ESERCITAZIONE 3 Ottobre

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1 ESERCITAZIONE 3 Ottobre claudia.caudai@iet.unipi.it STRUTTURE ALGEBRICHE GRUPPO Un gruppo è un insieme G munito di una operazione binaria *, che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento, che indichiamo con a * b, appartenente a G, rispettando i seguenti assiomi: G1) - proprietà associativa: dati a,b,c appartenenti a G, vale (a * b) * c = a * (b * c). G) - esistenza dell'elemento neutro: esiste in G un elemento neutro e rispetto al prodotto, cioè tale che a * e = e * a = a per ogni a appartenente a G. G3) - esistenza dell'inverso: ad ogni elemento a di G è associato un elemento b, detto inverso di a, tale che a * b = b * a = e. Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo (G, * ) è commutativo se a * b = b * a a,b in G. SEMIGRUPPO In matematica, un semigruppo è un insieme non vuoto munito di una operazione binaria associativa. In altre parole per semigruppo si intende una struttura algebrica espressa da una coppia (A,*) con A insieme non vuoto ed * funzione definita su tutto A A a valori in A per la quale si ha. ANELLO L'insieme A, dotato di due operazioni binarie + e, è un anello se valgono i seguenti assiomi: (A, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0: (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a 0 + a = a + 0 = a a ( a) tale che a + a = a + a = 0

2 (A, ) è un semigruppo: (a b) c = a (b c) La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma: a (b + c) = (a b) + (a c) (a + b) c = (a c) + (b c) (le relazioni devono valere per ogni a, b e c in A) DOMINIO D INTEGRITA Un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:. CORPO Un corpo è un insieme K, dotato di due operazioni binarie + e *, che soddisfa i seguenti assiomi: (K, + ) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0: (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a 0 + a = a + 0 = a per ogni a esiste un elemento ( a) tale che a + ( a) = 0 (K *, * ) è un gruppo con elemento neutro 1: a * (b * c) = (a * b) * c 1 * a = a * 1 = a per ogni a diverso da 0 esiste un elemento a 1 tale che a * a 1 = a 1 * a = 1 La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma: a * (b + c) = a * b + a * c (a + b) * c = a * c + b * c (le relazioni devono valere per ogni a,b e c in K)

3 CAMPO L'insieme K, dotato di due operazioni binarie + e *, è un campo se valgono i seguenti assiomi: (K, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0: (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a 0 + a = a + 0 = a a ( a) tale che a + a = a + a = 0 (K \{0}, ) è un gruppo abeliano con elemento neutro 1: (a b) c = a (b c) a b = b a 1 a = a 1 = a a 0 (a -1 ) tale che a a -1 = a -1 a = 1 La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma: a (b + c) = (a b) + (a c) (le relazioni devono valere per ogni a, b e c in K) Ciascuna delle seguenti definizioni di campo è equivalente a quella data: un anello commutativo in cui ogni elemento non nullo ha un inverso; un corpo commutativo rispetto alla moltiplicazione. A volte un campo è chiamato corpo commutativo. ALGEBRA Consideriamo un campo K, uno spazio vettoriale A su K e una operazione binaria su tale spazio Supponiamo inoltre che l'operazione * sia una forma bilineare, cioè tale che: (x + y)*z = x*z + y*z x*(y + z) = x*y + x*z (ax)*y = a(x*y) x*(by) = b(x*y) con a e b scalari arbitrari in K e con x, y e z vettori arbitrari in A. Lo spazio A arricchito con questa operazione si dice algebra sul campo K e K si chiama campo di base dell'algebra A. In genere l'operazione binaria viene chiamata "moltiplicazione" dell'algebra e

