Le coniche in forma canonica: ellisse, iperbole e parabola 1 / 16

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Fabrizio Martino Brunetti
7 anni fa
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1 Le coniche in forma canonica: ellisse, iperbole e parabola 1 / 16

2 Coniche 2 / 16 In generale, per conica in R 2 si intende il luogo dei punti di R 2 che soddisfano un equazione polinomiale di secondo grado del tipo: ax 2 + bxy+cy 2 + dx+ey+f = 0, (1) dove a,b,c,d,e,f R e i coefficienti a, b, e c non sono tutti nulli. In realtà, senza qualche ulteriore ipotesi sui coefficienti, la (1) comprende anche i cosiddetti casi degeneri. Ad esempio, il luogo dei punti che soddisfano xy=0 (2) non è altro che l unione dei due assi. Più generalmente, le coniche degeneri sono costituite da una coppia di rette, che possono essere incidenti, coincidenti oppure parallele e distinte.

3 Coniche 3 / 16 Invece i casi geometricamente significativi, cioè le coniche non degeneri, sono essenzialmente tre: ellisse, iperbole e parabola. Più specificamente, uno studio avanzato delle equazioni di tipo (1), coinvolgente argomenti non solo puramente geometrici, ma anche inerenti alla cosiddetta algebra lineare, consente essenzialmente di ricondurre (mediante opportune rotazioni e traslazioni del sistema di assi cartesiani di partenza) lo studio delle coniche alle situazioni che descriveremo in questa lezione e che, per questa ragione, vengono appunto dette forme canoniche di ellissi, iperboli e parabole.

4 Ellisse in forma canonica 4 / 16 L equazione di tipo (1) che la definisce viene tradizionalmente scritta nel modo seguente: γ : x 2 a 2 + y2 = 1, a, b>0. (3) b2 L ellisse γ è rappresentata, nel caso a > b, in Figura 1.

5 Ellisse in forma canonica 5 / 16 y b P a F 2 F 1 a x γ b Figura 1: L ellisse in forma canonica.

6 Fuochi dell ellisse 6 / 16 Il punto F 1 ha coordinate F 1 =[ a 2 b 2,0], e F 2 = F 1. I punti F 1 e F 2 vengono chiamati fuochi dell ellisse γ. Il loro interesse risiede nel fatto che è possibile verificare che l ellisse γ, definita dalla (3), coincide con il seguente luogo di punti: γ = { P R 2 : dist(p,f 1 )+dist(p,f 2 )=2a }. (4)

7 Ellisse 7 / 16 La verifica che la (3) e la (4) rappresentano la stessa figura geometrica consiste nel controllare che, indicando con P =[x, y] il generico punto di R 2, allora la condizione equivale all equazione (3). dist(p,f 1 )+dist(p,f 2 )=2a (5)

8 Iperbole in forma canonica 8 / 16 Questa conica è definita dalla seguente equazione: γ : x 2 a 2 y2 = 1, a, b>0. (6) b2 L iperbole γ è rappresentata nella figura seguente:

9 Iperbole in forma canonica 9 / 16 y y= b a x y= b a x P F 2 a a F 1 x Figura 2: L iperbole in forma canonica.

10 Iperbole in forma canonica 10 / 16 I due fuochi dell iperbole hanno coordinate F 1 =[ a 2 + b 2,0], F 2 = F 1. Si può notare che l iperbole γ è formata da due componenti (dette rami) disgiunte, una nel semipiano x a, l altra, speculare rispetto all asse y, nella regione x a.

11 Iperbole in forma canonica 11 / 16 Si può anche osservare che, anticipando una terminologia utilizzata nei corsi di analisi matematica, i rami di γ si avvicinano asintoticamente alle due rette y=± b a x quando x cresce verso ±. In modo analogo a quanto visto per l ellisse, possiamo dare una caratterizzazione geometrica dell iperbole γ coinvolgendo i suoi fuochi: γ = { P R 2 : dist(p,f 1 ) dist(p,f 2 ) =2a }. (7)

12 Parabola in forma canonica 12 / 16 Nella lezione precedente abbiamo imparato a tracciare il grafico di una parabola. Ora invece presentiamo una caratterizzazione geometrica della parabola in analogia con (4) e (7). L equazione della parabola in forma canonica può essere scritta come segue: γ : 2py=x 2, p>0. (8) Facciamo riferimento alla figura seguente:

13 Parabola in forma canonica 13 / 16 y P F r Figura 3: La parabola in forma canonica. x

14 Fuoco e direttrice della parabola 14 / 16 Abbiamo un fuoco F =[0,(p/2)] e una retta r di equazione y = (p/2), che chiameremo direttrice della parabola. Ora affermiamo che per la parabola γ si ha: γ = { P R 2 : dist(p,f)=dist(p,r) }. (9)

15 Caratterizzazione analitica della parabola 15 / 16 Vediamo in dettaglio come si mostra l equivalenza tra le due caratterizzazioni (8), (9), in quanto questo semplice esercizio può guidare nella comprensione dell analoga affermazione relativa ad ellissi e iperboli. Per il generico P R 2, scriviamo P=[x,y]. Abbiamo (riflettere e verificare bene!!): dist(p,r)= y+ p, dist(p,f)= x 2 2 +(y p 2 )2.

16 Caratterizzazione della parabola 16 / 16 Quindi l equazione in (9) (dist(p, F) = dist(p, r)) diventa y+ p = x 2 2 +(y p 2 )2. (10) Elevando entrambi i membri al quadrato si ha ( p ) 2 ( p ) 2 y 2 + yp+ = x 2 + y 2 yp+, 2 2 da cui è facile ricavare la (8).

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