Prova scritta di Controlli Automatici e sistemi elettrici lineari

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1 Prova scritta di Controlli Automatici e sistemi elettrici lineari Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA Giugno 24 NOTA BENE: In caso di punteggio inferiore od uguale a /3 nel compito scritto, non sarà possibile ripetere il compito nella stessa sessione. Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere V e quali sono le affermazioni false F. Ad ogni domanda a risposta multipla individuata correttamente sarà attribuito un punto (max 5 punti).. Si consideri il circuito elettrico della seguente figura:. L... i L C i C V V 2 R. i R i Si scriva nello spazio seguente la funzione di trasferimento H(s) corrispondente a tale circuito elettrico, prendendo come ingresso la corrente impressa dal generatore i(t) e come uscita la differenza di potenziale tra le tensioni V (t) = V 2 (t) V (t) ai capi dei componenti elettrici in parallelo. Si ipotizzi i valori inziali dei segnali tutti nulli, insieme alle loro derivate successive. H(s) = V (s) I(s) = s Cs 2 + R s + L In base ai modelli elementari dei circuiti elettrici, che possono essere mostrati come: i L (t) = L t V (τ)dτ, i R (t) = R V (t), i dv (t) C(t) = C dt

2 e trasfromado secondo Laplace tali termini, si ottiene (ipotizzando condizioni inziali tutte nulle): I L (s) = Ls V (s), I R(s) = R V (s), I C(s) = CsV (s) ricombinando algebricamente i termini, e ricordando che I(s) = I L + I R + I C, otteniamo: H(s) = V (s) I(s) = s Cs 2 + R s + L 2

3 2. La Trasformata di Laplace: { df(t) L + dt t } f(τ)dτ considerando che f( ) è il valore della f(t) all istante iniziale, e in base ai teoremi sulla trasformata di Laplace della derivata e integrale di un segnale f(t), nonchè della proprietà di linearità, si può affermare che: V F ( s s) F (s) = F (s) V F ( s f( ) + s) F (s) V F ( s + s) F (s) f( ) La prima risposta è errata in quanto la Trasformata di Laplace è un operatore lineare, per cui trasforma una somma di funzioni in una somma di trasformate, la seconda è errata in quanto il termine f( ) è il valore del segnale al tempo t =, e non deve essere moltiplicato per il segnale traformato F (s). 3. Si consideri il sistema descritto dalla seguente funzione di trasferimento: G(s) = s + 4 s 2 (s + ) V F Il sistema è seplicemente (marginalmente stabile, o Marginally stable). V F Il sistema è asintoticamente stabile (Asymptotically stable). V F Il sistema è instabile ( Unstable). Il sistema ha tre poli, un polo nell origine con molteplicità due p,2 = (origine degli assi del piano di Gauss) e un polo in p 3 =, e uno zero in z = 4. Lo zero non ha influenza sulla stabilità del sistema, il sistema ha un polo multiplo nell origine, per cui è asintoticamente stabile. 4. Si consideri un sistema lineare e tempo invariante caratterizzato da un ingresso u(t) e un uscita y(t) e descritto dalla seguente equazione differenziale d 2 y(t) dt 2 2 dy(t) dt = u(t) si calcoli la funzione di trasferimento ipotizzando condizioni iniziali tutte nulle, e, in base alla analisi dei poli, si indichi se: V F Il sistema è instabile (Unstable), V F Il sistema è semplicemente stabile (marginalmente stabile, o Marginally stable), V F Il sistema è asintoticamente stabile (Asymptotically stable). 3

4 Applicando la trasformata di Laplace alla equazione sopra riportata, si ottiene: da cui si ricava la funzione di trasferimento: (s(s 2))Y (s) = U(s) G(s) = s(s 2) la cui equazione caratteristica ha una radice semplice in zero (un polo in zero) e una radice con parte reale positiva, pari a +2, che corrisponde ad un modo divergente, per cui il sistema è instabile. 5. Sia dato il sistema elementare del primo ordine: G(s) = K p + τs La risposta per t al gradino di ampiezza A del sistema G(s) (cioè l uscita ottenuta applicado come ingresso la funzione gradino unitario alla funzione di trasferimento G(s)) vale: V F AK p ( e + t τ ) V F AK p ( + e + t τ ) V F AK p ( e t τ ) Data la funzione di trasferimento Y (s) = G(s)U(s) con ingresso a gradino di ampiezza A: U(s) = A s si ottiene applicando ad esempio il teorema dei fratti semplici: Y (s) = AK p s( + τs) = AK p ( ) s τ + s da cui, antitrasformando, si ottine che la sola terza risposta è quella corretta. 6. Data la risposta di un sistema dinamico ad un ingresso a gradino, si definisce con il termine di tempo di assestamento al 5%: V F Il tempo in cui l uscita raggiunge il valore nullo. V F Il tempo al quale l uscita entra in modo stabile (senza cioè più uscirne) in una fascia centrata attorno al valor finale di ampizza ±5%. 4

