COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE (a.s. 2018/2019)

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1 Compiti vacanze estive prof. Mario Quartana Matematica 2LM-GE COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE (a.s. 2018/2019) MATEMATICA PER GLI STUDENTI CON SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO O PROMOSSI CON L AIUTO DEL CONSIGLIO DI CLASSE. PER GLI STUDENTI PROMOSSI SENZA L AIUTO DEL CONSIGLIO Dalla lista precedente svolgere solo i numeri di esercizi pari.

2 11 - Le disequazioni lineari ESERCIZI - Prova A 1 È data una disuguaglianza. Scrivi disuguaglianze fra gli opposti e fra i reciproci dei membri, poi verifica la correttezza delle risposte posizionando i sei numeri su una stessa retta. 8 > 10 2 Sono date due disuguaglianze dello stesso verso. Sommale membro a membro e verifica, riportando i numeri su una retta, che ottieni ancora una disuguaglianza dello stesso verso. 3( + )>+ :2; 3(5 ) >+ :. 3 Determina quali fra i seguenti valori di x sono soluzioni della disequazione 4 7 > 5. 1, 2, 0,. 4 Completa la tabella in modo che, in ciascuna riga, compaiano tre rappresentazioni dello stesso insieme dei valori di. Disuguaglianza Intervallo Rappresentazione sulla retta 2 < x < 0 [0; 1] x 4 ] ; 5[ 5 Indica in base a quale principio le due disequazioni sono equivalenti. > +, 5 6 > Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta. + 3( 5) < 7 [ + 4 2(3 + 2)] 7 Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta. ( 3) < 2( 5) ( 2)( + 2) Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta. (5 1)( 2) + 3( 1) >(2 ) [6+2(2 3) 2(1 2) ] 9 Risolvi la seguente disequazione (3 + 2)(2 3) Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

3 10 Risolvi la seguente disequazione. (3 + 2)( + 5) 0 11 Risolvi la seguente disequazione (1 2) > Risolvi la seguente disequazione. +3 3>0 13 Risolvi le seguenti disequazioni fratte. >0; + > 14 Discuti e risolvi la seguente disequazione letterale fratta. 2 < 15 Discuti e risolvi la seguente disequazione letterale fratta >0, > Risolvi il sistema di disequazioni ( 2) < 4(2 3) > Risolvi il sistema di disequazioni. 5( + 1) ( + 4) ( 1) > Risolvi il sistema di disequazioni. (2 + 1)(5 2) (2 + 3) ( + 6) Risolvi il sistema di disequazioni (2 1 2 ) > (2 1)(2 + 1) Un triangolo ha due angoli acuti che misurano in gradi e +4. Quale valore massimo può avere x? 21 Un rettangolo ha un lato che è dell altro. Quali valori può assumere la misura del lato minore del rettangolo affinché il suo perimetro risulti maggiore di quello di un rombo di lato 9 cm? Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

4 22 Per realizzare una cornice rettangolare, con un lato uguale ai dell altro, il costo della manodopera è di 20, il costo del materiale è di 0,30 al centimetro, mentre il guadagno di vendita è il 25% del valore effettivo. Come devono essere le dimensioni in centimetri dei lati della cornice affinché il prezzo di vendita del manufatto sia inferiore a 70? Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

5 11 - Le disequazioni lineari ESERCIZI - Prova B 1 È data una disuguaglianza. Scrivi disuguaglianze fra gli opposti e fra i reciproci dei membri, poi verifica la correttezza delle risposte posizionando i sei numeri su una stessa retta. 12 > 15 2 Sono date due disuguaglianze dello stesso verso. Sommale membro a membro e verifica, riportando i numeri su una retta, che ottieni ancora una disuguaglianza dello stesso verso. ( + ) > ; ( + ) >+ :2. 3 Determina quali fra i seguenti valori di x sono soluzioni della disequazione 4 7 > 5. 2, 1, 2,. 4 Completa la tabella in modo che, in ciascuna riga, compaiano tre rappresentazioni dello stesso insieme dei valori di R. Disuguaglianza Intervallo Rappresentazione sulla retta x > 0 ] 1; 1[ 3 x 0 [4; + [ 5 Indica in base a quale principio le due disequazioni sono equivalenti., Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta. 3(2 5) 3 > 4 2 [ (6 + 4)] 7 Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta. ( 3)( + 3) + 2 < ( 2) +6(+4) 2 8 Risolvi la disequazione numerica intera, scrivendo le soluzioni sia come diseguaglianze sia come intervalli della retta reale. Infine rappresenta tali soluzioni su una retta. (2 + 1)( + 2) + 2(1 ) <(3+) [7+3(2 5) (2 2) ] 9 Risolvi la seguente disequazione ( 2)( +2) Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

6 10 Risolvi la seguente disequazione. ( 2 + 5)(4 + 1) 0 11 Risolvi la seguente disequazione (1 ) > Risolvi la seguente disequazione <0 13 Risolvi le seguenti disequazioni fratte. <0; + > 14 Discuti e risolvi le seguenti disequazioni letterali fratte. 2 < 3 15 Discuti e risolvi la seguente disequazione letterale fratta >0, > Risolvi il sistema di disequazioni. 1 2(2 1) < 3(2 ) > Risolvi il sistema di disequazioni > (3 + 1)(3 1) 4 ( 1)( +1) < (2 1) 18 Risolvi il sistema di disequazioni. 2[(1,5 )( + 1,5) 3( + 2)] 3 2 (2 1) ( 12) > Risolvi il sistema di disequazioni ( 1 2 ) > ( 1)( + 1) Un triangolo ha due angoli acuti che misurano in gradi 3 1 e +7. Quale valore massimo può avere x? 21 Un rettangolo ha un lato che è dell altro. Quali valori può assumere la misura del lato minore del rettangolo affinché il suo perimetro risulti maggiore di quello di un rombo di lato 18 cm? Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

7 22 Per confezionare il bordo di una tovaglia rettangolare con un lato pari a dell altro, il costo della manodopera è di 25, il costo del materiale è di 0,01 al centimetro, mentre il guadagno di vendita è il 25% del valore effettivo. Come devono essere le dimensioni in centimetri dei lati della tovaglia affinché il costo dell opera sia inferiore a 39,25? Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

8 11 - Le disequazioni lineari TEST 1 È data la disequazione 2 1 > 8. Fra i seguenti valori, uno solo non la soddisfa. Quale? A 5. B. C 10. D E.. 2 È data la disequazione Fra i seguenti valori uno solo è una sua soluzione. Quale? A. B. C 0. D 3. E 3. 3 È data la disequazione > 1. Moltiplicando i due membri per 1, si ottiene: A 2 3 < 1. B 2 3 < 1. C 2 3 > 1. D < 1. E 2 3 > 1. 4 Data la disequazione 2 >, una soltanto fra le seguenti è a essa equivalente. Quale? A 2 < 3 B 2 < 3 C < 3, purché sia < 0 D E >3,purché sia 0 < 5 La disequazione 1 >0 1 3 è soddisfatta per: A. B >0. C 0. D <0. E nessun valore di x. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

9 6 Delle due disequazioni 1<0 e +1>0 si può dire che: A sono equivalenti. B il valore 1 soddisfa entrambe le disequazioni. C sono entrambe verificate per < 1 >1. D il valore 0 è soluzione di entrambe le disequazioni. E il valore 1 soddisfa entrambe le equazioni. 7 Delle due disequazioni >1 e >1 si può dire che: A sono equivalenti. B il valore 0 soddisfa entrambe. C il valore 0 soddisfa solo la seconda. D una ha per soluzione >1, l altra 0<<1. E la seconda non ha soluzioni. 8 Il seguente intervallo non rappresenta l insieme delle soluzioni di una sola delle seguenti disequazioni. Quale? A 2 1 < 0 B 1 2>0 C D E <1 <6 <0 9 Il seguente intervallo rappresenta l insieme delle soluzioni di una sola delle seguenti disequazioni. Quale? A B C D E 0 >0 >0 0 >0 Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

