La cinematica Inversa

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1 La cinematica Inversa ro. Alberto Borghese N.B.: Il diritto di scaricare questo ile è riservato solamente agli studenti regolarmente iscritti al corso di Robotica ed Animaione Digitale. A.A /35 Riassunto La cinematica inversa Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A /35

2 Cinematica diretta e inversa Conosco il valore dei joint (angolo o oset) posiione ed orientamento dell end-point. Dallo spaio dei joint allo spaio degli end-point. Conosco la posiione e l orientamento dell end-point devo determinare il valore dei joint. Dallo spaio dell end-point allo spaio dei joint. La cinematica viene descritta come sequena di posiioni. A.A /35 La cinematica inversa Dalla posiione (e orientamento) di end-point agli angoli. roblema sotto-determinato (over-constrained). Comportamento stereotipato. erché? A.A /35 2

3 Soluione diretta oring space 3 2 Spaio di lavoro: A.A /35 L L L L2 2 ossibili coniguraioni: - nessuna soluione. 2 - due soluioni. 3 - una soluione. Caratteristiche della cinematica inversa Soluione di equaioni non-lineari. orspace (spaio nel quale si può posiionare l end-eector). Deterous worspace. Spaio nel quale si può posiionare l endeector con un qualsiasi orientamento. C.N. er potere raggiungere una qualsiasi posiione ed orientamento nello spaio di lavoro, è che il numero di gradi di libertà dei segmenti del braccio robotico sia almeno uguale al numero di gradi di libertà dell end-point. Soluione geometrica od analitica complessa da determinare. A.A /35 3

4 Soluione diretta (calcolo) θ 2 L Dato X,Y devo determinare θ e θ2 Equaioni non-lineari in [X,Y L L2] E un problema di trigonometria! 2 2 Calcolo L X Y eorema di Carnot per calcolare cosθ 2 : cos( ϑ2) (L L2 L ) /(2LL2) 2 2 Calcolo di cosθ : cos( ϑ ) X / X Y eorema di Carnot per calcolare cos(θ θ Τ ): cos( ϑr ) ( L L L2 ) /(2LL) A.A /35 Cerniere 3D Figura 4.7. soluioni NB: gli umani ne scelgono una sola. Calcolo la cinematica inversa come sequena di posiioni. A.A /35 4

5 osiione dei segmenti: attoriaione e [ ] ABS_ABS ABS_ABS A e e Z lin Y X ABS_ABS A cos sin A.A /35 e l cos( ) l cos l sin ( ) l sin ( ) sin( ) l cos( ) ( ) cos( ) l sin( ) Dovrei determinare unione di a, b,,?? l cos l sin Soluione diereniale Consideriamo la trasormaione joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). lin e ABS_ABS (t) l cos( ( t) ( t)) l cos ( t) ( t) l sin ( ( t) ( t)) l sin ( t) ( t) A.A /35 5

6 lin Soluione diereniale Consideriamo la trasormaione joint -> end_point. Abs e e (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ) e e e (t) e ABS_ABS (t) A(t) Dobbiamo trovare i proili temporali dei parametri liberi: (t) *(l,l, e (t)) Abs l cos( ( t) ( t)) l cos ( t) l sin ( ( t) ( t)) l sin ( t) ( t) ( t) E una orma complessa, non lineare. Non è possibile invertire la relaione utiliando algebra matriciale o orme analitiche. Cosa si può are? Lineariare! A.A /35 Cinematica inversa lin e Viene deinita la traiettoria dell end-point. ccorre calcolare le rotaioni (i movimenti) dei joint. Lo spostamento viene suddiviso in tanti piccoli spostamenti, per ogni spostamento elementare si calcola la variaione angolare richiesta per tutti i joint. A.A /35 6

7 Riassunto La cinematica inversa Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A /33 Sviluppo in serie di alor di unioni di più variabili (,) o d 2 d d 2 2 d arte lineare A.A /33 7

8 8 A.A /35 Sistema di equaioni lineari Consideriamo la trasormaione diretta joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). Chiamiamo [ κ, κ, Τ, Τ ] il valore dei parametri liberi all istante t. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A.A /35 Il Jacobiano Consideriamo la trasormaione diretta joint -> end_point. (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). (t) ((t), (t), Τ (t), Τ (t) l, l ). Chiamiamo [ κ, κ, Τ, Τ ] il valore dei parametri liberi all istante t. J

9 9 A.A /35 Caratteristiche del Jacobiano Contiene le derivate pariali di rispetto a tutti i parametri liberi. Le derivate sono calcolate nel punto di lavoro. L espressione analitica di J vale valore dei parametri liberi, ma il valore assunto da J varia in unione dei parametri liberi. A.A /35 Come vengono trattate le velocità Elemento chiave è il Jacobiano, J. Cinematica dell End-eector V J Θ & Cinematica dei Joint Dividendo entrambi i membri per t si ottiene: Contiene le derivate pariali di rispetto a tutti i parametri liberi. Le derivate sono calcolate nel punto di lavoro. L espressione analitica di J vale valore dei parametri liberi, ma il valore assunto da J varia in unione dei parametri liberi.

