COERENZA, INCOMPLETEZZA E INDECIDIBILITÀ: UNA RIFLESSIONE SUI FONDAMENTI DELLA MATEMATICA

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1 COERENZA, INCOMPLETEZZA E INDECIDIBILITÀ: UNA RIFLESSIONE SUI FONDAMENTI DELLA MATEMATICA LUCA LUSSARDI Sommario. In questo breve intervento presentiamo le più importanti problematiche legate ai fondamenti della matematica. Primo anno di scuola media superiore, lezione di geometria: l insegnante illustra ad uno ad uno gli assiomi che il matematico greco Euclide, personaggio forse leggendario e vissuto probabilmente ad Alessandria d Egitto durante il regno di Tolomeo I (300 a.c. circa), pose come fondamento della geometria. I postulati fondamentali riguardanti i punti, le rette, i piani, che tutti noi abbiamo imparato a scuola, sono assunti come veri per ipotesi, quindi privi di dimostrazione, e a partire da essi è possibile costruire, o meglio, dedurre logicamente l intera geometria euclidea. L approccio scolastico all algebra o all analisi però non è dello stesso tipo: in questi casi non si parte da una teoria assiomatica di fondamento. La domanda sorge quindi spontanea: esiste un approccio assiomatico rigoroso per l intera matematica? Ovvero, esiste un insieme di assiomi, che d ora in poi chiameremo anche sistema assiomatico, a partire dai quali è possibile costruire tutto il sapere matematico, quindi non solo la geometria, ma anche l algebra, l analisi, e ogni altro settore della matematica? Questo particolare modo di concepire i fondamenti della matematica viene chiamato formalismo; l esponente più importante della scuola formalista è senza dubbio il matematico tedesco D. Hilbert ( ). Nonostante Hilbert avesse idee poco chiare su quale fosse il giusto sistema assiomatico da mettere a fondamento della matematica, riuscì però subito a evidenziare uno dei problemi più importanti legati ad un simile approccio: il problema della coerenza, oggetto anche di uno dei celeberrimi ventitre problemi esposti, in parte, dallo stesso Hilbert durante il congresso internazionale dei matematici svoltosi a Parigi nel Più precisamente, il secondo problema della lista riguarda i fondamenti della matematica: È possibile dimostrare la coerenza dell aritmetica? Facciamo osservare che sebbene Hilbert parli di coerenza dell aritmetica in realtà si riferisce sempre all aritmetica dei numeri reali, ovvero, in definitiva, all analisi. Ma cosa vuol dire che un sistema assiomatico è coerente? Figura 1. David Hilbert, principale esponente del formalismo in matematica. 1

2 2 LUCA LUSSARDI 1. Coerenza Supponiamo di avere un sistema assiomatico. Allora, da esso è possibile dedurre, utilizzando solamente le regole della logica formale, i teoremi. Diciamo quindi che l enunciato T è dimostrabile nel sistema assiomatico dato se T è deducibile logicamente dagli assiomi dati. Appare quindi subito una prima novità rispetto al linguaggio comune: non si parla di verità, bensì di dimostrabilità. Diciamo che un sistema assiomatico è coerente (o consistente) se non è possibile trovare un enunciato T tale per cui sia T sia T siano entrambi dimostrabili nel sistema assiomatico dato, essendo T la negazione logica di T. Dal momento che l enunciato T e ( T ) è, per definizione, una contraddizione, la coerenza di un sistema assiomatico si può anche più brevemente esprimere dicendo che un sistema assiomatico è coerente se non è possibile dedurre da esso contraddizioni. L esempio più importante, per quanto diremo in seguito, di sistema assiomatico, è l insieme dei cosidetti assiomi di Peano, che costituiscono un sistema assiomatico per l aritmetica, formulato la prima volta dal matematico italiano G. Peano ( ). A1 : 0 è un numero naturale. A2 : Per ogni numero naturale n esiste un unico numero naturale s(n) detto successivo di n. A3 : Per ogni numero naturale n si ha s(n) 0. A4 : Se n, m sono due numeri naturali tali che s(n) = s(m), allora si ha n = m. A5 : Sia P (n) una proprietà dipendente da n, con n numero naturale. Supponiamo che P (0) sia vera e che P (n) P (s(n)). Allora P (n) è vera per ogni numero naturale n. Figura 2. Giuseppe Peano: la base assiomatica dell aritmetica oggi porta ancora il suo nome. I primi quattro assiomi sono molto intuitivi: si dice che 0 è il primo numero naturale della lista, ogni naturale ha un suo successivo (1 è il successivo di 0, 2 è il successivo di 1 e così via), e