Spettrometria. Relazione sperimentale

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1 1 Relazione sperimentale Scopo dell esperienza è la misura della lunghezza d onda delle righe dello spettro della luce al mercurio e la misura dell indice di rifrazione del vetro in funzione della lunghezza d onda della luce incidente, tramite uno spettrometro a reticolo ed uno spettrometro a prisma. Deve essere inoltre verificato l andamento approssimato di Cauchy fra l indice di rifrazione e la lunghezza d onda incidente per i valori ottenuti. Apparato sperimentale Nell esperienza facciamo uso di uno spettrometro (Figura 1) sul quale sia possibile installare differentemente un reticolo di diffrazione (talvolta detto anche di interferenza) od un prisma di vetro. Figura 1: Schema dello spettrometro utilizzato nell'esperienza Lo spettrometro è costituito di un collimatore F fissato alla base B al quale si accosta una sorgente luminosa: scopo del collimatore è rendere i raggi provenienti dalla sorgente puntiforme paralleli. Al centro dello spettrometro è presente una base ruotabile M sulla quale si può installare differentemente un prisma o un reticolo di diffrazione. La scala graduata (in gradi sessagesimali con una sensibilità di 30 ) è fissa rispetto alla base B. La misura della rotazione della base è svolta sul nonio P 2 che ruota insieme a M. Il sistema è costituito anche di un cannocchiale Cruotabile anch esso il cui scopo è indagare la presenza di una frangia luminosa ad una certa posizione angolare; esso è dotato di oculare con messa a fuoco regolabile e con una croce di puntamento per facilitare il posizionamento del bersaglio. La lettura della posizione angolare di C è svolta per mezzo del nonio P1 e di un nonio posto a 180 di distanza da P1 (sarebbe a dire dalla parte opposta della scala graduata, dietro a M). Di seguito questi due nonii verranno indicati come il nonio antiorario (quello verso destra dal punto di vista del cannocchiale, muovendosi lungo G in senso antiorario) e il nonio orario (quello verso sinistra). Pagina 1 di 12

2 2 Oltre lo spettrometro gli strumenti impiegati sono una lampada ai vapori di mercurio, una lampada al sodio, un calibro con sensibilità pari a un ventesimo di millimetro, un reticolo di diffrazione di passo ignoto e un prisma retto a base triangolare equilatera in vetro. Presupposti teorici Misura del passo di un reticolo di diffrazione Conoscendo la lunghezza d onda di due onde elettromagnetiche monocromatiche di lunghezza d onda simile che investono un reticolo di diffrazione è possibile, misurando gli spostamenti angolari fra i massimi di interferenza, calcolarne il passo. Nel nostro caso impieghiamo una lampada al sodio: le lunghezze d onda del doppietto del sodio sono reperibili facilmente in letteratura 1 e corrispondono a Misurando gli spostamenti angolari del doppietto interno ed esterno è possibile risalire al passo del reticolo semplicemente invertendo la ben nota relazione nota come condizione di massimo di interferenza dove è l ordine del massimo osservato, la lunghezza d onda, l angolo rispetto al centro al quale si rileva la riga dello spettro. Misura dell indice di rifrazione del vetro e legge di Cauchy In teoria è nota la seguente relazione, valida per un fascio di luce monocromatica incidente su un prisma. L equazione lega l indice di rifrazione con angolo al vertice del prisma e angolo di deviazione minimo dell onda a quella determinata lunghezza d onda. Al fine di ricavare la funzione che lega indice di rifrazione e lunghezza d onda, misuriamo l angolo di deviazione minimo per ogni colore dello spettro prodotto dalla lampada a vapori di mercurio; pertanto è possibile, a patto di conoscere la lunghezza d onda della radiazione considerata, stabilire una correlazione fra e λ e validare (o confutare) la nota equazione nota come legge approssimata di Cauchy dove q e m sono coefficienti dipendenti dal materiale. 1 Fonte dei dati Acerbi, Sorbi, Laboratorio di Fisica, p. 140 Pagina 2 di 12

