LA TEORIA DELLE MATRICI

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1 LA TEORIA DELLE MATRICI Il concetto di matrice (dal latino matrix o mater) fu introdotto da James Joseph Silvester (84-97) in An essay on canonical forms (Londra, 85) per indicare una disposizione rettangolare di numeri alla quale si potessero, nel caso quadrato, associare quantità numeriche dette determinanti. A parte alcuni prodromi risalenti a vari autori, quali Gabriel Cramer (750, Genova), Pierre Simon Laplace e Alexandre Théophile Vandermonde (770), Etienne Bezout (779), la teoria dei determinanti è nata in una Memoria di Cauchy del 82 ed in un contemporaneo lavoro, meno perfetto, di Jacques Binet ( ). Augustin Louis Cauchy ( , ingegnere militare e Professore all Ecole Polytechnique di Parigi) riprende il termine di determinante da Carl Friedrich Gauss (che non diede effettivamente contributi alla teoria), sviluppandone di fatto l intera teoria. La notazione a due indici attuale è dovuta al matematico tedesco Leopold Kronecker (823-89) mentre la nozione di rango (o caratteristica) di una matrice è merito del tedesco Ferdinand Georg Frobenius (849-97). A partire dal 858, in una serie di lavori, Arthur Cayley (82-895), matematico ed avvocato inglese, professore di Algebra a Cambridge ed autore di più di mille Memorie, ha iniziato ad operare con le matrici definendo per esse le operazioni di addizione e moltiplicazione, costruendo, in tal modo, le basi del moderno calcolo matriciale. La teoria delle matrici, dunque, sviluppata in stretta connessione con la teoria dei vettori, ha trovato notevoli applicazioni in molte branche, sia della Matematica che della Fisica.. Generalità Siano dati mn numeri reali a ij (non necessariamente tutti nulli). Definizione.. Si definisce matrice ad m righe ed n colonne o brevemente matrice di ordine mn, e la si indica, per comodità, con una lettera maiuscola dell alfabeto, una m-upla ordinata di n-uple ordinate. Da un punto di vista più intuitivo si può definire una matrice come un insieme A di mn elementi disposti come segue: a... a i... an A ai... aii... a in am... ami... a mn Generalmente si è soliti indicare, per comodità, una matrice anche in modo compatto, ovvero attraverso la seguente notazione: A a ij per i=, 2,..., m e j=, 2,..., n Ogni elemento a ij della matrice A è dotato di due indici, i e j, il primo dei quali denota il numero d ordine dell orizzontale a cui l elemento appartiene ed il secondo il numero d ordine della verticale. Le orizzontali si chiamano righe della matrice e le verticali colonne; si definisce linea indifferentemente un orizzontale od una verticale. L elemento a ij, pertanto, appartiene alla riga i-esima e alla colonna j-esima. A volte occorre indicare esplicitamente, in basso a destra della lettera che denota la matrice, il numero m delle righe ed n delle colonne da cui è composta; in tal caso si scrive A m n al posto di A.

2 Esempi ) 2 A 3 5 A3 2 è una matrice 32 (m=3 ed n=2) 7 9 2) 7 4 A A33 è una matrice 33 (m=3 ed n=3) Definizione.2. Una matrice A di ordine mn si dice rettangolare se in essa il numero delle righe è diverso da quello delle colonne. Nel caso in cui sia m=n, allora la matrice A si dice quadrata di ordine n (o m) con elementi. Una siffatta matrice si indica brevemente come segue: con i=j=, 2,..., n A a ij 2 2 n = m e gli elementi a,..., aii,..., ann formano la diagonale principale di A, mentre gli elementi an,,..., ai, n i,..., a n costituiscono la sua diagonale secondaria. In particolare se m=n= la matrice è quadrata ed in questo caso la diagonale principale e quella secondaria coincidono con l unico elemento a. Esempi ) A è una matrice rettangolare 23 (m=2 ed n=3) 3 4 2) A 2 è una matrice quadrata 22 (n=m=2) 3 2 In tal caso gli elementi 2, 2 formano la diagonale principale mentre gli elementi, 3 quella secondaria. A 2 è una matrice quadrata con m=n=. 3) A ( a ) In questo esempio la diagonale principale e quella secondaria coincidono con il solo elemento 2 della matrice A. Definizione.3. Una matrice quadrata D si dice diagonale se in essa sono nulli tutti gli elementi al di fuori di quelli che si trovano sulla diagonale principale. Esempio D 0 0 è una matrice diagonale Definizione.4. Una matrice quadrata A di ordine n si dice triangolare superiore se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale e triangolare inferiore se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale. 2

