Modellazione di sistemi elettromeccanici con Lagrange

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1 Modellazione di sisemi eleromeccanici con Lagrange Ing. Dipl. ETH Robero Bucher 7 febbraio Inroduzione Queso eso non vuole essere una inroduzione al formalismo di Lagrange, ma un compendio praico che presena ua una serie di sisemi modellai con queso sisema. I modelli sono poi sempre confronai con un modello sviluppao ramie Modelica. 2 Il meodo di Lagrange La meodologia di Lagrange richiede l uilizzo di coordinae indipendeni q i (coordinae generalizzae) e uilizza la descrizione energeica del sisema per deerminare le equazioni differenziali che lo descrivono dinamicamene. Le grandezze in gioco sono: U che rappresena l energia poenziale associaa al sisema. T che rappresena l energia cineica associaa al sisema. D che rappresena l energia dissipaa dal sisema. L che rappresena la lagrangiana del sisema calcolaa come L = T U. Una vola rovaa la lagrangiana associaa al sisema si possono deerminare le equazioni differenziali associae al sisema con d δl δl + δd = F ex dδ q i δq i δ q i 3 Calcolo dell energia nei sisemi eleromeccanici 3.1 Sisemi meccanici La grandezza generalizzaa in un sisema meccanico è una posizione (x o ϕ). 3.2 Energia poenziale in un sisema meccanico In un sisema meccanico l energia poenziale puo avere due forme Energia poenziale dovua alla gravià U = m g h(q) 1

2 3.2.2 Energia poenziale accumulaa in una molla U = 1 2 k q2 dove k rappresena la cosane della molla. 3.3 Energia cineica in un sisema meccanico T = 1 2 m q2 i 3.4 Energia dissipaa in un sisema meccanico D = 1 2 f v q 2 i dove f v rappresena il coefficiene di ario viscoso. 3.5 Energia poenziale in un sisema elerico 3.6 Sisemi elerici La grandezza generalizzaa uilizzaa genericamene è la quanià di carica Q i. 3.7 Energia poenziale in un sisema elerico È l energia accumulaa nei condensaori e vale U = 1 2 C Q2 i 3.8 Energia cineica in un sisema elerico È l energia di una bobina e vale T = 1 2 L Q 2 i 3.9 Energia dissipaa in un sisema elerico È l energia dissipaa dalla resisenza 4 Esempi praici 4.1 Macchina di Awood semplificaa D = 1 2 R Q 2 i La figura 1 rappresena la macchina di Awood. In queso primo esempio non consideriamo l inerzia e l ario della pare roane. Le grandezze generalizzae sono qui la posizione x 1 () = x() della massa M 1. Tramie la lunghezza della corda l possiamo deerminare la posizione della seconda massa come x 2 () = l x(). Le grandezze per il calcolo della lagrangiana sono: T = 1 2 M 1 x M 2 2 x 2 2

3 2r x() J, fv M 2 M 1 Figura 1: Macchina di Awood e U = M 1 g x 1 +M 2 g x 2 Nel calcolo uilizziamo per la seconda massa la coordinaa (l x(). Lo scrip per Maxima è il seguene: x:x( ); x1:x; x2:( l x); dx: diff (x, ); ddx: diff (x,,2); dx1: diff (x1, ); dx2: diff (x2, ); T:1/2 M1 dx1ˆ2+1/2 M2 dx2ˆ2; U:M1 g x1+m2 g x2; eqn: diff ( diff (L,dx), ) diff (L,x)=0; sol : linsolve(eqn,ddx); 4.2 Macchina di Awood complea x() = gm 2 gm 1 M 2 +M 1 In queso caso consideriamo anche la pare roane. La ruoa ha raggio r e inerzia J. Inolre è presene un ario di roazione f v. La coordinaa generalizzaa resa x() ma nel calcolo, per semplicià viene inrodoa una nuova coordinaa ϕ = x()/r per descrivere la roazione della ruoa. e T = 1 2 M 1 x M 2 x J ϕ2 2 3

