Focometria Relazione sperimentale

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1 1 Relazione sperimentale Lo scopo di questa esperienza è quello di ottenere la distanza focale di lenti convergenti e divergenti mediante differenti approcci di misura. Inizialmente considereremo le lenti in approssimazione di lenti sottili, successivamente invece in approssimazione di lenti spesse. Richiami di ottica Le leggi di ottica in approssimazione di lenti sottili che verranno utilizzate per i vari metodi di misura: dove p è la distanza tra la lente e l oggetto, q è la distanza tra la lente e l immagine e f è la focale della lente. dove l è l altezza reale dell oggetto, l' è l altezza dell immagine dell oggetto prodotta sullo schermo e G è l ingrandimento laterale. dove D e la distanza tra oggetto e schermo e L e la distanza tra le due posizioni in cui la lente fornisce un immagine nitida sullo schermo. I metodi di misura della distanza focale utilizzati sono i seguenti: I. Metodo delle distanze coniugate. Si determini il valore della distanza focale della lente ponendo la stessa a una distanza p dalla nostra fenditura (ovvero l oggetto) e si sposti quindi lo schermo lungo il binario finché non sia possibile mettere a fuoco la fenditura. Misurando la distanza tra la lente e lo schermo, ovvero q, tramite la legge (1), si ricava la distanza focale f. II. Metodo dell ingrandimento. Si fissi la distanza p tra l oggetto e la lente e si sposti lo schermo fino al raggiungimento della messa a fuoco. Si proceda all acquisizione delle altezze delle fenditura reale e della fenditura immagine, denotandole rispettivamente con l e l' e da ciò si calcoli l ingrandimento laterale G tramite (2) e successivamente la distanza focale f tramite (3). III. Metodo di Bessel. Si fissi la distanza D tra schermo e fenditura e si misurino le due posizioni in cui si vede in maniera nitida l immagine della fenditura sullo schermo. Si è quindi in grado di ottenere il valore della focale semplicemente sfruttando la (4), dove L è la distanza tra le due posizioni menzionate poc anzi. I primi tre metodi descritti richiedono la misura della distanza tra la fenditura (o lo schermo) e il centro della lente, dato ben definito se la lente è sottile, ovvero se lo spessore è trascurabile (2) (3) (4) (1) Pagina 1 di 6

2 2 rispetto ai suoi raggi di curvatura. Le lenti che verranno utilizzate in questo esperimento sono invece lenti spesse e quindi imprecisione è evidentemente non trascurabile. Il metodo di Bessel elimina però gran parte dell incertezza sul valore di f, in quanto vengono utilizzate nel conteggio solo quantità differenziali. Bisogna tuttavia avere l accortezza di mantenere una distanza tra l oggetto e lo schermo maggiore o al più uguale a 4f, come risulta evidente dal determinante del polinomio di secondo grado dell equazione Lenti sottili e lenti spesse L esperienza di laboratorio avverrà principalmente in approssimazione di lenti sottili, in quanto lo spessore è molto inferiore rispetto al raggio di curvatura; tuttavia questa semplificazione sarà assunta a solo scopo di rapida verifica della correttezza dell acquisizione dati, a cui dovrà seguire necessariamente una rielaborazione dei dati raccolti in chiave di lenti spesse. Al fine di poter effettuare questi ultimi calcoli dovremo essere a conoscenza delle posizioni dei piani principali della lente che stiamo analizzando, grandezze dipendenti dai. Le posizioni dei piani principali π1 e π2 rispetto ai vertici delle lenti si trovano con le seguenti leggi: (5) (6) dove s è lo spessore della lente, r1 e r2 sono i raggi di curvatura della lente e n è l indice di rifrazione del vetro di cui è fatta la lente. Si noti che le posizioni dei due piani principali sono riferite a due distinti sistemi di riferimento. Le posizioni dei piani focali rispetto ai piani principali sono date da: (7) (8) Utilizzando i dati raccolti con il metodo di Bessel, tramite il metodo iterativo sotto esposto è possibile trovare la distanze focali f delle lenti : Dove ε è la distanza che intercorre tra i piani principali, data da: E n è data dalla relazione(8) invertita, tale che n risulti essere: Pagina 2 di 6