la funzione n s(n) è iniettiva. L assioma A5 appare meno evidente a prima vista, ma è un fatto di importanza capitale in aritmetica, noto anche col nome di principio di induzione. In sostanza il principio di induzione si può intuitivamente spiegare come segue. Se abbiamo una proprietà P (n) che dipende da n, con n numero naturale, per verificare che P (n) è vera per tutti i naturali bisogna mostrare due cose: che P (0) è vera e che per ogni n naturale la verità assunta per ipotesi di P (n) implica la verità di P (s(n)); allora si ha che P (0) vera implica P (1) vera, il quale implica a sua volta P (2) vera, e così via. Come facciamo a essere certi che il sistema assiomatico di Peano non genera contraddizioni? Il sogno di Hilbert era più grande, come accennato in precedenza, ovvero era quello di dimostrare che l analisi, e conseguentemente anche l algebra e la geometria, poteva essere fondata su un sistema assiomatico per il quale è possibile dimostrare la coerenza con metodi cosidetti finitisti, ovvero, in parole povere, restando all interno del sistema assiomatico stesso: Hilbert, in altre parole,

3 COERENZA, INCOMPLETEZZA E INDECIDIBILITÀ 3 desiderava che il sistema assiomatico scelto come fondamento dell analisi potesse dimostrare la coerenza di se stesso. Il tentativo hilbertiano di fondare la matematica non è il solo: il logico tedesco G. Frege ( ) tentò di fondare la matematica sulla logica (il cosidetto logicismo) ma questo tipo di approccio si rivelò fallace a causa della scoperta di una contraddizione, scoperta dovuta al grande logico e filosofo inglese B. Russel ( ). Le ricerche sui fondamenti nel periodo successivo a Russel si spostarono più o meno definitivamente verso l individuazione di una teoria assiomatica da mettere a fondamento della matematica, e quindi la direzione era quella di perseguire l ambizioso progetto di Hilbert. Il primo passo verso tale progetto sta nel dimostrare la coerenza dell aritmetica di Peano, ovvero la coerenza dell insieme di assiomi A1-A5 precedentemente illustrati, e da questo problema partono, ai primi del Novecento, le ricerche del matematico austriaco K. Gödel ( ), il più grande logico della storia moderna. II sogno di Hilbert fu infranto nel 1931 quando Gödel dimostrò (vedi [3]) il suo celebre secondo teorema di incompletezza: Consideriamo un sistema assiomatico dal quale si possano dedurre gli assiomi di Peano. Sia T l enunciato: Il sistema assiomatico è coerente. Se tale sistema assiomatico è coerente allora T non è dimostrabile nel sistema assiomatico. Restringendoci all aritmetica di Peano, possiamo anche dire che se gli assiomi di Peano sono coerenti, allora non possiamo dimostrare la coerenza restando all interno dell aritmetica di Peano. Il teorema di Gödel appena enunciato non si applica quindi ad ogni sistema assiomatico, ma solo a quei sistemi dai quali è possibile dedurre le proprietà dei numeri naturali, o meglio, dai sistemi che consentono di considerare l insieme dei numeri naturali con le rispettive operazioni e proprietà. Questa ipotesi sul sistema assiomatico è cruciale per portare avanti la dimostrazione del teorema. Infatti, la tecnica di Gödel è basata sulla cosidetta numerazione di Gödel: ad ogni enunciato si associa un numero naturale, detto numero di Gödel dell enunciato. Le proprietà formali degli enunciati, come la loro dimostrabilità nel sistema dato, si traducono dunque in proprietà aritmetiche dei rispettivi numeri di Gödel, e quindi vi è la necessità che il sistema assiomatico sia abbastanza potente da poter almeno parlare di aritmetica dei numeri naturali. Questo celebre risultato mostra che, in particolare, la coerenza della matematica non potrà mai essere dimostrata restando all interno della matematica stessa. Figura 3. Kurt Gödel: un esempio di persona dal talento eccezionale ma povera di buon senso. Tuttavia, vari tentativi furono fatti dallo stesso Gödel e anche da altri logici, per dimostrare la coerenza, in prima battuta, dell aritmetica dei numeri naturali utilizzando strumenti non di matematica ma di metamatematica, cioè uscendo dalla matematica. Effettivamente, nel 1937 Gödel e G. Gentzen ( ) ottengono, indipendentemente l uno dall altro, una dimostrazione della coerenza dell aritmetica basata sul principio di induzione transfinita, principio che infatti non è formalizzabile all interno dell aritmetica di Peano.