3 Esempi 0 0 ) A 3 0 è una matrice triangolare inferiore ) A è una matrice triangolare superiore Osservazione Una matrice diagonale è una matrice triangolare sia superiore che inferiore. Definizione.5. Data una qualunque matrice A di ordine mn si definisce trasposta di A, e la si indica con matrice di ordine nm ottenuta da A scambiando le righe con le colonne. Esempi t ) A A t 2) A 2 7 A t A, la Definizione.6. Una matrice A di ordine mn si dice simmetrica se Esempio 2 3 A 2 2 è una matrice simmetrica A t. A Definizione.7. Una matrice quadrata del tipo se i= j In ij con ij per i, j=, 2,..., n 0 se i j si chiama matrice identica o unitaria di ordine n. In altre parole una matrice identica è una matrice diagonale in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali ad uno. Esempio 0 0 I3 0 0 è la matrice identità di ordine 3 (diagonale con gli elementi unitari) 0 0 3

4 Definizione.8. Siano m ed n. Fissato un elemento qualsiasi a ij della matrice A di ordine mn si definisce minore complementare di a ij, e lo si indica con m ij, la matrice, di ordine (m)(n), che si ottiene da A cancellando tutti gli elementi della i-esima riga e j-esima colonna. Esempi ) A 3 5 m2 è il minore complementare di a ) A 3 5 m2 è il minore complementare di a DETERMINANTI Scopo del presente paragrafo è di introdurre un numero reale associato ad una matrice quadrata A, denominato determinante di A ed indicato con deta oppure con A. Poiché siffatto numero riveste notevole interesse in molti argomenti occorre impararne il suo calcolo. Sia A una matrice quadrata di ordine n. Definizione 2.. A a Se n=, cioè Esempi A 2 deta 2 2 ) 2) A 5 deta 5 5 Definizione 2.2. a Se n=2, cioè A a, il determinante di A è dato da: a 2 a 2 22 deta a a, allora il determinante di A è dato da: a a2 deta a a a a a a Esempi ) A deta ( ) ) 2 2 A deta ) 2 2 A deta ( 2) ) 4 4 A deta

5 Definizione 2.3. a a a Se n=3, cioè A a a a a a a a a a , allora il determinante di A è dato da: deta a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Un metodo pratico, però, che consente di calcolare il determinante solo di una matrice del terzo ordine, è fornito dalla seguente regola di Sarrus: data una matrice A di ordine tre, si consideri la tabella ottenuta da A aggiungendo ad essa, a destra, nell ordine, le sue prime due colonne, cioè: a a a a a a a a a a a3 a32 a33 a3 a32 Si ottiene, quindi, il determinante di A eseguendo la somma dei prodotti degli elementi delle diagonali principali, aa 22a33 a2 a23a3 a3, a2, a32, e sottraendo ad essa la somma dei prodotti degli elementi delle diagonali secondarie, a3a 22a3 a32a 23a a33a 2a2. Esempi ) Data la matrice 3 5 A Per poter calcolare il determinante di A in modo piuttosto agevole, occorre applicare la regola di Sarrus, scrivendo, in primo luogo, la seguente tabella mnemonica: da cui segue che: deta ( ) ( ) ) A deta (0 60 0) Osservazione Le definizioni precedenti forniscono anche metodi pratici per il calcolo del determinante di una matrice quadrata A di ordine n=,2,3. Si analizzerà di seguito, invece, un criterio generale che consente di calcolare il determinante di una matrice quadrata A di ordine qualsiasi n 2. A tal fine, però, occorre premettere la seguente: Definizione 2.4. Data una matrice A di ordine mn, si definisce minore di ordine mi, estratto da A, il determinante ottenuto dalla matrice cancellando i righe e j colonne in modo che sia mi=nj. Ne segue, in particolare, che ogni elemento di una qualunque matrice rappresenta un minore del primo ordine. 5

