Calibrazione dei modelli di utilità aleatoria ed esempi di modelli di scelta del percorso

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1 Corso di LOGISTICA TERRITORIALE Calibrazione dei modelli di utilità aleatoria ed esempi di modelli di scelta del percorso DOCENTI Agostino Nuzzolo Antonio Comi umberto Crisalli 1

2 Introduzione Costruzione di un modello di domanda: - Definizione della forma funzionale (ad es. Logit) - Attributi (funzione utilità media o sistematica) - Stima dei parametri (beta) - Validazione Capacità di riprodurre le scelte effettuate dal campione (test informali e test statistici) E un processo iterativo trial-and-error Specificazione Validazione Stima dei parametri 2

3 Specificazione del modello Scegliere la forma funzionale - trattabilità computazionale Logit, Nested-Logit vs. Probit, Mixed-Logit, etc. - modelli utilizzati in casi analoghi (es. modelli di scelta modale) - aspettative a priori sulla indipendenza o meno dei residui aleatori (matrice varianza-covarianza) AUTO BUS TRAM 3

4 Matrice varianza-covarianza E una matrice (simmetrica) che riporta sulla diagonale la varianza dei residui aleatori delle diverse alternative e nelle altre celle i valori della covarianza tra i residui aleatori di coppie di alternative A seconda dell ipotesi sulla matrice varianza-covarianza dei residui aleatori, possiamo avere diverse forme funzionali del modello, ad es. Modello Logit: omoschedastico e a covarianza nulla Modello Nested-Logit: si introduce una covarianza tra gruppi di 2 alternative, ad es. tra i modi di trasporto collettivo 0 Modello Probit: si introduce l eteroschedasticità e la covarianza tra tutte alternative Auto AB AT 2 COL AB 2 Bus COL 0 COL 2 AT COL 2 TRAM 4

5 Specificazione del modello definire gli attributi, X k, del modello: Tipologia di attributi o Attributi di livello di servizio, socio-economici, del sistema di attività, o Attributi specifici o generici o Attributi Specifici dell Alternativa (Alternative Specific Constant, ASC) evitare correlazione tra attributi (collinearità)! attenzione all applicazione e agli usi del modello attributi non lineari (es. funzione di utilità sistematica lineare a tratti) V 1 2 V 1 X k 1 s s ( X k s) se se X X k k s s Soglia «s» X k 5

6 Metodo dei minimi quadrati S individua il vettore di parametri che minimizza il quadrato delle differenze tra probabilità da modello e percentuali osservate: essendo: j J i i LSM arg min LSM( ) arg min p ( j) pˆ ( j) p i (j) pˆ i la generica alternativa di scelta il numero di alternative disponibili j= 1...J la probabilità da modello dell alternativa j per l utente i la percentuale con cui l alternativa j è scelta nel campione dall utente i 2 Tale vettore dei beta massimizza la capacità del modello di riprodurre le percentuali aggregate osservate nel campione 6

7 Metodo della massima verosimiglianza Funzione di Likelihood (verosimiglianza) - n, numerosità del campione L() = i=1...n p i [j(i)](x i,) - i, utente generico del campione - p[j(i)], probabilità (da modello) dell alternativa j(i) scelta effettivamente dall utente i (nel campione) S individua il vettore di parametri che massimizza il valore della funzione di verosimiglianza: ML arg max ln L( ) arg max i= 1...n i j i X, Tale vettore dei beta massimizza la probabilità di osservare tramite il modello le scelte effettuate dal campione ln p i 7

8 Metodo della massima verosimiglianza Esempio n=3 j=a,b pa utente j(i) i C A 1 A A B 4 3 C B i exp exp C A C exp C A B L exp exp 3 3 exp 5 exp exp 2 2 exp exp exp 3 3 exp 4 8

9 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA test, informali sui coefficienti di un modello test, formali sui coefficienti di un modello test sulla bontà di interpolazione o ( goodness of fit ) analisi dell elasticità (risposta del modello in fase di applicazione) 9