5 V F Il tempo in cui si ha il valore minimo dell uscita del sistema. Il tempo di assestamento t s, è il tempo entro il quale l uscita entra in modo stabile (cioè senza più uscirne) in una fascia centrata attorno al valore finale e di ampiezza % del valore di regime, o, in modo equivalente, un intervallo pari a [95%,5%] del valore finale, senza più uscirne, e quindi solo la seconda risposta è corretta. 7. Si consideri un sistema descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = s 2 + Per tale sistema si costruisca la retroazione unitaria come in figura per cui possiamo andare ad analizzare l errore a regime quando è applicato un ingresso R(s) a gradino con ampiezza A = : R(s) = s R(s) E(s) + - G(s) Y(s) allora valgono le seguenti considerazioni. V F La costante di posizione (Position Constant) del sistema G(s) è pari a. V F L errore di posizione del sistema chiuso in retroazione è pari a e p = 5. V F L errore di posizione del sistema chiuso in retroazione è pari a e p =. Il sistema è di tipo, cioè non ha alcun polo nell origine. Essendo definita la costante di posizione come: K p = lim G(s) = lim s s s 2 + = si ottine che la prima risposta è corretta. Dalla analisi dell errore di posizione si ricava poi che e p = per cui anche la seconda risposta è corretta. A + K p = 5 La terza risposta, essendo in contrasto con la seconda, è chiaramente errata. 5

6 8. Si consideri un sistema lineare e tempo invariante caratterizzato da un ingresso u(t) e un uscita y(t) e descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = s (s + 3) si verifichi la veridicità delle seguenti affermazioni (si approssimi a due decimali i calcoli): V F Se u(t) = sin(4 t) si ottiene y(t) =.8 sin(4 t +.64). V F Se u(t) = sin(4 t) si ottiene y(t) =.8 sin(4 t.64). V F Se u(t) = sin(4 t) si ottiene y(t) =.8 sin(t +.64). Applicando il teorema della risposta armonica, si ottiene che per un ingresso sinusoidale u(t) = A sin(ωt), l uscita vale: y(t) = G(jω) A sin(ωt + arg(g(jω))) essendo G(jω) la funzione di risposta armonica che si ricava dalla funzione di trasferimento applicando il teorema: F (ω) = G(jω) = G(s) s=jω Facendo quindi i conti, si ottine che la prima risposta è corretta, infatti: y(t) = jω jω jω + 3 A sin(ωt + arg( jω + 3 )) e quindi sostituendo a ω = 4 e A =, otteniamo: per cui solo la prima risposta è quella corretta. y(t) = 4 5 sin(4t + (π 2 atan(4 3 ))) Si noti che esaminando le altre due risposte, si poteva immediatamente scartarle, in quanto la seconda ha uno sfasamento negativo, che per un sistema con uno zero in zero e un polo in 3 non è possibile (si tracci il diagramma di Bode per verificarlo), nella terza, la pulsazione del segnale di uscita è diversa dalla pulsazione del segnale di ingresso. 6