4 4 LUCA LUSSARDI 2. Incompletezza e indecidibilità La coerenza di un sistema assiomatico, sufficientemente ricco per la matematica, in definitiva non si può dimostrare a meno di uscire dalla matematica stessa. Ma esistono delle condizioni che devono necessariamente valere se un determinato sistema assiomatico per la matematica è coerente? A questa domanda risponde il primo teorema di incompletezza di Gödel: Consideriamo un sistema assiomatico dal quale si possano dedurre gli assiomi di Peano. Se tale sistema assiomatico è coerente allora esso è necessariamente incompleto. Se la coerenza dell aritmetica si può dare, per così dire, per assodata, la coerenza dell intera matematica restava invece il principale problema aperto: infatti per fondare l analisi è necessario avere anche la teoria dei numeri reali, per la quale a sua volta non basta l aritmetica ma è necessaria anche la teoria degli insiemi. La teoria assiomatica degli insiemi più nota è la teoria di Zermelo- Fraenkel, che d ora in poi denoteremo con teoria ZF, messa a punto da T. Skolem ( ) nel 1922 il quale si basò sui lavori di E. Zermelo ( ) e A. Fraenkel ( ). Tale teoria è costituita, dopo una modifica dell originale, da un numero finito di assiomi riguardanti proprietà degli insiemi: all interno della teoria ZF è possibile costruire un modello dell insieme dei numeri naturali, e quindi l aritmetica di Peano è formalizzabile nella teoria ZF; inoltre vi trovano spazio anche i numeri reali, pertanto l analisi, e di conseguenza l intera matematica moderna, sono costruibili dalla teoria ZF. In particolare quindi, applicando il secondo teorema di incompletezza, sappiamo che la coerenza della teoria ZF non può essere dimostrata restando all interno della teoria stessa. Oggi si sa che la coerenza della teoria ZF si può dimostrare assumendo l esistenza di un cardinale inaccessibile: infatti, supposta tale esistenza si riesce a costruire un modello della teoria ZF, il che prova la sua coerenza. Non andiamo oltre su questo punto, in quanto si entrerebbe in questioni troppo delicate di teoria degli insiemi; insistiamo però sul fatto che l esistenza di un cardinale inaccessibile non è formalizzabile all interno della teoria ZF, come Gödel ben ci insegna. Ecco apparire il secondo importante ingrediente della teoria dei sistemi assiomatici: l incompletezza, che va a braccetto con l indecidibilità. Chiariamo di cosa si tratta partendo proprio dall enunciato del primo teorema di incompletezza. Sia allora dato un sistema assiomatico dal quale si possano dedurre gli assiomi di Peano, e consideriamo nuovamente l enunciato T che dice: Il sistema assiomatico è coerente. Sappiamo che, per il secondo teorema di incompletezza di Gödel, T non è dimostrabile. Essendo il sistema assiomatico dato coerente per ipotesi, anche T non è dimostrabile: infatti, T dimostrabile contraddice la coerenza del sistema. Esiste quindi, in ipotesi di coerenza, almeno un enunciato indecidibile: né esso né la sua negazione sono dimostrabili. In questo caso il sistema assiomatico si dice incompleto; se invece un sistema assiomatico è abbastanza potente da poter dimostrare o confutare ogni enunciato ben scritto allora il sistema si dirà completo. Passando all enunciato contronominale del primo teorema di incompletezza si trova il seguente significativo corollario: Se la teoria ZF fosse completa allora sarebbe contradditoria. Dobbiamo quindi rinunciare per sempre alla pretesa di poter dimostrare o confutare, almeno in linea di principio, ogni