Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/2013
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1 Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/2013 Matteo Di Nunno 28 novembre 2013 Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
2 Cos'é il caos? Proviamo a partire da alcune semplici domande... Quale legame potrá mai esserci tra la matematica e il caos? Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
3 Cos'é il caos? Proviamo a partire da alcune semplici domande... Quale legame potrá mai esserci tra la matematica e il caos? Cos'é precisamente il caos? Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
4 Denizioni...dal passato Per gli antichi greci il caos (χαoσ) era l'innito spazio vuoto esistito prima che ogni cosa fosse creata; Ed oggi, invece, com'é cambiata la concezione che si ha del caos? Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
5 Denizioni...dal passato Per gli antichi greci il caos (χαoσ) era l'innito spazio vuoto esistito prima che ogni cosa fosse creata; per i romani, invece, il concetto di caos aveva a che fare con la massa informe e primordiale nella quale il Grande Architetto del mondo introdusse ordine e armonia. Ed oggi, invece, com'é cambiata la concezione che si ha del caos? Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
6 Al giorno d'oggi gli scienziati intendono il caos come uno stato di cose avente due ben precise proprietá: Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
7 Al giorno d'oggi gli scienziati intendono il caos come uno stato di cose avente due ben precise proprietá: disordine, Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
8 Al giorno d'oggi gli scienziati intendono il caos come uno stato di cose avente due ben precise proprietá: disordine, irregolaritá. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
9 Al giorno d'oggi gli scienziati intendono il caos come uno stato di cose avente due ben precise proprietá: disordine, irregolaritá. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
10 Al giorno d'oggi gli scienziati intendono il caos come uno stato di cose avente due ben precise proprietá: disordine, irregolaritá. Sono proprio queste due proprietá a far entrare in gioco la matematica... Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
11 Il modello In matematica un modello di dinamica delle popolazioni é uno strumento al tempo stesso bello e potente: Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
12 Il modello In matematica un modello di dinamica delle popolazioni é uno strumento al tempo stesso bello e potente: esso non é altro se non una legge che, date delle specie viventi, ci consente di predirne gli sviluppi (l'evoluzione) nel tempo. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
13 Il modello logistico discreto Il modello ha come obiettivo fornire la dinamica di variazione della popolazione y n col variare del tempo; quest'ultimo é supposto discreto ossia suddiviso in intervalli con la stessa ampiezza. Osserviamo che le dimensioni assunte da una popolazione dipendono da molti fattori tra cui Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
14 Il modello logistico discreto Il modello ha come obiettivo fornire la dinamica di variazione della popolazione y n col variare del tempo; quest'ultimo é supposto discreto ossia suddiviso in intervalli con la stessa ampiezza. Osserviamo che le dimensioni assunte da una popolazione dipendono da molti fattori tra cui ambientali: il cibo, lo spazio, il clima, i rifornimenti; Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
15 Il modello logistico discreto Il modello ha come obiettivo fornire la dinamica di variazione della popolazione y n col variare del tempo; quest'ultimo é supposto discreto ossia suddiviso in intervalli con la stessa ampiezza. Osserviamo che le dimensioni assunte da una popolazione dipendono da molti fattori tra cui ambientali: il cibo, lo spazio, il clima, i rifornimenti; rapporti: relazioni con altre specie, rapporti preda/predatore. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
16 Le ipotesi Ipotesi Supponiamo che la grandezza massima assumibile dalla popolazione e sopportabile dall'ambiente sia Y. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
17 Le ipotesi Ipotesi Supponiamo che la grandezza massima assumibile dalla popolazione e sopportabile dall'ambiente sia Y. Sia y n la popolazione al tempo n; una conseguenza della nostra ipotesi é che y n < Y = y n cresce y n > Y = y n diminuisce Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
18 Le ipotesi Deniamo ora il rapporto z n = y n /Y cosí da poter avere z n [0,1]. Il tasso di crescita sará dato da z n+1 z n z n ed é proprio su di esso che faremo la prossima ipotesi cruciale per la costruzione del modello. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
19 Le ipotesi Deniamo ora il rapporto z n = y n /Y cosí da poter avere z n [0,1]. Il tasso di crescita sará dato da z n+1 z n z n ed é proprio su di esso che faremo la prossima ipotesi cruciale per la costruzione del modello. Ipotesi Supponiamo che il tasso di crescita sia proporzionale a 1 z n. Introducento quest'ultima ipotesi abbiamo voluto mettere in rilievo il legame tra la popolazione e la quantitá di risorse naturali non ancora utilizzate. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
20 La legge costitutiva A questo punto, posta una costante di proporzionalitá K, avremo z n+1 z n z n = K(1 z n ) ed esplicitando rispetto a z n+1 arriviamo nalmente alla legge che regola la dinamica: z n+1 = z n +Kz n (1 z n ) n N (1) Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
21 Semplichiamoci...la vita Poniamo Di conseguenza x n = x n+1 = K 1 +K z n+1 = K r K 1 +K z n r = 1 +K. ( ) z n +K(1 z n ) = = K r z n + K r Kz n K r Kz 2 n = rx n Kx n r K x n = rx n rx 2 n = rx n (1 x n ). Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
22 Il modello logistico discreto Finalmente abbiamo trovato un'espressione compatta che descriva la nostra dinamica: x n+1 = rx n (1 x n ) n N. (2) Sia ora la funzione logistica f r (x) := rx(1 x) x [0,1] r (0,4] (3) grazie alla quale possiamo scrivere la (2) come x n+1 = f r (x n ). Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