7 9. Si consideri l analisi dell errore a regime per un sistema dinamico in retroazione unitaria. R(s) E(s) + - G(s) Y(s) allora valgono le seguenti considerazioni per un ingresso R(s) a gradino con ampiezza A. V F L errore di posizione è nullo se il sistema è di tipo, cioè ha un polo nell origine. V F L errore di posizione è nullo se il guadagno statico (Static Gain) K p del sistema è infinito. V F L errore di posizione è pari a e p = A K p+, essendo il guadagno statico (Static Gain) K p. Tutte e tre le risposte sono vere, come risulta dalla teoria sugli errori a regime. Si consideri il seguente anello di controllo: R(s) Y(s) + C(s) G(s) - per cui definiamo la funzione L(s) = C(s)G(s), detto anche Guadagno di Anello. Il Margine di Ampiezza di L(s) è definito come: V F M a := L(jω f ) db, dove ω f : arg(l(jω f )) = 8 o V F M a := L(jω f ) db, dove ω f : arg(l(jω f )) = 2 o V F M a := 8 o arg(l(jω c )), dove ω c : L(jω c ) db = prima. In base alle definizioni dei margini di fase ed ampiezza, la risposta corretta è la. Si consideri un sistema descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = (s + ) Per tale sistem chiuso in retroazione con un controllore con solo guadagno proporzionale K, possiamo dire che: V F Aumentando il guadagno proporzionale K, il sistema può divenire instabile. 7

8 V F Aumentando il guadagno proporzionale K (fino ad un valore grande a piacere, ma minore di infinito) è possibile annullare l errore a regime con ingresso a gradino, V F Aumentando il guadagno proporzionale, il tempo di assestamento del sistema per un ingresso a gradino aumenta. Il sistema è un sistema del primo ordine. Eseguento un studio del tipo luogo delle radici è immediato verificare che la prima e ultima risposta sono errate. Inoltre, analizzando l errore a regime del sistema, che è di tipo, cioè non ha alcun polo nell origine, si conclude che anche la seconda risposta è errata. 2. Si consideri un sistema descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = s(s + ) e si consideri il progetto di un sistema di controllo in retroazione per G(s). R(s) Y(s) + C(s) G(s) - Allora si posso trarre le seguenti considerazioni per il progetto del controllore C(s) con ingressi di riferimento R(s) a gradino e ingresso a rampa: V F Per annullare l errore a regime con ingresso a rampa occorre introdurre una azione integrale nel sistema di controllo. V F Per annullare l errore a regime con ingresso a gradino occorre introdurre una azione integrale nel sistema di controllo. V F Per annullare l errore a regime con ingresso a gradino occorre introdurre una azione derivativa nel sistema di controllo. Il sistema è del secondo ordine con un polo nell origine, per cui non è necessario introdurre una azione di controllo integrale nel controllore per annullare l errore di posizione, mentre è necessario inserire una azione integrale per annullare l errore di velocità. L azione derivativa non ha effetto sull andamento a regime, in quanto tale effetto si annulla quando i segnali raggiungono un regime stazionario. 3. Si ipotizzi di avere un anello di controllo della corrente di un motore DC (non si trascuri l attrito viscoso), la banda passante dell anello è pari a 2 rad/s. Il regolatore usato è di tipo proporzionale integrale. V F È presente errore a regime con un set point di corrente costante. V F Se il set-point dell anello di corrente è una sinusoide con pulsazione pari a 3 rad/s la corrente del motore risulta fortemente attenuata e sfasata rispetto al set-point. 8

9 V F È possibile variare la banda passante dell anello variando i parametri del regolatore proporzionale-integrale. Se nel modello del motore DC non si trascura il coefficiente di attrito viscoso l introduzione di un polo nell origine (grazie al regolatore PI) permettete di annullare l errore a regime con ingresso a gradino. 4. Si ipotizzi di avere un anello di controllo della velocità di un motore DC realizzato con un regolatore puramente proporzionale (non si trascuri la presenza dell attrito viscoso). V F È presente errore a regime con un ingresso a gradino. V F La presenza di un disturbo di coppia resistente determina una variazione della velocità del motore. V F Variando la costante del regolatore proporzionale non cambia mai la banda passante dell anello di velocità. ) Sebbene con alcuni motori l errore a regime può risultare piccolo, quest ultimo è sempre presente con l uso di un regolatore puramente proporzionale. 2) Con un regolatore puramente proporzionale non c è completa reiezione al disturbo. 3) Variare la costante del regolatore proporzionale determina una variazione della FdT del guadagno di anello e di conseguenza può variare la banda passante del sistema. 5. L anello di controllo della velocità di un motore DC è caratterizzato da un ben determinato margine di fase. Consideriamo per esempio un M F = 5 o. V F Si ipotizzi di cambiare i parametri del regolatore PI ed ottenere un margine di fase pari a o. In questo caso è corretto aspettarsi una risposta del sistema caratterizzata da minore sovraelongazione. V F Seppur conoscendo le FdT di tutti i blocchi del sistema da controllare non è possibile determinare in modo analitico i parametri del regolatore PI al fine di ottenere il margine di fase desiderato. V F Il margine di fase può essere ricavato dal diagramma di Bode della funzione di risposta armonica del guadagno di anello del sistema in retroazione. Il margine di fase può essere determinato sia per via grafica, sia per via analitica. Il margine di fase mi fornisce una delle informazione a riguardo del margine a disposizione dal sistema in retroazione prima di arrivare all instabilità. 9