6 Esempi ) Se A, allora i minori di ordine tre estraibili da A sono: , 2 4, 2 3, ) Se A , allora i minori di ordine tre estraibili da A sono: , 2 2 6, 2 4 6, mentre alcuni minori di ordine due estraibili da A sono, ad esempio: ,,,,, e così via. Definizione 2.5. Sia a ij un elemento qualsiasi di una matrice quadrata A di ordine n 2. Si chiama complemento algebrico di a ij, e si indica con c ij, il determinante del minore complementare di a ij preso con il segno positivo o negativo a seconda che la somma degli indici, ovvero i+j, sia rispettivamente pari o dispari. Esempi 3 ) Se A 2 4, allora: 2 c 4 4 è il complemento algebrico di a c è il complemento algebrico di a2 2 e così via ) Se A allora: 2 6 c 5 è il complemento algebrico di a 6 c è il complemento algebrico di a c3 2 e via dicendo. è il complemento algebrico di a3 2 6

7 Osservazione La definizione generale di determinante di ordine n viene data per ricorrenza, ovvero in funzione di quella di determinante di ordine quelli di ordine direttamente. n ; i determinanti di ordine 7 n si ottengono in funzione di n 2 e così via, fino a quelli di ordine almeno tre che si sanno calcolare Definizione 2.6. (definizione generale di determinante) Data una matrice quadrata A di ordine, si chiama determinante di A quel numero, che si indica con deta oppure con A, formato dalla somma dei prodotti degli elementi di una linea (riga o colonna) qualsiasi, ovvero scelta a piacere, della matrice per i rispettivi complementi algebrici. n 2 Dalla precedente definizione, però, può sorgere il dubbio che il calcolo di un determinante dipenda dalla particolare linea scelta. Si dimostra, quindi, a tal riguardo, il seguente: Teorema (di Laplace): se A è una matrice quadrata di ordine n, allora il valore numerico del deta è sempre il medesimo a prescindere dalla linea scelta per il suo calcolo. Esempi ) Calcolare il determinante associato alla seguente matrice 3 2 A secondo gli elementi della prima riga (è consigliabile, in fase preliminare, eseguire tale calcolo utilizzando anche la regola di Sarrus, in modo tale da poter verificare che il risultato ottenuto è il medesimo, ovvero 4). Si ha: deta 3c 2c c Osserviamo ora che, se si calcola il determinante secondo gli elementi di un altra riga o colonna, ad esempio la seconda colonna, si ottiene, in accordo con il teorema di Laplace, sempre il medesimo risultato: deta 2c2 4c22 7c ) Calcolare deta, essendo A Per economia di calcolo conviene, in questo caso, fissare la riga o la colonna nella quale figuri il maggior numero possibile di elementi nulli. Se, ad esempio, si fissa la prima riga si ha: deta Lo studente provi, per esercizio, a calcolare il determinante della stessa matrice fissando, ad esempio, la terza riga oppure la prima colonna; potrà verificare, quindi, che, variando la linea di

8 partenza, il valore del determinante non muta. Naturalmente si può calcolare suddetto determinante fissando un altra riga, ad esempio, la quarta; risulta evidente, però, che, in alcuni casi, il procedimento è di gran lunga più laborioso. 3. OPERAZIONI CON LE MATRICI Siano A e B due matrici di tipo mk ed hn rispettivamente. Definizione 3.. A e B si dicono sommabili (sottraibili) se m=h e k=n. Se A e B sono sommabili (sottraibili), ovvero entrambe di tipo mn, allora risulta: A B a b a b ij ij ij ij Esempi ) A 3 2, B Poiché A e B sono entrambe di ordine 33, sono sommabili e sottraibili; risulta allora: A B A B ) A 3 3, B Poiché A e B sono sommabili (sottraibili), in quanto entrambe di ordine 32, si ha: A B= A B= ) A 0, B Poiché A e B sono di ordine rispettivamente 33 e 23, le due matrici non sono sommabili (sottraibili). Osservazioni Comunque data A= A m n e considerata la matrice O= O mn, risulta: () AO= O A A 8