10 10 Il seguente grafico rappresenta le soluzioni di tre disequazioni. L intervallo delle soluzioni del sistema formato dalle tre disequazioni è uno dei seguenti. Quale? A 5; 1 B 1; 2 C 2; D E ;7 5; 11 Il seguente grafico rappresenta le soluzioni di tre disequazioni. Il sistema formato dalle tre disequazioni è: A soddisfatto per < 1. B impossibile. C soddisfatto per >2. D soddisfatto per 2< 5. E soddisfatto per Due disequazioni hanno per soluzione: <1 2 3 e 1< 2 3. La soluzione del sistema costituito da tali disequazioni è: A 1<<1. B 1<<2. C 2<< >3. D 1<<2 <3. E 1<<1 3 =2. 13 Tre disequazioni hanno per soluzione, rispettivamente, 1<<4, 1 e <2 >3. L insieme che rappresenta le soluzioni del sistema di tali disequazioni è uno dei seguenti: individualo. A 1; 4 B 1; 1 3; 4 C 2; 3 D 1; 2 3; 4 E l insieme è nullo poiché il sistema non ammette soluzioni. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

11 14 Quale dei seguenti sistemi è impossibile? A 2 3 > 5 2 3< < 3 B 2 7<2 C 2 1 > 3 +1<7 D 2 4 > 0 6<2 E 3>6 1 2<3 15 Ciascuna delle terne elencate di seguito dà le soluzioni delle tre disequazioni che costituiscono un certo sistema. Quale terna corrisponde a un sistema impossibile? < 1 A > < 1 B > 1 0<<2 < 0 C > < 1 D > 2 3<<2 0 < < 3 E 1 < < Il prezzo di un abbonamento mensile ferroviario è di 125,00. Sapendo che il prezzo di un singolo biglietto sulla stessa tratta è di 9,50, trova il numero minimo di viaggi per cui l abbonamento risulta conveniente. A B 14 C 13 D 13,15 E Si vuole recintare un appezzamento circolare di terreno del perimetro di 1420 m utilizzando almeno 50 paletti posti a distanza d uguale l uno dall altro. Quali valori può assumere d? A 28 m B 29 m C 28,4 m D 14,2 m E 28,4 m Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

12 SPIEGA PERCHÉ 1 La disequazione > 11 è equivalente alla disequazione > 10? Spiega perché. 2 La disequazione > 3 è sempre verificata? Spiega perché. 3 Se un sistema di disequazioni ha una delle disequazioni indeterminata, il sistema è indeterminato? Spiega perché. 4 Se un sistema di disequazioni ha una delle disequazioni impossibile, il sistema è impossibile? Spiega perché. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

13 13 I sistemi lineari ESERCIZI Prova A 1 Verifica se la coppia scritta di fianco a ciascun sistema è soluzione del sistema oppure no. + =4 16 += +2 (5; 9); + = 2 + = (+; ). + 2 Riduci a forma normale il seguente sistema = = Riduci a forma normale il seguente sistema. ( 1) + = +(+1) = Risolvi il sistema usando il metodo di sostituzione = = Risolvi il sistema usando il metodo di sostituzione = = Stabilisci se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile senza risolverlo. Interpreta graficamente il risultato. 6 2 = = 2 7 Determina per quali valori di k il seguente sistema è determinato, senza risolverlo. ( 2) + 3 = = 1 8 Risolvi il sistema usando il metodo del confronto, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato. 5(12 7) 3(2 + ) ( + 1) +2=6 6(+2) =8+9(+) 9 Risolvi il sistema usando il metodo di riduzione, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

14 ( 1) + 5( 1) (3 )=(+1)( 4) = 0 10 Risolvi il sistema usando il metodo di riduzione, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato. 1 = ( + 1) +1 = Calcola i seguenti determinanti ; Risolvi il sistema usando il metodo di Cramer = = 2 13 Risolvi il sistema usando il metodo di Cramer. ++1 = 1 ( + 1) = 4 14 Risolvi il seguente sistema con due metodi diversi. 3 3 = = Risolvi il sistema lineare, utilizzando il metodo che ritieni più opportuno. +1 = (4+1) = Risolvi il sistema numerico fratto. 17 Risolvi il seguente sistema = 3 1 = = = 1 18 Risolvi il sistema nelle incognite x, y e z. Quando necessario, discuti al variare del parametro in R. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

15 2 + 3 = = = 0 19 Trova p e q in modo che il sistema abbia soluzione ( 2; 2). ( 1) + = 6 ( + 2) 4 = Discuti, senza risolverlo, il seguente sistema letterale nelle incognite x e y al variare del parametro in R. (h+1)+2 3 h = 5 3h + (2h + 2) = 3 21 Discuti e risolvi il sistema letterale intero nelle incognite x e y al variare del parametro in R. 2 + ( 1) = 2 = 1 22 Discuti e risolvi il sistema letterale intero nelle incognite x e y al variare del parametro in R. ( +1)=+ 1 1=( +1) 23 Abbiamo una frazione ridotta ai minimi termini. La somma tra numeratore e denominatore è 120. Togliendo 21 sia al numeratore sia al denominatore si ottiene una frazione equivalente a 2. Qual è la frazione di partenza? 24 Calcola l area di un rombo sapendo che la somma di della diagonale maggiore con è di 14 cm e che la differenza fra il doppio della minore e la maggiore è di 12 cm. della minore 25 Dal fruttivendolo ho acquistato, per un totale di 6,45, tre diversi tipi di arance dal costo al kilogrammo rispettivamente di 1,30, 2 e 2,10. La quantità acquistata del secondo tipo è i della quantità acquistata del terzo tipo, mentre la somma delle quantità del secondo e del terzo tipo è i della quantità del primo tipo. Determina quanti kilogrammi di arance ho acquistato di ciascun tipo. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

16 13 I sistemi lineari ESERCIZI Prova B 1 Verifica se la coppia scritta di fianco a ciascun sistema è soluzione del sistema oppure no. =1 + = ( 1; 2); + = 2 ( 1) = (1 ) ( ; ). 2 Riduci a forma normale il seguente sistema = = Riduci a forma normale il seguente sistema = ( + 2) +( 2) =( 3)+2 4 Risolvi il sistema usando il metodo di sostituzione. 1 2 ( + ) = = Risolvi il sistema usando il metodo di sostituzione = = Stabilisci se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile senza risolverlo. Interpreta graficamente il risultato = = 2 7 Determina per quali valori di k il seguente sistema è determinato, senza risolverlo. ( + 3) 2 = 14 7 = 3 8 Risolvi il sistema usando il metodo del confronto, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato. 5(6 7) 3( ) ( + 2) +4=3 12( ) =16+9( 2) 9 Risolvi il sistema usando il metodo di riduzione, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

17 3 (+6)+6=2( ) 6( 1) ( 2)(+2) = 0 10 Risolvi il sistema usando il metodo di riduzione, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato. ( + 1) = (2) = Calcola i seguenti determinanti ; Risolvi il sistema usando il metodo di Cramer. 2 10= = Risolvi il sistema usando il metodo di Cramer. 14 Risolvi il sistema utilizzando almeno due metodi. 3( 1) 2 +3= 2 (3 + ) = = = Risolvi il sistema lineare, utilizzando il metodo che ritieni più opportuno. +1 = = Risolvi il sistema numerico fratto = 2(2 + 1) 4 1 = Risolvi il sistema = (1 3) +4(+1)=18 18 Risolvi il sistema nelle incognite x, y e z. Quando necessario, discuti al variare del parametro in R. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