10 Si svolgano i seguenti esercizi indicando chiaramente i passaggi seguiti per raggiungere la soluzione Esercizio Si tracci il Diagramma di Bode delle Ampiezze e delle Fasi della seguente funzione di trasferimento: G(s) = (s + ) s(s + ) tracciando sul foglio allegato la sola approssimazione per semirette (spezzate). Si richiede di tracciare i grafici dei quattro termini in modo separato e poi, successivamente, riportare il risultato finale in un unico grafico. Si indichi poi nella seguente tabella (approsimando tutti i dati alla seconda cifra decimale): la pulsazione di taglio (o di rottura) sul diagramma delle ampiezze corrispondente allo zero z = ω n = le due pulsazioni sul diagramma delle fasi corrispondenti allo zero z = ω a, ω b = {.2, 4.8 } la pulsazione di taglio sul diagramma delle ampiezze corrispondente al polo p = ω n = le due pulsazioni sul diagramma delle fasi corrispondente al polo p = ω a, ω b = { 2.79, 48. } Il tracciamento dei diagrammi di Bode di ottiene tramite:. Riscrivere la Funzione di trasferimento nella forma con costanti di tempo: G(s) = s + s(s + ) = K τ s + s(τs + ) dove si calcolano gli zeri e i poli del sistema, ottenendo quindi: da cui: p = p 2 =, τ = /p 2 =., ω n = p 2 = z =, τ = /z =, ω n = z = K =. jω + F (ω) =. jω(. jω + )

11 2. Consideriamo quindi i quattro termini elementari in cui si può pensare scomponibile la funzione di risposta armonica F (ω): (a) K =., che espresso in Decibel vale 2Log. = 4 db. (b) jω, che corrisponde ad un polo nell origine. (c) ( jω +), il cui diagramma di bode nelle ampiezze ha il punto di rottura in corrispondenza di ω n = z = = (in scala logaritmica), mentre il diagramma delle fasi ha i due punti ω a = (4.8) =.2 e ω b = 4.8. Dopo il punto di rottura, il diagramma continua con una variazione del diagramma delle ampiezze complessivo di +2 db/decade. (d) (. jω+), il cui diagramma di bode nelle ampiezze ha il punto di rottura in corrispondenza di ω n = p 2 = = 2 (in scala logaritmica), mentre il diagramma delle fasi ha i due punti ω a = (4.8) = 2.79 e ω b = 4.8 = 48.. Dopo il punto di rottura, il diagramma continua con una variazione del diagramma delle ampiezze complessivo di 2 db/decade. Il Diagramma complessivo si ottine combinando i quattro termini sopra analizzati. Esercizio 2 Realizzare un anello di controllo della corrente di un motore DC a magneti permanenti utilizzando un regolatore proporzionale-integrale (PI), R(s) = K P + K I /s. Lo schema in retroazione riporta la funzione di trasferimento (FdT) dell amplificatore di potenza A(s), la FdT del motore G I (s) = I a (s)/v a(s) e la FdT del sensore di corrente ( H r (s)). La FdT del motore I a (s)/v a(s) scritta in funzione delle costanti di tempo dei poli e degli zeri del sistema viene di seguito riportata: ( + sτ z ) G I (s) = K ( + sτ p )( + sτ p2 ) ()

