Effetto Faraday. Relazione sperimentale

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1 1 Apparato Sperimentale Relazione sperimentale Al fine3 della realizzazione dell esperienza, sono necessari i seguenti strumenti di lavoro: una lampada di luce al sodio, scelta pressoché monocromatica al fine di minimizzare eventuali evitare effetti dispersivi; un solenoide; Lo scopo di questo esperimento è quello di determinare sperimentalmente l angolo di rotazione del piano di polarizzazione di una luce monocromatica durante l attraversamento di diverse sostanze trasparenti immerse in un campo magnetico, procedendo successivamente alla stima della costante di Verdet. un tubo di vetro; un tubo vuoto con pareti in plexiglas da riempire con acqua distillata; un generatore di corrente elettrica; un amperometro; un polarimetro composto come in figura: o una lamina polaroid; o una lamina a mezz onda; o una lamina analizzatrice; o un cannocchiale. Lunghezza del solenoide: L S =0,215 ± 0,002 Lunghezza del tubo di vetro: L V =0,160±0,002 Lunghezza del tubo di plexiglas: L A =0,2153 ± 0,002 m Presupposti teorici L effetto Faraday consiste nella rotazione del vettore di polarizzazione di un fascio di luce quando questo attraversa un corpo isotropo e trasparente permeato da un campo magnetico; la suddetta rotazione è proporzionale all intensità della componente del campo magnetico nella direzione del raggio luminoso secondo la formula: Pagina 1 di 10

2 2 α = khl I cosθ dove α rappresenta l angolo di rotazione del piano di polarizzazione, H l intensità del campo magnetico, L lo spessore della sostanza attraversata dalla luce, θ l angolo esistente tra la direzione del fascio luminoso e il quella del campo magnetico (poiché i due vettori in questione sono paralleli a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, è ragionevole approssimare cosθ con 1) e k la costante di Verdet, funzione quest ultima della lunghezza d onda, della temperatura e di eventuali caratteristiche fisiche quali concentrazione, indice di rifrazione, etc. La rotazione del piano di polarizzazione avviene nel verso di circuitazione della corrente elettrica, la quale viene fatta scorrere in un solenoide. Ricorrendo alle formule per il calcolo del campo magnetico generato da un solenoide percorso da corrente, si ha che l intensità H del campo magnetico è: H= dove N è il numero di spire del solenoide, L la sua lunghezza e I è l intensità di corrente elettrica. La spiegazione del fenomeno fonda le sue basi nella teoria classica dell elettromagnetismo: un onda, in quanto prodotto vettoriale dell interazione tra campo elettrico e campo magnetico, risente di qualsiasi interazione di queste due tipologie. La sorgente emette il fascio di luce non polarizzata, il quale, passando attraverso la prima lamina polaroid, viene costretto ad oscillare secondo una direzione preferenziale; il raggio uscente verrà poi ruotato di un angolo A rispetto alla direzione iniziale dall azione del campo magnetico generato dal solenoide, arrivando ad incidere sull analizzatore (anch esso polaroid). Se in assenza di solenoide l angolo a cui i due polaroid dovevano essere posizionati per ottenere una condizione di buio era /2, in presenza di campo magnetico quest ultimo dovrà essere modificato della quantità A. La lamina-mezz onda interviene in questo esperimento per finalità di miglioramento dell acquisizione dati: il suo compito è infatti quello di ricevere il fascio polarizzato dal primo polaroid prima che sia entrato nel solenoide e di sfasarne metà di. Questo fatto avviene in quanto la lamina è composta da due indici di rifrazione differenti distribuiti rispettivamente su metà dell area ciascuno: la differenza di materiale implica una differente velocità di attraversamento della lamina stessa da parte del fascio, che viene così diviso in un raggio ordinario e in uno straordinario, il primo inclinato rispetto alla direzione di partenza della quantità θ, il secondo della stessa quantità cambiata di segno. Una volta ricevuti entrambi i fasci dall analizzatore, l effetto sarà che il campo ottico del cannocchiale è ora diviso in due emisferi di differente luminosità: la condizione di minimo di intensità corrisponde quindi ora ad una condizione di equipenombra dei due emisferi. Il campo magnetico del solenoide provocherà a questo punto una rotazione dello stesso angolo A di entrambi i raggi, così da modificare il rapporto di equipenombra instaurato a favore dell uno o dell altro. La rotazione dell analizzatore necessaria al ritorno della condizione di equipenombra esprime l angolo richiesto. L introduzione della suddetta lamina non modifica quindi giustamente l effetto desiderato, consentendo bensì una maggior precisione nella determinazione di A: l occhio umano è infatti in grado di apprezzare con molta più precisione differenze di intensità, piuttosto che intensità assolute. Pagina 2 di 10