4 U = M 1 g x 1 +M 2 g x 2 e infine D = 1 2 f v ϕ 2 x:x( ); x1:x; x2:( l x); phi :x/r ; dx: diff (x, ); ddx: diff (x,,2); dx1: diff (x1, ); dx2: diff (x2, ); dphi: diff (phi, ); T:1/2 M1 dx1ˆ2+1/2 M2 dx2ˆ2+1/2 J dphiˆ2; U:M1 g x1+m2 g x2; D:1/2 fv dphiˆ2; eqn: diff ( diff (L,dx), ) diff (L,x)+diff (D,dx)=0; sol : linsolve(eqn,ddx); Il risulao oenuo vale: x() = gr 2 M 2 r 2 M 2 +r 2 M 1 +J gr 2 M 1 r 2 M 2 +r 2 M 1 +J La figura]2 mosra lo schema scicoslab per la simulazione. Il plo della simulazione è mosrao nella figura Sisema meccanico smorzao fv ( d d x() ) r 2 M 2 +r 2 M 1 +J Deerminiamo il modello maemaico del sisema rappresenao nella figura 4. Le equazioni dell energia di queso sisema sono U = 1 2 k x2 e T = 1 M ẋ2 2 D = 1 2 f v ẋ 2 Il seguene scrip di Maxima permee di oenere il risulao desiderao: x:x( ); dx: diff (x, ); ddx: diff (x,,2); T:1/2 M dxˆ2; 4

5 g.. f M2 =1/r =1/r J=J d=fv =0 =0 g.. f M1 g s xd=ax+bu =Cx+Du MScope Figura 2: Schema di simulazione della macchina di Awood Graphic Graphic Figura 3: Plo della simulazione della macchina di awood f v k M x() F() Figura 4: Rappresenazione di una massa oscillane con molla e ammorizzaore 5

6 U:1/2 k xˆ2; D:1/2 f v dxˆ2; eqn: diff ( diff (L,dx), ) diff (L,x) + diff (D,dx) = F( ); sol : linsolve(eqn,ddx); sol :expand( sol [1]); che risula essere ( d d x() ) x() = f v + F () M M kx() M La figura 5 mosra lo schema scicoslab di simulazione. Il risulao è mosrao nella figura 6. f s MSc.. num(s) den(s) Figura 5: Schema scicoslab del sisema meccanico 2.5 Graphic Graphic Figura 6: Plo della simulazione modelica (sopra) e equazione differenziale (soo) 4.4 Ammorizzaore meccanico- Quarer Car L ammorizzaore meccanico da modellare è rappresenao nella figura 7. 6

7 M carrozzeria d k z m k z r ruoa d z Figura 7: Schema meccanico degli ammorizzaori di un veicolo ( quarer car ) Le grandezze generalizzae del modello sono z() e z (). T = 1 2 M ż m ż2 U = M g z +m g z k (z z ) k (z z r ) 2 z : z( ); z : z( ); dz: diff (z, ); dz : diff (z, ); ddz: diff (z,,2); ddz: diff (z,,2); D = 1 2 d (ż ż ) d (ż ż r ) 2 T:1/2 M dzˆ2+1/2 m dzˆ2; U:M g z+m g z+1/2 k (z z)ˆ2+1/2 k (z zr )ˆ2; D:1/2 d (dz dz)ˆ2 + 1/2 d (dz dzr )ˆ2; eqn1: diff ( diff (L,dz),) diff (L, z) + diff (D,dz) = 0; eqn2: diff ( diff (L, dz),) diff (L, z) + diff (D, dz) = 0; sol : linsolve ([eqn1, eqn2],[ ddz, ddz ]); s1 : rhs( sol [1]); s2 : rhs( sol [2]); s1 :ddz=expand(s1 ); 7