4 l'oggetto fornito da una espressione come x'y' viene chiamato prodotto di x e y. Tuttavia l'operazione binaria in molte specie particolari di algebre su campo viene indicata con nomi e notazioni specifiche. Strutture simili alle algebre su campo, ma un po' più generali si possono definire ricorrendo, invece che ad un campo, ad un anello commutativo K: abbiamo bisogno di un modulo A su K e un'operazione di moltiplicazione bilineare che soddisfa le stesse identità sopra riportate; allora A è una K-algebra, e K è anello base di A. Due algebre su campo A e B sullo stesso campo K si dicono isomorfe se e solo se esiste una applicazione biiettiva lineare rispetto a K f : A B tale che f(x*y) = f(x) * f(y) per x e y elementi arbitrari di A. Per molte considerazioni generali due algebre su campo isomorfe sono essenzialmente la stessa entità; esse differiscono nei modi usati per chiamare e per denotare i loro elementi. Si dice algebra commutativa un'algebra la cui moltiplicazione è commutativa. Si dice algebra associativa un'algebra la cui moltiplicazione è associativa. ESEMPI: Campi: L'insieme dei numeri razionali Q, con le operazioni di addizione e moltiplicazione usuali tra numeri è un campo. L'insieme dei numeri reali R, con le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri reali è un campo. L'insieme dei numeri complessi C, con l'appropriata estensione delle operazioni di addizione e moltiplicazione è un campo. Anelli che non sono campi: L'esempio più importante è l'insieme Z dei numeri interi: non è un campo perché i soli elementi ad avere un inverso moltiplicativo sono +1 e -1. I numeri naturali costituiscono semplicemente un insieme N. Il prodotto di anelli è un anello, ma il prodotto di campi non è un campo. Quindi ad esempio R = R R è un anello ma non un campo: l'elemento (1,0) non ha un inverso. Corpi che non sono campi: L'esempio più importante di corpo che non è un campo è il corpo dei quaternioni. E' definito come lo spazio vettoriale reale di dimensione 4 con base 1,i,j,k, e da particolari leggi di moltiplicazione fra questi simboli. Domini d'integrità: L'esempio tipico è l'anello Z degli interi. L'anello D[x] dei polinomi in x a coefficienti in un dominio di integrità D è un dominio di integrità. Per esempio, l'anello Z[x] dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello R[x, y] dei polinomi in due variabili a coefficienti reali.

5 Algebre: L Algebra di tutte le matrici n n sopra un campo (o annello commutativo) K avente come moltiplicazione la usuale moltiplicazione di matrici. L Algebra commutativa K[x] di tutti i polinomi sopra il campo K. L Algebra sul campo R costituita dalle funzioni continue a valori reali aventi come dominio l'intervallo [0,1]. Le Algebre degli operatori lineari agenti, ad esempio, su uno spazio di Hilbert, per la quale come moltiplicazione della struttura si assume la composizione degli operatori. INSIEMI Con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi dell'insieme. Ciò che caratterizza il concetto di insieme sono essenzialmente le seguenti proprietà: un elemento può appartenere o non appartenere a un insieme, non ci sono vie di mezzo un elemento non può comparire più di una volta in un insieme gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade ai componenti di un vettore o di un insieme totalmente ordinato) gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi. Operazioni tra insiemi L'unione di due insiemi A e B: si indica con A B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B o a entrambi. L'intersezione di due insiemi A e B: si indica con A B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.

6 La differenza B meno A si indica con B\A o con B-A ed è data dall'insieme degli elementi di B che non appartengono ad A. B-A viene anche detto insieme complementare di A in B. La differenza simmetrica è l'insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A. Si indica con A B = ( A - B ) ( B - A) Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a,b) con a A e b B Relazioni tra insiemi Due insiemi A e B si dicono: coincidenti: se sono lo stesso insieme; questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi disgiunti: non hanno nessun elemento in comune Si dice che B è sottoinsieme di A se A contiene tutti gli elementi di B. Notare che secondo tale definizione ogni insieme è contenuto in se stesso. Per esprimere questo si usa la notazione: Se invece si vuole escludere a priori la possibilità che B sia coincidente con A, cioè esistono effettivamente elementi di A non contenuti in B, si usa la notazione:

7 che si legge: "B è un sottoinsieme proprio di A" oppure "B è incluso propriamente in A" oppure "B è contenuto propriamente in A". Alcuni autori utilizzano però solo la seconda notazione, indifferentemente del tipo di inclusione indicato. La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato. L'insieme vuoto Si chiama insieme vuoto l'insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo oppure con le parentesi graffe aperte e chiuse {}. L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso). L'insieme delle parti Per qualunque insieme A si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) o A l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di A. Ad esempio, se A={a,b,c} allora il suo insieme delle parti è costituito da P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}. L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di unione o a quella di intersezione, forma in entrambi i casi un gruppo abeliano. Cardinalità Gli insiemi possono essere classificati in base al numero di elementi; in particolare un insieme è finito: se ha un numero finito di elementi; infinito: se ha infiniti elementi. La cardinalità di un insieme lo caratterizza in base al numero dei suoi elementi. Due particolari tipi di insieme sono: l'insieme vuoto, cioè privo di elementi, indicato con il simbolo oppure, o talvolta con "{}", la sua cardinalità è zero; e l'insieme universo, cioè che contiene tutti gli insiemi esistenti (incluso anche l'insieme vuoto), e che viene indicato con U. L'insieme delle parti ha sempre cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Il numero degli elementi di P(A) è dato da n, dove n è il numero degli elementi di A. Leggi di De Morgan