18 2 2 = = 0 3 2=13 19 Trova a e b in modo che il sistema abbia soluzione ( 2; 5). 2 ( ) = 1 (2 ) + 2 = Discuti, senza risolverlo, il seguente sistema letterale nelle incognite x e y al variare del parametro in R. 4 + (2 + 3) = 6 (2 3) + ( + 5) = Discuti e risolvi il sistema letterale intero nelle incognite x e y al variare del parametro in R. ( 1) + 2 = 2 + = 1 22 Discuti e risolvi il sistema letterale intero nelle incognite x e y al variare del parametro in R. ( 2) = 1 ( 1) = + ( + 1) 23 Alla fine del 2014 la statura di un bambino ha superato di 5 cm la statura che il bambino aveva alla fine del La statura che il bambino aveva alla fine del 2010 era di 20 cm inferiore a quella che aveva alla fine del La media fra le tre stature è 1,07 m. Qual è la statura del bambino alla fine del 2014? 24 In un trapezio l area è 540 cm 2 e l altezza 15 cm. La somma di della base maggiore con i della base minore è 32 cm. Quali sono le lunghezze delle due basi? 25 Ci sono tre caraffe, due piene e una vuota. Per riempire quest ultima si deve versare il contenuto della prima più di quello della seconda, oppure il contenuto della seconda più di quello della prima. Calcola la capacità delle 3 caraffe, sapendo che tutte e tre insieme contengono 3700 cm. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

19 1 L equazione = 0 ha: A come unica soluzione la coppia (1; 1). B infinite soluzioni fra cui anche (1; 1). C solo soluzioni del tipo (a; a), R. D infinite soluzioni fra cui (1; 1), (4; 3) e (5; 4). E infinite soluzioni, quindi anche (2; 2). 13 I sistemi lineari TEST 2 La coppia 1; 2 è soluzione di uno solo dei seguenti sistemi. Quale? 3 2 = 7 A 2 = 1 B = 3 += = 0 C = 1 D 2= = = 0 E 3 4 = 11 3 Il sistema +=5 = 1 A 2 B 1 C 0 D 3 E 4 è di grado: 4 Fra i seguenti sistemi di due equazioni nelle incognite x e y: + = 1. = 2 2 = = 3. 3 = 2 =1 3 + = 4. +2= due soli sono lineari. Quali? A 1 e 2 B 2 e 3 C 2 e 4 D 3 e 4 E 1 e 4 5 È dato il sistema 3 = 0 3 = 1 Che cosa possiamo dire su di esso? Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

20 A È impossibile. B È indeterminato. C È determinato. D Ammette come soluzioni i punti (0; 0) e (0; 2). E Non abbiamo elementi per rispondere. 6 Dei tre seguenti sistemi: 2 3 = = = 1 2. = 1 2 = = 6 possiamo dire che: A 1 e 2 sono determinati. B 1 e 3 sono indeterminati. C 2 e 3 sono impossibili. D è determinato solo il primo. E è determinato solo il secondo. 2 = 1 7 Applicando il metodo di sostituzione al sistema +3=2 = 1 2 A =2 = 2 1 B =2 = 2 1 C =2 = D =2 = 1 2 E +3 2=2 3 = 2 8 Il determinante D del sistema 6 2 = 1 è: = 3 1 = Possiamo affermare che: A la soluzione del sistema è (0; 0). B =0 ma 0. C =0 ma 0. D il sistema è indeterminato. E il sistema può essere indeterminato o impossibile. 9 La coppia (3; 0) è soluzione di uno dei seguenti sistemi. Quale? A =3 2=0 + = 3 B 3 2 = 9 2 = 1 C +2=0 si ottiene: Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

21 2 = 0 D = = 6 E 6 2 = Qual è il grado del seguente sistema? +2 =3 =3 A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 11 Quale dei seguenti sistemi è impossibile? = 1 A = = 3 B 3 5 = = 1 C = 0 5 = 2 D 2 10 = 4 E 5=1 +=0 12 Quanto vale il determinante del seguente sistema? 2 3 = 1 +4=0 A 1 B 4 C 5 D 11 E Il determinante di un sistema indeterminato: A può essere positivo, negativo o nullo. B può essere positivo o negativo, ma non nullo. C è necessariamente nullo. D è necessariamente positivo. E è necessariamente negativo. 2 = 5 14 Applicando il metodo di riduzione al sistema 3 + = 5 A = = = 2 5 B 2 5 = si ottiene: Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

22 C = 3 +=5 = 2 5 D = 5 5 = 10 E 3 + = 5 15 Soltanto uno dei seguenti sistemi traduce il problema: «È dato un numero a due cifre. La differenza tra la cifra delle decine e quella delle unità è uguale a 1, mentre se si somma il numero a quello che si ottiene scambiando le cifre, si ricava 99». Quale? 10 = 1 A + = 99 B = 1 +=99 = 1 C = = 1 D = = 1 E + = 99 SPIEGA PERCHÉ 1 Un equazione lineare intera è verificata da qualsiasi coppia di numeri reali? Spiega perché. 2 Quale condizione dobbiamo imporre al determinante di un sistema affinché il sistema sia impossibile? Spiega perché. 3 Risolvi il sistema = = 11 3 È corretto affermare che la soluzione è 2; 3? Spiega perché. + +3=2 4 Senza risolverlo, spiega perché il sistema +2=+ è impossibile per =, 0. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

23 14 I radicali ESERCIZI Prova A 1 Utilizzando il teorema di Pitagora costruisci i segmenti con le seguenti lunghezze (in centimetri). 7; 10; Ordina i seguenti radicali in senso crescente e rappresentali sulla retta orientata. 5 ; 11; 2; ; 2. 3 Determina le condizioni di esistenza della seguente espressione: () ; 4 Semplifica la seguente espressione dopo aver posto le condizioni di esistenza Semplifica la seguente espressione dopo aver posto le condizioni di esistenza Stabilisci quali delle seguenti radici esistono in R. 7 Calcola le seguenti radici, se esistono in R. 81; ( 2) ; 1 ; 20. ; ( 8) ; ( 3) ; [ ( )]. 8 Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in R. 3 ; 1 ; Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in R. ; ; ( 2) Completa, determinando il radicale equivalente. Scrivi le condizioni di esistenza. (,, N, 1, 2). 5 =... ; = Riduci allo stesso indice i seguenti radicali. ; ( ) 7; ; 2 ;. =... ; =.... Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

24 12 Semplifica i seguenti radicali, dopo aver determinato le condizioni di esistenza. 243; ; ; 2 ( ). ( N, > 1). 13 Semplifica i seguenti radicali, dopo aver determinato le condizioni di esistenza. ; ; () ( ) ; [ () ] () 14 Disponi in ordine crescente i seguenti radicali dopo averli ridotti allo stesso indice. 6,,,. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

25 14 I radicali ESERCIZI Prova B 1 Utilizzando il teorema di Pitagora costruisci i segmenti con le seguenti lunghezze (in centimetri). 8; 11; Ordina i seguenti radicali in senso crescente: ; ; ; Determina le condizioni di esistenza della seguente espressione Semplifica la seguente espressione dopo aver posto le condizioni di esistenza (2 + 6) ( 4) 5 Semplifica la seguente espressione dopo aver posto le condizioni di esistenza Stabilisci quali delle seguenti radici esistono in R. 64; ( 3) ; 2; 1 ( 2). 7 Calcola le seguenti radici, se esistono in R. ; ( 3) ; ( 4) ; [ ( )]. 8 Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in R. 2 ; 3 ; Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali in R. 1; ;. 10 Completa, determinando il radicale equivalente. Scrivi le condizioni di esistenza. (,, N, 1, 2). 13 =... ; 11 Riduci allo stesso indice i seguenti radicali. =... ; () 5; 2; (2 + ) ;. =... ; =.... () Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

