Sommario. I fluidi: nuove grandezze, la densità e la pressione. Statica dei fluidi. Dinamica dei fluidi: equazione di continuità

Transcript

1 Sommario I fluidi: nuove grandezze, la densità e la pressione Statica dei fluidi Dinamica dei fluidi: equazione di continuità Bernoulli e attrito nei fluidi Esercizi: il sistema cardiocircolatorio Trasporto in regime viscoso Tecniche di separazione

2 I fluidi 3 stati della materia: 1. Solido: mantiene sempre la sua forma anche se applichiamo forze 2. Liquido: forma del contenitore ma non comprimibile 3. Gassoso: forma del contenitore e altamente comprimibile Le proprietà della materia dipendono fortemente dalla struttura atomica, cioè dalla disposizione degli atomi gli uni rispetto agli altri e dalle forze tra loro

3 Struttura del diamante, Atomi disposti in posizioni ben definite, struttura regolare e ordinata Stati della materia acqua liquida Molecole disordinate ma vicine l una all altra, compattezza! I fluidi comprendono liquidi e gas Fluido <=> Fluire i fluidi, al contrario dei solidi hanno capacità di scorrimento

4 Densità Nello studio dei fluidi introduciamo la densità come grandezza nuova che esprime il rapporto tra la massa di una data quantità di fluido e il volume occupato: d=m/v Kg/m 3 o g/cm 3 I fluidi non hanno volume proprio! La minore densità della materia allo stato gassoso è dovuta alla maggiore distanza tra le particelle Ghiaccio e acqua liquida Nonostante i liquidi di solito abbiano densità minore dei solidi, il ghiaccio rappresenta un eccezione! Nel ghiaccio la struttura regolare mostra dei buchi che ne diminuisce la densità!

5 Volume e massa Siccome i fluidi non hanno volume proprio, ci si deve domandare quale sia la massa di un fluido che occupa un volume V. Esempio: abbiamo una sostanza in una siringa che occupa un volume di 3 ml. Quale massa ha? Dipende dalla densità, maggiore la densità e maggiore sarà la massa d=m/v => m=d*v => m=d*3ml Se abbiamo acqua allora (d = 1 g/cm 3 ): m=??? Se abbiamo una sostanza con d= 1.2 g/cm 3 m=??? 300 g di farina NON occupano lo stesso volume di 300 g di riso!!!

6 Pressione Nello studio dei fluidi introduciamo la pressione come grandezza nuova che esprime il rapporto tra la componente della forza applicata sulla superficie di liquido e ivi perpendicolare e la superficie stessa: P=F/S La pressione è uno scalare! Se applichiamo una forza alla superficie di un liquido possiamo scomporla in una forza tangenziale alla superficie e una perpendicolare La forza tangenziale produce una perturbazione del liquido vicino alla superficie La forza perpendicolare, applicata attraverso un pistone, viene invece sentita in tutto il liquido: Principio di Pascal In un fluido in equilibrio le forze tangenziali sono nulle Qualsiasi elemento di fluido sente la stessa pressione 1 Pascal=1N/m2 P = F/S

7 Pascal: esempi Torchio o pressa idraulica: Isotropia della pressione P=F in /A in =F out /A out => F out =F in *A out /A in F in =100 Kg*g A in =0.5 m 2 A out =10 m 2 => F out =100*10/0.5 Kg*g=2000 Kg*g Moltiplicatore o demoltiplicatore di forze

8 Principio di Stevino Quale è la pressione all interno di un fluido a una profondità h dalla superficie? PA+mg=(P+ΔP)A => ΔPA=mg ΔP=mg/A m=dv=d*a*δh => ΔP=d*A*Δh*g/A=dgΔh ΔP=dgΔh P(h)=dgh Esperimento di Torricelli: un tubo pieno di mercurio viene rovesciato in una vaschetta. Il livello del mercurio si stabilizza a 76 cm dalla superficie della vaschetta. Cosa equilibria il mercurio? P=13.6 g/cm 3 *980 cm/s 2 *76 cm= 1.012*10 5 Pa