3 3 Procedimento sperimentale Figura 1: Immagine osservata attraverso l'oculare Misura dell angolo zero Per prima cosa si acquisiscono con l ausilio del nonio le caratteristiche geometriche del solenoide: lunghezza e raggio interno; il numero di spire e la sua incertezza vengono forniti. Si inserisce quindi il tubo di vetro( dopo aver preso nota dell indice di rifrazione e aver misurato la sua lunghezza) nel solenoide non percorso da corrente e si cerca con il cannocchiale la situazione di equipenombra: l angolo così misurato sarà assunto come zero della scala. In Tabella è presentata la serie di misure relative allo zero della nostra scala: Angolo nonio Tabella 1: Misure angolari dello zero. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3 Angolo medio : α 0 = 9 20 ± 0 01 Misura dell angolo di rotazione del piano di polarizzazione e della costante di Verdet per un cannello in vetro Si accende il generatore di corrente e si rincorre con il cannocchiale la posizione di equipenombra, ripetendo la procedura per differenti intensità; da ciò sarà possibile calcolare, tramite il metodo dei minimi quadrati, la costante k di Verdet. Nelle Tabelle seguenti sono riportate le serie di misure dello spostamento relative alle diverse intensità. I = 1±0,001 Ampere Pagina 3 di 10

4 Tabella 2: Misure angolari dell angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3 Angolo medio : α 1 = 1 15 ± 0 01 I = 2±0,001 Ampere Tabella 3: Misure angolari dell angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3 Angolo medio : α 2 = ± 0 1 I = 2,997±0,001 Ampere sul nonio Tabella 4: Misure angolari dell angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 3 =3 57 ± 0 2 I = 4,01±0,01 Ampere sul nonio Tabella 5: Misure angolari dell angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 4 =5 21 ± 0 2 I = 5,50±0,01 Ampere sul nonio Pagina 4 di 10

5 Tabella 6: Misure angolari dell angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 5 =7 09 ± 0 2 I = 7,30±0,01 Ampere sul nonio Tabella 7: Misure angolari dell angolo di rotazione. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 6 =9 49 ± 0 3 Costante di Verdet Nella seguente Tabella sono riassunti tutti i risultati ottenuti: I (A) σ I (A) Δθ ( ) σ Δθ ( ) (H) (Oe m) σ (Oe m) 1,000 0,001 1,24 0,056 12,76 0,018 2,000 0,001 2,55 0,058 25,53 0,028 2,997 0,001 3,95 0,057 38,26 0,039 4,01 0,01 5,35 0,060 51,2 0,14 5,50 0,01 7,14 0,056 70,2 0,14 7,30 0,01 9,82 0,058 93,2 0,16 Tabella 8: e integrale del campo magnetico eseguito nell approssimazione di solenoide finito Per ricavare la costante k di Verdet eseguiamo una correlazione ai minimi quadrati fra l angolo di spostamento e l integrale di campo magnetico riportati in tabella. La valutazione dell errore è svolta trasponendo tutto l errore sulla variabile y. Pagina 5 di 10

6 ( ) Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me Costante di Verdet - Vetro 10 8 y = 0,1058x - 0,1249 R² = 0, Integrale del campo magnetico (Oe*m) Grafico 1: Correlazione lineare fra integrale di campo magnetico e spostamento - caso del vetro k = 0,106 ± 0,0015 /Oe m Il valore teorico della costante k per il vetro è compreso fra 0,025 /Oe m e 0,150 /Oe m; la misura è accurata e cade nel range teorico. Misura dell angolo di rotazione del piano di polarizzazione e della costante di Verdet dell acqua distillata Per la misura della costante k dell acqua si procederà in modo pressoché analogo a prima,con una differenza: si vorrà infatti anche verificare che il plexiglas, in cui verrà messa l acqua, non influisca sulla polarizzazione della luce. Nelle Tabelle seguenti sono riportate le serie di misure relative alle intensità: I=0.0 A (misure in assenza di corrente) Angolo Pagina 6 di 10

