I LIMITI. appunti di analisi matematica. G. De Chirico La Nostalgia dell Infinito. i.i.s. regina elena - acireale vincenzo scudero

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1 i.i.s. regina elena - acireale vincenzo scudero appunti di analisi matematica G. De Chirico La Nostalgia dell Ininito I LIMITI

2 Indice. Premessa.... Distanza e proprietà...5. Distanza tra due punti...5 Deinizione D...5 Teorema T...5 Teorema T...6 Teorema T. (inverso di T.)...6. Distanza ininita...6 Teorema T...6. Limiti di unzioni reali di una variabile reale...7. Premessa...7. Limite inito per tendente a...9 Deinizione D...9. Limite ininito per tendente a... Deinizione D.... Limite tendente a ininito.... Limite inito per tendente a ininito... Deinizione D....5 Limite ininito per tendente a ininito... Deinizione D....6 Limite destro e ite sinistro... Deinizione D.5 (ite sinistro)... Deinizione D.6 (ite destro)... Teorema T. (ite destro e sinistro).... Teoremi sui iti... Teorema T. (Unicità del ite)... Teorema T. (Permanenza del segno)... Teorema T. (del conronto)...5. Operazioni con i iti...7 Teorema T. (somma algebrica)...7 Teorema T. (prodotto numero per unzione)...7 Teorema T. (prodotto)...7 Teorema T. (rapporto)...8 Teorema T.5 (reciproco)...8 Dimostrazione del teorema T Tabella delle orme determinate e indeterminate Limiti notevoli Limite notevole sen/ Il numero di Nepero e Ancora iti Calcolo di iti Tabella riassuntiva delle deinizioni...7 Tabella riassuntiva delle deinizioni...7 Tutte le deinizioni con ininito...7

3 appunti di analisi matematica i iti. Premessa L'ampio ambito che coinvolge l'analisi Matematica richiederebbe volumi interi per poter presupporre una certa completezza. Questi appunti non hanno nessuna pretesa di completezza ma trattano quei pochi argomenti che ritengo possano aiutare uno studente a organizzare uno studio indipendente e proicuo. A e sia un punto di y non assume alcun valore per dove non risulta essere deinita. L impossibilità di considerare un ultimo valore prima di e un primo valore dopo di (ricordiamo che si tratta di numeri reali per i quali non esistono precedente e successivo ) ci impone di considerare un intorno di valori contenente, intorno senz altro esistente in quanto è un punto di accumulazione. Ci chiediamo quale comportamento ha la unzione nel momento in cui deve raggiungere il punto. La unzione è calcolabile per tutte le < e per tutte le > in quanto in tali punti è Supponiamo di avere una unzione ( ) accumulazione per A. Ciò vuol dire che la unzione ( ) deinita. Possiamo supporre varie situazioni:. La unzione si avvicina verso un valore inito, che indicheremo con R, sia per da sinistra, cioè per le <, sia da destra, cioè per le >. Tutte le y si ammassano in prossimità del numero reale, e questo per qualunque appartenente ad un intorno di. Ciò signiica che se I (ig. ) I allora ( ) y deinita in un insieme { }. La unzione si avvicina verso un valore inito ' R per le < e verso un valore inito " R distinto dal primo per le >. E come se in prossimità di la unzione avesse un salto evitando lo stesso. In questo caso avremmo un intorno sinistro di per cui ( ) I ' e un intorno destro per cui ( ) I ' '. In ogni caso non possiamo dire che la unzione tende verso un unico valore. (ig. )