10 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA TEST INFORMALI SUI COEFFICIENTI DI UN MODELLO verifica della ragionevolezza dei segni dei coefficienti (es. <0 per tempi o costi monetari >0 per la disponibilità di automobili nell utilità del modo auto di un modello di scelta modale o per la quantità di esercizi commerciali nel modello di scelta della destinazione). verifica dei rapporti fra i coefficienti di attributi diversi (es. t / c =VOT -«Value of Time» - può essere confrontato con risultati di altre calibrazioni e aspettative sulla disponibilità a pagare degli utenti, valore delle ASC, ) verifica del valore relativo di alcuni coefficienti (es. tempo a piedi > tempo a bordo ) 10

11 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA TEST FORMALI SUI COEFFICIENTI DEL MODELLO TEST T-STUDENT SUI SINGOLI COEFFICIENTI A) IPOTESI NULLA: H 0 : k =0 : serve a rigettare l ipotesi che i valori stimati dei beta siano statisticamente uguali da zero STATISTICA UTILIZZATA: t Var( ML k ML k t_student con n-k gradi di libertà con n= numerosità del campione k= n dei coefficienti stimati ) 1 / 2 Se t è maggiore di 1,96 l ipotesi può essere rigettata con una probabilità di errore del 5%, e quindi il valore stimato è considerato significativo (per n >30 t student normale standardizzata) 11

12 TEST FORMALI SUI COEFFICIENTI DEL MODELLO Esempi Se t > 1,96 la probabilità che l ipotesi nulla H 0 sia vera è del 5% Se t > 1,29 la probabilità che l ipotesi nulla H 0 sia vera è del 20% Tavola della variabile normale standard z 12

13 VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA STATISTICHE E TEST SULLA BONTÀ DELL ACCOSTAMENTO DEL MODELLO (GOODNESS OF FIT) %_RIGHT n i i1 % _ right i n 1 0 se j( i) j( i) j j i max i max essendo: n j i max j(i) la numerosità del campione l alternativa di massima utilità da modello, per l utente i l alternativa scelta effettivamente dall utente i 13

14 STATISTICHE E TEST SULLA BONTÀ DELL ACCOSTAMENTO DEL MODELLO (GOODNESS OF FIT) VALIDAZIONE DI UN MODELLO DI DOMANDA STATISTICA RHO_QUADRO ln L( ln L( 0) ln L( ML ML ln L( 0) ) ) N con N è il numero dei coefficienti Tale statistica misura la bontà del modello nel riprodurre le scelte fatte dal campione: 2 1 Perfetta capacità riproduttiva del modello 2 0 Capacità riproduttiva del modello nulla 14

15 INDAGINI RP E INDAGINI SP Indagini RP (Revealed Preference o Preferenze Rivelate) indagini sui comportamenti effettivi (rivelati) dagli utenti in un contesto reale Si rilevano le scelte che gli utenti hanno realmente effettuato (Ad esempio quale percorso o quale modo di trasporto hanno scelto per spostarsi su una determinata relazione OD) Indagini SP ( Stated Preference o Preferenze Dichiarate) indagini sui comportamenti dichiarati dagli utenti in contesti ipotetici Si sottopongono all intervistato alcune alternative di viaggio e si chiede di scegliere qual è per lui la migliore 15