9 Esempi 2 3 ) A La matrice nulla, associata ad A, di ordine tre, è data da: O Essendo A ed O sommabili, è facile verificare, sfruttando la definizione 4.., che la () è soddisfatta ) A 0 3 In questo caso la matrice nulla associata ad A è di ordine 23, ovvero della forma: O Dunque la () è verificata. Se A è la matrice ottenuta da A cambiando segno a tutti i suoi elementi si ha: A A = A A O (2) Esempi ) A 4 A Utilizzando ora la definizione 4.., si verifica banalmente la (2) ) A 2 A La verifica della (2) è lasciata, per esercizio, allo studente. Osservazione Nell insieme M di tutte le matrici, l operazione di addizione tra matrici (+) è un operazione parziale in quanto non sempre eseguibile: matrici di egual tipo, infatti, sono sommabili, a differenza di matrici di diverso tipo che non sono (e non potrebbero essere) sommabili (posto a posto). Quanto fino ad ora affermato si può riassumere nel seguente: M m, n Teorema: sia l insieme di tutte le matrici; l insieme si può ripartire nell insieme di tutte le matrici di egual tipo, ovvero a due a due sommabili; inoltre ciascuna di queste classi M m, n, corredate con l addizione tra matrici, costituisce quello che in algebra si chiama gruppo commutativo. 9

10 Tale teorema, dunque, può essere schematizzato nel seguente diagramma: M M 2, 3 2, 2 = M2, Mn M n n M m, n Si cercherà ora di introdurre una seconda operazione parziale su (parziale in quanto non sempre definita), precisamente il prodotto (righe per colonne) tra due matrici. Seppur la definizione risulta essere complessa e macchinosa e non si giustifica con l intuito, sicuramente, insieme a tutta la teoria che la circonda, è di grande utilità per le applicazioni. Siano A e B due matrici di tipo rispettivamente mk ed hn. Definizione 3.2. A e B si dicono conformabili o moltiplicabili se il numero k delle colonne di A eguaglia il numero h delle righe di B. Tale definizione può essere schematizzata come segue: A B mk hn Esempio Siano k=h A, B moltiplicabili x... A a a a X x... i... n, i... x n rispettivamente una matrice riga n ed una matrice colonna n. Allora A è moltiplicabile per X. Definizione 3.3. (definizione particolare) Si definisce prodotto di A per X la matrice data da: AX ax... ai xi... anxn (prodotto dell unica riga di A per l unica colonna di B). Si può definire anche, ma in modo totalmente differente, il prodotto XA (cfr. Esempio 3). 0

11 Esempio 2 Siano a A c b d e B ' ' ' A è moltiplicabile per B mentre B non è moltiplicabile per A. Definizione 4.4. (definizione particolare) Nel caso riportato nell Esempio 2, il prodotto righe per colonne di A per B si definisce ponendo: A B = a b ' a b ' a b ' c d ' c d ' c d ' = AB Si noti che ogni elemento della matrice prodotto non è altro che il prodotto di una riga di A per la corrispondente colonna di B. Osservazione Se A e B sono due matrici di ordine rispettivamente mk ed hn con k=h, allora il prodotto AB è una matrice opportuna ma di ordine mn, ovvero risulta: A B m k k = h h n m n Esempio 3 Con riferimento all Esempio si ha: x xa... xai... xa n XA x i a... ai... an xia... xiai... xia n x n xna... xnai... xna n Definizione 3.5. (definizione generale) Se A e B sono matrici di ordine rispettivamente mk ed hn con k=h allora il prodotto AB è una matrice S di ordine m n della forma: AB S s ij con i=, 2,..., m e j=, 2,..., n

12 dove l elemento s ij è il prodotto della riga i-esima di A per la colonna j-esima di B. In formule si ha: b j... n s a... a... a b a b... a b... a b a b ij i ii in ij i j ii ij in nj ip pj p... b nj Osservazione Talvolta risulta possibile interpretare la Definizione 3.5 anche nel seguente modo: date A e B si evidenziano le righe di A e le colonne di B ponendo A... A A i, B B... B j... Bn... A m dove: A a... a... a,..., A a... a... a,..., A a... a... a i k i i ii ik m m mi mk b b j b n B b j,..., B b j jj,..., Bn b jn b b k kj b kn Ne segue che: A A B... A B j... A Bn AB A i... i j... i B B A B A B A j Bn ib n A Am B... Am B j... A m mb n Esempi ) A 3 0, B Poiché A ha ordine 32 e B ha ordine 24, il prodotto AB è eseguibile (il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B, cioè A e B sono conformabili). La matrice prodotto avrà, pertanto, ordine 34, precisamente: s s2 s3 s4 S AB s2 s22 s23 s24 s3 s32 s33 s 34 2