3 3 Procedimento sperimentale L esperienza si articola in due fasi: la misura delle lunghezze d onda delle righe dello spettro della lampada a mercurio mediante spettrometro a reticolo, e la misura dell indice di rifrazione del vetro mediante spettrometro a prisma. Fase 1: Spettrometro a reticolo di diffrazione Installato il reticolo di diffrazione sulla base, effettuiamo la calibrazione dello spettrometro che si articola in diverse fasi: la messa a fuoco del collimatore; la messa a fuoco del cannocchiale; la regolazione dell ampiezza della fenditura; la misura dello zero relativo sulla scala graduata G corrispondente alla posizione del cannocchiale quando si osserva la luce proveniente direttamente dalla sorgente trasmessa dal reticolo. l ortogonalizzazione del reticolo rispetto al raggio incidente Segue la misura del passo del reticolo facendo uso di una luce di lunghezza d onda nota (nel nostro caso, la luce al sodio del cui doppietto si conoscono le lunghezze d onda). Eseguiti tutti questi passi preliminari, misuriamo le posizioni angolari a cui si osservano le righe colorate dello spettro della luce al mercurio in indagine, da cui si ricava la lunghezza d onda di ciascuna riga. Fase 2: Spettrometro a prisma Posizionato il prisma sulla base, è necessario misurarne un angolo al vertice, in parte per verificare che la sua sezione sia effettivamente equilatera, ma piuttosto per averne una misura precisa da poter utilizzare nei calcoli. Fatto ciò, si procede a misurare l angolo di deviazione di ciascun colore dello spettro rispetto al raggio incidente (tale fenomeno è noto come diffusione prismatica). Conoscendo l angolo di deviazione e l angolo al vertice è possibile ricavare l indice di rifrazione per ciascuna componente. Infine, facendo uso dei dati ottenuti in entrambe le fasi (lunghezze d onda delle componenti dello spettro e relativi indici di rifrazione del vetro), verifichiamo che l indice di rifrazione segua la legge approssimata di Cauchy. Fase 1: Spettrometro a reticolo di diffrazione Calibrazione dello spettrometro Il fine della calibrazione dello spettrometro è poter effettuare rigorosamente l approssimazione di raggi paralleli incidenti sul reticolo. Eseguiamo tale calibrazione mettendo a fuoco il cannocchiale su un oggetto posto all infinito (nel caso della distanza focale del cannocchiale in questione è sufficiente un oggetto distante dieci metri; oltre tale distanza non si apprezza a occhio nudo la differenza); dopo aver posto la lampada al sodio di fronte alla fenditura e aver orientato il cannocchiale nella direzione del collimatore in modo da vedere chiaramente nell oculare l immagine della fenditura, regoliamo la messa a fuoco del collimatore fino a vedere perfettamente a fuoco l immagine della fenditura. Pagina 3 di 12

4 Passo del reticolo (A) Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 4 Il passo successivo consiste nel porre un riferimento sulla scala angolare del nonio da utilizzare come zero della scala. Puntiamo il cannocchiale direttamente nel collimatore (a 180 di distanza angolare l uno dall altro) e misuriamo l angolo a cui si trova il cannocchiale: il valore misurato è pari a 40 29' ± 30''. La posizione della frangia principale sarà il nostro riferimento assoluto. Prima di effettuare qualsiasi misura, è necessario accertarsi del posizionamento ortogonale del reticolo rispetto alla direzione della luce incidente, in modo tale da poter assumere che l angolo di deviazione per i massimi alla sinistra e alla destra del centro sia uguale. Per realizzare l ortogonalità si può procedere con due metodi. Il