16 Esempio di indagine RP FINALITÀ DELL INDAGINE stima della domanda interna METODOLOGIA D INDAGINE indagine telefonica T.M.T Pragma S.r.l. Pragma S.r.l. Studio Market Selector S.a.s QUESTIONARIO INDAGINE TELEFONICA 7.00 / 9.00 Buongiorno/sera sono della.. Il nostro Istituto sta svolgendo un indagine per conto del Comune di Roma sugli spostamenti in città. Potrei parlare con una persona della sua famiglia di (sesso) e di età compresa tra e? Le preciso che in base alla legge 675 sulla tutela della privacy, lei è libero di accettare l intervista o di interromperla nel momento in cui lo ritenga opportuno. Le garantisco che qualsiasi informazione ci verrà data, verrà trattata in forma strettamente riservata e senza l uso dei dati personali. D. 1 SESSO 1 Uomo 2 Donna D. 2 QUAL E LA SUA ETA? anni D. 3 NELLA GIORNATA DI IERI LEI ERA A ROMA? 1 Si 2 No (passare a dom. 8) D. 3.1 E SEMPRE NELLA GIORNATA DI IERI LEI HA EFFETTUATO SPOSTAMENTI IN CITTA CHE ABBIANO AVUTO INIZIO O TERMINE TRA LE ORE 7.00 E LE ORE 9.00? 1 Si 2 No (passare a dom. 8) D. 4 DA QUANTE PERSONE E COMPOSTA LA SUA FAMIGLIA (LEI COMPRESA/O)? N persone D. 5 TRA LE PERSONE DELLA SUA FAMIGLIA QUANTE HANNO LA PATENTE DI GUIDA? persone D. 6 E LEI IN PARTICOLARE HA LA PATENTE DI GUIDA? 1 Si 2 No

17 Esempio di indagine RP FINALITÀ DELL INDAGINE stima della domanda interna METODOLOGIA D INDAGINE indagine telefonica PENSANDO SEMPRE NELLA GIORNATA DI IERI ALLA FASCIA ORARIA TRA LE ORE 7.00 E LE ORE 9.00, VORREI RICOSTRUIRE I SUOI SPOSTAMENTI. PER SPOSTAMENTO S INTENDE OGNI VOLTA CHE SI E MOSSO PER UNO SCOPO SPECIFICO. D.7 A CHE ORA HA AVUTO INIZIO IL PRIMO SPOSTAMENTO? : ora minuti D.7.1 DA QUALE INDIRIZZO HA AVUTO INIZIO QUESTO SPOSTAMENTO (indirizzo per esteso comprensivo di numero civico) Comune : 1 Roma 2 Fuori Roma (registrare il Comune per gli spostamenti successivi al primo) Via/Piazza/Largo N civico: D.7.2 IN QUALE COMUNE ED INDIRIZZO HA AVUTO TERMINE QUESTO SPOSTAMENTO? (comune ed indirizzo per esteso comprensivo di numero civico) Comune : 1 Roma 2 Fuori Roma (Non registrare l indirizzo se lo spostamento ha avuto termine fuori Roma) Via/Piazza/Largo N civico: D.7.3 A CHE ORA E GIUNTO A DESTINAZIONE (nel comune e/o all indirizzo citato a dom. 7.2)? : ora minuti D. 7.4 QUALE ERA IL MOTIVO DI QUESTO SPOSTAMENTO? 1 Andare al posto di lavoro 2 Visita a clienti/affari consegne 3 Andare a scuola 4 Acquisti, commissioni personali 5 Visita a parenti/amici 6 Visite mediche/cure personali 7 Svago (tutti escluso culturale), Sport (spettatore e/o praticante) 8 Svago culturale (cinema, teatro, museo) 9 Accompagnamento/prelevamento persone 10 Parrucchiere, barbiere, estetica 11 Ritorno all abitazione abituale 12 Altri motivi D.7.5. CON QUALE FREQUENZA EFFETTUA QUESTO SPOSTAMENTO? volte alla settimana volte al mese volte all anno (codificare con 1 volta all anno lo spostamento occasionale/ prima volta)