12 con K = 856 6, τ p = 53ms, τ p2 = 3.8ms, τ z = 3s (N.B.: il punto indica la virgola). La FdT dell amplificatore di potenza vale A(s) = 5, mentre la FdT del sensore di velocità vale H r (s) = /5. ) Dimensionare il regolatore PI per ottenere una banda passante per l anello di corrente pari a B i = rad/s (utilizzare la compensazione polo-zero). 2) Calcolare il margine di fase dell anello di corrente così realizzato. La FdT del guadagno di anello del sistema in retroazione è: G (s) = R(s)A(s)G I (s)h r (s) (2) La FdT del regolatore R(s) la indico in questo modo: R(s) = K i(+sτ P I ) s, con τ P I = K P /K I. La FdT A(s)G I (s)h r (s) ha due poli a parte reale negativa: p=-8.86 e p2= e uno zero z=-/3. Lo zero del regolare PI viene scelto per annullare il polo più lento della FdT del sistema da controllare. Questo implica che la costante di tempo dello zero del regolare PI (τ P I ) è uguale a τ p = p. Dopo questa cancellazione polo-zero la FdT del guadagno di anello risulta: G (s) = K IK( + sτ Z ) s( + sτ p2 ) Occorre imporre una banda passante pari a B i = rad/s. analitico. La funzione di risposta armonica del guadagno di anello è G (jω): Occorre soddisfare la seguente richiesta: G (jω) = K IK( + jωτ Z jω( + jωτ p2 ) (3) Soluzione con metodo (4) G (j) = (5) Svolgendo i calcoli si determina K I =35.3. Siccome τ P I = Kp K I si determina K p =.87. Il margine di fase del controllo in retroazione vale: M F = 8 o + arg(g (j)). Svolgendo i calcoli si determina M F = 4.7 o. 2

13 Esercizio 3 Dato un sistema la cui Funzione di Trasferimento pari a: G(s) = s + s + 2 e uno schema di controllo in retroazione come in figura: R(s) Y(s) + C(s) G(s) - si progetti il controllore C(s) utilizzando il luogo delle radici tale che:. Errore a regime nullo per l ingresso R(s) a gradino unitario. 2. Tempo di assestamento t a minore ad un secondo. 3. Massimo sorpasso percentuale nullo. Nella soluzione si tracci due diagrammi del luogo delle radici:. il luogo delle radici del sistema G(s) originario. 2. il luogo della serie composta dal controllore C(s) e il sistema G(s). Suggerimento: il guadagno del controllore K che soddisfa la specifica su t a può essere determinato per tentativi, sostituendo alla equazione caratteristica alcuni valori per tentativi per verificare il soddisfacimento della specifica. Per ottenere errore a regime nullo, occorre inserire un controllore integrale, del tipo: C(s) = K s Il sistema complessivo chiuso in retroazione è calcolabile come: H(s) = C(s)G(s) + C(s)G(s) = K(s+) s(s+2) + K(s+) s(s+2) = K(s + ) s 2 + s(2 + K) + K per ottenere il soddisfacimento delle specifiche sul tempo di assestamento e il massimo sorpasso percentuale, occorre che i poli abbiamo:. t a < 3 ζω n, essendo ζ il coefficiente di smorzamento e ω n la pulsazione caratteristica. Il prodotto di questi due valori è pari al modulo della parte reale dei poli, per cui ζω n > 3 t a = 3 2. parte immaginaria dei poli nulla. 3

14 Dalla analisi del luogo delle radici del sistema G(s) e del sistema C(s)G(s): 4

15 si nota che il luogo delle radici con il controllore scelto non diventa mai immaginario. In particolare,la radice in zero (polo nell origine) tende a sovrapporti allo zero in - per K che tende all infinito. Quindi per risolvere il problema occorre scegliere un K sufficientemente grande da fare si che la radice in modulo più piccola sia superiore (in modulo) a al valore 3. Ad esempio, ponendo K = 2, otteniamo che il sistema chiuso in retroazione ha polinomio caratteristico pari a p(s) = s s + 2 con radici p = 34.4 e p 2 = 5.86, che soddisfano le specifiche. Occorre sottolineare che altre soluzioni per K che soddisfi la specifica, sono ugualmente accettabili. 5

16 4 Bode Diagram 2 Magnitude (db) Bode Diagram Magnitude (db) Bode Diagram Magnitude (db) Bode Diagram Magnitude (db) Bode Diagram Magnitude (db)

17 9 Bode Diagram 45 Phase (deg) Bode Diagram Phase (deg) Bode Diagram Phase (deg) Bode Diagram Phase (deg) Bode Diagram Phase (deg)