9 P=dgh Barometro ad acqua

10 Principio di Archimede I corpi immersi in un liquido sembrano essere più leggeri Principio di Archimede: qualsiasi corpo immerso in un fluido riceve una spinta (forza) dal basso verso l alto pari al peso di acqua spostata dal corpo stesso F A =F 2 -F 1 =d F ga(h 2 -h 1 ) =d F Vg=m F g F TOT =F P -F A =mg-m F g=(d-d F )Vg

11 Galleggiamento Un corpo galleggia quando la spinta di Archimede bilancia completamente la forza peso 2 m 3 legno =>1200 Kg 2 m 3 acqua => 2000 Kg Il legno sommerso riceve una spinta dal basso verso l alto: galleggiamento! Il ghiaccio ha una densità minore dell acqua Un iceberg galleggia, che volume si trova sotto la superficie dell acqua? F P =mg=v I d I g Acqua spostata V F d F g V I d I g= V F d F g => V F /V I =d I /d F =0.92/1.025=0.90 Il 90% dell iceberg sta immerso!

12

13 Portata ed Equazione di continuità Portata: quantità di volume che passa attraverso una superficie in un tempo Δt: Q=ΔV/Δt [m 3 ]/[s] Q=ΔV/Δt ΔV=SΔl=SvΔt => Q=SvΔt/Δt=Sv Per un fluido che scorre in un condotto senza perdite e in moto stazionario, la portata è uguale in tutti i punti del condotto perché la massa si deve conservare: tutto ciò che entra da una parte esce dall altra Poichè deve essere valido per tutti i punti del condotto abbiamo: Q=costante => Sv=S v => v =S/S *v Se come in questo caso S <S abbiamo v > v L equazione di continuità è il principio di conservazione della massa e come tutti gli altri principi di conservazione gioca un ruolo importante nella dinamica dei fluidi.

14 Bernoulli Il principio di Bernoulli non è altro che un principio di conservazione dell energia applicato a una massa di liquido che scorre. Le energie in gioco sono l energia cinetica l energia potenziale l energia della pressione Teorema dell energia cinetica ΔK=Lavoro Lavoro di P= P 1 A 1 Δl 1 -P 2 A 2 Δl 2 Lavoro di g= -mg(y 2 -y 1 ) ΔK =0.5mv mv 1 2

15 Bernoulli P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 = costante Nonostante in questa forma, più facile da ricordare, ciascun termine ha le dimensioni di una pressione, l equazione esprime la conservazione dell energia: la somma dell energia dovuta alla pressione, del termine cinetico e di quello potenziale sono costanti!!! Se moltiplichiamo tutto per ΔV ritroviamo le dimensione di un energia!!!

16 Esempi P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 P dv 12 = P dv 2 2 Tubo di Venturi La pressione è minore dove la velocità è maggiore ESEMPI: Soffiando tra due fogli di carta questi si avvicinano Porta che sbatte con il vento Uscita dal cinema

17 Torricelli P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 P1=P2=pressione atmosferica v 2 0 immaginiamo che si svuoti lentamente 0.5dv 12 =dg(y 2 -y 1 ) => v 1 = 2g(y 2 y 1 ) Ricorda qualcosa? Meccanica: velocità di caduta di un oggetto da un altezza h!

18 Barche a vela P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 Se applichiamo Bernoulli al fluido che scorre sulle vele si ha: y 1 =y 2 Rimane solo pressione + En. Cinetica P ext +K ext =P int +K int La velocità dell aria che scorre sulla parte esterna della vela è maggiore di quella che scorre sulla parte interna: Quindi si ha che K ext > K int allora P ext < P int Forza efficace (F vento ) che spinge sulla vela! La forza che agisce sulla barca è poi la risultante di questa forza + la forza di resistenza dell acqua sulla chiglia (F acqua ) Le barche a vela navigano controvento! Stesso principio per le ali degli aeroplani!