18 Esempio di indagine RP FINALITÀ DELL INDAGINE stima della domanda interna METODOLOGIA D INDAGINE indagine telefonica D.7.6. QUALE MEZZO/I HA UTILIZZATO PER EFFETTUARE QUESTO SPOSTAMENTO? SE HA USATO PIU DI UN MEZZO LI INDICHI IN SEQUENZA 1 A piedi 2 Bicicletta 1 mezzo 2 mezzo 3 mezzo 4 mezzo 3 Motocicletta ciclomotori (conducente) 4 Motocicletta ciclomotori (passeggero) 5 Auto privata (conducente) 6 Auto privata (passeggero) 7 Veicolo merci ad uso promiscuo 8 Taxi 9 Autobus (ATAC,COTRAL) 10 Tram 11 Metropolitana 12 Altro mezzo (treno FS, aereo) D.7.7. (Per tutti coloro con cod.3, 5 e 7 a dom. 7.6, eccetto quando a dom.7.2 la risposta è uguale a 2 (fuori Roma) e a dom. 7.6 è stato citato solo cod. 3 o 5 o 7)DOVE HA PARCHEGGIATO? 1 Strada o area pubblica gratuita 2 Strada o area pubblica a pagamento 3 Posto auto privato di proprietà 4 Posto auto privato a pagamento 5 Posto auto privato gratuito o riservato azienda 6 Autorimessa D.7.8. (Se ha usato più mezzi) IN QUALE INDIRIZZO HA PRESO IL SECONDO MEZZO? ED IL TERZO? Indirizzo per esteso secondo mezzo Via/Piazza/Largo N civico: Indirizzo per esteso terzo mezzo Via/Piazza/Largo N civico: ATTENZIONE PORRE LE DOM. DA 7 A 7.8 PER OGNI SPOSTAMENTO EFFETTUATO SUCCESSIVAMENTE AL PRIMO CONTROLLANDO CHE L INDIRIZZO DI ORIGINE COINCIDA CON QUELLO DI DESTINAZIONE DELLO SPOSTAMENTO PRECEDENTE

19 Esempio di indagine SP

20 CAMPIONI INDIVIDUALI E COLLETTIVI Le osservazioni che costituiscono il campione con cui si calibra un modello, possono essere relative a: Uno stesso individuo che effettua le proprie scelte ad esempio su una stessa relazione Origine-Destinazione in giorni diversi (Campioni individuali) Più individui che effettuano le proprie scelte, ad esempio su relazioni OD diverse e in giorni diversi (Campioni collettivi) 20

21 Corso di TRASPORTI E TERRITORIO e TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE Esempi di modelli di scelta del percorso DOCENTI Agostino Nuzzolo (nuzzolo@ing.uniroma2.it) Antonio Comi (comi@ing.uniroma2.it) Pierluigi Coppola (coppola@ing.uniroma2.it) Umberto Crisalli (crisalli@ing.uniroma2.it) 21

22 Example of path alternatives Frascati-Rome with Desired Arrival Time at 9:30 am Path 1 values [min] Path 2 values [min] Attributes min max average Attributes min max average waiting time waiting time on board time rail and metro on board time rail and metro on board time bus on board time bus access and egress walking time access and egress walking time late arrival time late arrival time early arrival time early arrival time number of transfers number of transfers total travel time total travel time Path 3 values [min] Path 4 values [min] Attributes min max average Attributes min max average waiting time waiting time on board time rail and metro on board time rail and metro on board time bus on board time bus access and egress walking time access and egress walking time late arrival time late arrival time early arrival time early arrival time number of transfers number of transfers total travel time total travel time Frascati Railways station Train Capannelle Railways station Bus Cinecittà Metro station Metro A Bus Sempione Bus stop Foot Ciampino Railways station Termini Metro station Piazza Sempione Bus Anagnina Metro station Metro A Metro B Conca D Oro Metro station Foot Tor Vergata University of Rome 22

23 Path choice behaviour assumption The user compares the alternative paths using a personal path utility function, for example: t V OD,tTTi é ë kù û = b ED ED k + b AE AE k + å [ b TW,m TW m,k + b OB,m OB m,k + b CFW,m CFW m,k + b NT,m NT m,k ] m where: V is the Path Utility of path k for user i ED k is the Early or Late arrival time (i.e. the difference between the desired and the actual arrival time); AE k is the sum of access and egress times; TW m,k is the waiting time of transit service m; OB m,k is the on-board time; CFW m,k is the average on-board crowding degree; NT m is the number of transfers; i are the personal model parameters. Tor Vergata University of Rome 23

24 Which performances are required to the individual path choiche models? t-student test: H 0 : k = 0; rho-squared : ML 2 ln L( ) 1 lnl( 0) adjusted rho-squared ln L ML N 2 1 ln L( 0) N number of model parameters t Var ML k ML 1/ 2 k %-of- right = percentage of observations for which the choosen alternative is the one of maximum utility ( or the second best) Tor Vergata University of Rome 24