affermazione matematica; anzi, in particolare, non tutte le proprietà dei numeri naturali possono essere dimostrate o confutate, se vogliamo preservare la coerenza. A tutt oggi vari problemi di teoria elementare dei numeri sono aperti, e alcuni tra essi potrebbero essere indecidibili nella teoria ZF: ad esempio, la celebre congettura di Goldbach, la quale dice che ogni numero pari più grande di 2 è somma di due numeri primi, resiste ad ogni tentativo di dimostrazione da più di 250 anni. D altra parte, invece, potrebbe anche essere che la coerenza della teoria ZF sia l unico enunciato indecidibile: in fin dei conti, i teoremi di incompletezza non dicono che ci sono necessariamente altri enunciati indecidibili, quindi la coerenza potrebbe essere l unico enunciato indecidibile previsto dal primo teorema di incompletezza ed effettivamente sancito dal secondo. Gödel stesso si preoccupa di questo problema più concreto per così dire, ovvero si pone

5 COERENZA, INCOMPLETEZZA E INDECIDIBILITÀ 5 la seguente domanda: esistono degli enunciati che riguardano a tutti gli effetti concetti matematici e che sono indecidibili? Nel 1940 riesce a dimostrare che la cosidetta ipotesi del continuo è coerente col resto della teoria ZF, ovvero assumerla come nuovo assioma non cambia la coerenza della nuova teoria così ottenuta, ZF+ipotesi continuo; l ipotesi del continuo dice che non esiste un insieme che ha una cardinalità compresa tra la cardinalità del numerabile e la cardinalità del continuo reale. In realtà Gödel lavorò anche su un altro delicato punto della teoria ZF, che è l assioma della scelta, ma preferiamo in questa trattazione non entrare nella tecnica della teoria degli insiemi. Gödel non riuscì però ad andare oltre e nel 1947 ipotizzò che l ipotesi del continuo fosse veramente un enunciato indecidibile per la teoria ZF. La congettura di Gödel era corretta, e venne dimostrata nel 1963 dal matematico americano P. J. Cohen ( ). Alla luce di questo risultato possiamo quindi decidere di assumere o non assumere l ipotesi del continuo, non avendo per questo problemi di coerenza aggiuntivi. Si possono seguire, a questo punto, due strade diverse che portano a due matematiche : in una matematica l ipotesi del continuo vale, nell altra no, e, almeno in linea teorica, questo si può fare ogni volta che si incontra un enunciato indecidibile. Volendo tirare una conclusione, abbiamo visto che sebbene la matematica sia un sapere che esiste da più di duemila anni, costruire un fondamento rigoroso per essa è un problema molto difficile. A tutt oggi la teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel è praticamente da tutti accettata come fondamento della matematica, sebbene per essa valgono tutti i problemi dei quali abbiamo accennato in precedenza. Ci sono anche altri modi per fondare la matematica, in particolare non insiemistici, come la teoria delle categorie. In ogni caso, la strada che sembra essere pressochè definitiva è la via assiomatica: il formalismo ed il finitismo hilbertiani, in un certo senso, restano l approccio vincente. Riferimenti bibliografici [1] C. Boyer: Storia della matematica. Mondadori Milano (1990). [2] M. Borga e D. Palladino: Oltre il mito della crisi. Fondamenti e filosofia della matematica nel XX secolo. Editrice La Scuola Brescia (1997). [3] K. Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatsh. Math. 38 (1) (1931) (L. Lussardi) Università Cattolica del Sacro Cuore, via dei Musei 41, Brescia address: l.lussardi@dmf.unicatt.it URL: