CALCOLO DEI LIMITI = =

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1 CALCOLO DEI LIMITI Tenendo conto dei teoremi dei iti e delle proprietà simboliche dell infinito è possibile calcolare il risultato di diversi tipi di ite. Negli esercizi di questo tipo si sostituisce alla il valore a cui tende e si effettuano i calcoli cercando di giungere a un risultato. Esempi: ( ) Quando capita di fare i calcoli col simbolo infinito bisogna ricordare le proprietà algebriche di tale simbolo per i vari casi che possono verificarsi. Vediamo degli esempi caso per caso. CASI DELLA SOMMA: ( 19 ) 19 ( ) ( 1 ) 1 ( ) CASI DEL PRODOTTO: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) NB: nel prodotto si devono sempre considerare le regole dei segni. CASI DEL RAPPORTO: 8 [ 8 ( ) ] 8 (tende a zero per valori negativi) 8 [ 8 ( ) ] 8 (tende a zero per valori positivi) 1 1 ( ) ( ) (sia da sinistra che da destra) Nel foglio seguente vediamo altri esempi di calcolo dei iti. Calcolo dei iti 1 pag. 1

2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) NB: NEL CALCOLO PRATICO DEI LIMITI, ALCUNI PASSAGGI SI SALTANO: ( ) ( ) ( ) Limite destro e sinistro diversi 18 In questo esempio se vogliamo stabilire il segno del ite dobbiamo distinguere ite destro e ite sinistro. Ci sarà utile anche la scomposizione in fattori del denominatore come differenza di quadrati. Limite sinistro Limite destro 18 ( ) ( ) 1 18 ( ) ( ) 1 Invece per il seguente ite sia il ite destro che il ite sinistro sono uguali: ( ) ( ) In tutti gli esempi visti sinora siamo sempre stati in grado di calcolare il ite applicando formalmente l algebra dei iti anche coi simboli di infinito. In tutti i casi non si presentavano forme di indeterminazione e ogni singolo passaggio era calcolabile direttamente. Ciò potrebbe indurre a credere che sia sempre possibile ottenere un valore per il ite di una funzione, ma ci sono anche casi particolari in cui il ite non esiste. Se il ite non esiste vuol dire che la funzione non si avvicina a nessun valore particolare e non tende nemmeno a più o meno infinito. Vediamo qualche esempio. Calcolo dei iti 1 pag.

3 Consideriamo la funzione y sen. Finchè calcoliamo iti per che tende a valori finiti non ci sono problemi, ad esempio abbiamo che sen sen senα e più in generale α Ma cosa possiamo dire del ite: sen sen( ± )??? Ebbene, tale ite non esiste. ± Lo si può capire se si analizza il grafico della funzione (la sinusoide della trigonometria): ± sen La funzione è una funzione periodica che si ripete sempre allo stesso modo e quando tende a infinito assume comunque tutti i valori compresi tra 1 e 1 (misurati in verticale). La funzione continua ad oscillare tra 1 e 1 e non esiste quindi nessun valore particolare a cui si avvicina per che tende a infinito. Lo stesso accade in generale per tutte le funzioni oscillanti per che tende a infinito. Alcuni altri esempi sono: ± cos ± tg Dopo aver visto questi casi un po patologici torniamo a considerare il problema del calcolo dei iti per il caso delle forme indeterminate. Le vediamo nelle pagine seguenti. Calcolo dei iti 1 pag.

4 LE PRIME 4 FORME INDETERMINATE forma indeterminata della somma forma indeterminata del prodotto 1 a forma indeterminata del rapporto a forma indeterminata del rapporto Quando nel calcolo di un ite si arriva a una di queste forme vuol dire che non siamo in grado di calcolare direttamente il ite e dobbiamo escogitare qualche modo per calcolarlo. forma indeterminata della somma CASO 1 DEI POLINOMI PER X CHE TENDE A INFINITO ( ) ( ) 1 ( )? 1 come calcolarla? In questo caso prevale, in un certo senso, l ordine di infinito. L esponente prevale sul e quindi il ite sarà alla fine più infinito. Ma dobbiamo calcolarlo in modo rigoroso. Il trucco sta nel RACCOGLIERE LA X CON L ESPONENTE MAGGIORE e il ite è stato calcolato. ( ) ( 1 ) Altro esempio: ( 1 41) ( ) Nei due esempi visti è importante notare che prevale il termine col grado più alto: nel primo esempio ha ordine maggiore di 8 nel secondo esempio ha ordine maggiore di Calcolo dei iti 1 pag. 4

5 1 a forma indeterminata del rapporto CASO DEL RAPPORTO TRA POLINOMI PER X CHE TENDE A INFINITO 1 1? come calcolarla? Il trucco sta nel RACCOGLIERE LA X CON L ESPONENTE MAGGIORE AL NUMERATORE E AL DENOMINATORE e il ite è stato calcolato. Altro esempio: ( ) Notare che a numeratore abbiamo raccolto mentre al denominatore, poi abbiamo semplificato le varie e completato i calcoli coi simboli di infinito. Per questo tipo di ite (rapporto di polinomi per che tende a infinito) possiamo avere tre casi nei risultati: 1. se il grado di numeratore e denominatore sono uguali il ite è finito e diverso da zero.. se il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore il ite è infinito. se il grado del numeratore è minore di quello del denominatore il ite è zero. Esercizi per lo studente diligente: 4 1 a)? c)? 9 e) ( 1 )? b)? d)? 9 f) ( 1 )? 9 Calcolo dei iti 1 pag.