13 dove: 2 s ; s ; s ; s ; 0 2 s ; s ; s ; s ; 0 2 s ; s ; s ; s Dunque: S AB ) A , B A e B sono conformabili e la matrice prodotto avrà, pertanto, ordine 34 (3 è il numero delle righe di A e 4 è il numero delle colonne di B). Dunque si ha: S AB Osservazione Si può dimostrare che, indipendentemente dalle matrici A, B, C e dal numero, il prodotto tra matrici gode delle seguenti proprietà: det AB detadetb (proprietà che ha molteplici applicazioni) Teorema (di Binet): det A deta (se A è una matrice quadrata) orda associativa: ABC ABC distributiva: AB C AB AC (a destra); A B C AC BC (a sinistra) sotto le ipotesi che tutte le operazioni indicate nelle formule precedenti siano eseguibili. In generale, però, il prodotto tra matrici non è commutativo: se si considerano, infatti, due matrici, B k, n, allora AB è sempre possibile (A e B sono conformabili) mentre BA è possibile Am k e 3

14 solo se m n. Tuttavia anche se esistono entrambi i prodotti, ovvero AB e BA, non è detto che questi siano eguali. Esempio 2 A4 5 6, B 3 AB AB BA BA A 3, B3 AB BA 33 Osservazione Nell esempio precedente, pur essendo stato possibile eseguire entrambi i prodotti AB e BA, perché il numero delle righe e delle colonne di A erano uguali, rispettivamente, al numero delle colonne e delle righe di B, si sono ottenuti prodotti ben diversi tra loro. Dunque, in generale, si ha: - ; - AB O non implica necessariamente A O oppure B O; - AB AC oppure BA CA non implicano necessariamente B C. Esempi 2 ) A, B Risulta: AB BA ) AB A O oppure B O (le matrici A e B non sono infatti nulle) ) AB, AC ma è evidente che risulta B C. AB BA Definizione 3.6. Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce matrice inversa di A, e la si indica con A, una matrice quadrata di ordine n tale che AA I ed A A I. La matrice inversa può essere determinata attraverso due metodi: il primo, teorico, e che verrà illustrato in questa sede, che conduce ad una formula, ed il secondo, pratico, e che verrà tralasciato in quanto ritenuto di minore importanza per le applicazioni economico-statistiche, che porta, invece, alla determinazione della A attraverso un calcolo ben preciso. Il primo metodo, quindi, si basa sul seguente: Teorema: data una matrice quadrata A di ordine n, esiste A se e solo se risulta deta 0 4

15 Osservazioni Applicando il teorema di Binet alla relazione fondamentale della matrice inversa si ha: deti = det AA detadeta da cui segue: deta deta = relazione che consente di calcolare il determinante della matrice inversa. Se A è una matrice con deta 0, allora esiste sempre una seconda matrice B tale che: AB 0 Due matrici siffatte, cioè due matrici A e B con A0, B 0 ma dello zero. Se A e B sono due matrici divisori dello zero, allora dal teorema di Binet risulta: det AB detadetb 0 AB 0, si dicono matrici divisori Infatti essendo A0, B 0, la condizione detb 0 implicherebbe l esistenza di risulterebbe AB B 0 e quindi A 0 mentre, per ipotesi, è A 0. B per cui Verrà ora illustrato in dettaglio il primo metodo, ovvero quello teorico, per il calcolo dell inversa di una data matrice, metodo questo che, come già detto, conduce ad una formula che non verrà dimostrata in questa sede. Occorre, in primo luogo, determinare la matrice dei complementi algebrici per poi applicare la seguente relazione: t * (3) A A det A Esempi 0 0 ) A 2 0 Osserviamo in primo luogo che deta 0, cioè la matrice data ammette inversa. Calcoliamo allora A utilizzando la (3). La matrice dei complementi algebrici associata ad A è data da: 0 0 * t * A 0 A Dalla (3) segue che: A ) A È facile verificare che deta 0. Pertanto A ammette l inversa. Risulta: A * A * 5

