Università degli Studi di Roma La Sapienza Facoltà di Ingegneria Aeronautica e dello Spazio Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale ed Astronautica

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1 Università degli Studi di Roma La Sapienza Facoltà di Ingegneria Aeronautica e dello Spazio Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale ed Astronautica STIMA DI PARAMETRI DI AGGIORNAMENTO IN MODELLI DINAMICI DISCRETIZZATI Tesi di Laurea Specialistica in Ingegneria Spaziale Laureando Giovanni Mauceri Relatore Prof. Giuliano Coppotelli Anno Accademico 2009/2010

2 Introduzione L obiettivo di questa Tesi consiste nello sviluppo di una metodologia efficiente per l aggiornamento di modelli agli elementi finiti (E.F.) sulla base di dati sperimentali diretti costituiti dalle funzioni di risposta in frequenza (FRF). Le basi teoriche utilizzate per lo sviluppo di una tale metodologia prendono spunto dal preesistente algoritmo di aggiornamento Predictor- Corrector (P-C) sviluppato da Henning Grafe [2], molto interessante dal momento che, oltre ad utilizzare come input le misure dirette e non grandezze stimate a partire da quest ultime (come a d esempio le caratteristiche modali), permette di eliminare il vincolo di corrispondenza uno ad uno tra i gradi di libertà (DOF) misurati e gradi di libertà totali, problematica che per molto tempo è stata combattuta adottando tecniche di riduzione del modello numerico mantenendo come DOF Master quelli coinvolti nelle misure. Questa soluzione tuttavia introduce inevitabilmente delle approssimazioni sul modello E.F. ridotto risultante. Questa Tesi pertanto può essere considerata come un lavoro di miglioramento dell algoritmo P-C originario, che sostanzialmente si basa sulla minimizzazione, tramite l aggiornamento iterativo di alcuni parametri di correzione che agiscono sul modello numerico, di una funzione obiettivo scalare rappresentante le discrepanze tra le FRF numeriche con le rispettive controparti sperimentali in un determinato numero di linee spettrali. Un approssimazione in serie di Taylor troncata al secondo ordine di questa funzione obiettivo scalare, ma considerando una matrice Hessiana approssimata, porta alla definizione dell approssimazione quadratica standard, alla quale viene aggiunta una funzione vincolante dei parametri di aggiornamento, partecipe nella minimizzazione complessiva, in modo da correggere la non quadraticità della funzione obiettivo vera e propria. Nell espressione della vera funzione obiettivo scalare, e quindi anche nella sua approssimazione quadratica standard, risulta inclusa una matrice peso che ha il compito di dare maggiore im- 1

3 INDICE INDICE portanza all aggiornamento delle FRF in certe linee spettrali piuttosto che in altre; analogamente, nell espressione della funzione vincolante viene introdotta una matrice peso il cui scopo è quello di limitare maggiormente (dare maggiore importanza nella minimizzazione) le variazioni di alcuni paramentri di aggiornamento rispetto alle altre. Inoltre occorrerebbe anche che il codice gestisca automaticamente, tramite un fattore di scala (che verrà identificato con il nome di parametro di smorzamento) l importanza relativa riposta nelle minimizzazioni contrastanti dell approssimazione quadratica standard della vera funzione obiettivo e della funzione vincolante della variazione dei parametri di aggiornamento. Gran parte delle innovazioni introdotte riguardano la scelta delle due matrici peso e del fattore di scala sopra citati. Infine è stato aggiunto un algoritmo per migliorare la robustezza del metodo P-C al rumore sui dati, ossia sulle FRF sperimentali. Nel dettaglio le innovazioni introdotte possono brevemente riassumersi nei seguenti punti: La matrice peso delle linee spettrali, che interviene nella definizione della funzione obiettivo (e quindi anche nella sua approssimazione quadratica standard), è stata costruita in modo da porre maggiore importanza nell aggiornamento delle linee spettrali che implicano variazioni più piccole dei parametri di aggiornamento, ed in quelle dove gli indici di discrepanza tra le FRF numeriche e sperimenali, indispensabili per definire la vera funzione obiettivo scalare, risultano meno incerti. La matrice peso dei parametri correttivi o parametri di aggiornamento, che interviene nell espressione della funzione vincolante della soluzione, è stata selezionata in modo da limitare maggiormente le variazioni dei parametri nella cui direzione l approssimazione quadratica standard risulta una peggiore approssimazione della vera funzione obiettivo scalare. Il fattore di scala rappresentante il peso relativo che l algoritmo deve riporre, ad ogni iterazione, nella minimizzazione contrastante dell approssimazione standard e della funzione vincolante, è stato ottenuto con una versione modificata di un criterio molto utilizzato nell ottimizzazione multiobiettivo di funzioni incommensurabili (nel caso in esame queste funzioni sono rappresentate dall approssimazione quadratica standard e la funzione vincolante), ossia il criterio della L-curve [6]. 2