25 EXP T_ATT_T OT Example of Multinomial logit parameters estimated with 150 SP observations Esempio di questionario T_ATT_Fe rro T_ATT_Me T_ATT_G ON_B_ tro omma F ON_B_ M ON_B_ G ON_B_TO T ACC_EG RIT ANT ANT_RI T tot R T TRASB BUS TRASB METR SCELTA O Tor Vergata University of Rome 25

26 Example of Multinomial logit parameters estimated with 150 SP observations USER User A User B User C User D User E User F Model type Waiting time (total) On-board time (train) On-board time (metro) On-board time (bus) Early and late arrival time βwaiting βrailway βmetro βbus βδ(early/late) %-of-right (1 st ) %-of-right incl. 1 st +2 nd best logit % ( 2 = 0.71) t =-4.06 t =-1.3 t =-1.64 t =-3.24 t = % logit % ( 2 = 0.67) t =-5.50 t =-3.12 t =-2.80 t =-3.31 t = % logit % ( 2 = 0.60) t =-3.31 t =-6.81 t = % logit % ( 2 = 0.90) t =-3.65 t =-3.24 t = % logit % ( 2 = 0.79) t =-5.24 t = % logit % ( 2 = 0.69) t =-1.71 t =-4.90 t =-0.14 t =-1.73 t = % Average logit % ( 2 = 0.51) t = t = t = t = t = % Tor Vergata University of Rome 26

27 Performances of Multinomial logit models Personal model Average model Applied to %-of-right %-of-right %-of-right %-of-right (1st) (2nd) (1st) (2nd) User A 84% 97% 83% 98% User B 81% 98% 51% 77% User C 64% 100% 65% 89% User D 95% 100% 91% 100% User E 88% 100% 79% 95% User F 90% 96% 85% 96% Tor Vergata University of Rome 27

28 Example of path alternatives Urban O-D pair Path 1 values [min] Path 2 values [min] Attribute min Max Average Attribute min Max Average Waiting time the first bus (minutes) Waiting time the first bus (minutes) On board (bus; minutes) On board (bus; minutes) On board metro minutes) On board metro minutes) Bus Transfer Time (minutes) Bus Transfer Time (minutes) Metro Transfer Time (minutes) Metro Transfer Time (minutes) Number of transfer bus Number of transfer bus Number of transfer metro Number of transfer metro On foot Time (minutes) On foot Time (minutes) Total Travel time (minutes) 62,00 121,00 76,47 Total Travel time (minutes) Path 3 values [min] Attribute min Max Average Waiting time the first bus (minutes) On board (bus; minutes) On board metro minutes) Bus Transfer Time (minutes) Metro Transfer Time (minutes) Number of transfer bus Number of transfer metro On foot Time (minutes) Total Travel time (minutes) Tor Vergata University of Rome 28

29 Example of Multinomial logit parameters estimated with 150 SP observations Esempio di questionario EXP Ora Ora T_ Tempo Attesa_ Viaggio Viaggio Tempo Tempo N N Partenza Arrivo Viaggio_Tot Piedi Bus Bus Metro Trasb_Bus Trasb_Metro Trasb_Bus Trasb_Metro SCELTA Tor Vergata University of Rome 29

30 Example of Multinomial logit parameters estimated with 150 SP observations Urban O-D pair Attributes Travel time (total) Time on foot On-board and transfer time ASA (metro) Parameter User A User B Average (-7.86) (-5.11) (-5.24) (-1.78) (-10.67) (-6.24) (2.10) (-2.31) %-of-right 75% 72% 70% %-of-right including the 100% 94% 94% 1 st +2 nd best Tor Vergata University of Rome 30

31 Performances of Multinomial logit models Urban O-D pair Personal model Average model Applied to %-of-right %-of-right %-of-right %-of-right (1st) (2nd) (1st) (2nd) User A 75% 100% 74% 97% User B 72% 94% 62% 94% Tor Vergata University of Rome 31