4 appunti di analisi matematica i iti. La unzione non si avvicina verso alcun valore avendo, in ogni intorno di, un andamento non regolare, impossibile da rappresentare con una curva.. La unzione assume, al tendere di, valori sempre più grandi in valore assoluto, crescendo verso oppure decrescendo verso sia per le provenienti da sinistra che per le provenienti da destra. La retta perpendicolare all asse e passante per divide il graico della unzione, graico che si alza assumendo una posizione quasi rettilinea (la distanza tra graico e retta si aievolisce ma non diventa mai nulla).(ig. ) 5. La unzione assume, al tendere di, valori sempre più grandi in valore assoluto, crescendo verso per le provenienti da sinistra (oppure da destra) e decrescendo verso per le provenienti da destra (da sinistra). In tal caso la retta perpendicolare all asse e passante per divide il graico della unzione, graico che si alza da un lato e si abbassa dall altro assumendo, in ogni caso, una posizione quasi rettilinea (la distanza tra graico e retta si aievolisce ma non diventa mai nulla). (ig. ) Nel primo caso la unzione ( ) y tende ad assumere un unico valore inito, diremo che la unzione converge verso il numero reale al tendere di. Nel secondo e nel terzo caso la unzione non converge verso un unico valore. Diremo che la unzione non ammette ite. Nel quarto caso la unzione tende ad assumere un unico valore ininito, diremo che la unzione y ( ) diverge verso al tendere di. Nell ultimo caso la unzione non diverge verso un unico valore. La unzione non ammette ite. Vediamo come deinire in maniera più rigorosa il ite matematico.

5 appunti di analisi matematica i iti. Distanza e proprietà. Distanza tra due punti Con il termine punti indichiamo, in maniera generica, i numeri reali che individuano i punti sulla retta delle ascisse. Non bisogna, comunque, dimenticare la dierenza esistente tra punto, entità geometrica, e numero reale, entità algebrica. L applicazione biunivoca che associa i due oggetti ci permette di indicare i punti con le loro ascisse. Deinizione D. Dati due punti e chiamiamo distanza tra e il valore assoluto della loro dierenza: d (, ) Il teorema che segue caratterizza punti distinti o coincidenti in base alla loro distanza: Teorema T. Due punti e sono distinti se e solo se hanno distanza positiva; due punti sono coincidenti se e solo se hanno distanza nulla. > L Analisi Matematica si immerge all interno di situazioni non descrivibili con i soli strumenti aritmetici e algebrici avendo a che are con i numeri reali che sono estranei del concetto di successivo e precedente. D altra parte bisogna arontare matematicamente il procedere di un punto appartenente al dominio di una unzione reale verso un punto escluso da tale dominio. La unzione y, per esempio, deinita per tutti i valori diversi da zero, ammette la possibilità di calcolare il corrispondente valore y di qualsiasi che si trova in prossimità di zero. Ma cosa signiica in prossimità? Quale criterio possiamo adottare per stabilire se un punto prossimo a zero non vada a coincidere proprio con zero? Quale strumento è in grado di controlla la distanza tra i due valori essendo tale distanza ininitesima? L invenzione dell Analisi Matematica si chiama epsilon (ε), una quantità positiva e arbitraria. Se si riesce a determinare un ε tale che la distanza tra due punti risulta maggiore di questa quantità arbitrariamente piccola è evidente che i due punti saranno distinti: è possibile calcolare la unzione e procedere ancora verso il punto incriminato, quello escluso dal dominio della unzione. Se, invece, qualsiasi ε si venga a scegliere, arbitrariamente piccolo, la distanza tra i due punti risultasse comunque minore di questa quantità, allora è evidente che la distanza tra i due punti è

