RH σ = RH (Jx / Ex) = 1/ q n (q n v μ / v) = μ (1.2) RH = VH s / (Ix B) (1.3)

Transcript

1 Università degli Studi di Udine Piano Nazionale Lauree Scientifiche Progetto IDIFO5 Scuola Nazionale di Fisica Moderna per Insegnanti SNFMI Università di Udine, 8-12 settembre 2014 Misura del Coefficiente di Hall Mario Gervasio e Marisa Michelini Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell Università di Udine Obiettivi: Misurare il coefficiente di Hall su campioni metallici ed a semiconduttore. Determinare il segno ed il numero dei portatori liberi e la mobilità di deriva degli stessi. Il modello classico (a gas di elettroni liberi) considera gli elettroni di valenza come un gas di particelle che si muovono in maniera disordinata all interno del reticolo cristallino del metallo. Prendiamo in considerazione un campione (uno strato di materiale di forma parallelepipeda) come indicato in Figura 1, immerso in un campo magnetico uniforme di intensità B e diretto secondo l asse z. Si fa passare una corrente di intensità Ix diretta lungo l asse delle x. Gli elettroni, sotto l effetto del campo elettrico Ex, acquistano una velocità di deriva v nel verso contrario al campo elettrico. Essi risultano pertanto sottoposti alla forza di Lorentz FL = q v B diretta lungo l asse delle y negative e tendono quindi ad accumularsi sulla faccia del campione perpendicolare all asse y e posta verso chi guarda la figura. Questo accumulo di cariche determina una differenza di potenziale VH tra le due facce del campione perpendicolari all asse y. Il campo elettrico EH che si viene a generare (campo di Hall) determina una forza elettrica q EH uguale ed opposta alla forza di Lorentz nei termini che EH = v B dalla quale si evidenzia che il campo di Hall è direttamente proporzionale sia al campo magnetico B che alla velocità di deriva v. Si definisce il coefficiente di Hall come RH = EH /(Jx B) dove EH = v B. Ricordando che Jx = Ix / a s = q n v si ottiene RH = v B / (q n v B) = 1/ q n = - 1/ e n (1.1) quindi la misura di RH ci permette di conoscere la concentrazione n dei portatori liberi. La misura della conducibilità elettrica σ, associata alla misura di RH ci permette inoltre di conoscere la mobilità di deriva μ, definita come rapporto tra la velocità di deriva v ed il campo elettrico Ex RH σ = RH (Jx / Ex) = 1/ q n (q n v μ / v) = μ (1.2) Per effettuare la misura del coefficiente di Hall è necessario misurare VH, Ix, B e lo spessore del campione s, in quanto RH = EH / (Jx B) dove EH = VH / a e Jx = Ix / a s e pertanto RH = VH s / (Ix B) (1.3) Apparato di misura M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-1

2 L apparato di misura è composto da una parte per la generazione e la misura del campo magnetico e da una seconda parte per la misura della tensione di Hall. La corrente iniettata nel campione causa una caduta di potenziale ohmica longitudinalmente al campione. Se l allineamento su di una linea equipotenziale dei contatti trasversali del voltmetro e` imperfetto, compare una differenza di potenziale che si sovrappone alla ddp di Hall e che va eliminata. L azzeramento preliminare di questa ddp va fatta facendo scorrere una corrente prossima al valore massimo tenendo il campione in un luogo a campo magnetico nullo. A tal fine e` consigliabile estrarre il campione dal magnete, poiche qui, a causa della magnetizzazione residua, c e` campo anche senza corrente. Per trovare il segno dei portatori e` necessario conoscere il verso della corrente lungo il campione e il verso del campo magnetico tra le espansioni polari. Per la corrente basta controllare la corrispondenza tra i teminali del generatore di corrente e quelli del campione. Per il campo magnetico usiamo una bussola (attenzione a non avvicinarsi troppo, altrimenti il magnete inverte la magnetizzazione della bussola). Useremo il segno cosi determinato assieme al valore assoluto del potenziale di Hall. M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-2

3 M i s u r a d i c a m p i o n i m e t a l l i c i L ordine di grandezza di RH per i metalli più comuni è dell ordine di m 3 C -1 ed è chiaro che per avere valori di VH misurabili occorrerà utilizzare un campo magnetico sufficientemente intenso (un valore facilmente ottenibile è di 1 Tesla), una corrente elevata (almeno 10 A) ed uno spessore del campione ridotto a qualche centesimo di millimetro. Dalla relazione (1.3) si evince che, anche con spessori del campione di qualche micron, la tensione di Hall VH risulterà dell ordine di pochi microvolt e sarà quindi necessario l utilizzo di un amplificatore con guadagno almeno ed una altissima impedenza di ingresso. Per la misura del campo magnetico B viene utilizzata una sonda ad induzione collegata ad un integratore di carica. E D M F H A H B I I L C G Per la generazione e misura del campo magnetico sono necessari: A elettromagnete B alimentatore doppio 15 V - 3A C amperometro (fondo scale 10A) D sonda ad induzione E integratore di corrente per la misura del campo B F voltmetro da utilizzare con l integratore (fondo scala 10V - collegamento giallo / blu). Per la misura della tensione di Hall: G campione del materiale da studiare H 2 alimentatori da 5A per la polarizzazione del campione (totale 10A) I 2 diodi di potenza per il collegamento in parallelo degli alimentatori da 5A L amperometro per la misura della corrente iniettata nel campione (fondo scala 10A) M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-3

