La cinematica Inversa. Riassunto

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1 La cinematica Inversa ro. Aberto Borghese /36 Riassunto La cinematica inversa. I Jacobiano. Cinematica inversa attraverso i Jacobiano. Retargetting. /36

2 La cinematica inversa Daa posiione (e orientamento) di end-point agi angoi. Souione diretta Souione ineariata robema sotto-determinato (over-constrained). Comportamento stereotipato. erché? 3/36 Souione diretta Woring space 3 Spaio di avoro: L L X Y L L 4/36 - nessuna souione. - due souione. 3 - una souione.

3 Souione diretta (cacoo) L E un probema di trigonometria! Cacoo L X Y eorema di Carnot per cacoare θ : ( ϑ) (L L L ) /(LL) Cacoo di θ : ( ϑ ) X / X Y eorema di Carnot per cacoare (θ θ Τ ): ( ϑr ) ( L L L ) /(L L 5/36 ) Cerniere 3D Figura 4.7. souioni NB: gi umani ne scegono una soa. Cacoo a cinematica inversa come sequena di posiioni. 6/36

4 Caratteristiche dea cinematica inversa Souione di equaioni non- ineari. Worspace (spaio ne quae si può posiionare end-eector). Deterous worspace. Spaio ne quae si può posiionare endeector con un quasiasi orientamento. C.N. er potere raggiungere una certa posiione ed orientamento neo spaio di avoro, è che i numero di gradi di ibertà dei segmenti de braccio robotico sia uguae a numero di gradi di ibertà de end-point. Souione geometrica od anaitica compessa da determinare. 7/36 Riassunto La cinematica inversa. I Jacobiano. Cinematica inversa attraverso i Jacobiano. Retargetting. 8/36

5 Souione diereniae Consideriamo a trasormaione joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). E una orma compessa a cui non si possono appicare trasormaioni ineari. Cosa si può are? Lineariare! ( ) d d d d d d d d d 9/36... (, ) Sviuppo di aor arrestato a primo ordine ineariaione Lineariaione dea unione posiione Consideriamo a trasormaione joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). ABS_ABS e (t) A((t), (t), (t), (t), )[ ] ABS_ABS e A(t) ( ( t) ( t)) ( t) ( t) ( ( ) ( )) ( ) ( ) t t t t /36

6 /36 I Jacobiano Consideriamo a trasormaione joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t), ). Consideriamo [ κ, κ, Τ, Τ ] i vaore dei parametri iberi a istante t δ γ J /36 Come vengono trattate e veocità Eemento chiave è i Jacobiano, J. Cinematica de End-eector V J & Cinematica dei Joint

7 3/36 Esempio di determinaione de Jacobiano θ r (θ) r (θ) v ϑ & V J & V J & (,). v V wr Sono due espressioni identiche (9-θ) ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ & & & r r 4/36 Osservaioni su Jacobiano e (t) J((t), L) (t) Consideriamo (t) [A((t), (t), (t), (t) ] i vaore dei parametri iberi. E un equaione (matriciae) ineare (t) -> e (t) Siamo ancora ne dominio dea cinematica diretta

8 Jacobiano e veocità d e (t) J((t), L) d(t) d e (t) / dt J((t), L) d(t) / dt Consideriamo (t) [A((t), (t), (t), (t) ] i vaore dei parametri iberi. V e (t) J( (t), L)V (t) 5/36 Cinematica diretta e e O e _ABS ABS_ABS A _L e in in ( ) ( ) in Oend eector Y in X 6/36 root

9 7/36 I Jacobiano de esempio ) ( ) ( e ABS_ABS J(,L) ) ( ) ( ) ( ) ( 8/36 Signiicato geometrico de Jacobiano J(,L) end eector in O in e e e root e o X Y ) ( ) ( ) ( ) ( J(,L) (t) )V, J( (t) V L e (t)

10 Riassunto La cinematica inversa. I Jacobiano. Cinematica inversa attraverso i Jacobiano. Retargetting. 9/36 Cinematica inversa attraverso i Jacobiano d e J(, L) d d e / dt J((t), L) d / dt Consideriamo (t) [A((t), (t), (t), (t) ] i vaore dei parametri iberi. d J - (, L) d e E un sistema ineare: esiste, nessuna o souioni. Sia n i numero di gradi di ibertà de end-point (3). Sia m i numero di parametri iberi de braccio (4). /36