primo metodo consiste nel misurare le posizioni di due massimi di ordine elevato e calcolarne la differenza: essa indica il doppio dell angolo di cui si deve ruotare il reticolo (in senso contrario) per realizzare l ortogonalità. Il secondo metodo consiste sempre nel misurare le posizioni di due massimi e calcolarne la differenza, ma invece nel ruotare il cannocchiale nella posizione attesa per uno dei massimi in condizione di ortogonalità (la rotazione da eseguire è pari alla metà della differenza invertita di verso) e ruotare di conseguenza il reticolo fino a far cadere il massimo al centro dell oculare. Tale metodo risulta più efficace se la lettura del nonio sulla base centrale è più difficoltosa che la lettura dei nonii del cannocchiale. Misura del passo del reticolo In Tabella 1 sono riportate le misure angolari a cui sono stati osservati i doppietti i passi ottenuti Misure effettuate plottate nell'ordine tabulato 1 doppietto interno ' 30'' ± 6.3 Å 1 doppietto esterno ' 30'' ± 6.3 Å -1 doppietto interno ' 00'' ± 6.4 Å -1 doppietto esterno ' 30'' ± 6.3 Å 2 doppietto interno 84 54' 00'' ± 2.4 Å 2 doppietto esterno 84 50' 00'' ± 2.4 Å -2 doppietto interno ' 00'' ± 2.3 Å -2 doppietto esterno ' 00'' ± 2.3 Å Tabella 1: Misura del passo del reticolo (valori di k negativi significano che il massimo è osservato in verso orario a partire dalla posizione del cannocchiale; tutte le misure angolari sono da considerarsi affette da un errore di 30 ) Come appare evidente osservando i dati, non tutte le misure sono compatibili fra loro. In particolare, le rilevazioni al primo ordine sono tutte e quattro compatibili entro 1.98σ fra loro, mentre le misure al secondo ordine sembrano risentire di un errore sistematico nella stima dell angolo, poiché le misure con k positivo sono sovrastimate mentre quelle con k negative sono sottostimate. L errore sistematico più probabile è dovuto alla scarsa messa a fuoco del cannocchiale per angoli molto grandi. Ad ogni modo, scartando le misure incompatibili e mediando si ottiene Misura della lunghezza d onda delle righe dello spettro La fase successiva consiste nella misurazione degli spostamenti angolari delle righe dello spettro della lampada al mercurio, in modo da poter ricavare la lunghezza d onda della riga invertendo la condizione di massimo. Poiché la maggior parte degli errori di misura sono concentrati nella lettura dei nonii, appare evidente che il massimo di precisione nella misura dello spostamento angolare si ottiene misurando i massimi di ordine più alto: sul nostro strumento è possibile Pagina 4 di 12

5 5 identificare i massimi fino al terzo ordine per le frange più facilmente visibili. Nonostante si intravedano altre righe, scegliamo di effettuare la misura delle righe più facilmente identificabili senza ritoccare l apertura della fenditura. Si osservano facilmente (ordinate dalla frequenza più alta alla più bassa): viola scuro; violetto; indaco; azzurro; verde; giallo 1 e giallo 2; rosso. In Tabella 2, 3, 4 sono riportati i valori di spostamento angolare rilevati per il primo, il secondo ed il terzo ordine e la conseguente misura della lunghezza d onda calcolata (i simboli + e indicano se la misura è presa ruotando il cannocchiale rispetto all asse di incidenza in senso rispettivamente antiorario e orario). PRIMO ORDINE Angolo nonio Angolo deviazione θ Lunghezza d onda λ Viola scuro ± 24 Å Viola scuro ± 24 Å Violetto ± 24 Å Violetto ± 24 Å Indaco ± 23 Å Indaco ± 23 Å Azzurro ± 23 Å Azzurro ± 23 Å Verde ± 23 Å Verde ± 23 Å Giallo ± 23 Å Giallo ± 23 Å Giallo ± 23 Å Giallo ± 23 Å Rosso ± 23 Å Rosso ± 23 Å Tabella 2: Misure delle deviazioni angolari delle righe dello spettro e lunghezza d onda calcolata (per brevità di scrittura, tutte le misure angolari sono da considerarsi affette da un incertezza di 