4 B(T) M F amplificatore differenziale di d.d.p. (guadagno 1120) per la misura della tensione di Hall voltmetro da usare con l amplificatore (fondo scala 20 mv - collegamento rosso / nero). Uso dell amplificatore differenziale e dell integratore di carica. Entrambi i circuiti sono montati in uno stesso contenitore. Il circuito elettrico viene descritto nella Appendice A. Amplificatore differenziale Nella parte di destra sono dislocate le boccole per collegare i campioni di rame o zinco all amplificatore differenziale (In). Vi sono inoltre le due boccole (Out) per collegare il voltmetro esterno per la misura della d.d.p. di Hall amplificata ed il potenziometro multigiri per la regolazione di offset. In assenza di corrente iniettata nel campione, con campo magnetico acceso e con il campione inserito tra le espansioni polari, si agisce sul potenziometro multigiri (Appendice A - Fig.1 - potenziometro P 1 ) fino ad ottenere all uscita dell amplificatore una tensione di 0 mv. Integratore di carica Nella parte sinistra del pannello frontale sono dislocate le boccole da utilizzare per il collegamento della sonda ad induzione, il pulsante di reset per la scarica del condensatore prima della estrazione della bobina dal tra ferro (Appendice A - Fig.2 - pulsante I), le due boccole per il collegamento del voltmetro esterno ed il potenziometro multigiri per la minimizzazione della deriva del segnale d uscita dell integratore (Appendice A - Fig.2 - potenziometro P 1 ). Per ridurre al minimo la deriva del segnale è necessario, con la bobina fuori dal campo magnetico, agire sul potenziometro multigiri in senso orario o antiorario fino a che si trova la posizione in cui la tensione di uscita non cala e non cresce nel tempo. Abbiamo innanzitutto misurato il campo magnetico in funzione della corrente nella bobina, ottenendo i risultati seguenti: B = RC / (NS) Vo = 1/3 Vo B vs I mag 1,1 I mag Vo B ( A ) ( V ) ( T ) 1,00 1,89 0,63 1,50 2,40 0,80 2,00 2,70 0,90 2,48 2,88 0,96 3,00 3,00 1,00 y = 0,0309x 3-0,2716x 2 + 0,8699x + 0, ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 I(A) M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-4

5 yensione di Hall (V) R i s u l t a t i o t t e n u t i Per un campione di Rame di spessore 16 μm, sottoposto ad un campo magnetico di 0,98 T, si sono ottenuti i seguenti risultati: Effetto Hall - rame 0,00E+00 0,00-2,00E-06 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00-4,00E-06-6,00E-06-8,00E-06 y = -1,90E-06x + 3,53E-07-1,00E-05-1,20E-05-1,40E-05-1,60E-05-1,80E-05-2,00E-05 corrente (A) Figura 2: tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,98T. L interpolazione lineare dei dati ottenuti fornisce RH = - 5, m 3 / C 11 3 In letteratura si trova R H 5,5 10 m / C. Lo scostamento da questo valore è dovuto principalmente alla incertezza data dagli errori sullo spessore del campione e sul valore di B. Dalla 1.1 si ricava che la concentrazione degli elettroni liberi n, col valore da noi ottenuto per RH è: n = 1/( e RH ) = 1 / (1, , ) = 10, m -3 Il confronto di questo risultato con il valore della previsione teorica (n 8, m -3 ) conferma che entro un margine di errore del 22 % la prova sperimentale conferma le previsioni del modello a gas di elettroni liberi. Le previsioni del modello a gas di elettroni liberi trovano conferma sperimentale per la tutti i metalli del gruppo I della tabella di Mendeleev, ma non, ad esempio, per quelli del gruppo II. Questi metalli hanno addirittura un valore di RH positivo come se i portatori liberi non fossero elettroni ma cariche positive. I risultati ottenuti per un campione di Zinco di spessore 30 μm, sottoposto ad un campo magnetico di 0,99 T, sono evidenziati nella Figura 3. M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-5

6 tensione di Hall (V) Effetto Hall - zinco 3,50E-05 3,00E-05 2,50E-05 2,00E-05 y = 3,06E-06x - 6,14E-07 1,50E-05 1,00E-05 5,00E-06 0,00E corrente (A) Figura 3: tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,99T. Per poter spiegare queste anomalie occorre introdurre nuovi concetti, come la teoria delle bande di energia per gli elettroni. Il segno positivo di RH per questi metalli si spiega in quanto per essi la banda di valenza risulta essere quasi piena. L agitazione termica porta alcuni elettroni ad occupare i livelli più alti di tale banda e quindi in essa rimangono presenti livelli energetici non occupati, ossia delle lacune che, sottoposte all azione del campo elettrico E si muovono, intuitivamente, nel verso del campo elettrico stesso come fossero cariche positive. M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-6

