(1,2) 800 (1,3) 500. Figura 1 Alternative di percorso tra le coppie di zone dell area di studio (1,2) e (1,3).

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1 ESERCIZIO SCELTA DEL PERCORSO Si consideri un area di studio costituita da tre zone di traffico. Siano: - A e B i percorsi che collegano la coppia di zone (1,2); - C e D i percorsi che collegano la coppia (1,3). I costi di tali percorsi siano quelli riportati in Figura 1. OD flusso dod percorso k Costo di percorso C(k) (1,2) 800 (1,3) 500 A 20 B 40 C 30 D 35 Figura 1 Alternative di percorso tra le coppie di zone dell area di studio (1,2) e (1,3). a) Considerando le scelte effettuate dal campione di 6 utenti, riportate in tabella 3, si calcoli il valore della funzione di Verosimiglianza, ipotizzando un modello di scelta del percorso di tipo Logit in cui l utilità sistematica sia data da: V ( k) 0,15 C( k) essendo: k rappresenta la generica alternativa di percorso C(k) il costo del percorso k. Tabella 3 Scelte effettuate dal campione. utente i OD percorso scelto 1 1,2 A 2 1,2 A 3 1,2 A 4 1,3 C 5 1,3 C 6 1,3 D b) Si calcolino le statistiche %_right e rho_quadro ( 1

2 c) Si determini infine il flusso sui quattro percorsi considerando un domanda di mobilità, dod, tra le coppie (1,2) e (1,3) pari rispettivamente a 800 e 500 veicoli/h. SVOLGIMENTO flusso OD dod -1, ,3 500 percorso Utilità sistematica Costo di percorso C(k) k di percorso C(k) Prob di scelta di percorso p(k) Flusso Fk A 20-3,00 0, B 40-6,00 0,05 38 C 30-4,50 0, D 35-5,25 0, utente i OD percorso scelto p (k) scelta utente ln (p) 1 1,2 A 0,953-0, ,2 A 0,953-0, ,2 A 0,953-0, ,3 C 0,679-0, ,3 C 0,679-0, ,3 D 0,321-1,137 0,128-2,056 Verosimiglianza 0,128 ln (verosimiglianza) -2,05638 Verosimiglianza (L(0)) 0,016 ln (verosimiglianza(0)) -4,15888 % right 83% rho-quadro 0,506 2

3 ESERCIZI MODELLI LUTI Esercizio 1 Localizzazione dei residenti Si consideri un area di studio costituita da tre zone le cui caratteristiche siano quelle riportate in Tab Tab. 1.1 Addetti totali e numero di abitazioni per zona. zona Add_totali # Abitazioni Totale Si distribuiscano gli occupati mediante un modello di scelta della zona di residenza condizionata alla zona in cui si lavora, di tipo Logit (parametro = 1) in cui la funzione di utilità sistematica sia la seguente: V( o d ) C. occ( o ) od 0 2 Ab( o ) essendo: - cod il costo generalizzato dello spostamento dalla zona o alla zona d, espresso in minuti (riportato in Tab. 1.2); - occ(o)/ab(o) il rapporto tra il numero di occupati e il numero di abitazioni della generica zona o. Tab. 1.2 Costo generalizzato dello spostamento (in minuti) tra le zone dell area di studio. cod (min)

4 Soluzione esercizio 1 La presenza dell attributo occ(o)/ab(o) nell espressione dell utilità sistematica, innesca un problema di equilibrio nella localizzazione degli occupati tra le zone. Per la risoluzione di tale problema si proceda in maniera iterativa utilizzando ad ogni iterazione il valore degli occupati calcolati all iterazione precedente. Step 0 Per l iterazione iniziale, si può utilizzare un numero di occupati per zona, uguale al numero degli addetti totali di zona (cfr. Tab. 1.3). Tab. 1.3 Vettore degli occupati per l inizializzazione del processo iterativo Occupati zona iterazione iniziale Totale 600 Step 1 a) calcolo della probabilità condizionata di localizzare la residenza in o condizionata al luogo di lavoro in d : p o d o' exp V( o d ) exp V( o' d ) o d c B c (occ/ab) B_ab V p % % % % % % % % % 4