30 ) PRIMO ORDINE SECONDO ORDINE Angolo nonio Angolo deviazione θ Lunghezza d onda λ Viola scuro ' 29 11' 4043 ± 11 Å Viola scuro ' 29 17' 4055 ± 11 Å Violetto ' 30' 29 24' 30'' 4071 ± 11 Å Violetto ' 4080 ± 11 Å Indaco ' 31 38' 4348 ± 11 Å Indaco ' 31 48' 4369 ± 11 Å Azzurro ' 36 14' 4900 ± 10 Å Azzurro ' 30'' 36 30' 30'' 4933 ± 10 Å Verde ' 30'' 40 59' 30'' 5438 ± 10 Å Verde ' 30'' 41 24' 30'' 5484 ± 10 Å Giallo ' 43 51' 5744 ± 10 Å Giallo ' 44 20' 5794 ± 9 Å Giallo ' 44 02' 5763 ± 9 Å Giallo ' 44 33' 5816 ± 9 Å Rosso ' 30'' 47 16' 30'' 6098 ± 9 Å Rosso ' 49 09' 6270 ± 9 Å Tabella 3: Misure delle deviazioni angolari delle righe dello spettro e lunghezza d onda calcolata (per brevità di scrittura, tutte le misure angolari sono da considerarsi affette da un incertezza di 30 ) SECONDO ORDINE Pagina 5 di 12

6 6 TERZO ORDINE Angolo nonio Angolo deviazione θ Lunghezza d onda λ Viola scuro ' 46 46' 4069 ± 6 Å Viola scuro ' 30'' 47 24' 30'' 4027 ± 6 Å Violetto ' 47 14' 4102 ± 6 Å Violetto ' 47 55' 4057 ± 6 Å Indaco ' 30'' 51 37' 30'' 4385 ± 6 Å Indaco ' 30'' 63 45' 30'' 4337 ± 6 Å Tabella 4: Misure delle deviazioni angolari delle righe dello spettro visibili e lunghezza d onda calcolata (per brevità di scrittura, tutte le misure angolari sono da considerarsi affette da un incertezza di 30 ) TERZO ORDINE Non tutte le righe dello spettro del terzo ordine risultano chiaramente distinguibili; inoltre, il cannocchiale perde progressivamente di messa a fuoco più ci si allontana dal massimo principale (l effetto inizia ad osservarsi alle prime righe gialle del secondo ordine). Per questi motivi (e a fronte dei dati rilevati) abbiamo deciso di rigettare le poche misure eseguite al terzo ordine perché sospette di errori sistematici non considerati (attribuiti, come detto, a imprecisioni di messa a fuoco, ma anche a imperfezioni del reticolo stesso o ad effetti di bordo non considerati) e di raddoppiare l incertezza nelle misure angolari seguenti il verde del secondo ordine. In Tabella 5 sono riportati i valori medi delle lunghezze d onda rilevate. Riga dello spettro Lunghezza d onda (Å) Valore teorico (Å) Confidenza Viola scuro ± 7.0 Å σ Violetto ± 7.0 Å σ Indaco ± 6.9 Å σ Azzurro ± 6.6 Å σ Verde 5461 ± 11 Å σ Giallo ± 10 Å σ Giallo ± 10 Å σ Rosso 6250 ± 12 Å σ Tabella 5: Valori finali delle lunghezze d'onda delle righe dello spettro, calcolati mediante media pesata confrontati con i valori teorici (fonte [Acerbi, Sorbi] Laboratorio di Fisica) Le misure ottenute per le righe considerate sono tutte accettabili entro un livello di confidenza di 1.98σ (molte vanno ben sotto questa soglia di confidenza) ad eccezione delle misure della luce rossa, che risultano del tutto anomale rispetto al valore teorico. La fonte più probabile di tale errore è l errata identificazione della riga rossa dello spettro in indagine: sono infatti difficilmente distinguibili diverse righe (tre/quattro) ad intensità luminosa molto bassa. Una significativa rappresentazione grafica di quanto osservato è visibile in Grafico 1: la rappresentazione è eseguita riportando i valori delle lunghezze d onda ottenuti per ciascuna riga dello spettro al variare dell ordine; le rette tratteggiate corrispondono al valor medio della lunghezza d onda ottenuto per ciascuna riga. Per completezza è stata inserita anche la media delle lunghezze d onda del rosso, sebbene essa non abbia reale significato fisico. Pagina 6 di 12

7 Lunghezza d'onda (A) Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri, Roberta Lanfranco Gruppo Me7 7 Lunghezza d'onda linee dello spettro Numero d'ordine Grafico 1: Lunghezze d'onda delle righe dello spettro rilevate per ciascun ordine e loro media pesata. I colori assegnati sono puramente esplicativi e non corrispondono in alcun modo ai dati rilevati. Le misure contrassegnate da una X sono state scartate del computo della media per eccessiva incompatibilità. Gli errori delle medie sono riportati a fianco delle rette tratteggiate. Pagina 7 di 12