8 s2 : ddz=expand(s2 ); z() = d ż () M d ż() kz () + M M kz() M g z () = d z () m d ż () m + d ż r () m 4.5 Sisema Dischi-Molla roani + d ż() m k z () m Deerminiamo le equazioni differenziali del sisema della figura 8 kz () m + k zr () m + kz() m g Figura 8: Sisema masse e molle Le grandezze in gioco sono K 1 : cosane di momeno del moore 1, K 2 cosane di momeno del moore 2, D 1, D 2 e d sono le cosani di ario del moore 1, moore2 e molla, menre k è la cosane della molla ra i due dischi. Inolre J 1 e J 2 sonole inerzie di roazione del sisema moore1+carico e moore2+carico. T : 1 2 J 1 ϕ J 2 ϕ 2 2 U : 1 2 k (ϕ 1 +ϕ 2 ) 2 D : 1 2 D 1 ϕ D 2 ϕ d ( ϕ 1 + ϕ 2 ) 2 Il seguene scrip di Maxima deermina le equazioni differenziali del sisema. dphi1: diff (phi1, ); dphi2: diff (phi2, ); ddphi1: diff (phi1,,2); ddphi2: diff (phi2,,2); T:1/2 J1 dphi1ˆ2 +1/2 J2 dphi2ˆ2; U:1/2 k (phi1+phi2)ˆ2; D:1/2 D1 dphi1ˆ2+1/2 D2 dphi2ˆ2+1/2 d (dphi1+dphi2)ˆ2; eqn1: diff ( diff (L, dphi1),) diff (L, phi1) + diff (D, dphi1) = K1 I1 ; 8

9 eqn2: diff ( diff (L, dphi2),) diff (L, phi2) + diff (D, dphi2) = K2 I2 ; sol : linsolve ([eqn1, eqn2],[ ddphi1, ddphi2 ]); s1 :expand( sol [1]); s2 :expand( sol [2]); ϕ 1 () = K 1 I 1 J 1 d d ϕ 1 () D 1 J 1 d ( d ) d ϕ 2 () d ϕ 2 () = K d 2 I 2 d ϕ 2 () D 2 d d ϕ 2 () d J 2 J 2 J 2 La figura]9 mosra lo schema scicoslab per la simulazione. ( d J 1 ) ( d ) d ϕ 1 () ( d J 1 ) d ϕ 1 () J 2 kϕ 2 () J 1 kϕ 2 () J 2 kϕ 1 () J 1 kϕ 1 () J 2 p. k=.. =c J=hea1 d=d1 d=d =0 p. 1 0 k=.. J=hea2 d=d2 MSc.. =0 xd=ax+bu =Cx+Du Demux Figura 9: Schema di simulazione del sisema dischi e molla Il plo della simulazione è mosrao nella figura Graphic Graphic Graphic Graphic Figura 10: Plo della simulazione del sisema dischi e molla 9

10 4.6 Sisema RC Deerminiamo ora il modello dinamico del sisema rappresenao nella figura 11. R 1 R 2 u u 1 C1 u 2 C 2 Figura 11: Circuio elerico con resisenze e capacià Uilizziamo come grandezze generalizzae la carica q 1 che scorre nella maglia di sinisra e la carica q 2 che scorre in quella di desra. U : 1 (q 1 q 2 ) q2 2 2 C 1 2 C 2 T : 0 D : 1 2 R 1 q R 2 q 2 2 Il programma di Maxima che risolve queso sisema è il seguene q1:q1( ); q2:q2( ); dq1: diff (q1, ); dq2: diff (q2, ); ddq1: diff (q1,,2); ddq2: diff (q2,,2); U:1/(2 C1) (q1 q2)ˆ2+1/(2 C2) q2ˆ2; T:0; D:1/2 R1 dq1ˆ2+1/2 R2 dq2ˆ2; eqn1: diff ( diff (L,dq1),) diff (L,q1)+diff (D,dq1)=U0; eqn2: diff ( diff (L,dq2),) diff (L,q2)+diff (D,dq2)=0; eqn1:expand(eqn1); eqn2:expand(eqn2); sol : linsolve ([eqn1, eqn2],[ dq1,dq2 ]); s1 : rhs( sol [1]); s2 : rhs( sol [2]); dq1=expand(s1 ); dq2=expand(s2 ); La soluzione è rappresenaa dalle equazioni segueni d d q 1 () = U 0 R 1 + q 2 () C 1 R 1 q 1 () C 1 R 1 d d q 2 () = q 2 () C 2 R 2 q 2 () C 1 R 2 + q 1 () C 1 R 2 10

11 La figura]12 mosra lo schema scicoslab per la simulazione. R=R1 R=R2 C=C2 C=C1 V MSc.. xd=ax+bu =Cx+Du Figura 12: Schema di simulazione del sisema RC Il plo della simulazione è mosrao nella figura 13. Graphic Graphic Figura 13: Plo della simulazione del sisema RC 4.7 Sisema RCL La figura seguene rappresena un circuio RCL. Scegliamo come grandezze generalizzae la carica Q 1 che enra nella resisena da 2Ω, Q 2 quella del condensaore e Q 3 quella dell induanza. La somma delle re cariche scorre nella resisenza da 4Ω. U : 1 2 C 1 Q 2 3 T : 1 2 L 1 Q 2 2 D : 1 2 R 1 Q R2 Q 2 1 Lo scrip di Maxima che deermina le equazioni differenziali del sisema è il seguene 11

12 R=4 R=2 C=1 L=1 Figura 14: Sisema RCL Q1:Q1( ); Q2:Q2( ); Q3:Q3( ); Q: Q1+Q2+Q3; dq1: diff (Q1, ); dq2: diff (Q2, ); dq3: diff (Q3, ); dq: diff (Q, ); ddq1: diff (Q1,,2); ddq2: diff (Q2,,2); ddq3: diff (Q3,,2); ddq: diff (Q,,2); U:1/(2 C1) Q3ˆ2; T:1/2 L1 dq2ˆ2; D:1/2 R1 dqˆ2+1/2 R2 dq1ˆ2; eqn1: diff ( diff (L,dQ1),) diff (L,Q1) + diff (D,dQ1) = U0; eqn2: diff ( diff (L,dQ2),) diff (L,Q2) + diff (D,dQ2) = U0; eqn3: diff ( diff (L,dQ3),) diff (L,Q3) + diff (D,dQ3) = U0; sol : linsolve ([eqn1,eqn2,eqn3 ],[dq1,ddq2,dq3]); s1 : rhs( sol [1]); s2 : rhs( sol [2]); s3 : rhs( sol [3]); s1 :dq1=expand(s1 ); s2 :ddq2=expand(s2 ); s3 :dq3=expand(s3 ); La soluzione è rappresenaa da un sisema di 3 equazioni differenziali, di cui una di secondo ordine. d d Q 1 () = Q 3 () C 1 R 2 Q 2 () = Q 3 () C 1 L 1 12

13 d d Q 3 () = U 0 R 1 Q 3 () C 1 R 2 Q 3 () C 1 R 1 d d Q 2 () Il sisema coniene però unicamene due elemeni che possono memorizzare energia, per cui porà essere descrio ramie un sisema di equazioni differenziali di 2. ordine. Una vola messo il sisema nello spazio degli sai, applicando una procedura di semplificazione (ad esempio minss in Scicoslab, si oiene un sisema di 2. ordine. La figura]15 mosra lo schema scicoslab per la simulazione. R=R1 R=R2 C=C1 L=L1 V MSc.. xd=ax+bu =Cx+Du Figura 15: Schema di simulazione del sisema RCL Il plo della simulazione è mosrao nella figura 16. Graphic Graphic Figura 16: Plo della simulazione del sisema RCL 4.8 Moore elerico DC con carico La figura 17 mosra lo schema di un moore DC con una ensione in enraa e a. Le grandezze associae a queso moore che ineressano la modellazione sono: L inerzia di roazione J = J moore +J carico Lecosani del moore K (cosane di coppia) e K b (cosane di back emf), la resisenza di armaura R a e l induanza di armaura L a. T : 1/2 L q 2 +1/2 J ϕ 2 13