23 Iterate e punti ssi Ci stiamo rapidamente avvicinando a vedere il caos in carne e ossa, ma per farlo saranno utili alcuni semplici strumenti. Presa la funzione f r (x) una sua iterata é fr 1 (x) = f r (f r (x)) e piú in generale l'n-esima iterata é fr n (x) = f r (fr n 1 (x)). Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
24 Iterate e punti ssi Ci stiamo rapidamente avvicinando a vedere il caos in carne e ossa, ma per farlo saranno utili alcuni semplici strumenti. Presa la funzione f r (x) una sua iterata é fr 1 (x) = f r (f r (x)) e piú in generale l'n-esima iterata é fr n (x) = f r (fr n 1 (x)). Preso un valore iniziale della popolazione x 0, grazie alle iterate potremo trovare ad ogni istante di tempo n il valore assunto dalla popolazione in quell'istante ossia x n = fr n (x). Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
25 Iterate e punti ssi Ci stiamo rapidamente avvicinando a vedere il caos in carne e ossa, ma per farlo saranno utili alcuni semplici strumenti. Presa la funzione f r (x) una sua iterata é fr 1 (x) = f r (f r (x)) e piú in generale l'n-esima iterata é fr n (x) = f r (fr n 1 (x)). Preso un valore iniziale della popolazione x 0, grazie alle iterate potremo trovare ad ogni istante di tempo n il valore assunto dalla popolazione in quell'istante ossia x n = fr n (x). Inne sará comodo utilizzare la nozione di punto sso ossia di un punto x per il quale fr n (x) = x per ogni n N. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
26 Predizioni di lungo termine Tutte queste armi ci serviranno ad eettuare quella che gli scienziati chiamano predizione di lungo termine: questo signica che preso un valore iniziale x 0 riusciremo a trovare x 1 = f 1 r (x 0 ),...,x n = f n r (x 0 ). Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
27 Predizioni di lungo termine Tutte queste armi ci serviranno ad eettuare quella che gli scienziati chiamano predizione di lungo termine: questo signica che preso un valore iniziale x 0 riusciremo a trovare x 1 = f 1 r (x 0 ),...,x n = f n r (x 0 ). Sará molto interessante capire come il caos si nasconda e sia insito nella natura... Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
28 L'analisi Tramite un plottaggio di tipo cobweb vediamo cosa succede ai valori assunti dalla popolazione al variare del parametro r. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
29 L'analisi Nella gura precedente si osserva la presenza di due punti ssi: ξ 0 = 0 e ξ 1 = 0.2; quindi qualsiasi sia il valore iniziale x 0, con il passare del tempo potrá assumere unicamente uno di questi valori. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
30 L'analisi Nella gura precedente si osserva la presenza di due punti ssi: ξ 0 = 0 e ξ 1 = 0.2; quindi qualsiasi sia il valore iniziale x 0, con il passare del tempo potrá assumere unicamente uno di questi valori. Nella gura successiva, nella quale il parametro é ssato a r = 2.8, si nota un comportamento non dissimile dalla precedente: il valore iniziale di popolazione x 0 = 0.2 tende a stabilizzarsi su x 1 0.6; in particolare si noti come i valori descrivano delle spirali attorno ad x 1. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
31 L'analisi Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
32 L'analisi La prossima gura ci mostra un comportamento molto interessante...il sistema comincia a perdere stabilitá... Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
33 L'analisi Osservando il graco della funzione per r = 3.2, si notano i punti ssi ξ 0 = 0 e ξ e i valori ξ 2 = 0.5 e ξ 3 = 0.8; ogni volta che la popolazione assume valore ξ 2 automaticamente viene portata ad assumere il valor ξ 3 e viceversa. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
34 L'analisi Osservando il graco della funzione per r = 3.2, si notano i punti ssi ξ 0 = 0 e ξ e i valori ξ 2 = 0.5 e ξ 3 = 0.8; ogni volta che la popolazione assume valore ξ 2 automaticamente viene portata ad assumere il valor ξ 3 e viceversa. Questo signica che a lungo termine il numero di individui della specie in analisi non tenderá ad un unico valore, ma si troverá ad oscillare tra due valori distinti. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
35 L'analisi Cominciamo ad intuire come, al crescere del parametro r, il comportamento del modello logistico cambi: nascono nuovi punti ssi e cambiano i valori che la popolazione andrá ad assumere a lungo termine. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
36 L'analisi Cominciamo ad intuire come, al crescere del parametro r, il comportamento del modello logistico cambi: nascono nuovi punti ssi e cambiano i valori che la popolazione andrá ad assumere a lungo termine. Adesso cosa ci si puó aspettare quando il parametro viene portato al suo valore massimo ossia r = 4? Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
37 Disordine e irregolaritá Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
38 Ecco il caos! Il valore iniziale x 0 = 0.2 varia continuamente senza tendere a nessun punto particolare e tantomeno non tende a nessun punto sso; il comportamento del sistema appare complicato e imprevedibile. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
39 Ecco il caos! Il valore iniziale x 0 = 0.2 varia continuamente senza tendere a nessun punto particolare e tantomeno non tende a nessun punto sso; il comportamento del sistema appare complicato e imprevedibile. Il sistema é diventato caotico!!! Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
40 Ecco il caos! Il valore iniziale x 0 = 0.2 varia continuamente senza tendere a nessun punto particolare e tantomeno non tende a nessun punto sso; il comportamento del sistema appare complicato e imprevedibile. Il sistema é diventato caotico!!! Ecco proprio le caratteristiche del caos: irregolaritá, imprevedibilitá, disordine. Matteo Di Nunno Matematica & Caos Universita' di Pisa - A.A. 2012/ novembre / 21
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