Risposta in frequenza

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1 Risposta in frequenza Abbiamo già visto la risposta in frequenza di un sistema del I ordine. La risposta a tempi lunghi è:

2 Risposta in frequenza Richiami di algebra complessa:

3 Risposta in frequenza Ottenere la risposta a tempi lunghi era stato particolarmente tedioso. Ma Valutiamo la funzione di trasferimento per s=iω: Si può provare per qualsiasi sistema lineare fisicamente accettabile

4 Risposta in frequenza Esempi Sistema puramente capacitativo: II ordine

5 Risposta in frequenza Esempi Ritardo: Controllore Proporzionale Controllore Integrale Controllore PI

6 Risposta in frequenza Esempi Controllore Derivativo Controllore PID

7 Risposta in frequenza Diagrammi di Bode: Log (AR/K) e φ su Log ωτ Esempio:

8 NB: Risposta in frequenza

9 Bode Sistema II ordine: Risposta in frequenza

10 Risposta in frequenza Bode Sistema III ordine:

11 Bode PID: Risposta in frequenza

12 Sintesi del controllore con la risposta in frequenza Sollecitiamo il set point con un seno: d G d (s) y s ε G c (s) c G F (s) x G(s) y y m H(s) In uscita a tempi lunghi: Possiamo scegliere la frequenza in modo che il ritardo di fase sia π (ovvero ω co ).

13 Sintesi del controllore con la risposta in frequenza Rimuoviamo il forzamento e chiudiamo il loop: d G d (s) ε G c (s) c G F (s) x G(s) y y m H(s) La sollecitazione si amplifica o si riduce dipendentemente da AR/K: AR/K>1: amplificazione AR/K<1: contrazione

14 Sintesi del controllore con la risposta in frequenza CRITERIO DI BODE: Un sistema a loop chiuso è instabile se la risposta in frequenza della G OL ha una ampiezza maggiore di 1 alla frequenza di crossover, altrimenti è stabile. Il ritardo di fase deve essere monotono decrescente Non sappiamo quanti poli sono instabili

15 Esercizio Risposta in frequenza

16 Configurazione del controllore con la risposta in frequenza Margine di fase e margine di guadagno Supponiamo che la GOL abbia una risposta in frequenza come in figura Alla frequenza di cross-over AR vale A Se A>1 il sistema è instabile: il controllore è stato mal configurato Se A<1 il sistema è stabile

17 Configurazione del controllore con la risposta in frequenza Intuitivamente se A è di poco più piccolo di 1 il sistema è quasi instabile Conviene introdurre un fattore di sicurezza. Conviene regolare il controllore in modo che A disti a sufficienza da 1: MARGINE DI GUADAGNO =1.7

18 Configurazione del controllore con la risposta in frequenza Il margine di guadagno è spesso dato in decibel: Un altro margine frequentemente usato per il design è quello di fase. Si configura il controllore in modo da avere un ritardo di fase sufficientemente lontano da 180. In genere 30 da 180

19 Configurazione del controllore con la risposta in frequenza Esistono dei criteri che soddisfano i margini di fase e di guadagno ed inoltre determinano una adeguata risposta. Ziegler-Nichols (1942) Si diagramma Bode per la G OL senza il controllore Al cross-over si determina AR: nella logica del criterio di Bode siamo sulla soglia della instabilità quando AR=1/A

20 Configurazione del controllore con la risposta in frequenza Ziegler-Nichols (1942) Con i parametri così determinati si entra nelle tabelle Nel caso di controllo proporzionale margine di guadagno 2 Il contributo integrale introduce ritardo di fase a tutte le frequenze quindi kc deve diminuire per mantenere il margine di guadagno Il contributo derivativo genera un anticipo e permette un più grande kc.

21 Configurazione con la risposta in frequenza Ziegler-Nichols (1942) Modifica dei settaggi originali

22 Configurazione del controllore con la sintesi diretta Un modo diverso di configurare il controllore si basa sulla sintesi diretta. Si decide che tipo di risposta si vorrebbe avere e si configura il controllore in modo da soddisfare la richiesta Problema SERVO Risposta desiderata

23 Configurazione del controllore con la sintesi diretta Per l assegnato processo si determina Gc in modo da avere la risposta desiderata: Esempio

24 Configurazione del controllore con la sintesi diretta Esempio Quindi:

25 Modello del processo non esistente metodo della curva di reazione Si identifica la G OL sollecitandola a step nel set-point Stima parametri α: disegnare la tangente nel flesso e misuro l intercetta K: τ:

26 Modello del processo non esistente metodo della curva di reazione Parametri PID

27 Modello del processo non esistente metodo della curva di reazione Parametri PID

28 Modello del processo non esistente metodo della curva di reazione Confronto