14 i a R a L a Saic field T m ϕm e a Va Figura 17: DC moor U : 0 D : 1/2 R q 2 +1/2 f v ϕ 2 Il seguene scrip di Maxima calcola le equazioni differenziali associae al moore uilizzando come grandezze generalizzae la carica Q nel circuio elerico e l angolo ϕ nella pare meccanica. Q:Q( ); phi : phi( ); dq: diff (Q, ); dphi: diff (phi, ); ddq: diff (Q,,2); ddphi : diff (phi,,2); T:1/2 L dqˆ2+1/2 J dphiˆ2; U:0; D:1/2 R dqˆ2+1/2 fv dphiˆ2; eqn1: diff ( diff (L,dQ),) diff (L,Q) + diff (D,dQ) = U0 Kb dphi; eqn2: diff ( diff (L, dphi),) diff (L, phi) + diff (D, dphi) = K dq; sol : linsolve ([eqn1, eqn2],[ddq, ddphi ]); s1 : rhs( sol [1]); s2 : rhs( sol [2]); s1 :expand(s1 ); s2 :expand(s2 ); La soluzione pora al seguene sisema di equazioni differenziali ( ) Q() = U d 0 L d Q() R Kb d d ϕ() L L ( ) ( ) K d d ϕ() = Q() fv d d ϕ() d2 J J 14

15 Tenendo cono che la carica Q enra in gioco solo come prima e seconda derivaa possiamo sosiuire dq/d = I e oeniamo il seguene sisema ( ) d d I() = U 0 L I() R Kb d d ϕ() L L ( ) K I () ϕ() = fv d d ϕ() d2 J J La figura]18 mosra lo schema scicoslab per la simulazione. p. k.. J=Jm d=dm MSc.. =0 xd=ax+bu =Cx+Du Figura 18: Schema di simulazione del moore DC Il plo della simulazione è mosrao nella figura Graphic Graphic Figura 19: Plo della simulazione del moore DC 4.9 Sospensione magneica T : 1/2 L Q 2 +1/2 L ż 2 U : m g z 15

16 i R,L u M Figura 20: Sospensione magneica D : 1/2 R Q 2 Le grandezze generalizzae uilizzae sono le cariche nella pare elerica (Q()) e la posizione z() della boccia. Q:Q( ); z : z( ); dq: diff (Q, ); dz: diff (z, ); ddq: diff (Q,,2); ddz: diff (z,,2); T:1/2 L dqˆ2+1/2 L dzˆ2; U:m g z; D:1/2 R dqˆ2; eqn1: diff ( diff (L,dQ),) diff (L,Q) + diff (D,dQ) = U0; eqn2: diff ( diff (L,dz),) diff (L, z) = K dqˆ2/zˆ2; sol : linsolve ([eqn1, eqn2],[ddq,ddz ]); s1 :expand( sol [1]); s2 :expand( sol [2]); Le equazioni differenziali risulani sono: Q() = U d 0 L d Q() R L ( ) 2 d z() = d Q() K z 2 gm () L L A queso puno si può sosiuire la carica Q() con la correne i() e il sisema divena di 3. ordine Pendolo inverso Modelliamo il sisema carrello+pendolo inverso della figura 21. Scegliamo come variabili generalizzae le grandezze x() e ϕ(). 16

17 F() ϕ() 3 3 x() Figura 21: Pendolo inverso T : 1 2 M ẋ m (ẋ2 2 +ẋ2 3 )+ 1 Thea ϕ2 2 U : m g r cos(ϕ) D : 1 2 d ẋ2 1 Lo scrip di Maxima che calcola il sisema è il seguene: x:x( ); phi : phi( ); dx: diff (x, ); dphi: diff (phi, ); ddx: diff (x,,2); ddphi : diff (phi,,2); x1:x; x2:x r sin(phi ); x3: r cos(phi ); dx1: diff (x1, ); dx2: diff (x2, ); dx3: diff (x3, ); T:1/2 M dx1ˆ2+1/2 m (dx2ˆ2+dx3ˆ2)+1/2 Thea dphiˆ2; U:m g r cos(phi ); D:1/2 d dxˆ2; eqn1: diff ( diff (L, dphi),) diff (L, phi)+diff (D, dphi)=0; eqn2: diff ( diff (L,dx),) diff (L,x)+diff (D,dx)=F; eqn1:expand(eqn1); eqn2:expand(eqn2); eqn1: rigreduce (eqn1); eqn2: rigreduce (eqn2); eqn1: rigsimp (eqn1); eqn2: rigsimp (eqn2); 17