8 8 Fase 2: Spettrometro a prisma Angolo al vertice del prisma Sostituito il reticolo con il prisma di vetro, misuriamo l angolo α al vertice del prisma in modo da verificare che si tratti effettivamente di un prisma a base triangolare equilatera. Per effettuare la misura facciamo incidere un raggio di luce su una faccia del prisma in modo che venga riflesso e posizioniamo il cannocchiale in corrispondenza del raggio riflesso dal prisma. Quindi, ruotiamo il prisma tenendo fisso il cannocchiale fino a fare coincidere con il cannocchiale il raggio riflesso da una faccia adiacente all iniziale: l angolo di cui si è ruotato il prisma corrisponde a dove è la posizione angolare del prisma tale che il raggio riflesso dalla prima faccia intercetti il cannocchiale, mentre è la posizione angolare del prisma tale che il raggio riflesso dalla seconda faccia intercetti il cannochiale. Al fine di massimizzare la precisione nella misura di α effettuiamo la misura angolare su entrambi i nonii disponibili (orario e antiorario) in due differenti serie; in Tabella 6 sono riportati i valori misurati, in Tabella 7 i valori di α ottenuti. Posizioni del prisma Serie 1 Sessagesimali Radianti Posizione iniziale del prisma (nonio orario) ± ± rad Posizione iniziale del prisma (nonio antiorario) ± ± rad Posizione finale del prisma (nonio orario) ± ± rad Posizione finale del prisma (nonio antiorario) ± ± rad Posizioni del prisma Serie 2 Sessagesimali Radianti Posizione iniziale del prisma (nonio orario) ± ± rad Posizione iniziale del prisma (nonio antiorario) ± ± rad Posizione finale del prisma (nonio orario) ± ± rad Posizione finale del prisma (nonio antiorario) ± ± rad Tabella 6: Misure delle posizioni del prisma in condizione di raggio riflesso (serie 1 e serie 2) Serie α (rad) Serie 1 nonio orario ± Serie 1 nonio antiorario ± Serie 2 nonio orario ± Serie 2 nonio antiorario ± Valore finale (media) ± Tabella 7: Valori di α ottenuti nelle serie e loro media finale Con buona approssimazione il valore di α corrisponde a 60 ; è quindi lecito supporre il prisma a base triangolare equilatera nello svolgere le successive misurazioni. Indice di rifrazione del vetro Inizialmente posizioniamo il prisma in modo che la luce proveniente dal collimatore colpisca la prima faccia del prisma che abbiamo usato per calcolare l angolo al vertice e venga trasmessa deviata fuori dalla seconda; così è lecito utilizzare nei calcoli misurato. Per calcolare è necessario porre un riferimento angolare assoluto per calcolare la deviazione angolare. Assumiamo come zero la posizione in cui il cannocchiale si trova quando riceve la componente di luce trasmessa dal prisma in asse con il collimatore. In Tabella 8 sono riportate le Pagina 8 di 12

9 9 misure angolari dello zero. Si noti che come errore del valor medio si è utilizzata comunque la sensibilità dello strumento per non sottostimare eccessivamente l errore. Serie Sessagesimali Radianti ± ± rad Posizioni del cannocchiale (nonio antiorario) ± ± rad ± ± rad ± ± rad Posizioni del cannocchiale (nonio orario) ± ± rad ± ± rad Posizione del cannocchiale (nonio antiorario) ± ± rad Posizione del cannocchiale (nonio orario) ± ± rad Tabella 8: Misure del fondoscala sul quale misurare l'angolo di minima deviazione. Per determinare l angolo di deviazione minimo, impieghiamo la sua definizione per definire il metodo di misura. Esso è per definizione l angolo di minima deviazione angolare fra angolo di incidenza nel prisma e angolo di uscita dal prisma (in funzione dell angolo di incidenza). In quanto minimo, la derivata della funzione angolo di deviazione angolo di incidenza è