6 appunti di analisi matematica i iti nulla e i due punti coincidono: allora bisogna ermarsi, la unzione qui non esiste e non è quindi possibile calcolarla. Ovviamente non saremo lì a calcolare all ininito i valori della y ma adotteremo altri strumenti (come il ite) per capire l andamento della unzione in prossimità del punto escluso dal dominio. Caratterizziamo quanto detto attraverso due semplici teoremi (senza dimostrazione) Teorema T. Due punti e sono distinti se e solo se esiste una quantità ε (epsilon) positiva arbitrariamente scelta tale che la distanza tra i due punti risulta maggiore di epsilon. ε > > : ε Teorema T. (inverso di T.) Due punti e sono coincidenti se e solo se per ogni quantità ε positiva arbitrariamente scelta si ha che la distanza tra i due punti risulta minore di ε. ε > < ε. Distanza ininita E possibile immaginare un numero reale maggiore di qualsiasi altro numero? La risposta, ovviamente, è negativa. Ma allora come caratterizzare una variabile che cresce ilitatamente verso valori sempre maggiori e positivi (cioè verso l ininito positivo) o che decresce ilitatamente verso valori sempre minori e negativi (cioè verso l ininito negativo)? Nuovamente utilizziamo il concetto di distanza. Dire che tende verso più ininito signiica che il suo valore supera quello di un qualunque numero reale positivo, che chiameremo M, arbitrariamente grande. Ovvero comunque si issi M la distanza di dall origine è maggiore di M stesso. In maniera analoga si può ragionare per tendente verso meno ininito. In deinitiva: Teorema T. Una grandezza tende verso ininito se comunque si issi un numero reale positivo M arbitrariamente grande, il valore di, in valore assoluto, supera M. se M > > M

7 appunti di analisi matematica i iti. Limiti di unzioni reali di una variabile reale. Premessa Consideriamo nuovamente la unzione y deinita su tutta la retta ad esclusione dell origine. Le considerazioni svolte in qui per la variabile sono valide anche per la variabile y. Possiamo quindi chiederci cosa succede alla variabile y ( ) quando si avvicina a zero. La tabella seguente mostra alcuni valori della unzione al tendere di verso zero ( ) da valori positivi, cioè più grandi di zero stesso: y(),5,5,5,,, Come è acile notare la quantità tende verso. y tende ad assumere valori sempre maggiori e positivi, cioè Riprendendo le ormulazioni precedenti, mentre la variabile è tale da diminuire la sua distanza da zero, cioè qualsiasi quantità arbitraria e positiva che indicheremo δ (in genere la lettera ε viene utilizzata per i valori della unzione ( ) sull asse y ) si issi si ha che < δ mentre, contemporaneamente, la variabile y, associata alla mediante la unzione ad assumere valori sempre maggiori: y, tende M > > ( ) M La tabella seguente mostra invece i valori della unzione al tendere di verso zero ( ) da valori negativi, cioè più piccoli di zero stesso:

8 y() - - -,5 - -,5 - -,5 - -, - -, - -, - appunti di analisi matematica i iti Adottando il valore assoluto possiamo notare che le condizioni riscontrate per tendente verso zero per valori positivi valgono anche per la tendente a zero per valori negativi. < δ In eetti la orma ( ) M, data da ( ) M tendenza verso M > > ( ) M > include sia la tendenza verso <, inatti, per deinizione: ( ) > M ( ) < M ( ) M > ( ) < k M < ( ) M <, data da ( ) M >, sia a In deinitiva la unzione y, al tendere della variabile verso zero, valore escluso dal dominio, tende ad assumere valori ininiti, negativi se ci si avvicina da valori minori di zero, positivi se, al contrario, ci si avvicina da valori maggiori di zero. Ovviamente abbiamo dedotto l andamento della unzione da un numero inito di valori e ciò non sarebbe matematicamente corretto ma è possibile veriicare, mediante le deinizioni che daremo successivamente, che la unzione y tende a ininito al tendere a zero della. Questo è il concetto di ite matematico: capire l andamento di una variabile dipendente in prossimità di valori della variabile indipendente esclusi dal dominio (punti isolati del complementare, estremi non inclusi di intervalli, ininito). Diamo adesso le deinizioni di ite inito o ininito al tendere di verso un valore inito o verso ininito.