3 3 Per far ciò è stato implementato un algoritmo che, simulando questa iterazione, invia in output i risultati della convergenza dello stesso. Apparato sperimentale L apparato sperimentale è composto da: una lente convergente piano-convessa; una lente divergente piano-concava; supporti mobili per le lenti e lo schermo; una sorgente di luce bianca sul cui vetro anteriore è stilizzata una figura simmetrica, da proiettare sullo schermo; uno schermo per raccogliere l immagine; un binario dotato di scala millimetrata; campioni di aste allungabili; un calibro; uno sferometro, atto alla stima del raggio di curvatura delle lenti. Lo sferometro è essenzialmente costituito da un sostegno o treppiede sul centro del quale può ruotare una vite micrometrica. Le punte del treppiede sono poste ai vertici di un triangolo equilatero giacente su un piano perpendicolare alla direzione di avanzamento della vite, ma i piedini dello strumento a nostra disposizione non sono perfettamente perpendicolari al piano di appoggio, quindi viene a mancare il presupposto che sono poste ai vertici di un triangolo equilatero. Questo causerà una scarsa precisione delle misure che andremo ad effettuare. Sensibilità degli strumenti: Misure effettuate col calibro: cm; Misure effettuate con la scala millimetrica: 0,05 cm; Misure effettuate con lo sferometro: 0,005 cm. Procedimento sperimentale La prima misura richiesta è quella delle distanze reciproche tra la fenditura, la lente e lo schermo; a questo proposito si è scelta l accortezza di utilizzare la scala millimetrata sul binario su cui sono montati i supporti,al fine di evitare eventuali scomode nonché imprecise misurazioni acquisite con un metro esterno. Tuttavia, pur essendo comoda per effettuare le misurazioni, essa non esprime le distanze effettive tra gli oggetti da analizzare,bensì quelle tra le basi dei rispettivi supporti. E stato quindi preso un campione di un asta allungabile rigida, misurata con il calibro la sua lunghezza e posta successivamente tra fenditura-lente, lente-schermo e fenditura-schermo. La lettura sul binario millimetrato delle misure unita alla conoscenza dell effettiva distanza degli oggetti fornisce il fattore di conversione tra le due. Si procede quindi a misurare la distanza focale della lente convergente (utilizzando i tre metodi descritti prima). Una volta terminata questa procedura,si accoppia (accostando il lato piano delle rispettive lenti) la lente convergente di focale Pagina 3 di 6

4 4 appena calcolata con la lente divergente,ottenendo così una lente spessa di distanza focale complessiva (5) Dove fc è la distanza focale della lente convergente, fd quella della lente divergente e D l eventuale distanza tra le lenti ( se le due lenti sono poste a contatto, come nel nostro caso, D risulta nullo). Dato che a questo punto la lente equivalente ottenuta è notevolmente spessa, si è ritenuto ragionevole utilizzare solamente il metodo di Bessel, unico tra tutti ad essere indipendente dalle posizioni effettive dei centri di curvatura delle lenti;da ciò, sfruttando il valore della focale della lente convergente precedentemente calcolato, invertendo la legge (5) si ottiene il valore della focale fd della lente divergente. Per applicare il metodo iterativo necessario per l approssimazione di lente spessa è necessario calcolare il raggio di curvatura delle lenti tramite lo sferometro. A tale scopo si stabilisce prima di tutto il valore dello zero dello sferometro, posizionandolo su una superficie piatta (ad es. sul banco di lavoro) e leggendo sulla scala il valore corrispondente;una volta fatto ciò, se lo sferometro risulta ben funzionante si procede con la misura mediante il calibro delle distanze l tra i tre piedi dello sferometro stesso e, sempre a partire dal valore letto sulla scala dello strumento (rappresentativo del dislivello tra l altezza del piede centrale con i tre piedi laterali) si ricava il raggio di curvatura della lente, tramite dalla seguente relazione: Lente convergente approssimazione di lente sottile Metodo delle distanze coniugate p (cm) σp (cm) q (cm) σq (cm) f (cm) σf (cm) 8,52 90,76 7,79 0,06 9,12 51,16 7,74 0,05 8,42 110,86 7,82 0,06 9,44 50,16 7,94 0,05 11,42 22,91 7,62 10,65 23,71 7,48 valore medio: f = 7,68+-0,02 cm OSS: di seguito dove non specificato tutte le misure sono da intendersi in centimetri Metodo dell ingrandimento l σ l l' σ l' p σ p G σ G f σ f 1,044 1,044 1,044 6,224 14,688 2,334 9,12 8,42 11,42 5,96 14,06 2,23 0,001 7,8 7,86 7,88 0,06 0,05 Valore medio: f = 7,85± cm Pagina 4 di 6