18 sol : linsolve ([eqn1, eqn2],[ddx,ddphi ]); s1 : rhs( sol [1]); s2 : rhs( sol [2]); Il risulao oenuo è il seguene ( d ) 2 F +dẋ+mr sinϕ() ϕ 2 +mr 2 (dẋ F)+sinϕ() ( m 2 r 3 ϕ 2 gm 2 r 2 cosϕ() ) x() = Θ d2 r 2 (mm +m 2 )+Θ (M +m) m 2 r 2 cos 2 ϕ() ( ( d ) 2 r gmm gm 2 +m 2 r 2 cosϕ() ϕ 2) +mr cosϕ() (dẋ F) ϕ() = sinϕ() d2 r 2 (mm +m 2 )+Θ (M +m) m 2 r 2 cos 2 ϕ() 4.11 Pendolo di Furua Modelliamo il pendolo di Furua della figura 22. ϕ 1 CM z x L 1 3 L 0 ϕ 0 Figura 22: Pendolo di Furua I parameri del pendolo da considerare sono la lunghezza del braccio sul moore L 0, con la sua inerzia J 0 e il suo ario R 0, la disanza ra base e cenro di massa del braccio mobile L 1 con la sua inerzia J 1 e il suo ario R 1. Le variabili generalizzare sono i due angoli ϕ 0 (roazione del braccio del moore) e ϕ 1 (roazione del pendolo). Le grandezze da calcolare per la lagrangiana sono le segueni: T = 1 2 (J 0 ϕ 2 0 +J 1 ϕ 2 1 +m (ẋ 2 1 +ẏ 2 1 +ż 2 1)) con ẋ 1, ẏ 1 e ż 1 sono le velocià del cenro di massa (CM) del pendolo. U = m z 1 g D = 1 2 (R 0 ϕ 2 0 +R 1 ϕ 2 1) Queso è lo scrip di Maxima che permee di oenere le equazioni differenziali finali. 18

19 phi0 : phi0( ); phi1 : phi1( ); I : I( ); dphi0: diff (phi0, ); dphi1: diff (phi1, ); ddphi0: diff (phi0,,2); ddphi1: diff (phi1,,2); x1:l0 sin(phi0)+l1 sin(phi1) cos(phi0 ); 1:L0 cos(phi0) L1 sin(phi1) sin(phi0 ); z1:l1 cos(phi1 ); dx1: diff (x1, ); d1: diff (1, ); dz1: diff (z1, ); T:1/2 (J0 dphi0ˆ2+j1 dphi1ˆ2+m (dx1ˆ2+d1ˆ2+dz1ˆ2)); U:m z1 g; D:1/2 (R0 dphi0ˆ2+r1 dphi1ˆ2); eqn1: diff ( diff (L, dphi0),) diff (L, phi0)+diff (D, dphi0)=k I ; eqn2: diff ( diff (L, dphi1),) diff (L, phi1)+diff (D, dphi1)=0; sol : linsolve ([eqn1, eqn2],[ ddphi0, ddphi1 ]); s1 : rigsimp ( sol [1]); s2 : rigsimp ( sol [2]); Dopo la linearizzazione si oengono le marici segueni ( ml J 1)R 0 gm 2 2 L 0 L 1 A = mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J ml 0 0 L 1 R 0 (gm 2 L 2 0 +gmj 0)L 1 mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J 1 mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J 1 0 K(mL 2 1 +J 1) B = mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J 1 0 K ml 0 L 1 mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J 1 ( ) C = ml 0 L 1 R 1 mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J 1 mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J 1 ( 0 D = 0) (ml 2 0 +J 0)R 1 mj 0 L 2 1 +mj 1 L 2 0 +J 0 J 1 19