9 . Limite inito per tendente a appunti di analisi matematica i iti Deinizione D. Siano assegnati una unzione : A R e il punto di accumulazione per A. Si dice che la unzione y ( ) tende al valore reale al tendere verso se, comunque si prenda una quantità arbitraria ε > esiste un intorno I di tale che I { } si ha che <. ( ) ε Esprimiamo la deinizione precedente in termini analitici. ( ) ε > I : I - { } ( ) < ε La condizione ( ) < ε, che è equivalente a ε < ( ) < ε, ci inorma che il valore della y ( ) tende ad assumere il valore se tende verso. Nella deinizione l appartenenza di all intorno I { } equivale a determinare un valore δ > per cui δ < < δ (che sarebbe l intorno), o, che è lo stesso, < δ, come espresso in precedenza. ig. 5 Bisogna osservare che l esistenza dell intorno è collegata a ε, per ogni epsilon esiste un intorno, cioè la unzione ammette ite inito se è possibile determinare, in corrispondenza dell epsilon issato, un intorno del punto escluso per cui se la variabile tende verso tale punto il valore y corrispondente ha distanza dal ite minore di ε. Se la unzione y ( ) tende verso il numero reale al tendere verso scriveremo ( ) Es. Assegnata la unzione si può dimostrare che y, deinita su tutta la retta reale ad esclusione del punto,

10 (Il calcolo di tale ite sarà trattato successivamente ). appunti di analisi matematica i iti In base alla deinizione, il ite precedente si esprime come > I : I - { } ( ) ε ε < La veriica del ite precedente prevede la risoluzione di una disequazione con valore assoluto equivalente ad un sistema di disequazioni che darà come risultato due intervalli: uno a sinistra di -, l altro a destra di -. In eetti bisogna considerare che la variabile può avvicinarsi al valore - sia da sinistra, per valori minori di -, sia da destra,per valori maggiori di -. Ciò ci introduce ai iti destro e sinistro di una unzione che verranno deiniti in seguito.. Limite ininito per tendente a Deinizione D. Siano assegnati una unzione : A R e il punto di accumulazione per A. Si dice che la unzione y ( ) tende a ininito al tendere verso se, comunque si prenda una quantità arbitraria M > esiste un intorno I di tale che I { } si ha che ( ) > M. Esprimiamo la deinizione precedente in termini analitici. ( ) M > I : I - { } ( ) > M Possiamo distinguere i due casi possibili. ( ) M > I : I - { } ( ) > M ( ) M > I : I - { } ( ) < M Questo è il caso della unzione y al tendere di. In particolare anche qui dobbiamo distinguere tra ite destro e ite sinistro: inatti al tendere di verso zero da destra,, la unzione tende a, mentre se tende verso zero da sinistra,, la unzione tende a. Ma, dunque, possiamo aermare che esiste il ite della unzione y al tendere di? In eetti no, anche se esistono, ma dierenti, il ite destro e il ite sinistro. Sarà necessario quindi deinire i due iti ed enunciare un importante teorema. Ciò verrà atto in seguito.

11 . Limite per tendente a ininito appunti di analisi matematica i iti Finora abbiamo considerato il caso in cui, trovandoci in prossimità di un punto escluso dal dominio di una unzione reale y ( ), abbiamo utilizzato il concetto di ite per indagare sull andamento della unzione al tende re della variabile verso quel punto. Adesso cerchiamo di dare una risposta alla necessità di indicare l andamento della unzione al tendere di verso ininito, positivo o negativo. Come, ad esempio, deinire il atto che mentre la variabile si allontana deinitivamente verso l ininito la variabile dipendente y ( ) si approssima sempre più all andamento lineare di una retta? Diamo di seguito le deinizioni di ite per tendente a ininito.. Limite inito per tendente a ininito Deinizione D. Sia assegnata una unzione : A R. Si dice che la unzione y ( ) tende al valore reale al tendere di verso ininito se, comunque si prenda una quantità arbitraria ε > esiste un numero reale k > tale che > k si ha che ( ) < ε Esprimiamo la deinizione precedente in termini analitici. ( ) ε > k > : > k ( ) l < ε Possiamo distinguere i due casi possibili. ( ) ε > k > : > k ( ) l < ε ( ) ε > k > : < k ( ) l < ε.5 Limite ininito per tendente a ininito Deinizione D. Sia assegnata una unzione : A R. Si dice che la unzione y ( ) tende a ininito al tendere verso ininito se, comunque si prenda una quantità arbitraria M > esiste un numero reale k > tale che > k si ha che ( ) > M. Esprimiamo la deinizione precedente in termini analitici. Possiamo distinguere quattro casi possibili. ( ) M > k > : > k ( ) > M ( ) M > k > : > k ( ) > M