19

20 Fluidi reali P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 P 1 v 1 h 1 P 2 v 2 h 2 Poiché il condotto ha sezione costante, per l equazione di continuità v 1 =v 2, e poiché è orizzontale h 1 =h 2, abbiamo quindi: P 1 =P 2 o ΔP=0 Questa condizione vale quando gli attriti vengono trascurati! In un fluido reale dobbiamo scrivere: P dv 12 +dgy 1 = P dv 22 +dgy 2 +P A Dove P A rappresenta la pressione persa per attrito. Si ha quindi: ΔP*ΔV=E A ovvero occorre una differenza di pressione per far muovere un fluido a velocità costante in un condotto rettilineo ove vi siano degli attriti

21 Viscosità La viscosità esprime la difficoltà di un fluido reale di scorrere. La viscosità è la grandezza che quantifica l attrito nei fluidi. Nei liquidi dipende principalmente dalla forza di coesione tra le molecole, cioè dipende dalla struttura microscopica del liquido. Nonostante la sua natura molecolare, l evidenza macroscopica è rappresentata in figura: per far muovere un piatto mobile che galleggia sulla superficie del liquido occorre applicare una forza f. Questa forza è tanto maggiore quando maggiore è la viscosità del liquido.

22 Viscosità Per velocità non troppo elevate il fluido al di sotto del piatto mobile scorre in regime laminare: il fluido è stratificato e ogni strato ha una velocità diversa. Se partiamo dal piatto mobile lo strato sottostante si muove a velocità minore e così via sino ad arrivare all ultimo strato in contatto con il piatto fisso, il quale, a causa dell attrito, ovvero le forze di adesione tra liquido e piatto, avrà velocità zero. La differenza di velocità tra gli strati dipende dalla viscosità del fluido: più il fluido è viscoso e più è difficile far scorrere gli strati tra loro F=-ηA(v 1 -v 2 )/l si misura in poise=g/(cm*s) o S.I. Pa*s dove A è l area del piatto e l la distanza tra gli strati le cui velocità sono v 1 e v 2.

23 Viscosità F=-ηA(v 1 -v 2 )/l Anche in questo caso la struttura di questa formula ricorda F=ma. Sotto l azione della forza F, lo strato di area A subisce un gradiente di velocità inversamente proporzionale al valore della viscosità del liquido Il miele ha una viscosità molto maggiore dell acqua, difficile farlo scorrere, tra le lamine non c è differenza (gradiente) di velocità! La viscosità diminuisce (miglior scorrevolezza) con la temperatura!!! Domanda: se dividiamo F/A, si può parlare di pressione applicata?

24 P1 V h Resistenza P2 V h Concetto di resistenza di un condotto: R = ΔP Q Rapporto tra la differenza di pressione che applichiamo a un condotto e la portata che otteniamo Q=SV Per un condotto rettilineo si ha per la resistenza: Dove l è la lunghezza del condotto, r il raggio e η la viscosità del fluido R = 8 ηl π r 4 I condotti di sezione piccola hanno una resistenza molto alta Se dimezziamo il raggio la resistenza aumenta di un fattore 16!

25 R = ΔP Q Definizione Poiseuille Legge empirica R = 8 ηl π r 4 Dalle due precedenti relazioni si ricava la legge di Poiseuille: 8 ηl π r = ΔP 4 Q Ovvero Q = π 8 Q ΔP r 4 ηl ΔP La portata è proporzionale alla differenza di pressione applicata ai due estremi del condotto: In un fluido reale è la differenza di pressione che genera il movimento del fluido!

26 Poiseuille Se riscriviamo l equazione per un fluido che scorre in un condotto a sezione circolare e ricordandoci l espressione della portata: Sezione circolare S=πr 2 Q = π 8 r 4 ηl ΔP = π 8 r 4 ηl F S = r2 8 F ηl Q = Sv πr 2 v = r2 8 F ηl F = 8πηlv F v La velocità di scorrimento proporzionale alla forza applicata è tipica di una forza d attrito, come in macchina, per andare a velocità maggiore dovete aumentare i giri del motore, ovvero più forza

27 Velocità critica Il regime laminare, che ha un profilo di velocità parabolico, dura sinché la velocità non aumenta a un valore detto critico, oltre il quale si ha un regime detto turbolento, in cui appaiono dei vortici. Questi vortici provocano un aumento degli attriti e quindi più energia si perde per far scorrere il fluido. Il moto laminare è anche detto moto silenzioso, al contrario del moto turbolento che viene detto rumoroso

28 In regime laminare la portata è proporzionale alla pressione applicata Q ΔP Regime turbolento In regime turbolento invece abbiamo che tutto il fluido è pervaso da vortici, cioè energia viene spesa in eccesso per creare questi vortici. La resistenza è quindi proporzionale al volume di fluido che transita, cioè la portata: R=KQ dove K è una costante, il fattore di attrito. Quindi abbiamo: R = Δp Q = KQ Q Δp