26 12 Semplifica i seguenti radicali, dopo aver determinato le condizioni di esistenza. 1024; ; ; 4 ( ). ( N, > 1). 13 Semplifica i seguenti radicali, dopo aver determinato le condizioni di esistenza. ; ; ( ) ; () ( ). 14 Disponi in ordine crescente i seguenti radicali dopo averli ridotti allo stesso indice. 8,,,. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

27 14 I radicali TEST 1 È dato un numero x negativo e diverso da zero. È possibile trovare un numero reale b tale che =? A Sì, ma solo se b è positivo. B Sì, ma b deve essere negativo. C Sì. D No, in nessun caso. E Non ci sono elementi sufficienti per rispondere. 2 Indica quale delle seguenti uguaglianze è vera per qualunque valore reale di x. A = B ( ) = C = D = E = 3 Indica quale delle seguenti uguaglianze è vera per un numero reale positivo a. A ( ) = B ( ) = C ( ) = D ( ) = E ( ) = 4 Si ottiene 6 semplificando quale dei seguenti numeri? A B C D E Indica in quale delle seguenti uguaglianze è stata applicata correttamente la proprietà invariantiva. A 5 = 5 B 5 = 5 C 5 = 5 D 5 = 5 E 5 = 5 6 Per quale valore reale di x esiste il radicale 1? A Per ogni x. B Per ogni x positivo. C Per x maggiore o uguale a 1. D Per x negativo. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

28 E Per x diverso da 1. 7 L equazione di primo grado 3 3=0 ha come soluzione il numero: A 3. B 3. C D E SPIEGA PERCHÉ 1 Quando sono simili due radicali? Dopo aver trasportato fuori dal segno di radice i fattori possibili, stabilisci se i radicali 24 e 3 sono simili. 2 Spiega perché l uguaglianza = è equivalente ad = ma non è equivalente a =. 3 Spiega perché la scrittura non ha significato per <. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

29 15 Le operazioni con i radicali ESERCIZI Prova A 1 Esegui in R la seguente moltiplicazione fra radicali e semplifica il risultato. (Supponi che siano verificate le C.E.) Esegui in R la seguente divisione fra radicali e semplifica il risultato. (Supponi che siano verificate le C.E.) + + ) : ( ( 1) ( 1) 3 Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. 250; ( ) 4 Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. (+>0,>0); () ( > 0, > 0). ; Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. a. () ( > 5); b. (32 2)+. 6 Trova le condizioni di esistenza dei radicali in R e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni, trasporta fuori dal segno di radice i fattori possibili mettendo il valore assoluto dove necessario Trova le condizioni di esistenza dei radicali in R e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni, trasporta fuori dal segno di radice i fattori possibili mettendo il valore assoluto dove necessario. ( + 1) ( 3) 6+9 ( + 1) 8 Semplifica la seguente espressione, dopo aver posto le condizioni di esistenza. (2 1) : Semplifica l espressione. (Supponi che siano verificate le C.E.) Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

30 +4+4 (2 1) (4 4+1) 2 (2 1) : 4 10 Semplifica l espressione. (Supponi che siano verificate le C.E.) ( 1) + : 1 ( 1) ( + 1) 11 Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi. 3 ; ( 2) ;. 12 Trasporta dentro al segno di radice, discutendo al variare di x in R. a. b. 13 Esegui le seguenti radici di radicali. 7 ; 5;. 14 Poni nella forma di un unico radicale. 9 3; 2 2 2; 15 Calcola la seguente somma algebrica di radicali (supponi positivi i radicandi letterali) Calcola la seguente somma algebrica di radicali (supponi positivi i radicandi letterali). ( + 2) Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l espressione. (2 ) ( + ) ( + ) + (2 ) 18 Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l espressione. ( 2) ( + 2) ( + 2) Scomponi in fattori le seguenti somme algebriche. (Supponi che siano verificate le C.E.) ; Dopo aver opportunamente scomposto in fattori, semplifica la seguente frazione. ( + 1) 2(+2) ( 3 1) 3 21 Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

31 ; ; ;. 22 Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni. ;. 23 Risolvi l equazione = Risolvi il sistema lineare con coefficienti irrazionali. +2= = Risolvi la disequazione > Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale. (81 ) ; 27 Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali (a > 0, b > 0, x > 0, y > 0, z > 0).. ;. 28 Semplifica l espressione, in cui compaiono esponenti razionali, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze. ( ) ( ) ( ) ( ) 29 Semplifica l espressione, in cui compaiono esponenti razionali, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze. ( ) ( ) ( ) :( ) Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

32 15 Le operazioni con i radicali ESERCIZI Prova B 1 Esegui in R la seguente moltiplicazione fra radicali e semplifica il risultato. (Supponi che siano verificate le C.E.) +2+1 ( + 1) 2+ 2 Esegui in R la seguente divisione fra radicali e semplifica il risultato. (Supponi che siano verificate le C.E.) ( + 1) ( + 1) : 3 Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. 162; ( ) 4 Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. ; ( > 0); () ( >0,>0). 5 Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. a. () ( > 4); b. ( )(8 18). 6 Trova le condizioni di esistenza dei radicali in R e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni, trasporta fuori dal segno di radice i fattori possibili mettendo il valore assoluto dove necessario Trova le condizioni di esistenza dei radicali in R e, dopo aver eseguito le moltiplicazioni, trasporta fuori dal segno di radice i fattori possibili mettendo il valore assoluto dove necessario ( + 1) Semplifica la seguente espressione. () : : 4 +8, con x > 2 x 0. 9 Semplifica l espressione. (Supponi che siano verificate le C.E.) (4 1) ( 1) +2+1 (2 + 1) : (2 1) +1 1 Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

33 10 Semplifica l espressione. (Supponi che siano verificate le C.E.) : +2 ( + 1) ( + 2) +1 ( + 2) 11 Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi. 4 ; ( + 2) ; 12 Trasporta dentro al segno di radice, discutendo al variare di x in R. a. (2 ) ;. b.. 13 Esegui le seguenti radici di radicali. 6 ; 7;. 14 Poni nella forma di un unico radicale. 5 5; ; 15 Calcola la seguente somma algebrica di radicali (supponi positivi i radicandi letterali) Calcola la seguente somma algebrica di radicali (supponi positivi i radicandi letterali). (2 + 3) Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l espressione. ( 2 ) ( + )+( ) (2 ) 18 Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l espressione. ( 3 + ) ( 3 ) ( 3) Scomponi in fattori le seguenti somme algebriche. (Supponi che siano verificate le C.E.) ; Dopo aver opportunamente scomposto in fattori, semplifica la seguente frazione (2 + 3) 3(4+5) 21 Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni. ; ; ;. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

34 22 Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni. ;. 23 Risolvi l equazione = Risolvi il sistema lineare con coefficienti irrazionali. +3= =+2 25 Risolvi la disequazione < 3 26 Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale. (16 ) ;. 27 Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali (a > 0, b > 0, x > 0, y > 0, z > 0). ; 28 Semplifica l espressione, in cui compaiono esponenti razionali, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze. ( ) ( ) ( ) ( ) 29 Semplifica l espressione, in cui compaiono esponenti razionali, utilizzando, quando è possibile, le proprietà delle potenze. ( ) ( ) () Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

35 15 Le operazioni con i radicali TEST 1 Indica quale delle seguenti uguaglianze è vera per a e b numeri reali positivi o nulli. A 6 =2 6 B 6 = 6 C 6 =2 D 6 = 2 E 6 = 6 2 La somma + è uguale al radicale: A 2. B. C 2. D 2. E. 3 Considera le seguenti uguaglianze: 9 4= 9 4; 9+4= 9 + 4; 9 4 = 9 4. Qual è vera? A Solo la prima. B La prima e la seconda. C La prima e la terza. D La seconda e la terza. E Nessuna delle tre. 4 Per quali valori di a e b è vera l uguaglianza =? A Per ogni valore di a e b. B Per > 0, > 0. C Per > 0, 0. D Per 0, > 0. E Per >0 e a qualunque. 5 Indica quale delle seguenti uguaglianze è vera. A 25 =5 B 25 =5 C 25 = 5 D 25 = 5 E 25 =5 Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