12 appunti di analisi matematica i iti ( ) M > k > : > k ( ) < M ( ) M > k: < k ( ) > M ( ) M > k > : < k ( ) < M Le unzioni che tendono verso un valore inito si dicono convergenti. Le unzioni che tendono verso ininito si dicono divergenti. Le unzioni che ammettono ite (convergenti o divergenti) si dicono regolari. Le unzioni che non ammettono ite si dicono irregolari o oscillanti. Esempio di unzione oscillante: y deinita su tutta la retta che associa ad ogni angolo il valore del seno dell angolo, al tendere di verso ininito, non ammette ite in quanto la unzione oscilla tra i valori - ed. la unzione sen( ).6 Limite destro e ite sinistro Deinizione D.5 (ite sinistro) Siano assegnati una unzione : A R e il punto di accumulazione per A. Si dice che la unzione y ( ) tende al valore reale al tendere verso da sinistra se, comunque si prenda una quantità arbitraria ε > esiste un intorno sinistro I di tale che I { } si ha che <. ( ) ε Deinizione D.6 (ite destro) Siano assegnati una unzione : A R e il punto di accumulazione per A. Si dice che la unzione y ( ) tende al valore reale al tendere di verso da destra se, comunque si prenda una quantità arbitraria ε > esiste un intorno destro I di tale che I { } si ha che ( ) < ε. Il ite da un solo lato si eettua, per esempio, acendo tendere la variabile verso un estremo escluso dal dominio ormato da un intervallo aperto. Limite destro e sinistro vengono indicati, rispettivamente: ( ) ( ) ite destro ite sinistro

13 Es. appunti di analisi matematica i iti La unzione y è deinita per < <. Non è possibile quindi ar tendere la variabile verso - per valori più piccoli di - né verso per valori maggiori di. Esisteranno, allora, il ite destro per e il ite sinistro per (questo è un ite immediato che aronteremo in seguito) (questo ite non è immediato e il calcolo sarà eettuato in seguito) Una unzione può ammettere, per tendente verso, ite destro o ite sinistro o entrambi non necessariamente coincidenti. Diremo che la unzione ammette ite (inito o ininito) solo se i iti destro e sinistro coincido. Vale cioè il seguente importante teorema Teorema T. (ite destro e sinistro) Una unzione reale : A R ammette ite (inito o ininito) al tendere di al tendere verso se esistono coincidenti il ite destro e il ite sinistro. ( ) ( ) ( )

14 appunti di analisi matematica i iti. Teoremi sui iti Enunciamo e dimostriamo alcuni dei più importanti teoremi sui iti. Teorema T. (Unicità del ite) Se esiste il ite della unzione (), per tendente a, tale ite è unico. HpTs : A R ( ) è unico Dimostrazione Supponiamo per assurdo che esistono due iti distinti e. Per la deinizione di ite si avrà: ( ) ε > I' ( ) < ε : I' ( ) ε > I' ' ( ) : I' ' < ε le due deinizioni valgono contemporaneamente per le appartenenti all intersezione dei due intorni e, considerata l arbitrarietà di ε, possiamo considerare ε. In deinitiva: I' I' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ( ) ( ) < ε ( ) e, quindi, i due iti non possono che coincidere essendo la loro distanza minore di qualunque valore positivo arbitrariamente piccolo (cr. il teorema T). contro la supposizione La contraddittorietà nasce dalla negazione della tesi che risulta, quindi, vera. Vale, inatti la disuguaglianza a b a b