5 b) calcolo del numero di occupati per zona: OCC o po d ADD _ totd d Zona Occ totale 600 Procedendo iterativamente aggiornando il vettore degli occupati per il calcolo dei rapporti occ(o)/ab(o), si ottiene: 5

6 Step 2 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Zona Occ % % % % totale % % % % % Step 3 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Zona Occ % % % % totale % % % % % Step 4 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Zona Occ % % % % totale % % % % % Step 5 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Zone Occ % % % % totale % % % % % Step 6 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Zone Occ % % % % totale % % % % % 6

7 Essendo invariato il vettore degli occupati dallo step 5 allo step 6, è possibile arrestare il processo iterativo e concludere che la distribuzione degli occupati tra le zone è la seguente: Zone Occ totale 600 Nota: Si osservi che partendo da un vettore di occupati diverso da quello di Tab. 1.3 si ottiene lo stesso risultato, essendo unica la soluzione del suddetto problema di equilibrio. Ad esempio ipotizzando che allo step 0 tutti gli occupati siano concentrati nella zona 1 (cfr Tab. 1.4): Tab. 1.4 Vettore degli occupati per l inizializzazione del processo iterativo Occupati zona iterazione iniziale Totale 600 si ottiene: 7

8 Step 1 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Zona Occ % % % % totale % % % % % Step 2 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Occ % % % % totale % % % % % Step 3 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Occ % % % % totale % % % % % Step 4 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Occ % % % % totale % % % % % Step 5 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Zone Occ % % % % totale % % % % % Step 6 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Occ % % % % % % % % % Step7 o d c B c (occ/ab) B_ab V p Occ % % % % % % % % % 8

9 Esercizio 2 Localizzazione degli addetti al commercio Si consideri un area di studio costituita da tre zone le cui caratteristiche siano quelle riportate in Tab Tab. 2.1 Addetti di base e numero di residenti per zona. zona Add. di base Residenti Totale Il numero complessivo di addetti al commercio, ADD_commercio, sia pari a 300. Si distribuiscano tali addetti mediante un modello di scelta discreta della zona in cui localizzare l attività commerciale; tale modello sia di tipo Logit (con parametro = 1) e la funzione di utilità sistematica della generica zona d, sia la seguente: V( d ) essendo: Res( d ) Add _base( d ) 1. 4 Acc _ passiva( d ) Centro( d ) C Acc od o10 60 l accessibilità passiva della zona d calcolata utilizzando i - d exp costi generalizzati dello spostamento,cod, espressi in minuti, riportati in Tab. 2.2; - Res(d) il numero di residenti della zona d; - Add_Base (d) il numero di addetti di base della zona d; - Centro(d) una variabile che vale uno per la zona 1 (che rappresenta il centro dell area di studio) e vale 0 per tutte le altre zone; Tab. 2.2 Costo generalizzato dello spostamento (in minuti) tra le zone dell area di studio. c od (min)

10 Soluzione esercizio 2 a) calcolo della probabilità di localizzare l attività commerciale in d : p d d' exp V( d ) exp V( d' ) zona Acc_pass B Acc Res Res/1000 B Res Centro B_centro Add_base Add_base/1000 B_add V p % % % % b) calcolo del numero di addetti al commercio: ADD _commercio d pd ADD _ commercio zona Add_comm