5 5 Metodo di Bessel D σ D L σ L f σ f 3 42,55 7, ,2 7, ,5 7, ,1 7, ,35 7, ,45 7, ,58 7,36 Valore medio: f = 7,42±0,02 cm Lente divergente approssimazione di lente sottile Metodo di Bessel D σ D L σ L ,9 23,3 82,2 61,2 22,9 Valore medio: 15,51±0,01 cm 15,59 15,45 15,78 15,5 15,52 0,02 0,02 Valore medio della distanza focale della sola lente divergente: fd =-14,22± cm Lente convergente lente spessa I dati relativi allo sferometro sono riportati di seguito (zero della scala, distanza l tra i piedi),uniti ai dati relativi alla lente convergente, quali spessore, altezza h della faccia convessa, raggio r di curvatura: zero σ zero l σ l s σ s h σ h r σ r 0,005 3,623 1,1 0,571 0,005 3,54 Inserendo questi dati nel algoritmo iterativo e tenendo presente la caratteristica di pianoconvessità della lente ( r1=r e r2= ) si ottengono i seguenti valori: D L r1 r2 s f n 42,55 3,54 1,1 7, ,2 3,54 1,1 7, ,5 3,54 1,1 7, ,1 3,54 1,1 7, ,35 3,54 1,1 7, ,45 3,54 1,1 7, , , , , , , , , , , , , Pagina 5 di 6

6 6 83,58 3,54 1,1 7, , , Da cui i valore medi sono: fc = 7,48987 cm n =1, cm = 0, cm Lente divergente lente spessa Riportiamo quindi I risultati relativi alla lente divergente,dove s rappresenta lo spessore della lente, h l altezza della faccia concava e r il raggio di curvatura: s σ s h σ h r σ r 0,510 0,005 0,279 0,005 5,83 0,13 Considerando infine il sistema come costituito dall accoppiamento della lente convergente e della lente divergente è possibile calcolare sua distanza focale sfruttando sempre l algoritmo iterativo. La distanza focale fd della lente divergente può così essere calcolata tramite la (5), in cui D rappresenta la distanza tra i piani principali relativi alle facce piane delle due lenti a contatto: dove sc e sd rappresentano rispettivamente gli spessori della lente convergente e di quella divergente e n è l indice di rifrazione del vetro, ipotizzata uguale per le due lenti. Da ciò si ottiene che la distanza focale della lente divergente vale: ottenendo quindi i seguenti risultati D L r1 r2 s n 60,9 3,54-5,38 1,61 15, ,3 3,54-5,38 1,61 15, ,2 3,54-5,38 1,61 15, ,2 3,54-5,38 1,61 15, ,9 3,54-5,38 1,61 15,5623 1, , , , , , , , ,1661 0, Da cui i valore medi sono: = 15,61967 cm n = 1,139797cm = 0, cm e fd = - 11,6763 cm Conclusioni In definitiva, risulta evidente che il metodo più efficace per misurare le distanze focali delle lenti e dei sistemi di lenti sia il metodo di Bessel poiché, in quanto differenziale, risente nettamente di meno degli errori di posizionamento assoluto dei componenti sul banco ottico; è sufficiente un accurata misura di spostamento per ottenere la focale con una discreta precisione. Pagina 6 di 6