15 appunti di analisi matematica i iti Teorema T. (Permanenza del segno) Se una unzione : A R, per tendente a, tende ad un ite into, esiste un intorno I tale che per ogni suo punto, la unzione () assume valori dello stesso segno del suo ite. Hp Ts : A (dimostrazione omessa) R ( ) > ( < ) I ( ) > ( ) : I < Teorema T. (del conronto) Siano assegnate tre unzioni, g, h : A R deinite nello stesso insieme A, eccetto al più un punto. Se per ogni risulta: g( ) ( ) h( ) A e se, inoltre, è: g allora risulta anche: h ( ) ( ) ( ) Hp Ts, g, h : A g ( ) ( ) h( ) g h A ( ) ( ) R ( ) Dimostrazione Per la deinizione di ite per la unzione g ( ) si avrà: g( ) ε > I' : I g ( ) < ε ' o, che è lo stesso, ε < g( ) < ε e, analogamente per la unzione ( )

16 h( ) ε > I' ' : I' h( ) < ε ' o, che è lo stesso, ε < h( ) < ε appunti di analisi matematica i iti In deinitiva: I I' '' I succede che ε > ε < h( ) ( ) g( ) < ε I : I Ovvero ε < ( ) < ε ( ) < ε che, in deinitiva, è la deinizione del ite della tesi.

17 appunti di analisi matematica i iti. Operazioni con i iti Nell ambito della teoria de iti trovano spazio alcuni teoremi che evidenziano la natura algebrica del concetto di ite che può, in questo modo, regiarsi del titolo di operatore matematico. Ma trattandosi di quantità che tendono verso valori nulli (ininitesimi) o verso valori ininiti si possono incontrare alcune orme operative che danno luogo a indeterminazione. Se, per esempio la orma, che esprime il rapporto di un ininitesimo su un ininito, tende verso zero, nulla possiamo dire in generale delle orme e che esprimono il rapporto tra due ininiti e tra due ininitesimi. In ogni caso, comunque, abbiamo la certezza di poter parlare di rapporto tra iti. Vediamo, dunque, i seguenti teoremi: Teorema T. (somma algebrica) Siano y ( ) e y g( ) due unzioni reali deinite in A e convergenti per che tende verso. Allora le unzioni ( g )( ) e ( g )( ) convergono per che tende verso e [ ( ) ± g( ) ] ( ) ± g( ) In altre parole possiamo aermare che il ite della somma algebrica è uguale alla somma algebrica dei iti. Teorema T. (prodotto numero per unzione) Siano k un numero reale e y ( ) una unzione reale convergente per che tende verso. Allora la unzione k ( ) converge per che tende verso e k ( ) k ( ) In altre parole possiamo aermare che il ite del prodotto di un numero per una unzione è uguale al prodotto del numero per il ite della unzione. Teorema T. (prodotto) Siano y ( ) e y g( ) due unzioni reali deinite in A e convergenti per che tende verso. Allora la unzione ( ) g( ) converge per che tende verso e [ ( ) g( ) ] ( ) g( ) In altre parole possiamo aermare che il ite di un prodotto è uguale al prodotto dei iti.