7 7 Tabella 9: Misure angolari dell angolo di riferimento. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 00 = ± 0 1 I=1±0,01 Ampere: Angolo Tabella 10: Misure angolari dell angolo di riferimento. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 01 = ± 0 1 I=8±0,01 Ampere: Angolo Tabella 11: Misure angolari dell angolo di riferimento. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 08 = ± 0 1 E stato così verificato che il plexiglas in cui verrà messa l acqua non modifica il percorso dei raggi luminosi. Si decide di assumere quindi come zero della scala l angolo misurato senza circolazione di corrente, ovvero: α 0 = ± 0 1 Nelle Tabelle seguenti sono riportate le serie di misure dello spostamento relative alle diverse intensità. I = 1,003±0,001 Ampere Tabella 12: Misure angolari dell angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 1 =00 20 ± 0 1 Pagina 7 di 10

8 8 I = 2,498±0,001 Ampere Tabella 13: Misure angolari dell angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 2 =00 47 ± 0 1 I = 3,533±0,001 Ampere Tabella 14: Misure angolari dell angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 3 =1 14 ± 0 2 I = 5,90±0,01 Ampere Tabella 15: Misure angolari dell angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 4 =2 00 ± 0 2 I = 7,25±0,01 Ampere Pagina 8 di 10

9 ( ) Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 9 Tabella 16: Misure angolari dell angolo di spostamento angolare. Tutte le misure sono da intendersi affette da un incertezza di 3' Angolo medio : α 5 =2 33 ± 0 2 Costante di Verdet Nella seguente Tabella sono riassunti tutti i risultati ottenuti: I (A) σ I (A) Δθ ( ) σ Δθ ( ) (H) (Oe m) σ (Oe m) 1,003 0,001 0,34 0,030 16,31 0,085 2,498 0,001 0,78 0,032 40,6 0,22 3,533 0,001 1,23 0,032 57,4 0,29 5,9 0,01 2,01 0,032 95,9 0,53 7,25 0,01 2,54 0, ,9 0,62 Tabella 17: e integrale del campo magnetico eseguito nell approssimazione di solenoide finito Per ricavare la costante k di Verdet eseguiamo una correlazione ai minimi quadrati fra l angolo di spostamento e l integrale di campo magnetico riportati in tabella. La valutazione dell errore è svolta trasponendo tutto l errore sulla variabile y. 3 Costante di Verdet - Acqua 2,5 2 y = 0,0200x - 0,0476 R² = 0,9979 1,5 1 0, Integrale del campo magnetico (Oe*m) Grafico 2: Correlazione lineare fra integrale di campo magnetico e spostamento - caso dell acqua K = 0,0217 ± 0,0006 /Oe m Pagina 9 di 10

10 10 Il valore teorico della costante k per l acqua è 0,02182 /Oe m, pertanto la misura ottenuta risulta estremamente accurata e coerente con il valore teorico. Conclusioni e discussione sugli errori di misura Durante tutta l esperienza abbiamo assunto un errore di lettura degli angoli di 3, stimando per quale intervallo non fossimo in grado di apprezzare differenze nella penombra. Attivando il generatore e misurando l intensità di corrente con l amperometro notiamo che per intensità inferiori ai 4 A la sensibilità dello strumento è di 0,001 A; mentre per intensità maggiori la sensibilità scende a 0,01. Questi saranno i rispettivi errori sulle misure d intensità di corrente. Per le misure di lunghezze abbiamo a disposizione sia un calibro centesimale che un normale righello: per le misure effettuate col calibro consideriamo un errore di 0,05 mm mentre per quelle col righello l errore è pari a 1,0 mm. Solenoide ideale e solenoide reale. Il solenoide a nostra disposizione è ben lontano da essere ideale, infatti ha una lunghezza L=0,215 m, raggio interno=0,019 m e raggio esterno=0,05 m. Verifichiamo che errore sistematico commetteremmo sostituendo al solenoide finito con spessore nullo (e raggio medio) quello ideale, ipotizzando che sia attraversato da una corrente elettrica di 1 Ampere: H solenoide ideale: H solenoide finito con spessore nullo: 13,0 Oersted 12,8 Oersted L errore che commetteremmo nel considerare il solenoide ideale ha l ordine del circa 1,56%. Tuttavia, la differenza fra l approssimazione di solenoide finito a spessore nullo e di solenoide reale è molto inferiore all 1%, per cui si è scelto di effettuare tutti i conti nell approssimazione di solenoide finito con spessore nullo. Pagina 10 di 10