16 * t * A A 0 2 A ) A Si noti che, essendo deta 2 0, esiste A. Si ha: * t * A A A

17 ESERCIZI PROPOSTI A) Calcolare, se possibile, A+B, AB, AB, BA e ca, dove A,B e c sono dati, degli esercizi )-8), dopo aver analizzato gli esempi a)-g): a) A2 2, B2 2, c Sommando e sottraendo termine a termine risulta rispettivamente: A B, A B Svolgendo il prodotto righe per colonne si ha: AB BA Moltiplicando ciascun elemento della matrice A per il numero c assegnato si ottiene: ca A b) A , B , c Si ha: A B 6 2 3, A B AB BA ca 3A c) A2 3, B2 3, c Risulta: A B, A B AB non è possibile perché il numero delle colonne di A è diverso dal numero delle righe di B. BA non è possibile per il ragionamento precedente. 7

18 3 2 ca A d) A3 0 2, B 3 2, c Si ha: A B 3, A B AB BA ca 2 A Osservazione La somma e la differenza si possono effettuare solo nel caso di matrici aventi lo stesso ordine (il medesimo numero di righe e di colonne): non è possibile, infatti, sommare o sottrarre, ad esempio, una matrice di ordine 23 ed una di ordine 33; analogamente, come già osservato, è possibile calcolare il prodotto tra due matrici solo se il numero delle colonne della prima matrice è uguale al numero delle righe della seconda matrice, precisamente A(m,k) e B(k,n) sono moltiplicabili e la matrice prodotto è S(m,n); il prodotto tra matrici, in generale, non è commutativo, ossia è ABBA, com è facile verificare dagli esempi precedenti e) A , B , c A B ed A B non sono possibili per quanto asserito nella precedente osservazione AB è la matrice nulla BA non è possibile 8

19 0 3 2 ca A f) A2 3, B , c ed A B non sono possibili AB A B BA ca 6A g) A3 4 3, B 42, c A B e A B non sono possibili AB non è possibile ca A è la matrice nulla BA ) R: 3 A, B, c A B, A B, AB, BA, ca

20 ) A 0 2, B 0 2 5, c R: A B 0 0 4, A B 0 4 6, AB BA , ca ) A, B 3, c R: A+B, AB, BA non sono possibili; AB, ca ) A, B, c R: A B, A B, AB, , BA ca

21 ) A, B 0 2 3, c R: AB, A B non sono possibili; AB, BA 5 9, ca A ) A , B, c R: AB, A B, BA non sono possibili; AB 20 48, ca ) A 3, B 3, c R: AB, A B, AB non sono possibili; BA 3 5, ca ) A 2, B 0, c R: AB, A B, BA non sono possibili; AB, ca B) Scrivere la trasposta delle seguenti matrici )-6) dopo aver analizzato gli esempi a)-d): 7 a) A 4 5 Come già accennato in precedenza la trasposta di una matrice si ottiene scambiando tra di loro le righe e le colonne; si ha, quindi: 2

22 t 4 A b) A Risulta: 2 t A Osservazione Nell esempio b) risulta ovvero la matrice A è simmetrica c) A 0 3 Si ottiene: 2 0 t A d) A D La trasposta della matrice diagonale D è la matrice, anch essa diagonale, data da: t D t A A Osservazione Ogni matrice diagonale è simmetrica; nel caso in cui la matrice A sia quadrata di ordine n, allora la sua trasposta risulterà ancora una matrice quadrata di ordine n; se, invece, A è una matrice rettangolare di ordine mn allora la sua trasposta sarà ancora una matrice rettangolare di ordine, però, nm. ) 2) 2 A A 2 3 t A t A

23 3) 4) 5) 6) A A D A t 2 A t 2 4 A t D t A C) Calcolare i determinanti delle matrici )-30) dopo aver osservato quanto riportato nei seguenti esempi a)-d) 2 2 a) A 3 Applicando la definizione data sui determinanti del secondo ordine si ha: 2 2 deta b) A Applicando la regola di Sarrus si ha: deta c) A Il determinante richiesto si può calcolare con la regola di Sarrus, come fatto nel precedente esempio, oppure con la regola di Laplace, cioè sviluppando il determinante rispetto agli elementi di una riga o di una colonna. Se si considerano, ad esempio, gli elementi della seconda riga, si ha: 23