18 appunti di analisi matematica i iti Teorema T. (rapporto) Siano y ( ) e y g( ) due unzioni reali deinite in A e convergenti per che tende verso con g( ) A e g( ) ( ). Allora la unzione converge per che tende g( ) verso e ( ) ( ) g g ( ) In altre parole possiamo aermare che il ite di un rapporto è uguale al rapporto dei iti. Teorema T.5 (reciproco) Sia y ( ) una unzione reale deinita in A e convergente per che tende verso con ( ) A e ( ). Allora la unzione ( ) converge per che tende verso e ( ) ( ) ( ) In altre parole possiamo aermare che il ite del reciproco è uguale al reciproco del ite. I teoremi precedenti valgono anche per. Dimostriamo il teorema T. lasciando le altre dimostrazioni come esercizio notando che la tecnica di dimostrazione è la stessa per tutti i teoremi. Dimostrazione del teorema T. Per ipotesi Per cui g ( ) ( ) ( ) ε ( ) ε ' > I'' : I' ' g ε > I' : I < ε < ' " le due deinizioni valgono contemporaneamente I I, cioè per tutte quelle appartenenti sia al primo che al secondo intorno e, considerata l arbitrarietà di ε, possiamo considerare ε/. In deinitiva: I' I' '

19 appunti di analisi matematica i iti ( ) g( ) ( ) ( ) g( ) ( ) g( ) ε ε ( ) g( ) < ε che, in deinitiva, è la deinizione del [ ( ) g( ) ]. c.v.d. L uso delle operazioni algebriche permette di acilitare il calcolo dei iti di quelle unzioni ottenute come somma, prodotto o rapporto di altre unzioni. La possibilità di trovare come tendenza valori come zero o ininito però danno luogo a orme non determinabili (dette orme indeterminate) riguardo il loro risultato. Ad esempio una unzione che risulta prodotto di due unzioni che siano l una ininitesima e l altra ininita ( ) potrà convergere o divergere e per capirlo dobbiamo risolvere la orma indeterminata. Altre orme, invece, vengono dette orme determinate in quanto il loro risultato (inteso come tendenza della unzione) è noto. Ad esempio un unzione ormata dal rapporto di una quantità tendente verso un valore inito su una quantità che diverge a ininito n, tenderà a zero.

20 appunti di analisi matematica i iti 5. Tabella delle orme determinate e indeterminate rapporto prodotto somma potenza n n ± ± n n n ± ± n. i.. i. n n ±.i n se < n < n se n >. i. n se < n <.i. n se n > n. i. FORME INDETERMINATE n. i. LINEARI ESPONENZIALI ±

21 appunti di analisi matematica i iti 6. Limiti notevoli Alcuni iti danno luogo a orme indeterminate non risolvibili per via algebrica. Essi vengono risolti con altri procedimenti (p. e. geometrici) e vengono assunti come punto di partenza per la risoluzione di altri iti di orma simile. Questi iti vengono detti iti notevoli. 6. Limite notevole sen/ Si vuole dimostrare il seguente ite notevole: sen Procediamo per via geometrica. Nella circonerenza goniometrica sia un angolo (per comodità di dimostrazione lo prendiamo acuto) e siano P e T i punti che il raggio individuato da interseca rispettivamente sulla circonerenza e sulla retta tangente in A. Sia, inine, H la proiezione di P sull asse (vedi ig. 6). L arco AP risulta evidentemente di lunghezza compresa tra le misure dei segmenti PH e AT: PH < AP < AT Essendo PH sen, A P (misurato in radianti) e AT sen tg si avrà: cos sen < < sen cos Dividendo tutti i termini delle disuguaglianze per sen (sicuramente positivo essendo sen sen < < sen sen cos sen π < < ) < < sen cos Invertendo i termini delle disuguaglianze (e cambiando i versi delle disuguaglianze)

22 sen cos < < appunti di analisi matematica i iti Al tendere di le quantità esterne tendono entrambe a ( cos e la unzione y è costante) per cui, per il teorema del conronto (cr. T.) anche la quantità interna tende allo stesso valore. c.v.d. 6. Il numero di Nepero e Anche il numero di Nepero e,788..., base dei logaritmi naturali, è il ite di una orma indeterminata del tipo. Si ha inatti: e La dimostrazione di questo ite notevole è omessa. 6. Ancora iti Dai iti notevoli sopra esposti se ne deducono altri che elenchiamo di seguito (le dimostrazioni sono omesse) cos cos ( ) e a ln a tg e