29 Regime turbolento Q ΔP A parità di pressione la portata diminuisce, il regime turbolento ha una dispersione di energia per attrito maggiore (i vortici)! Velocità critica, velocità alla quale il regime passa da laminare a turbolento R = Numero di Reynolds, che permette di calcolare la v c Vale circa 1200 per condotti rettilinei regolari Vale meno di 1200 in corrispondenza di strozzature dove è più facile avere un moto turbolento!!! v C = Rη dr

30 v C = Rη dr Esempio Se il raggio di un condotto è molto grande la formula ci dice che la velocità critica è bassa Caso del fiume e del torrente: Ammettiamo che il fiume sia in regime laminare, quando viene diminuita la sua sezione cosa succede? In un torrente il raggio è piccolo, la velocità critica aumenta, il regime laminare sembra più probabile di quello turbolento! Paradosso! Di solito i torrenti hanno un regime turbolento Se dimezzo il raggio del condotto ho che: v c => 2v c Raddoppia Però dall equazione di continuità: Q=Sv v=> 4v Quadruplica Passo in regime turbolento!

31 Circuito idraulico In un circuito idraulico due resistenze messe in serie, cioè con la stessa portata, hanno una resistenza totale che è la somma delle due R T =R 1 +R 2 Invece due resistenze messe in parallelo, con la stessa pressione, hanno una resistenza totale secondo la formula: 1/R T =1/R 1 +1/R 2

32 R = 8 ηl π Esempio Unità di misura: Pascal*secondo/m 3 R = ΔP Q r 4 R1 =10 R2 =20 R T =30 R 1 =10 R 2 =20 R T =6.67 R 1 =10 R 2 =10 R T =5!!! Perché la portata è il doppio!

33

34 Sistema cardiocircolatorio Sistema chiuso Il cuore è la pompa che mette in movimento il sangue Pressione arteriosa: cosa viene misurato? Cosa significa 120 mmhg? A differenza di un acquedotto cittadino che serve le case, i condotti del corpo umano, arterie e vene, non sono rigidi ma altamente deformabili.

35 Circolazione del sangue V TOT = 6 l

36 Equazione di continuità La portata è costante: né emorragie né trasfusioni!!! Quindi: S 1 v 1 = S 2 v 2 S = 5 cm 2 S = 1.25 cm 2 S = 5*0.5 cm 2 v = 20 cm s 1 v = 80 cm s 1 v =?

37 Vasi sanguigni

38 Stenosi/aneurisma Esempi: Stenosi e aneurisma: vasi rigidi e vasi elastici (bernoulli) v 1 <v 2 p 1 >p 2

39 Flusso laminare con accumulo assiale Se il sangue fosse omogeneo, dovremmo avere un profilo di velocità parabolico in regime laminare. Invece la presenza degli eritrociti, particelle abbastanza grandi, crea un accumulo assiale dovuto al loro orientamento nel flusso.

40 Accumulo assiale L accumulo assiale ha però due vantaggi: 1. Siccome la viscosità del fluido aumenta al centro, il gradiente della velocità diminuisce, e il profilo di velocità diventa quasi costante al centro. Questa diminuzione di velocita proprio dove sarebbe più elevata diminuisce la probabilità di avere flusso turbolento, meno attrito!!!

41 Accumulo assiale 2. Poiché ai lati ci sono meno eritrociti, abbiamo essenzialmente plasma, la viscosità diminuisce. Proprio in prossimità delle pareti dove la velocita è prossima allo zero abbiamo un forte incremento dovuto alla minore viscosità. I due fenomeni, perdita di velocità al centro e aumento ai lati, comunque favorisce un aumento della portata, perché la perdita al centro è minore dell aumento ai lati!!!

42 EFFETTI FISIOLOGICI della PRESSIONE IDROSTATICA La pressione idrostatica è la pressione esercitata da una colonna di liquido sulla propria base per effetto della forza peso: p = d g h Densità acqua: 1.01 g/cm 3 Densità sangue: 1.06 g/cm 3 Densità globuli rossi: 1.10 g/cm 3

43 Se all uscita del cuore la pressione vale 90 mmhg, quanto in alto può salire il sangue? Quanto misura la pressione nelle dita quando il braccio viene disteso in alto? E nel cervello? 760 mmhg=10 metri acqua ~? metri sangue Perché alcune persone hanno momenti in cui vedono nero (piloti aerei da guerra)? Pensate all accelerazione centrifuga!