24 deta 0 c2 0c22 c23 c2 c Dunque, per il calcolo dei determinanti del terzo ordine, risulta possibile utilizzare entrambi i metodi di cui agli esempi b) e c) d) A Applicando la regola di Laplace, cioè sviluppando il determinante, ad esempio, secondo gli elementi della prima colonna, si ha: deta c 5c2 4c3 3c4 c 5c2 4c3 3c I precedenti determinanti di ordine tre, a loro volta, possono essere calcolati applicando nuovamente la regola di Laplace, sviluppando ciascuno di essi secondo, ad esempio, gli elementi della prima riga. Risulta quindi: deta Osservazione Si sarebbe pervenuti allo stesso risultato se si fossero calcolati i determinanti del terzo ordine con la regola di Sarrus. 24

25 Osservazione Tutti i determinanti di ordine n 5 si risolvono sempre con la regola di Laplace. ) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) 2) 3) 4) 5) 3 A A A A A 3 7 A A 4 A A 4 A A A A A A [ deta 9 ] [ [ [ deta 5] deta 8] deta ] [ deta 29 ] [ deta 37 ] [ deta 34] [ deta 7] [ deta 9] [ deta 3 ] [ deta ] [ deta 2] [ deta 26] [ deta 4] [ deta 7] 25

26 6) 7) 8) 9) 20) 2) 22) 23) 24) 25) 3 5 A A A A A A A A A A [ deta 87 ] [ [ [ deta 4] deta 0] deta 70] [ deta 65] [ deta ] [ deta 0] [ deta 24] [ deta 24] [ deta 5] 26

27 26) 27) 28) 29) 30) A A A A A [ deta 38] [ deta 256] [ deta 0] [ deta 885 ] [ deta 52] D) Calcolare la matrice dei complementi algebrici riportata negli esercizi )-2) dopo aver analizzato gli esempi a)-f): 2 5 c c2 a) A 3 c2 c22 Si ha: * c c2 A c2 c22 dove i c, complementi algebrici relativi agli elementi a ij, sono il risultato del prodotto tra il ij determinante, ottenuto da A cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima, e i j. Pertanto risulta: c = 3 [cancellando la prima riga e la prima colonna si ottiene il 3 3, moltiplicato 2 per ] c2 [cancellando la prima riga e la seconda colonna si ottiene il, moltiplicato per 2 3 ] 27

28 c2 5 c22 2 [cancellando la seconda riga e la prima colonna si ottiene il per 2 3 ] [cancellando la seconda riga e la seconda colonna si ottiene il per ] Quindi alla fine risulta: * 3 A b) A 3 5 Procedendo come nel precedente esempio si ha: [cancellando la prima riga e la prima colonna si ha il c 5 c2 3 2 poi moltiplicato per ] [cancellando la prima riga e la seconda colonna si ha il 2 3 poi moltiplicato per ] c2 0 0 [cancellando la seconda riga e la prima colonna si ha il poi moltiplicato per ] , moltiplicato 0 0, moltiplicato che va che va che va c [cancellando la seconda riga e la seconda colonna si ha il che va poi moltiplicato per ] Dunque: * 5 3 A 0 0 c) A Anche per le matrici di ordine n 3 si può applicare la regola analizzata nel caso n 2, chiaramente con le opportune variazioni. Pertanto si ha: c c2 c3 * A c2 c22 c23 c3 c32 c 33 Restano da calcolare i c ij, complementi algebrici degli elementi a ij. Quindi si ha: c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la prima colonna di A) c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la seconda colonna di A) 28

29 c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la prima riga e la terza colonna di A) c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la prima colonna di A) 22 4 c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la seconda colonna di A) c23 0 (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la seconda riga e la terza colonna di A) c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la prima colonna di A) 32 5 c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la seconda colonna di A) c (il determinante 22 è stato ottenuto cancellando la terza riga e la terza colonna di A) Dunque la matrice cercata è: * A d) A Calcoliamo, in primo luogo, come fatto nei precedenti esempi, i complementi algebrici relativi agli elementi della matrice data. Risulta allora: 0 2 c 00 ; 0 c c c c ; ; ; ; 2 29