36 6 Che cosa si ottiene sottraendo al triplo di 5 il doppio di 25 A 0. B 3 5. C 5 5. D 5. E Non si può effettuare la sottrazione.? 7 ( 1), con x > 1, equivale a: A +1. B 1. C 1. D x 1. E x Il prodotto A B C D E..... è uguale al radicale: 9 Indica quale delle seguenti uguaglianze è errata supponendo x e y positivi. A B C D E : = ( ) = = = = 10 La radice terza di 3 è uguale a: A 3. B 27. C 27. D 27. E Elevando alla quarta potenza il radicale A B C D E..... si ottiene: Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

37 12 Con quale delle seguenti potenze può essere espresso il radicale? A B C D E 13 La somma + dà come risultato: A 3. B 3 3. C D E Il radicale 8 ( > 0) può essere scritto in diversi modi. Quale dei seguenti è errato? A 2 2 B 8 C 2 2 D 8 E 2 2 SPIEGA PERCHÉ 1 Spiega perché ( 4)( 2)=(2 ) +2 solo se 2 x 2. 2 L espressione è il cubo di un binomio. Quale? Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

38 1 Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. 16 Il piano cartesiano e la retta ESERCIZI Prova A 2 Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti. (2; 5), ( 2; 4), ( 1; 1), (3; 2), ( 1; 4), (0; 2). 3 Dato il punto +3;, determina per quali valori del parametro a esso: a. appartiene al secondo quadrante; b. appartiene all asse x; c. ha ordinata tripla dell ascissa; d. appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 4 Disegna il triangolo di vertici ( 1; 1), (2; 7), (5; 3). Calcola il perimetro e l area del triangolo ABC. 5 Trova l area e la lunghezza del lato maggiore del quadrilatero ABCD. (3; 2),(0;4),( 4; 1),( 1; 2). 6 Sia (1; 6) il punto medio del segmento AB, con ( 3; 5). Determina le coordinate di B. 7 Trova per quale valore del parametro h la distanza è uguale a 10: (h+1;h 2),(2h; h) 8 Scrivi l equazione della retta passante per l origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta trovata. Disegna il grafico della retta, il punto A e il punto B. ( 3; 18), ; 2. 9 Tre dei seguenti quattro punti sono allineati. Dopo averli individuati, scrivi l equazione della retta che li congiunge. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

39 (12; 20), ( 6; 12), 2;, ( 3; 5). 10 Scrivi l equazione delle rette passanti per l origine aventi i coefficienti angolari indicati e disegnale nel piano cartesiano. =, m = Scrivi in forma implicita le equazioni delle seguenti rette. = +; = 2+; = Data la retta di equazione = 0, stabilisci se il punto (1; ) appartiene a tale retta. Determina inoltre i punti B e C appartenenti alla retta e rispettivamente di ascissa 1 e di ordinata Determina il valore reale di a affinché la retta 3 +4=0 passi per il punto 2 1; +. In tal caso, scrivi le coordinate di A e rappresenta in un grafico la retta e il punto. 14 Scrivi l equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico. 15 Determina, se possibile, il coefficiente angolare delle rette AB, AC e BD. (3; 4), (0; 2), ( 2; 4), (0; 1). 16 La retta di coefficiente angolare =3, passante per il punto (2; 7), contiene i punti (? ; 10), ( 5;?) e (h; 2h), con h R. Trova le coordinate mancanti dei punti B, C, D. 17 Determina per quale valore del parametro k la retta =+4 passa, rispettivamente, per il punto (1; 2) e per il punto (3; 4). 18 Trova la distanza tra i punti A, di ascissa, e B, di ordinata 6, appartenenti alla retta di equazione =5 4. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

40 19 Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto. Disegnane, infine, i grafici = 0, + 3 = 0, = Determina le coordinate del punto di intersezione della seguente coppia di rette. 2+ 5=0; = Dopo aver verificato che le due rette y = 3x + 3 e x 2y 4 = 0 sono incidenti, determina il loro punto di intersezione. 22 Considera le seguenti quattro rette, determina il loro coefficiente angolare e infine stabilisci quali sono parallele e quali perpendicolari = 0,3 + 6 = 0, = 0,3 2 8 = Data la retta di equazione (+1) +3=0, determina per quali valori di k la retta risulta: a. parallela all asse y; b. parallela all asse x; c. parallela alla retta di equazione = 0; d. perpendicolare alla retta di equazione = Date le rette parallele di equazioni () = + e () = +, con, determina le funzioni composte e e stabilisci quando i loro grafici sono paralleli alle rette date. 25 Dati i punti (2; 4), (6; 6) e ( + 1; 6), determina il valore di a per il quale i segmenti AB e AC risultano perpendicolari. Per tale valore, trova le coordinate di C e l area del triangolo ABC. 26 Dopo aver scritto l equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione 3+ 5=0, determina quella che passa per il punto (2; 0). 27 Scrivi l equazione del fascio di rette passante per il punto (3; 4) e disegna le rette aventi coefficiente angolare =0,=2,= Tra le rette del fascio di equazione (+1) ( 2)+ 3=0, R, determina quella che: a. è parallela all asse delle ascisse; b. è parallela all asse delle ordinate; c. passa per l origine del sistema di riferimento; d. passa per il punto ( 2; 1); e. è parallela alla retta di equazione = 0; f. è perpendicolare alla retta di equazione 2 4=0. 29 Sono dati i seguenti fasci di rette: a =0; b = 0. Per ciascuno di essi, dopo aver determinato se sia proprio o improprio, individua le coordinate del centro (se si tratta di un fascio proprio) o il coefficiente angolare comune alle sue rette (se si tratta di un fascio improprio). 30 Scrivi l equazione della retta passante per A( 2; 1) e B(6; 4). Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

41 31 Scrivi le equazioni delle rette contenenti i lati del quadrilatero ABCD, sapendo le coordinate: (0; 2), (2; 4), (6; 5) e (4; 3). Verifica che il quadrilatero è un parallelogramma. 32 Dati i punti ( 3; 1) e (2; 3), determina il punto C di ascissa allineato con A e B. 33 Determina la distanza del punto (3; 4) dalla retta di equazione = Dopo aver verificato il parallelismo tra le rette di equazioni = 0 e = 0, determina la loro distanza. 35 Rappresenta nel piano cartesiano l insieme di punti (; ) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni < 3 Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

42 1 Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. 16 Il piano cartesiano e la retta ESERCIZI Prova B 2 Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti. ( 1; 3), ( (4; 1), ( 2; 1), (3; 2), ( 3; 0), (2; 4). 3 Dato il punto ; +2, determina per quali valori del parametro b esso: a. appartiene al secondo quadrante; b. appartiene all asse y; c. ha ascissa doppia dell ordinata; d. appartiene alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. 4 Disegna il triangolo di vertici A( 1; 3), B(1; 2), C( 2; 1). Calcola il perimetro e l area del triangolo ABC. 5 Trova l area e la lunghezza del lato maggiore del quadrilatero ABCD. (4; 6), ( 2; 2), (0; 1), (5; 2). 6 Sia (2; 5) il punto medio del segmento AB, con ( 2; 4). Determina le coordinate di B. 7 Trova per quale valore del parametro h la distanza è uguale a 10: (2h 3; 3 h), (h 1; 1) 8 Scrivi l equazione della retta passante per l origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta trovata. Disegna il grafico della retta, il punto A e il punto B. ( 2; 8), ;1. 9 Tre dei seguenti quattro punti sono allineati. Dopo averli individuati, scrivi l equazione della retta che li congiunge. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