23 appunti di analisi matematica i iti 7. Calcolo di iti Limiteremo il calcolo dei iti a poche unzioni (algebriche e irrazionali) utilizzando strumenti algebrici. La prima cosa da are, per calcolare un ite, è sostituire il valore a cui tende la variabile alla variabile stessa. Se si ottiene una orma determinata abbiamo terminato, se invece si ottiene una orma indeterminata bisogna einare l indeterminazione utilizzando scomposizioni, sempliicazioni o razionalizzazioni. Vediamo come. Calcolare. Sostituendo il valore alla si ottiene la orma determinata che tende a. In deinitiva. (Il segno di ininito varia a seconda se la tende verso da destra o da sinistra). Sostituendo il valore alla si ottiene la orma indeterminata In questo caso bisogna scomporre il polinomio al numeratore.. ( )( ) Adesso possiamo calcolare il ite ( ) Da questo ultimo esempio possiamo generalizzare il procedimento risolutivo nel caso in cui la unzione è data dal rapporto di due polinomi ininitesimi per che tende verso. In questo caso bisogna einare l indeterminazione mediante la scomposizione dei polinomi e l elisione dei attori comuni.

24 appunti di analisi matematica i iti Vediamo qualche altro esempio:. 8 9 Sostituiamo, per prima cosa, il valore alla variabile i. Proviamo a scomporre il polinomio al numeratore e la orma radicale al denominatore: ( ) ( )( ) ( ) Per cui: ( ) Notate che la orma radicale va einata come una normale razionalizzazione e che abbiamo utilizzato il teorema T (prodotto di iti) per calcolare il ite della unzione i. Questa volta andremo avanti cercando di einare l indeterminazione e, contestualmente, riportando la dicitura. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

25 appunti di analisi matematica i iti 5. 5 Sostituiamo il come se osse un valore numerico: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5.i. Per einare le orme indeterminate dividiamo ciascun termine per la potenza massima di Ricordando che n segue Procediamo come nell esercizio precedente: 7. 6 Anche in questo caso procediamo dividendo per la potenza massima di.

26 6 6 appunti di analisi matematica i iti Gli esercizi precedenti (nn. 5, 6 e 7) riguardano il calcolo di un ite di una unzione algebrica ratta per che tende a. Nel primo caso il numeratore è di grado superiore rispetto al denominatore e la unzione diverge, nel secondo caso numeratore e denominatore sono di pari grado e la unzione converge verso un valore non nullo (il rapporto dei coeicienti delle con grado massimo), nel terzo caso il grado del numeratore è ineriore a quello del denominatore e la unzione converge a zero (è ininitesima). Generalizzando: Il ite per che tende a di una unzione algebrica ratta nella orma B ( ) polinomi nella variabile, è pari a A( ) y con ( ) B( ) A e se il grado di A ( ) è maggiore di quello di B( ) a b se il grado di A ( ) è uguale di quello di ( ) grado massimo se il grado di A ( ) è minore di quello di B( ) B (a e b sono i coeicienti della con

27 appunti di analisi matematica i iti 8. Tabella riassuntiva delle deinizioni Tabella riassuntiva delle deinizioni ( ) > ( ) > ( ) ( ) ε > M > ε I I { } ( ) < ε : M I I { } ( ) > M : k > : > k ( ) < ε k > : > k ( ) > M ( ) > ( ) > Tutte le deinizioni con ininito M I I { } ( ) > M : M I I { } ( ) < M : ( ) ( ) ( ) ( ) M > M > M > M > k > : > k ( ) > M k > : > k ( ) < M k > : < k ( ) > M k > : < k ( ) < M