8 ASSIOMI DI PEANO Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali. La struttura data dalla terna composta dall'insieme dei numeri naturali, lo zero e la funzione "successore" può essere caratterizzata a meno di isomorfismi dai seguenti assiomi di Peano: (P1) Esiste un numero (P) Esiste una funzione (P3) implica (P4) per ogni (P5) se U è un sottoinsieme di tale che: (chiamata "successore") allora 1.. implica Analizziamo la funzione di ciascun assioma: (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di Principio di induzione ed è uno strumento molto usato nelle dimostrazioni: quello che ci dice è che l'insieme dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo 0 e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia chiuso rispetto alla funzione successore). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente: 1. Esiste un numero naturale, 0 (o 1). Ogni numero naturale ha un numero naturale successore 3. Numeri diversi hanno successori diversi 4. 0 (o 1) non è il successore di alcun numero naturale 5. Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero( o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

9 PRINCIPIO DI INDUZIONE Il principio d'induzione è un enunciato sui numeri naturali. Esso offre un importante strumento per le dimostrazioni. Per dimostrare che un certo asserto P(n) in cui compare un numero naturale n vale per qualunque si può sfruttare il principio d'induzione nel seguente modo: Si pone, 1. si dimostra che vale P(1), cioè che 1 è nell'insieme dei numeri naturali U per cui vale P(n);. si assume come ipotesi che l'asserto P(n) valga per un generico n e da tale assunzione si dimostra che vale anche P(n + 1) (cioè che ) e quindi si conclude che l'insieme U dei numeri per cui vale P(n) coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali. Il punto 1 è chiamato base dell'induzione, il punto passo induttivo. In ordine occorre fare tre passaggi: 1. Verifica: verificare che l asserzione è vera per n=1 (Passo base). Ipotesi: ipotizzare che l asserzione sia vera per un numero n 3. Verifica: verificare che l asserzione è vera anche per il successore n+1 (Passo induttivo). Allora l asserzione è vera per ogni numero naturale. ESERCIZI n Passo base: 1= 1 = n( n+ 1) Passo induttivo: se supponiamo vero l asserto per n, si ha che è vero anche per n n + ( n+ 1) = n( n+ 1) + ( n+ 1) = ( n+ 1)( n+ ) (n 1) = n Passo base: 1= 1

10 Passo induttivo: se supponiamo vero l asserto per n, si ha che è vero anche per n (n 1) + (n+ 1) = n + (n+ 1) = ( n+ 1) Passo base: 1= n n( n+ 1)(n = 6 + 1) Passo induttivo: se supponiamo vero l asserto per n, si ha che è vero anche per n n ( n+ 1)( n+ )(( n+ 1) + 1) = 6 n( n+ 1)(n+ 1) + ( n+ 1) = 6 ( n+ 1)( n+ )(n+ 3) = 6 + ( n+ 1) = Ogni insieme di n elementi ha Passo base: n sottoinsiemi. Un insieme di 1 elemento ha sottoinsiemi: lui stesso e l insieme vuoto. Passo induttivo: n Se supponiamo che ogni insieme di n elementi ha sottoinsiemi, allora dobbiamo verificare che ogni insieme di n+1 elementi ha n+1 sottoinsiemi. Se l insieme E ha n elementi, allora l insieme F = E U {z} ha n+1 elementi. I sottoinsiemi di F possono essere divisi in famiglie, quelle che contengono z e quelli che non lo contengono. Entrambe le famiglie sono n formate da insiemi, infatti la seconda è costituita da tutti i sottoinsiemi di E, e la prima da questi stessi unito {z}. Se sommo tutti gli insiemi di tutte e due le famiglie ottengo n n n+ 1 insiemi, che sono tutti e soli i sottoinsiemi di F. + =