4 INDICE INDICE L algoritmo aggiuntivo per la robustezza al rumore sui dati si basa sulla limitazione delle variazioni dei parametri di aggiornamento sulle quali l incertezza dei dati si propaga maggiormente in termini di incertezza relativa. L entità complessiva della limitazione è assegnata ad un secondo fattore di scala calcolato mediante una seconda minimizzazione multiobiettivo, del tutto analoga alla prima, dove la nuova coppia di funzioni la cui minimizzazione risulta in contrasto è costituita rispettivamente dalla somma dell approssimazione standard e della funzione vincolante moltiplicata per il primo fattore di scala già determinato al termine della prima minimizzazione multiobiettivo, e dall incertezza relativa di questa somma. L algoritmo P-C originario soffre anche della presenza di due parametri di impostazione manuali significativi, la cui scelta, cioè, spetta al progettista, e che può risultare onerosa dal punto di vista del tempo necessario per determinare i loro valori migliori. In questa Tesi, invece, il numero di parametri di impostazione manuali significativi è stato ridotto da due ad uno. In particolare, considerando che i due parametri originari sono relativi all esclusione dall aggiornamento di alcune linee spettrali e di alcuni parametri di aggiornamento, è stato mantenuto soltanto il parametro manuale relativo alla prima categoria di esclusione, mentre, l esclusione dei parametri di aggiornamento viene effettuata dal nuovo codice in modo automatico. Nell ultima parte della Tesi l algoritmo P-C modificato viene applicato ad un cospicuo numero di casistiche nelle quali il modello numerico agli E.F. di partenza viene ottenuto dal modello mumerico base introducendo delle modifiche strutturali, in modo che ci si aspetti la convergenza verso il modello base non alterato. Le simulazioni prevedono anche l inserimento di una componente random di rumore sulle FRF del modello base assunto come modello sperimentale simulato, e che pertanto costituiscono l input dell algoritmo. 3

5 Parte I Modelli matematici per la dinamica strutturale e relativo aggiornamento 4

6 Capitolo 1 Analisi Dinamica L analisi dinamica delle strutture stà diventando sempre più complessa, e continuerà a complicarsi per superare le sfide e le richieste del ventunesimo secolo. L interesse nelle proprietà dinamiche cresce perchè quasi tutte le strutture sono soggette a vibrazioni, che in genere sono indesiderate. Ad esempio, gli effetti negativi causati dalle vibrazioni includono diminuzione della resistenza a fatica delle macchine e perdita di precisione dei macchinari. A causa degli effetti devastanti che i fenomeni vibratorii possono avere sulle macchine e sulle strutture, l analisi delle vibrazioni è diventata una procedura standard nella progettazione e nello sviluppo della maggior parte dei sistemi ingegneristici. Oggi, per il progetto e l analisi di strutture complesse, è necessario possedere modelli matematici molto affidabili. Lo studio del comportamento dinamico di una struttura può essere suddiviso in due distinte attività, conosciute come modellizzazione numerica e test vibrazionali. 1.1 Il metodo agli elementi finiti (E.F.) Il metodo agli elementi finiti è una tecnica di analisi numerica che ha lo scopo di ottenere soluzioni approssimate di una grande varietà di problemi ingegneristici. Il metodo nacque nell ambito dell analisi strutturale e fu largamente sviluppato nell industria aerospaziale durante gli anni 50 e 60. Il metodo agli elementi finiti consiste nella divisione del sistema fisico in piccoli sottogruppi o elementi. Ponendo il campo degli spostamenti relativo ad un certo elemento come la somma 5

7 1 Analisi Dinamica Il metodo agli elementi finiti (E.F.) dei prodotti di opportune funzioni interpolanti (funzioni delle sole variabili spaziali) per gli spostamenti di punti materiali ben determinati detti nodi (tali spostamenti sono funzioni della sola variabile temporale), sostituendo tale sommatoria approssimante nelle espressioni dell energia cinetica e potenziale del sistema continuo ed utilizzando le espressioni ottenute nelle note equazioni di Lagrange, si ottiene un sistema di equazioni differenziali alle derivate ordinarie nella sola variabile temporale, ove le incognite sono rappresentate dagli spostamenti nodali. Effettuando la stessa procedura per ogni diverso elemento del modello E.F., raggruppando in un unico nodo i nodi comuni a più elementi, ed effettuando le opportune trasformazioni di coordinate per passare dagli spostamenti nodali relativi ai riferimenti locali (di ciascun elemento) agli spostamenti nodali relativi al sistema di riferimento globale comune per tutti gli elementi, si giunge al sistema complessivo (nel quale figurano tutti gli spostamenti nodali come funzioni incognite del tempo) di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Per tale sistema esiste una soluzione in forma chiusa, il ché ha reso il metodo E.F. di estrema utilità in campo industriale. Maggiori dettagli sulla dinamica discreta alla base del metodo agli elementi finiti verranno forniti nella prossima sezione. Nel sistema di equazioni differenziali ordinarie rappresentante la dinamica discreta compaiono le cosiddette matrici di massa e rigidezza di dimensione N N, ove N è il numero di gradi di libertà dell intera struttura. La scelta di N è arbitraria ma dovrebbe essere grande abbastanza da minimizzare l errore di discretizzazione. Il modello matematico risultante consiste di un semplice set di equazioni differenziali che potrebbero, o meno, rappresentare accuratamente la struttura reale (continua). Le inaccuratezze che potrebbero essere presenti in un modello agli elementi finiti possono essere suddivise in due categorie: errori inerenti al metodo degli elementi finiti errori introdotti dall analista La prima categoria include gli inevitabili errori derivanti dall utilizzo di tecniche numeriche. L errore più critico di questa categoria è sicuramente quello di discretizzazione derivante dall approssimazione di una struttura continua (con infiniti gradi di libertà) ad una discretizzata mediante un numero finito di gradi di libertà. Il valore di tale errore dipende dalla qualità della mesh e dall efficienza delle funzioni di interpolazione (o di forma) scelte per ciascun elemento. 6