43 (14; 4), ;, (2; 7), ( 8; 28). 10 Scrivi l equazione delle rette passanti per l origine aventi i coefficienti angolari indicati e disegnale nel piano cartesiano. =, m = Scrivi in forma implicita le equazioni delle seguenti rette. = ; = 5; = Determina il valore di a affinché la retta = 0 passi per il punto 3+1;. In tal caso, scrivi le coordinate di A e rappresenta in un grafico la retta e il punto. 13 Scrivi l equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico. 14 Determina, se possibile, il coefficiente angolare delle rette AB, AC e BD. (2; 5), ( 3; 0), (2; 1), (2; 0). 15 La retta di coefficiente angolare =4, passante per il punto ( 3; 2), contiene i punti (? ; 2), (5;?) e (h; 19 h), con h R. Trova le coordinate mancanti dei punti B, C, D. 16 Determina per quale valore del parametro k la retta =2+3 passa, rispettivamente, per il punto ( 1; 4) e per il punto ( 3; 2). 17 Trova la distanza tra i punti A, di ordinata 2, e B, di ascissa, appartenenti alla retta di equazione = Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto. Disegnane, infine, i grafici. 2 +3=0, 2=0, 4+1=0. 19 Determina le coordinate del punto di intersezione della seguente coppia di rette. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

44 3+ 6=0; = Dopo aver verificato che le due rette y = 2x 8 e 3x + 2y + 22 = 0 sono incidenti, determina il loro punto di intersezione. 21 Risolvi il sistema usando il metodo del confronto, dopo aver stabilito se è determinato, impossibile o indeterminato. 5(6 7) 3( ) ( + 2) +4=3 12( ) =16+9( 2) 22 Considera le seguenti quattro rette, determina il loro coefficiente angolare e infine stabilisci quali sono parallele e quali perpendicolari = 0, = 0, + 2 = 0,2 + 8 = Data la retta di equazione (1 ) 3=0, determina per quali valori di k la retta risulta: a. parallela all asse y; b. parallela all asse x; c. parallela alla retta di equazione = 0; d. perpendicolare alla retta di equazione = Date le rette parallele di equazioni () = + e () = +, con, determina le funzioni composte e e stabilisci quando i loro grafici sono perpendicolari alle rette date. 25 Dati i punti ( 4; 3), (5; 6) e ( 5; ), determina il valore di b per il quale i segmenti AB e AC risultano perpendicolari. Per tale valore, trova le coordinate di C e l area del triangolo ABC. 26 Dopo aver scritto l equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione 3 8=0, determina quella che passa per il punto (3; 0). 27 Scrivi l equazione del fascio di rette passante per il punto ( 1;2) e disegna le rette aventi coefficiente angolare =0,=2,= Tra le rette del fascio di equazione (+2) ( 1)+ 2=0, R, determina quella che: a. è parallela all asse delle ascisse; b. è parallela all asse delle ordinate; c. passa per l origine del sistema di riferimento; d. passa per il punto (2; 1); e. è parallela alla retta di equazione = 0; f. è perpendicolare alla retta di equazione 4++1=0. 29 Sono dati i seguenti fasci di rette: a. (3 + ) = 0; b = 0. Per ciascuno di essi, dopo aver determinato se sia proprio o improprio, individua le coordinate del centro (se si tratta di un fascio proprio) o il coefficiente angolare comune alle sue rette (se si tratta di un fascio improprio). 30 Scrivi l equazione della retta passante per C(6; 1) e B( 2; 4). Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

45 31 Scrivi le equazioni delle rette contenenti i lati del quadrilatero ABCD, sapendo le coordinate: ( 2; 1), (0; 3), (4; 4) e (2; 2). Verifica che il quadrilatero è un parallelogramma. 32 Dati i punti ( 2; 10) e (1; 1), determina il punto C di ordinata 4 allineato con A e B. 33 Determina la distanza del punto (2; 3) dalla retta di equazione = Dopo aver verificato il parallelismo tra le rette di equazioni = +4 e = 0, determina la loro distanza. 35 Rappresenta nel piano cartesiano l insieme di punti (; ) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni. 5< 3 3 < 2 Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

46 16 Il piano cartesiano e la retta TEST 1 Un punto A del piano cartesiano che ha ascissa positiva e ordinata negativa si trova: A nel I quadrante. B nel II quadrante. C nel III quadrante. D nel IV quadrante. E nel punto di intersezione degli assi. 2 Quale delle seguenti coppie di punti si trova a una distanza pari a 13? A A(1; 1), B(6; 10) B C(0; 1), D( 13; 0) C E( 5; 3), F( 4; 15) D G(3; 5), H( 2; 7) E I(0; 0), L(13; 1) 3 Il punto medio del segmento di estremi (3; 3) e (5; 7) è: A (8; 10). B (1; 2). C (2; 4). D (4; 5). E ( 1; 2). 4 L equazione =3 è: A l equazione di una retta parallela all asse x. B l equazione di una retta perpendicolare all asse y. C l equazione dell asse x. D l equazione dell asse y. E l equazione di una retta perpendicolare all asse x. 5 Quale delle seguenti equazioni rappresenta la bisettrice del II e del IV quadrante? A = B =0 C =0 D = E = 6 Le rette r e s sono rette parallele e la retta r ha equazione = 0. Quanto vale il coefficiente angolare della retta s? A 4 B 4 C 2 D 2 E 1 7 Quale dei seguenti punti non appartiene alla retta di equazione =? A (6; 9) Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

47 B (2; 3) C 1; D ( 3; 2) E (0; 0) 8 Il coefficiente angolare m e l ordinata all origine q della retta di equazione = 0 sono: A =, = 1. B =5, = 2. C =, =1. D = 5, =2. E =, =. 9 Il coefficiente angolare della retta passante per i punti (2; 3) e (4; 5) è: A 3 B 4 C. D 4. E Le rette r e s di equazioni rispettivamente = 0 e 2+3=0: A si intersecano nel punto A(1; 2). B si intersecano nel punto ( 1; 2). C sono parallele. D si intersecano nel punto (1; 2). E si intersecano nel punto ( 1; 2). 11 L interpretazione grafica di un sistema lineare indeterminato è costituita da: A due rette incidenti. B due rette coincidenti. C due rette parallele e distinte. D nessuna rappresentazione perché un sistema indeterminato non può essere rappresentato graficamente. E infine rette passanti per un punto. 12 Nella seguente figura sono riportate le equazioni di un sistema e la sua interpretazione grafica. Che cosa possiamo dire sul sistema? Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

48 A B C D E È impossibile. È indeterminato. È determinato. Ammette come soluzioni i punti (0; 0) e (0; 2). Non abbiamo elementi per rispondere. 13 La retta 6x + 18y 3 = 0 è parallela a una delle seguenti rette. Quale? A y = 3x B = + C = D y = 2x E y = 3x 14 Sono date le rette di equazione =2 2 e = +1. Possiamo dire che: A sono parallele. B sono perpendicolari. C si incontrano nel punto ( 2; 6). D si incontrano nel punto ( 2; 2). E passano per l origine. 15 L equazione della retta passante per (0; 1) e avente coefficiente angolare = 2 è: A = 2+2. B = 2+1. C = 2. D = +2. E = Il segmento di estremi A( 3; 5) e B(5; 5 1) è perpendicolare alla retta: A di equazione y + 8x + 7 = 0. B passante per P( 3; 7) e Q(5; 8). Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