11 Esercizio 3 Localizzazione di residenti e addetti Si consideri un area di studio costituita da tre zone le cui caratteristiche siano quelle riportate in Tab Tab. 3.1 Addetti di Base e numero di abitazioni per zona. zona Add_Base # Abitazioni Totale Il numero complessivo di addetti ai servizi, ADD_servizi, sia pari a 300. Si distribuiscano tali addetti mediante un modello di scelta discreta della zona in cui localizzare l attività di servizio; tale modello sia di tipo Logit (con parametro = 1) e la funzione di utilità sistematica della generica zona d, sia la seguente: essendo: V( d ) - d exp Res( d ) 1. 3 Acc _ passiva( d ) C Acc od o10 60 l accessibilità passiva della zona d calcolata utilizzando i costi generalizzati dello spostamento,cod, espressi in minuti, riportati in Tab. 3.2; - Res(d) il numero di residenti della zona d. Tab. 3.2 Costo generalizzato dello spostamento (in minuti) tra le zone dell area di studio. c od (min) Si calcoli la distribuzione spaziale dei residenti nelle zone dell area di studio, Res(o), a partire dalla distribuzione spaziale degli occupati: Res( o ) 3 occ( o ) essendo occ(o) il numero di occupati della generica zona o. 11

12 Si calcoli la distribuzione spaziale degli occupati mediante un modello di scelta della zona di residenza condizionata alla zona in cui si lavora, di tipo Logit (parametro = 1) in cui la funzione di utilità sistematica sia la seguente: Ab( o) 0.5 Centro ( ) V ( o d ) 0.15 Cod 0.3 ln o essendo: - cod il costo generalizzato dello spostamento dalla zona o alla zona d, espresso in minuti (riportato in Tab. 3.2); - ln[ab(o)] il logaritmo del numero di abitazioni della generica zona o; - Centro(o) una variabile che vale uno per la zona 2 (che rappresenta il centro dell area di studio) e vale 0 per tutte le altre zone. 12

13 Soluzione esercizio 3 La presenza dell attributo Res(d) nell espressione dell utilità sistematica, innesca un problema di equilibrio tra residenti e addetti. Infatti, la localizzazione degli addetti ai servizi dipende dalla distribuzione spaziale dei residenti che, a sua volta, dipende dalla distribuzione spaziale degli addetti totali (somma di addetti di base e addetti ai servizi). Per la risoluzione di tale problema si proceda in maniera iterativa utilizzando ad ogni iterazione il valore dei residenti calcolati all iterazione precedente. Per l iterazione iniziale, si può utilizzare un numero di residenti ripartito uniformemente per ogni zona (cfr. Tab. 3.3). Tab. 3.3 Vettore dei residenti per l inizializzazione del processo iterativo Residenti zona iterazione iniziale Totale 3000 Step 1 a) calcolo della probabilità di localizzare l attività di servizio in d : p d d' exp V( d ) exp V( d' ) zona Acc B Acc Res Res/1000 B Res V p % % % % b) calcolo del numero di addetti ai servizi: ADD _ servizi d pd ADD _ servizi 13

14 ADD _totali d ADD _ servizi( d ) ADD _base( d ) Add_BASE Add_servizi ADD_tot c) calcolo della probabilità condizionata di localizzare la residenza in o condizionata al luogo di lavoro in d : p o d o' exp V( o d ) exp V( o' d ) o d c B c ln(ab) B_ab Centro B_acc V p % % % % % % % % % d) calcolo del numero di occupati e residenti per zona: occ o po d ADD _totd d Re s o 3 occ o Occ Res

15 Step 2 Modello di localizzazione dei servizi zona Acc B Acc Res Res B Res V p Add_BASE Add_servizi ADD_tot % % % % Modello di localizzazione delle residenze o d c B c ln(ab) B_ab Centro B_acc V p Occ Res % % % % % % % % % Step 3 Modello di localizzazione dei servizi zona Acc B Acc Res Res B Res V p Add_BASE Add_servizi ADD_tot % % % % Modello di localizzazione delle residenze o d c B c ln(ab) B_ab Centro B_acc V p Occ Res % % % % % % % % % Step 4 Modello di localizzazione dei servizi zona Acc B Acc Res Res B Res V p Add_BASE Add_servizi ADD_tot % % % % Modello di localizzazione delle residenze o d c B c ln(ab) B_ab Centro B_acc V p Occ Res % % % % % % % % % 15