide:, e e y

34 34 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie L epreioe aaliica della derivaa prima della ripoa allo calio è: > > > < < < > > > > > e l, e e y e e y Coideriamo ora l epreioe della derivaa prima di y e valuiamo le codizioi per l eieza di eveuali pui di azioarieà. : Ipoei > oppure

35 << < zero a iira dei poli < << zero ra i poli o x x x o x Ampliude ime ecod Sep Repoe 8 Ampliude Sep Repoe Si pooo quidi preeare i eguei cai: Sep Repoe < < < zero a dera di erambi i poli x x o Ampliude ovraelogazioe 8 ime ecod Sep Repoe 6 << < zero el emipiao dero x x o ime ecod Ampliude 4 ooelogazioe Nell ulimo cao il iema è a fae o miima ha uo zero el emipiao ime ecod dero. La ripoa allo calio preea ifai u rao di ripoa ivera.

36 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Si raa di u iema co poli complei coiugai Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario: Y ω ξω ω ω ξω ω Ipoei: iema aioicamee abile ξ> ω > Calcolo del valore iiziale della ripoa e delle ue derivae: ω y lim Y lim ξω ω y lim y lim ω ξω ω ω ξω ω ω ω Calcolo del valore fiale della ripoa: y lim Y lim ξω ω 36

37 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Si raa di u iema co poli complei coiugai Sudio della ripoa forzaa allo calio uiario: Y ω ξω ω ω ξω ω Ipoei: iema aioicamee abile ξ> ω > Calcolo del valore iiziale della ripoa e delle ue derivae: ω y lim Y lim ξω ω y lim y lim ω ξω ω ω ξω ω ω ω Calcolo del valore fiale della ripoa: y lim Y lim ξω ω 37

38 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie L epreioe aaliica della ripoa allo calio i oiee co Heaviide: ξω y e i ω ξ α, ξ ξ co α y coω, cioè la ripoa è ua coiuoide di pulazioe ω Per ξ i ha: Sep Repoe Ampliude 5 π ω ime ecod 38

39 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Per ξ la ripoa è ua iuoide iviluppaa da u epoeziale 8 e ξω Sep Repoe Ampliude e ξω ω π ξ ime ecod Soo preei ifiie ovraelogazioi di cui la prima è la maima 39

40 π ξ ξ π ξ ξ max % e e y y y S π ξ ξ y max e 4 Siemi del ordie Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Calcolado la derivaa prima di y e aulladola, i pooo oeere gli iai dei pui di azioarieà e i corripodei valori di ordiaa:,,,... ξ π ξ ξ ω π k k e y y k k Sovraelogazioe maima perceuale La ovraelogazioe maima i avrà per k e il corripodee valore di y è:

41 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Sovraelogazioe maima perceuale S% e ξ ξ π E fuzioe del olo morzameo dei poli e o della pulazioe aurale!

42 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Perao, per avere ua ripoa allo calio co ua ovraelogazioe maima perceuale miore di u dao valore, lo morzameo dei poli complei coiugai dovrà eere maggiore del valore che i legge dalle emiree roa/blu, oia i poli dovrao appareere ad u eore del piao compleo come i figura: 4 Im 3 Re

43 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Il empo di aeameo della ripoa i può ivece imare, per ecceo, dall epreioe dell epoeziale iferiore di iviluppo: e ξω e.99 ξω a ξω empo di aeameo all 99% Il empo di aeameo della ripoa è quidi legao al prodoo ξω, oia alla pare reale dei poli che vale - ξω. Im 4 Perao, per avere ua ripoa allo calio co empo di aeameo miore di u dao valore, i poli complei coiugai dovrao appareere ad u emipiao del piao compleo del ipo i figura: Re 43

44 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi del ordie Per limiare ia la maima ovraelogazioe perceuale che il empo di aeameo, i poli dovrao appareere ad u domiio del ipo rappreeao i figura: 4 Im 3 Re

45 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi di ordie uperiore al Ad e. i coideri la Fd del 3 ordie, aioicamee abile: 3 e 3, la ripoa è approimabile a quella del iema emplificado lo zero e il polo molo imili. approx Aezioe: le due fuzioi di raferimeo devoo avere lo eo guadago! 45

46 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi di ordie uperiore al Poli e zeri più vicii degli alri all ae immagiario deermiao i coribui domiai ella ripoa del iema eempio di iema co polo domiae reale eempio di iema co poli domiai complei coiugai 46

47 Prof. S. Srada Fodamei di Auomaica Ripoe caoiche dei iemi del e ordie Siemi di ordie uperiore al L approimazioe a poli domiai di ua fuzioe di raferimeo è u alra fuzioe di raferimeo che coerva dell origiaria olo i poli domiai, ha il medeimo guadago ed eveualmee coerva ache gli zeri che abbiao diaza dall ae immagiario cofroabile o miore di quella dei poli domiai o che iao a pare reale poiiva 47

48 - - Eempio approx Si coruice l approimazioe a poli domiai di : Pole-Zero Map..... Si oo racurai i poli co pare reale -5 e il polo reale i -, coervado olo i poli co pare reale -.5 e lo eo guadago Imagiary Axi ecod Real Axi ecod

49 Eempio / / 8 / / 9 Si coruicoo 3 divere approimazioi di : Poli Zeri,, 9iema,8pare reale poiiva; 8 ;guadago del iema 9 g ; ipo del iema approimazioe approx approimazioe approx approimazioe 3 approx / 8 / / 8 a. abile; coai di empo dei poli, coai di empo degli zeri Ampliude approx approx approx3 i i, 8 Sep Repoe , 9