49 C passante per R(4; ) e S(2; 2 3 ). D di equazione y = 8x + 5. E passante per l origine e con m = L equazione del fascio proprio di rette di centro (3; 0) è: A =+3. B =3+. C = 3+. D = 3. E = Quale delle seguenti affermazioni è falsa se riferita al fascio di equazione 2+ =0? A È un fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione = 2. B È un fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione =. C È un fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione = 0. D È un fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione = 0. E È un fascio improprio di rette passanti per il punto (2; 1). 19 La retta passante per il punto (2; 1) parallela alla bisettrice del I e III quadrante ha equazione: A = 3. B =+3. C = +1. D = 3. E = La distanza del punto (2; 1) dalla retta di equazione = 0 è: A. B C.. D. E 1. SPIEGA PERCHÉ 1 Che cosa rappresenta l equazione +3+5=0? Spiega perché non rappresenta un fascio completo. Quale retta manca? 2 Spiega, in termini geometrici, il significato di sistema lineare determinato, impossibile e indeterminato. 3 Data l equazione + + = 0, se ===0 essa rappresenta un piano. Spiega perché. 4 L espressione y = mx + m + 1 indica l insieme di tutte le rette passanti per ( 1; 1)? Motiva la tua risposta. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

50 G5 La circonferenza ESERCIZI Prova A 1 Disegna un triangolo ABC di altezza CH relativa ad AB. Fissa un segmento ED minore di CH. Determina il luogo dei punti del triangolo che hanno distanza da AB congruente a ED. 2 Disegna un triangolo ABC, di base AB e altezza CH. Tenendo fissa la base, costruisci altri triangoli di altezza congruente a CH. Disegna e descrivi l insieme dei vertici C e dimostra che si tratta di un luogo geometrico. 3 Completa le seguenti frasi. a. Un arco è compresa fra due detti dell arco. b. Un semicerchio è compresa fra una e un c. I punti interni a una circonferenza hanno distanza dal centro d. Un settore circolare è la parte di compresa fra un e i raggi che hanno un estremo negli estremi. 4 Completa le seguenti frasi. a. In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di che non passa per. b. Se in una circonferenza il diametro interseca una corda (non passante ) nel suo punto medio, allora il diametro è. c. In una circonferenza, corde aventi la stessa distanza dal sono. d. Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, la corda maggiore ha dal. 5 Disegna una circonferenza di centro O e una retta r che la interseca nei punti A e B. Dopo aver determinato il punto medio M di AB, scegli su r, esternamente alla circonferenza, due punti C e D equidistanti da M. Dimostra che C e D sono anche equidistanti da O. 6 Disegna una circonferenza di centro O, traccia due corde AB e CD congruenti, non parallele e senza punti comuni. Prolunga le due corde esternamente alla circonferenza fino a incontrarsi nel punto P. Traccia la secante PO e dimostra che è la bisettrice dell angolo ^. 7 Disegna una circonferenza di centro O e un diametro AB. Prolunga AB di un segmento BE congruente al raggio. Conduci dal punto E le tangenti EC ed ED alla circonferenza e congiungi l estremo B con C e con D. Dimostra che il quadrilatero ODBC è un rombo ed esprimi i suoi angoli in funzione dell angolo piatto. 8 Disegna una circonferenza di centro O e raggio OA. Sia B un punto del segmento OA tale che. Disegna la circonferenza con centro in B e raggio di OA. Qual è la posizione di una circonferenza rispetto all altra? Motiva la risposta. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

51 9 Due circonferenze c e di centri rispettivamente C e sono tangenti internamente nel punto A. Conduci da A una retta che interseca in Q e c in P. Dimostra che la retta CP è parallela alla retta. 10 Due circonferenze di raggio uno il doppio dell altro sono tangenti internamente in P. Traccia una retta passante per P che interseca le due circonferenze nei punti A e B. Dimostra che le corde PA e PB sono una il doppio dell altra. 11 Nelle seguenti figure per ogni angolo al centro disegna tre angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco. Uno degli angoli tracciati deve avere il vertice in B. 12 Disegna una circonferenza di centro O e diametro AB e una circonferenza di centro B e diametro OC. Indica con E e F i due punti di intersezione delle circonferenze. Dimostra che la corda EF è lato di un triangolo equilatero di vertice C oppure A. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

52 G5 La circonferenza ESERCIZI Prova B 1 Disegna un trapezio rettangolo ABCD con base maggiore AB. Fissa un segmento EF minore di AB. Determina il luogo dei punti del trapezio che hanno distanza dall altezza DA congruente a EF. 2 Disegna un triangolo ABC. Sulla base AB scegli un punto P e traccia il segmento PH perpendicolare a BC. Prolunga PH di un segmento HP congruente a PH. Disegna e descrivi l insieme dei punti P' al variare di P su AB, e dimostra che si tratta di un luogo geometrico. 3 Completa le seguenti frasi. a. Una semicirconferenza è i cui estremi sono e appartengono a. b. Una corda è ogni avente per estremi della. c. I punti esterni a una circonferenza hanno distanza dal centro. d. Un angolo al centro è un che ha il nel della circonferenza. 4 Completa le seguenti frasi. a. In una circonferenza, un diametro perpendicolare a una corda la divide. b. In una circonferenza, l asse di una passa per il della circonferenza. c. In una circonferenza, corde hanno la stessa distanza dal. d. Se in una circonferenza due corde non sono congruenti, la corda minore ha distanza dal. 5 Disegna una circonferenza di centro O e una retta r che la interseca nei punti A e B. Tratta la retta s passante per O e perpendicolare alla corda AB, chiama H il punto di intersezione di s con AB e C uno dei due punti di intersezione di s con la circonferenza. Dimostra che sono congruenti i triangoli ACH e BHC. 6 Disegna una circonferenza e due diametri distinti AB e CD. Indica con P il punto di incontro delle tangenti tracciate da A e da C e con Q il punto di incontro delle tangenti tracciate da B e D. Dimostra che i triangoli APC e BQD sono congruenti. 7 Disegna una circonferenza di centro O, un diametro VB e un angolo alla circonferenza ^. Conduci da A e da B le tangenti alla circonferenza e indica con E il loro punto intersezione. Congiungi O con E. Dimostra che VA e OE sono parallele. 8 Disegna una circonferenza di centro O e raggio OA. Sia B un punto del segmento OA tale che. Disegna la circonferenza con centro in B e raggio di OA. Qual è la posizione di una circonferenza rispetto all altra? Motiva la risposta. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

53 9 Sia ABCD un parallelogramma con M punto medio di CB tale che A^ A^. Prolunga AM di un segmento MN con MN AM. Dimostra che: a. CAB è un triangolo isoscele; b. il quadrilatero ABNC è un rombo. 10 Due circonferenze di raggio uno il doppio dell altro sono tangenti esternamente in P. Traccia una retta passante per P che interseca le due circonferenze nei punti A e B. Dimostra che le corde PA e PB sono una il doppio dell altra. 11 Nelle seguenti figure per ogni angolo al centro disegna tre angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco. Uno degli angoli tracciati deve avere il vertice in B. 12 Dividi un segmento AE in tre parti congruenti: AF, FG, GE. Disegna la circonferenza di centro G e raggio GE e la circonferenza di centro F e raggio AF. Indicate con B e C le intersezioni delle due circonferenze, dimostra che il triangolo ABC è equilatero. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