10 A.A /35 Jacobiano e velocità d e (t) J((t), L) d(t) d e (t) / dt J((t), L) d(t) / dt Chiamiamo (t ) [A((t), (t), (t), (t) ] il valore dei parametri liberi all istante t. ) (t ), ( ) ( J t V & L e ) (t arametri liberi arametri geometrici, cambia il valore di J, l espressione analitica rimane valida. A.A /33 A.A sservaioni sul Jacobiano e (t) J((t), L) (t) Chiamiamo (t) [A((t), (t), (t), (t) ] il valore dei parametri liberi all istante di tempo E un equaione alle dierene (matriciale) lineare dallo spaio dei parmetri liberi a quello dell end-point: (t) -> e (t) Siamo ancora nel dominio della cinematica diretta!

11 Riassunto La cinematica inversa Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A /33 Esempio di determinaione del Jacobiano v (9-θ).(,) θ V ωλr Sono due espressioni equivalenti r cos(θ) r sin(θ) & ϑ v & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ V J θθ Θ & ϑ ϑ & ϑ V 2 J 2 Θ & A.A /35

12 Esempio di determinaione del Jacobiano ϑ & v (9-θ) v.(,) & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ θ ϑ ϑ & ϑ ϑ & θ V -r sin() & ϑ V r cos() & ϑ r & ϑ V ωλr i j V & ϑ r rϑ & A.A /33 Esempio di determinaione del Jacobiano ϑ & v (9-θ) v.(,) & ϑ r sinϑ & r ϑ cos ϑ ϑ ϑ & ϑ ϑ & θ V -r sin(θ ) ϑ & V r cos(θ ) ϑ & V ωλr i V & ϑ r cosϑ r sinϑ j r sin( ϑ) & ϑ r cos( ϑ) & ϑ A.A /33 2

13 Cinematica diretta _ABS ABS_ABS A _L e lin ( l cos l)cos l sin sin ( l cos l)sin l sin cos lin end eector X Y Z root A.A /35 ABS_ABS e A Il Jacobiano dell esempio cos sin ( ) sin( ) l cos( ) ( ) cos( ) l sin( ) l cos l sin J(,L) l sin cos l cos sin l sin sin l cos cos l cos sin l sin cos l sin l cos cos l sin sin l cos l sin( ) l cos( ) l sin( ) l sin l cos( ) l cos A.A /35 3

14 Esempio di calcolo dello spostamento I J(,L) J(,L) l sin( ) l cos( ) Caso particolare: [,, o, o ] l l l l sin( ) l sin l cos( ) l cos X e o lin root end eector Y Z A.A /35 Esempio di calcolo dello spostamento II Caso particolare: J(,L) l l l J ( (t), L) e ( ) ( ) ( ) l A.A /35 l l ( ) ( ) l a ( l l) ( ) Y X Z e o lin root end eector 4

15 Caso sempliicato Elimino 2 gradi di libertà:. _ABS ABS_ABS A _L e lin ( l cos l)cos l sin sin ( l cos l)sin l sin cos Y X Z A.A /33 La radice non si sposta rispetto al sistema di rierimento assoluto. Il Jacobiano dell esempio sempliicato ABS_ABS e ( l cos l)cos l sin sin ( l cos l)sin l sin cos J(,L) l sin( ) l cos( ) l sin( ) l sin l cos( ) cos l A.A /33 5

16 Non tutti gli spostamenti sono possibili J(,L) l sin( ) l cos( ) l sin( ) l sin l cos( ) cos l Caso particolare: [, ] J(,L) l ( ) ( ) ( ) l l l l l ( ) ( ) l a ( l l) ( ) J ( (t), L) e e o lin root Y end eector X Z E possibile spostarsi solamente in direione perpendicolare al braccio (lungo la perpendicolare al braccio) per A.A /33 Soluione diretta oring space 3 2 Spaio di lavoro: L2 A.A /33 L L L 2 ossibili coniguraioni: - nessuna soluione. 2 - due soluioni. 3 - una soluione. 6

17 Riassunto La cinematica inversa Il Jacobiano Esempi ed osservaioni A.A /33 7