8 1 Analisi Dinamica Analisi della meccanica delle vibrazioni La seconda categoria consiste di quegli errori dovuti alle assunzioni fatte dall analista, come ad esempio: scelta della geometria degli elementi, omissione di dettagli importanti, incertezze riguardanti le condizioni al contorno, etc. Sebbene alcuni di questi errori si manifestano a livello elementale, non influenzando significativamente le proprietà globali della struttura, altri possono intervenire ad un livello spazialmente globale. Dal punto di vista di localizzazione dell errore, queste inaccuratezze globali possono porre maggiori problemi dal momento che, in generale, non ci sono elementi che sono direttamente associati con esse. 1.2 Analisi della meccanica delle vibrazioni Un analisi esatta di sistemi continui porta ad equazioni differenziali alle derivate parziali come funzioni di spazio e tempo, ma per strutture che non siano molto semplici, ottenere una soluzione in forma chiusa è un obiettivo irraggiungibile. In tali casi vengono utilizzate tecniche di analisi approssimate. Queste costituiscono un compromesso alla soluzione analitica esatta e rappresentano la struttura come una collezione finita di coordinate discrete, una per ogni grado di libertà del sistema, ove si definisca N il numero totale di gradi di libertà (DOF). Attualmente, la necessità di migliorare la qualità dei modelli discreti incrementa l importanza dello sviluppo di processi quali il cosiddetto aggiornamento strutturale (model updating) Equazioni del moto A differenza del bilancio di forze relativo ai sistemi continui, la corrispondente equazione del moto per sistemi discreti, tempo-invarianti e conservativi, è espressa come un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine dove la variabile indipendente è soltano il tempo, mentre quella dipendente è rappresentata dagli spostamenti nodali generalizzati (traslazioni e rotazioni) anche indicati come coordinate discrete o lagrangiane: [M]{ẍ(t)}+[K]{x(t)} = {f (t)} (1.1) ove Ewins (1984) classificò le matrici di massa e rigidezza, [M] e [K], come rappresentati il Modello Spaziale del sistema dinamico. 7

9 1 Analisi Dinamica Analisi della meccanica delle vibrazioni L equazione (1.1) comprende N equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Applicando la trasformata di fourier ad entrambi i membri si ottiene: ( ω 2 [M]+[K] ) {X(ω)} = {F (ω)} (1.2) definendo la matrice delle FRF come: [H(ω)] = ( ω 2 [M]+[K]) 1, si ottiene, per il vettore delle risposte (coordinate discrete) nel dominio della frequenza: {X} = [H]{F} (1.3) Ewins (1984) classificò [H] come rappresentate del Modello di Risposta Analisi Modale I parametri modali di un sistema non smorzato consistono in un gruppo di autovalori (frequenze naturali) e di corrispondenti autovettori (forme modali) che possono essere considerati come le frequenze e le deflessioni con le quali il sistema vibrerebbe naturalmente, ossia senza l intervento di forze esterne. Il problema dell identificazione delle forme modali (modi normali) e delle frequenze naturali si risolve, quindi, ponendo {F} = {0}, in modo da ottenere il sistema: ( ω 2 [M]+[K] ) {X} = {0} (1.4) se la generica forma modale è designata con {ψ} r e la corrispondente frequenza naturale con ω r, allora la (1.4) può scriversi come: ( ω 2 r [M]+[K] ) {ψ} r = {0} per r = 1,2,3...N (1.5) Raggruppando tutti gli N modi, il cosiddetto Modello Modale risulta espresso dalle matrici: λ r [Ψ] N N N N ove si è considerato: λ r = ωr 2. I modi normali godono delle note proprietà di ortogonalità rispetto alle matrici di massa e rigidezza: [Ψ] T [M][Ψ] = m r [Ψ] T [K][Ψ] = k r (1.6) 8