54 G5 La circonferenza TEST 1 In figura sono disegnati l angolo ^ e il segmento PQ, perpendicolare al lato Oa e tale che PH sia congruente a HQ. Il luogo geometrico dei punti Q al variare di P sulla semiretta Ob è: A B C D E il segmento OQ. il segmento PQ. la semiretta di origine O passante per Q. la circonferenza di centro O e raggio PH. la circonferenza di centro O e raggio OP. 2 Indica quali fra i seguenti non è un luogo geometrico. A L insieme dei punti del piano equidistanti dai lati di un angolo. B L insieme dei punti del piano equidistanti dagli estremi di un segmento. C L insieme dei punti del piano che hanno distanza assegnata da un punto. D L insieme dei punti P di una linea chiusa, compresi tra due punti A e B. E L insieme dei punti del piano che hanno distanza da un punto minore o uguale a una certa distanza assegnata. 3 Indica quale fra le seguenti relazioni è falsa. A B C D E ^ ^ ^ ^ 4 Indica quale fra le seguenti affermazioni è falsa. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

55 A B C D E ^ insiste sull arco ^ ^ è un angolo al centro. ^ insiste sull arco ^ ^ insiste sull arco ^ ^e^ insistono sullo stesso arco ^ 5 Indica quale fra le seguenti relazioni è falsa. In figura le due corde AB e CD sono congruenti, inoltre. A B C D E ^ ^ ^ ^ ^ ^ 6 Indica quale fra le seguenti relazioni è vera. A B C D E, ^ Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

56 7 Indica quale fra le seguenti relazioni è vera. A B C D E 8 In riferimento alla figura, in cui le circonferenze hanno lo stesso raggio, solo una delle seguenti affermazioni è falsa. Quale? A ^ 2^ B ^ 3^ C D ^ ^ ^ 2^ 9 Un triangolo e un poligono circoscritto a una circonferenza sono equivalenti se: A la base del triangolo è congruente al perimetro del poligono. B la base del triangolo è congruente al semiperimetro del poligono. C la base e l altezza del triangolo sono congruenti rispettivamente al perimetro del poligono e al raggio della circonferenza. D la base e l altezza del triangolo sono congruenti rispettivamente al semiperimetro del poligono e al raggio della circonferenza. E e solo se il poligono è un triangolo congruente al triangolo dato. 10 In una circonferenza, una corda perpendicolare a un diametro: A non può essere anch essa un diametro. B non può essere più lunga del raggio della circonferenza. C non può essere più corta del raggio della circonferenza. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

57 D E può essere tagliata dal diametro in segmenti più lunghi del raggio della circonferenza. è tagliata dal diametro in due segmenti congruenti. SPIEGA PERCHÉ 1 Se si raddoppia un angolo al centro di una circonferenza, la corda sottesa raddoppia? Motiva la risposta. 2 Illustra la condizione necessaria e sufficiente affinché due circonferenze siano tangenti internamente oppure tangenti esternamente. Fornisci un paio di esempi. 3 Data una circonferenza di raggio r, tracciamo in essa due corde tali che una delle due abbia lunghezza doppia rispetto all altra. È possibile che gli angoli al centro che insistono su queste corde siano tali che l ampiezza di uno sia doppia rispetto all altra? Motiva la tua risposta. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

58 G6 Le superfici equivalenti e le aree TEST 1 Indica quale delle seguenti affermazioni sull equivalenza delle superfici piane è falsa. A È una relazione di equivalenza nell insieme delle superfici piane. B Gode della proprietà riflessiva. C Gode della proprietà simmetrica. D Gode della proprietà transitiva. E Due superfici equivalenti sono congruenti. 2 Due parallelogrammi equivalenti: A devono essere congruenti. B possono avere le basi congruenti e le relative altezze non congruenti. C possono avere le altezze congruenti e le relative basi non congruenti. D possono avere le basi e le relative altezze congruenti. E devono avere i lati congruenti. 3 Sull equivalenza delle seguenti figure possiamo affermare che: A B C D E sono tutte e tre equivalenti. nessuna delle tre è equivalente a un altra. la a e la b sono fra loro equivalenti, ma non sono equivalenti alla c. la a e la c sono fra loro equivalenti, ma non sono equivalenti alla b. la b e la c sono fra loro equivalenti, ma non sono equivalenti alla a. 4 Sull equivalenza delle seguenti figure possiamo affermare che: A B C D E sono tutte e tre equivalenti. nessuna delle tre è equivalente a un altra. la a e la b sono equivalenti. la a e la c sono equivalenti. la b e la c sono equivalenti. 5 Indica quale delle seguenti equivalenze riferite alla figura è falsa. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

59 A B C D E 6 Un triangolo e un parallelogramma sono equivalenti se: A hanno l altezza congruente e la base del rettangolo è doppia rispetto a quella del triangolo. B hanno la base congruente e l altezza del triangolo è doppia rispetto a quella del rettangolo. C hanno la base congruente e l altezza del rettangolo è doppia rispetto a quella del triangolo. D hanno base e altezza congruenti. E il perimetro del parallelogramma è doppio rispetto a quello del triangolo. 7 Un triangolo e un rettangolo possono essere equivalenti? A No, perché il triangolo ha tre lati e il rettangolo quattro. B Sì, se il rettangolo ha un lato congruente a metà della base e l altro all altezza del triangolo. C Sì, se il triangolo è rettangolo. D Sì, se il triangolo e il rettangolo hanno altezza congruente. E Sì, se il rettangolo ha i lati congruenti alla base e all altezza del triangolo. 8 Un parallelogramma e un rettangolo sono equivalenti: A solo se il parallelogramma è un rettangolo congruente all altro rettangolo. B solo se i lati sono congruenti. C se hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti. D se hanno basi congruenti. E solo se hanno congruenti le altezze. 9 Un triangolo e un trapezio sono equivalenti se: A hanno base congruente e l altezza del triangolo è doppia rispetto a quella del trapezio. B hanno altezza congruente e la base del triangolo è pari alla somma delle basi del trapezio. C hanno base e altezza congruenti. D il perimetro del trapezio è doppio rispetto a quello del triangolo. E mai, in quanto hanno un numero differente di lati. 10 Un triangolo e un poligono circoscritto a una circonferenza sono equivalenti se: A la base del triangolo è congruente al perimetro del poligono. B la base del triangolo è congruente al semiperimetro del poligono. C la base e l altezza del triangolo sono congruenti rispettivamente al perimetro del poligono e al raggio della circonferenza. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli

60 D la base e l altezza del triangolo sono congruenti rispettivamente al semiperimetro del poligono e al raggio della circonferenza. E e solo se il poligono è un triangolo congruente al triangolo dato. 11 In un triangolo ABC il quadrato costruito sul lato AB è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui lati CB e CA. Possiamo allora affermare che: A il triangolo è rettangolo con l angolo retto in A. B il triangolo è rettangolo con l angolo retto in B. C il triangolo è rettangolo con l angolo retto in C. D il triangolo non è rettangolo. E di non avere elementi per stabilire di che tipo sia il triangolo. 12 In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente: A alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. B alla somma dei quadrati costruiti sui cateti e sull ipotenusa. C alla differenza fra i quadrati costruiti rispettivamente sull ipotenusa e su un cateto. D al rettangolo che ha i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. E al rettangolo che ha i lati congruenti ai cateti. 13 Il primo teorema di Euclide afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente: A al quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa. B al rettangolo che ha lati congruenti all ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull ipotenusa. C alla somma dei quadrati costruiti sull altro cateto e sull ipotenusa. D al rettangolo che ha i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. E al triangolo rettangolo stesso. SPIEGA PERCHÉ 1 Enuncia il teorema di equivalenza fra triangolo e parallelogramma e spiega come deve essere un parallelogramma equivalente a un triangolo rettangolo che ha come base un cateto che è il doppio dell altro. 2 Illustra il primo teorema di Euclide e spiega come è possibile applicarlo in un trapezio isoscele con la diagonale perpendicolare al lato obliquo. 3 Quanto misura il lato di un quadrato equivalente a un rombo le cui diagonali misurano 32 cm e 25 cm? Motiva la tua risposta. Idee per insegnare la matematica con Bergamini, Barozzi,Trifone Zanichelli