11 I sistemi ineari (m n) d e J(, L) d L AX a a a m a a a m a a a m a... a... a n n mn n n n m Se n m X A - L Esiste souione se e soo se: det(a) /36 I sistemi ineari (m n) d e J(, L) d L AX Se det(a) ho ininite souioni. Sono ne caso di sistema iperstatico e ipostatico, esistono più parametri iberi che movimentano acuni gradi di ibertà, non esisteno parametri iberi in grado di movimentare gi atri gradi di ibertà. /36

12 Sistema ineare m n e e e O in in Come mai ottengo un unica souione tramite Jacobiano? J(,L) d e d e ( ) ( ) ( ) ( ) d d 3/36 Risoubiità d O in Esistono dei vaori di e per cui i sistema non è end eector risoubie per acuni vaori di d. J(,L) per braccio disteso in root Non esiste una souione che mi dia uno spostamento in direione d arbitratia. E possibie spostarsi soamente in direione perpendicoare a braccio. Veriicare con a svd. det(j(,l) NB I vaore de 4/36 Jacobiano è istantaneo.

13 Sistema ineare: souione J da d J J da J d (J J ) - J J da (J J ) - J d (J J) - J Matrice pseudo-inversa N gradi di ibertà M parametri iberi da (J J) - J d N < M Numero equaioni minore de numero di incognite - det(j J) > souioni N M Numero equaioni uguae a numero di incognite - det(j J) > souioni det(j J)? > souione N < M Numero equaioni maggiore de numero incognite - det(j J) > souioni det(j J)? > souione NB La souione minimia errore tra e osservaioni ed i modeo: min (JdA d) 5/36 Sistema ineare: souione robusta J da d J J da J d da (J J) - J d Numero di condiionamento varia circa con (J J). Souione tramite Singuar Vaue Decomposition J da d U W V da d Ortonormai Diagonae V W - U U W V da V W - U d da V W - U d Numero di condiionamento varia circa con J. W - è diagonae. w ii - /w ii 6/36

14 Souione dei sistemi ineari (N > M) J da d J JdA J d Equaioni normai Sistema sotto-parametriato. (J J) - (J J)dA (J J) - J d da (J J) - J d dq (J J) - J de dq è tae per cui d e - J dq è minima. dq J de J è a pseudo-inversa. Genero i movimento migiore tra quei che posso generare. 7/36 Souione dei sistemi ineari (M > N) J da d J J da J d J J da J d Equaioni normai Sistema sovra-parametriato. (J J) - (J J) da (J J) - J d det(j J) [U W V] svd(j) rendo come souione i vettore di V associato a vaore go are w più piccoo dq V j min dq è una combinaione ineare dei parametri iberi a norma unitaria 8/36

15 Riassunto La cinematica inversa consente di determinare a traiettoria dei joint, data a traiettoria desiderata de end-point. La souione geometrica o anaitica è possibie per scheetri moto sempici. er scheetri compessi si utiia una souione ineariata basato su Jacobiano. Cacoo dea pseudo-inversa. ossibiità di poariare i joint o i peso dei gradi di ibertà. Sperimentare a souione anaitica per un probema di pathpanning con i diversi vincoi possibii. 9/36 Riassunto La cinematica inversa. I Jacobiano. Cinematica inversa attraverso i Jacobiano. Retargetting. 3/36

16 robema di controo ottimo. ianiicaione {[( ( ) ( ) ] λ i * i ( t) } Min d i { ( t)} Sceta dea sequena di controo {(t)}, tae che: Minimia a deviaione tra posiione desiderata e reae de end point: [( ] ( ) ( ) d Minimia a spesa energetica: i ( t) 3/36 { } λ pesa importana dei due obbiettivi. pesa energia associata a attivaione di ogni grado di ibertà. E un probema di ottimiaione non ineare. Retargetting From Motion Capture to Virtua Motion: 3D positions Anges Mode itting Motion correction 3/36

17 Motion correction & retargetting What happens i the arm o the digita character enter inside the shouder o his gir- riend? he probem is rerames as an optima contro probem. ero error in the ina rame. Minima deviation o the contro actions (the ange sequence). b( d ( ) ( )) { ( t )} a Hard and Sot constraints ( ( t) ) 33/36 Motion retargetting: an eampe Data captured have to be adapted to a smaer emae. 34/36

18 Motion retargetting: an eampe 35/36 Riassunto La cinematica inversa. I Jacobiano. Cinematica inversa attraverso i Jacobiano. Retargetting. 36/36