nulla: allora, tenendo fissa l orientazione angolare del raggio e ruotando il prisma (cioè realizzando una variazione dell angolo di incidenza) l angolo di deviazione minima per una data riga dello spettro non è altro che l angolo per cui lo la velocità di spostamento della riga al variare dell orientazione del prisma è nulla. In altre parole, si osserva, al variare dell angolo di orientazione del prisma e per una certa riga dello spettro, un movimento in una direzione che a un certo punto si inverte: il valore angolare in corrispondenza del quale avviene tale inversione di moto è l angolo di deviazione minimo. Praticamente realizziamo la misura ricorrendo alla croce dell oculare e a un procedimento iterativo. Posizioniamo per prima cosa il cannocchiale nei pressi dell angolo di deviazione minima dalla parte degli angoli di deviazione maggiori e, ruotando volta per volta di una piccola frazione il prisma, rincorriamo con il cannocchiale la riga finché la croce dell oculare non si trovi tangente al movimento della riga (cioè esiste una sola posizione angolare per cui la riga arriva a coincidere con la croce dell oculare). Tale posizione corrisponde all angolo minimo di deviazione. In Tabella 9 riportiamo i valori ottenuti per la misura degli angoli di deviazione per le varie componenti dello spettro misurati tramite il procedimento descritto. Deviazione luce rossa Sessagesimali Radianti Posizione del cannocchiale (antiorario) ,9912 Posizione del cannocchiale (orario) ,1313 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,1310 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,1324 ± Deviazione luce gialla 2 Sessagesimali Radianti Posizione del cannocchiale (antiorario) ,9621 Posizione del cannocchiale (orario) ,1011 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,1601 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,1627 ± Deviazione luce gialla 1 Sessagesimali Radianti Posizione del cannocchiale (antiorario) , ,9473 Posizione del cannocchiale (orario) ,1002 Pagina 9 di 12

10 ,1017 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,1612 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,1636 ± Deviazione luce verde Sessagesimali Radianti ,9487 Posizione del cannocchiale (antiorario) ,9473 Posizione del cannocchiale (orario) , , , ,0883 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,1734 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,1752 ± Deviazione luce azzurra Sessagesimali Radianti Posizione del cannocchiale (antiorario) ,9196 Posizione del cannocchiale (orario) ,0583 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,2025 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,2054 ± Deviazione luce indaco Sessagesimali Radianti Posizione del cannocchiale (antiorario) ,8711 Posizione del cannocchiale (orario) ,0100 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,2511 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,2537 ± Deviazione luce violetto Sessagesimali Radianti Posizione del cannocchiale (antiorario) , ,8327 Posizione del cannocchiale (orario) ,9722 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,2904 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,2915 ± Deviazione luce viola scuro Sessagesimali Radianti Posizione del cannocchiale (antiorario) ,8286 Posizione del cannocchiale (orario) , , ,9673 Angolo minimo di deviazione (antiorario) 1,2936 ± Angolo minimo di deviazione (orario) 1,2962 ± Tabella 9: Misure degli angoli minimi di diffrazione per le varie righe dello spettro. Le misure in sessagesimali sono da considerarsi affette da un errore di ± 30 non riportato per semplicità; le misure in radianti ove non specificato da un errore di ± rad. Con questi dati a disposizione si può ricavare l indice di rifrazione di ciascuna riga dello spettro. In Tabella 10 sono riportati i valori ottenuti per l indice di rifrazione Serie n Luce viola scuro nonio antiorario ± Luce violetto nonio antiorario ± Luce indaco nonio antiorario ± Luce azzurro nonio antiorario ± Luce verde nonio antiorario ± Luce giallo 1 nonio antiorario ± Luce giallo 2 nonio antiorario ± Pagina 10 di 12