11 NON NUMERABILITA DEI REALI Un insieme si dice numerabile quando ha la stessa cardinalità dell'insieme degli interi naturali N, ossia quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra tale insieme e l'insieme dei numeri naturali. In caso contrario si parla di insieme non numerabile. La cardinalità degli insiemi numerabili viene usualmente denotata con il simbolo. Un insieme numerabile X è un insieme infinito, cioè si può porre in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Infatti l'insieme N può porsi in corrispondenza biunivoca con il suo sottoinsieme costituito dai soli numeri pari. Esempi di insiemi numerabili sono l'insieme dei numeri interi e quello dei numeri razionali. Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall'insieme dei numeri reali la cui non numerabilità è stata dimostrata per la prima volta da Cantor tramite il suo argomento diagonale. Per dimostrare che l'insieme dei numeri razionali è numerabile (ci limitiamo ai razionali positivi, sebbene la generalizzazione sia banale), osserviamo che tutti i razionali positivi si possono scrivere nella forma a/b con a e b interi positivi. Possiamo creare la seguente tabella delle frazioni a/b: 1/1, /1, 3/1, 4/1, 5/1,... 1/, /, 3/, 4/, 5/,... 1/3, /3, 3/3, 4/3, 5/3,... 1/4, /4, 3/4, 4/4, 5/4,... 1/5, /5, 3/5, 4/5, 5/5,... E così via. Tramite la cosiddetta diagonalizzazione si può quindi ottenere la seguente lista: 1/1, /1, 1/, 1/3, /, 3/1, 4/1, 3/, /3, 1/4, 1/5, /4, 3/3, 4/, 5/1,... ecc. Se da questa lista cancelliamo le frazioni che non sono ridotte ai minimi termini ci rimane la seguente successione: 1,, 1/, 1/3, 3, 4, 3/, /3, 1/4, 1/5, 5,... ecc. che contiene esattamente tutti i numeri razionali. Non è superfluo osservare che questa sequenza non è ordinata (nel senso numerico di "ogni numero è maggiore del precedente") e, anzi, è impossibile costruire una lista ordinata dei numeri razionali.

12 Diagonale di Cantor L' argomento diagonale di Cantor è una tecnica dimostrativa con cui Georg Cantor ha dimostrato la non numerabilità dei numeri reali. Innanzitutto possiamo considerare invece dell'intero insieme R dei numeri reali, l'intervallo [0,1]; se questo intervallo non è numerabile a maggior ragione non potrà esserlo R. La dimostrazione procede per assurdo nel modo seguente: 1. Supponiamo per assurdo che l'intervallo [0,1] sia numerabile.. questo significa che gli elementi di [0,1] possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo ad una successione di numeri reali {r 1, r, r 3,...} che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà più o meno quest'aspetto: r 1 = r = r 3 = r 4 = r 5 = r 6 = r 7 = In realtà ci sono numeri che hanno più di una rappresentazione decimale: quelli che terminano con una sequenza infinita di 9 o di 0 ne hanno due, in tal caso conveniamo di prendere la rappresentazione che termina con Ora concentriamo la nostra attenzione sulle cifre lungo la diagonale della matrice, cioè sulla successione il cui k-esimo elemento è la k-esima cifra decimale di r k : r 1 = r = r 3 = r 4 = r 5 = r 6 = r 7 = Questa successione di cifre sulla diagonale, vista come un'espansione decimale, definisce un numero reale Ora consideriamo un nuovo numero reale x che abbia invece tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale, un modo per definire un numero siffatto è il seguente: x è il numero reale compreso tra 0 e 1 tale che o se la k-esima cifra decimale di r k è 5 allora la k-esima cifra di x è 4 o se la k-esima cifra di r k non è 5 allora la k-esima cifra decimale di x è 5 Nell'esempio otteniamo: x =

13 3. All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista {r 1, r, r 3,... } enumerasse tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere r n = x per qualche n. 4. A questo punto emerge una contraddizione: x è diverso da r 1 perché differiscono almeno per la prima cifra decimale, x è diverso anche da r da cui differisce almeno per la seconda cifra decimale, e analogamente sarà diverso da r 3, r 4 e così via. In altre parole x è diverso da ogni r n ; dunque abbiamo trovato un numero x in [0,1] che non fa parte della successione di partenza, ma questo contraddice la nostra ipotesi che {r 1, r, r 3,...} fosse una enumerazione di tutti gli elementi di [0,1] e dunque siamo giunti ad un assurdo; ne segue che l'ipotesi di partenza è falsa e cioè [0,1] non è numerabile.