44

45 Trasporto in regime viscoso Nei fluidi reali c è attrito = viscosità del fluido per far scorrere un oggetto bisogna applicare una forza costante F=ma => moto uniformemente accelerato, a = costante Nei fluidi reali non ci sono moti uniformemente accelerati!

46 Forza di attrito Consideriamo il caso di una forza costante come quella peso che agisce su una particella immerso in un fluido F=mg La forza di attrito che si oppone al moto della particella dipende dalla velocità della particella, maggiore velocità = maggiore attrito: F A =-f v il segno meno indica una forza che si oppone al moto! Appena messa in movimento la particella sente una forza di attrito piccola essendo la sua velocità piccola All aumentare del tempo la velocità aumenta sino a che la forza di attrito uguaglia la forza motrice (peso), e si ha: F A +F=0 => -fv+f=0 => v=f/f Da questo momento in poi la particella procede a velocità costante e v S =F/f si chiama la velocità di trascinamento

47 Legge di Stokes v S =F/f f=coefficiente di attrito 1/f=µ=coefficiente di mobilita v S =µf Il coefficiente di attrito dipende 1. Forma della particella 2. Proprietà del fluido Per una particella sferica vale la legge di Stokes: F A =-6πrηv ovvero f=6πrη Dove r rappresenta il raggio della particella Questa legge non è valida solamente per le particelle sferiche. Spesso in soluzione le particelle sferiche vengono legate fortemente da molecole del solvente, che sono considerate parte della particella, cioè anch esse si muovono con la particella

48 Tecniche di separazione Esistono tre tecniche di laboratorio usate per separare particelle diverse e che si basano sui principi del trasporto in regime viscoso 1. Sedimentazione 2. Centrifugazione 3. Elettroforesi Si differenziano prima di tutto per la forza motrice che fa muovere le particelle da separare 1. Sedimentazione: F=mg forza peso 2. Centrifugazione: F=mω 2 R forza centrifuga 3. Elettroforesi: F=qE forza elettrica

49 Limiti delle tecniche A parte le problematiche tecniche dei composti da separare si possono già dare dei limiti di applicazione di queste tecniche Sedimentazione: solo per particelle la cui densità è maggiore di quella del solvente e tecnica molto lenta Elettroforesi: solo per particelle cariche, non distingue tra particelle aventi la stessa carica Centrifugazione: risolve i problemi della sedimentazione, funziona per particelle con densità qualsiasi ed è molto veloce

50 Sedimentazione Particelle pesanti in un fluido si depositano (sedimentano) sul fondo del contenitore per effetto della gravità Per avere sedimentazione occorre che la densità delle particelle sia maggiore di quella del fluido, altrimenti si ha galleggiamento Forze che agiscono su una particella che sedimenta in un fluido 1. Forza di gravita, è la forza motrice F=mg 2. Forza di Archimede, si oppone al moto S A =-m g 3. Forza di attrito, si oppone al moto F A =-fv

51 Equazione F+S A +F A =0 Condizione di velocità costante mg-m g=fv S dvg-d Vg=(d-d )Vg=fv S v S = (d d')vg f v S g Per particelle sferiche possiamo usare la formula di Stokes: v S = (d d ')Vg f = (d d ')g4 / 3πr3 6πηr = 2 9 (d d ')r 2 g η

52 Eritrociti nel sangue η=0.01 poise g/(cm s) (cgs) r= 3.5 µm d Er = g/cm 3 d = g/cm 3 Esempio v S = 2 9 v S = 2 9 ( )g cm 3 (d d')r 2 g η cm cm s 2 v S = cm s = cm s = 7 mm h cms 0.01g Se la velocità è molto diversa può dipendere 1. Forma eritrociti 2. Composizione plasma