11 11 Luce rosso nonio antiorario ± Luce viola scuro nonio orario ± Luce violetto nonio orario ± Luce indaco nonio orario ± Luce azzurro nonio orario ± Luce verde nonio orario ± Luce giallo 1 nonio orario ± Luce giallo 2 nonio orario ± Luce rosso nonio orario ± Tabella 10: Valori ottenuti per l'indice di rifrazione n del vetro in funzione di λ Per verificare che gli indici di rifrazione così ottenuti rispettino la legge approssimata di Cauchy è sufficiente eseguire una regressione lineare con sull asse delle ascisse e n 2 sulle ordinate. I Grafici 2 e 3 riportano tali regressioni eseguite per i due nonii e le tabelle allegate i parametri del fit con il relativo esito del test di χ 2. Quadrato indice di rifrazione n 2 3,50 3,45 3,40 3,35 3,30 3,25 3,20 3,15 Andamento n 2 (λ) - nonio antiorario Parametro Valore m q 3.00 σ m σ q χ² R ,10 3,05 2,1E-06 3,1E-06 4,1E-06 5,1E-06 6,1E-06 Inverso del quadrato della lunghezza d'onda 1/λ² (1/nm²) Grafico 2: Andamento dell'indice di rifrazione n in funzione di λ (misure sul nonio antiorario) Pagina 11 di 12

12 12 Quadrato indice di rifrazione n 2 3,5 3,45 3,4 3,35 3,3 3,25 3,2 3,15 Andamento n 2 (λ) - nonio orario Parametro Valore m q 3.00 σ m σ q χ² R ,1 3,05 2,1E-06 3,1E-06 4,1E-06 5,1E-06 6,1E-06 Inverso del quadrato della lunghezza d'onda 1/λ² (1/nm²) Grafico 3: Andamento dell'indice di rifrazione n in funzione di λ (misure sul nonio orario) Conclusioni e discussione sugli errori sistematici di misura L andamento approssimato di Cauchy per il vetro è rispettato: la correlazione fra n 2 e è lineare con una buona approssimazione. A fronte delle considerazioni svolte sopra, abbiamo scelto di utilizzare il valore teorico della lunghezza d onda della luce rossa (, fonte [Acerbi, Sorbi] Laboratorio di Fisica) per evitare di propagare il grande errore di stima nella lunghezza d onda ai parametri del fit. Come si osserva dai casi sopra illustrati, eseguire due serie distinte di misure sui due diversi nonii non contribuisce in modo sostanziale alla riduzione degli errori di misura: la correzione apportata dalle successive prese di dati è così piccola rispetto agli errori delle misure da risultare praticamente trascurabile. A riprova è sufficiente osservare che le due serie di misure prese sui differenti nonii comportano una variazione della pendenza della retta di regressione alla seconda cifra decimale, mentre l errore assicura l affidabilità solo della prima. Per il carattere di sequenzialità di questa esperienza, la buona riuscita della correlazione garantisce che gli errori sistematici propagati fin dall inizio delle misure siano abbastanza piccoli: hanno contribuito, infatti, tutti i valori misurati fin dall inizio dell esperienza alla determinazione dei parametri del fit (ad eccezione, a rigore, delle misure della lunghezza d onda della luce rossa). Sarebbe stato infatti sufficiente un errore nell ortogonalizzazione del reticolo di diffrazione (o nella misura dell angolo al vertice del prisma) per falsare i dati delle lunghezze d onda e quindi cambiare sensibilmente la concavità della curva (poiché dalla lunghezza d onda si calcola il quadrato del reciproco). Si potrebbe dire, in via informale, che sull asse delle ascisse siano posizionati i dati ottenuti con lo spettrometro a reticolo, mentre sull asse delle ordinate i valori ottenuti con lo spettrometro a prisma, e poiché la correlazione fra di essi ha una così buona riuscita essi siano affetti da errori sistematici molto modesti. Pagina 12 di 12