30 c c ; 0 3 0; 3 c ; c Dunque si ha: 0 2 * A e) A Procedendo in maniera più rapida di quanto non sia stato fatto in precedenza si ha: c 2 ; c2 6 5 ; c3 6 ; c ; c ; c ; c3 ; c ; c Dunque: 2 6 * A f) A Si ha: c c c c ; ; ; c ; ; c ;

31 23 0 c c ; 24 0 c ; 0 3 ; c c ; c ; c ; ; c ; c ; 44 0 c Dunque: * 3 0 A ) 2) 3) 4) 5) 6) 7) A A 2 A A 3 5 A A A * 3 4 A * 2 A 2 * 3 2 A 3 * 5 A 3 * 0 9 A * A A *

32 8) 9) 3 A A ) D ) 2) A A A * A * * D * A * A E) Calcolare, con il metodo teorico, l inversa delle matrici riportate negli esercizi )-2) dopo aver analizzato i seguenti esempi a)-h): 3 a) A 2 4 Risulta necessario calcolare, in primo luogo, il determinante di A per poter affermare che la matrice data ammette o meno l inversa. Si ha: Quindi, essendo rispettata la condizione necessaria e sufficiente, esiste l inversa di A. Occorre ora calcolare la matrice dei complementi algebrici; si ha: c 4 ; c2 2 ; c2 ; c22 3 Ne segue che: * * t A A Dunque: 2 t * A A det A b) A

33 Si ha: Quindi A ammette inversa. Si calcolano i complementi algebrici relativi agli elementi di A: c 2 ; c2 0 ; ; da cui: * 2 0 t * 2 A A 0 Dunque: 2 A c) A Risulta: 0 c 2 c Come già visto nell esempio d) in D) i complementi algebrici relativi agli elementi di A sono i seguenti: c ; c2 0 ; c3 2 ; c2 ; c22 ; c23 2; c3 0; c32 0 ; c33 Quindi: * t * A 2 A Dunque: 0 0 A Si osservi che in questo esempio A A * t 3 2 d) A Si ha:

34 Dunque la nostra matrice A non ha inversa. 3 2 e) A Risulta: I complementi algebrici sono: ; ; ; ; ; ; ; ; da cui segue: * * t A A Dunque: 4 3 A f) A Innanzitutto bisogna calcolare il determinante di A utilizzando la regola di Laplace. Si ha, sviluppando, ad esempio, rispetto alla seconda riga: c c 2 0 c 3 c 2 4 c c23 5 c3 3 c32 c33 3 Poiché deta 5 0, la matrice data ha l inversa. Si calcolino ora i complementi algebrici relativi agli elementi di A. Si ha: c ; c2 3 ; c3 3; c4 0 ; c2 ; c22 6 ; c23 4 ; c24 5; c3 2; c32 3; 3 c33 2; c34 5; c4 7 ; c42 3; c43 7 ; c44 5 Dunque si ottiene: * t * A A da cui: 34

35 A g) D Risulta evidente che il determinante di una qualunque matrice diagonale è uguale al prodotto degli elementi della sua diagonale principale. Ne segue, pertanto: detd 6 0 Si verifica immediatamente, poi, che i complementi algebrici degli elementi nulli sono uguali a zero da cui si ottiene: ; ; Quindi: * * t D D Dunque: D h) A Come di consueto si calcola, in primo luogo, il determinante della matrice data: 0 c 2 c c33 3 Pertanto A ammette l inversa. I complementi algebrici relativi agli elementi di A sono: c 5; c2 2 ; c3 6 ; c2 2 ; c22 2 ; c23 ; c3 ; c32 ; c33 3 Quindi si ha: * 2 2 * t A A Dunque: 35

36 A Verifica: ) (in generale ) AA ) AA I 3 AA I n I (in generale ) A A I 3 A A I n A A 0 3 = I Le verifiche degli esempi precedentemente riportati sono lasciate per esercizio allo studente. 3 ) 2) 3) 4) 5) A A A 3 0 A A 0 A A A A A 3 2 = 2 0 = = = = 0 36

37 6) 7) 8) 9) 0) ) 2) 2 2 A A A A A A A A A A A A A A = = = = = = =