53 Forza elettrica Migrazione in un fluido di particelle cariche sottoposte all azione di un campo elettrico esterno Se consideriamo un circuito come in figura, una pila che alimenta due elettrodi immersi in una soluzione tenuti a una differenza di potenziale V, tra gli elettrodi si stabilisce una forza elettrica costante che agisce su tutte le particelle cariche della soluzione F=qV/L=qE dove L è la distanza tra gli elettrodi, q la carica generica della particella, ed E è il campo elettrico

54 Elettroforesi Migrazione in un fluido di particelle cariche sottoposte all azione di un campo elettrico esterno F=qE E = campo elettrico (V/m) q = carica delle particelle v S = qe f = qe 6πηr In questo caso non si considera la forza di Archimede perché è perpendicolare alla direzione di migrazione Le forze elettriche sono molto più grandi della forza di gravità!

55 Mobilità Si definisce mobilità elettroforetica il rapporto µ e = q f Si misura in [µm/(sv/cm)] v S = µ e E Per l albumina (proteina) la mobilità elettroforetica è di 0.5, cioè l albumina ha una velocità elettroforetica di 0.5 µm/s per un campo elettrico di 1 V/cm E=20 V/cm v S =0.5*20 µm/s v S =10 µm/s=3.6 cm/h

56 Isoelettrico Sistemi molecolari come gli amino acidi (che costituiscono le proteine) hanno gruppi chimici con cariche permanenti. Naturalmente la carica degli amino acidi dipende dal ph della soluzione (attraverso il processo di protonazionedeprotonazione), cosicché la carica totale di una data molecola dipende dal ph della soluzione Il ph per il quale una data molecola ha carica nulla (non presenta attività elettroforetica) è detto punto isoelettrico della molecola. v S = qe f = qe 6πηr

57 Centrifugazione Come visto usando la sedimentazione le velocità di trascinamento risultano essere molto piccole (mm/h). Questo rende impossibile separare dei composti per delle analisi di laboratorio che a volte devono dare delle risposte veloci. Una maniera di velocizzare il processo è quello di usare le centrifughe o ultracentrifughe. Nella sedimentazione la forza motrice è quella di gravità, cioè le particelle subiscono un accelerazione costante pari a g=9.8 m/s 2. Questa accelerazione costante rappresenta il punto debole della sedimentazione!

58 Centrifuga Una centrifuga è costituita da un rotore a cui è attaccato un braccio di lunghezza R e a cui si fissa una provetta con il composto da analizzare. Quando il rotore gira a velocità angolare costante (ω) siamo di fronte a un moto circolare uniforme. Il composto nella provetta subisce un accelerazione (detta appunto centrifuga) pari a ω 2 r 0. Tarando opportunamente la dimensione della centrifuga r 0 e la velocità angolare si possono avere grandi accelerazioni

59 Formula v S = (d d')vg f Nella formula della sedimentazione basta sostituire l accelerazione di gravità con l accelerazione centrifuga v S = (d d')vω 2 r 0 f Nelle centrifughe si possono separare anche composti con densità minore di quella del fluido.

60 Esempio Data una centrifuga con braccio r 0 =10 cm e frequenza di rotazione di giri/min trovare l accelerazione centrifuga e confrontarla con g ω=2π*10 4 /60 s -1 a=(2π*10 4 /60 ) m/s 2 = 10 4 g v S = (d d')vω 2 r 0 f Velocità di sedimentazione eritrociti 7 mm/h Con la centrifuga v=7*10 4 mm/h =20 mm/s= 1200 mm/min=1.2 m/min Nelle ultracentrifughe le accelerazioni sono pari a 10 6 g

61 S = v s ω 2 r 0 = (d d')v f Dettagli Per un dato composto in solvente si può definire il coefficiente di sedimentazione: S=[t] Svedberg s v S =S*ω 2 r 0 Albumina S=4.6 Sved. in acqua a 20 o C v S =4.6*10-13 s*10 7 cm/s 2 = 5*10-6 cm/s v S =1.5 * 10-2 cm/h

62 Centrifuga preparativa d1 d2 d3 d4 d5 Se prepariamo una provetta con soluzioni non miscibili e a densità diversa, se inseriamo composti diversi questi dopo la centrifugazione si troveranno in strati diversi a seconda della loro densità. Anzi occuperanno lo strato in cui la loro densità uguaglia quella della soluzione Se d=d i v S =0 v S = (d d')vω 2 r 0 f