7 M i s u r a d i c a m p i o n i s e m i c o n d u t t o r i E D M F A I B L C G H Per la generazione e misura del campo magnetico sono necessari: A elettromagnete B alimentatore doppio < 15 V - 1,5A > / < 15 V - 1,5 A > C amperometro (fondo scale 10A) D sonda ad induzione E integratore di corrente per la misura del campo B F voltmetro da utilizzare con l integratore (fondo scala 2V - collegamento giallo / blu). Per la misura della tensione di Hall G campione del materiale da studiare H basetta di collegamento I generatore di corrente costante (dev. HIGH R / LOW R su LOW R) L amperometro per la misura della corrente iniettata nel campione (fondo scala 200 ma) F voltmetro per la misura della tensione di Hall (fondo scala 200 mv - collegamento rosso / nero). M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-7

8 B (T) Il coefficiente di Hall dei semiconduttori è di molti ordini di grandezza inferiore a quello dei metalli, dato il numero nettamente inferiore dei portatori liberi. L esperimento richiede correnti di polarizzazione dei campioni dell ordine dei ma per ottenere tensioni di Hall già dell ordine dei mv, misurabili direttamente con lo strumento senza la necessità di interporre l amplificatore differenziale. I campioni di semiconduttore, predisposti per l esperimento, terminano con un cavo di collegamento a 5 fili di colore diverso che andranno collegati sulla basetta alle boccole di identico colore. Sulla basetta di collegamento è presente un potenziometro che viene utilizzato per azzerare la d.d.p. fra i contatti laterali provocata dalla corrente iniettata nel campione. Per fare questo è necessario estrarre il campione dal tra ferro (assenza di campo magnetico), far circolare la massima corrente iniettata nel campione ed in queste condizioni regolare il potenziometro fino ad ottenere una lettura zero sul millivoltmetro utilizzato per la lettura della tensione di Hall. Per i campioni di semiconduttore, piu spessi di quelli metallici, si e` dovuto allargare il tra ferro del magnete. Abbiamo quindi ripetuto la misura del campo magnetico in funzione della corrente nella bobina del magnete, ottenendo i seguenti valori: B = RC / (NS) Vo = 1/3 Vo I mag Vo B ( A ) ( V ) ( T ) 1,22 1,19 0,397 1,27 1,23 0,410 1,32 1,25 0,417 1,37 1,28 0,427 1,43 1,32 0,440 1,49 1,36 0,453 1,52 1,38 0,460 1,55 1,39 0,463 B vs I 0,470 y = 0,2038x + 0,1488 0,460 0,450 0,440 0,430 0,420 0,410 0,400 0,390 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 I (A) Anche per i semiconduttori i risultati sperimentali evidenziano il fatto che il segno della tensione di Hall non è sempre negativo e questo naturalmente mette in discussione il modello a gas di elettroni liberi. Vi è inoltre una osservazione da fare e riguarda la deviazione dalla linearità che si riscontra per i valori più elevati della corrente di polarizzazione. Ciò è dovuto al fatto che RH diminuisce al crescere della temperatura ed addirittura, nel semiconduttore di Ge drogato P, si riscontra l inversione del segno della tensione di Hall qualora si riscaldi con un phon il campione mentre si trova tra le espansioni polari del magnete. Le prove su un campione di GeP sono state effettuate introducendo il campione nel campo magnetico prima in un senso e poi ruotato di 180 (ciò equivale ad invertire la direzione di B). M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-8

9 tensione di Hall (mv) tensione di Hall (V In un secondo tempo si è fatta la media delle due letture (in modulo) e questo per annullare totalmente l effetto della d.d.p. dovuta al non perfetto allineamento dei contatti trasversali del campione su una linea equipotenziale. Risultati ottenuti In Figura 4 sono riportati i risultati ottenuti nelle due serie di letture ed in Figura 5 la media delle misure effettuate B Effetto Hall - Germanio P d i r e t t o Figura 4: tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B=0,427 T B i n v e r t i t o corrente (ma) Effetto Hall - Germanio P y = 2,15E+01x + 1,00E corrente (ma) Figura 5: valore medio, sulle misure precedentemente effettuate, della tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,427 T. Dal fit del grafico otteniamo per R H il seguente valore: RH = VH s / (Ix B) = (VH / Ix) s /B = 3, m 3 / C Misurando anche la resistenza elettrica del campione, le sue dimensioni e calcolandone quindi la resistività si può anche calcolare la mobilità di Hall (per questo campione ρ=15 Ω cm): M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-9

10 tensione di Hall (mv μ H = RH / ρ = 0,201 m 2 V -1 s -1 La mobilità di Hall, per campioni di Ge fortemente drogati, deve risultare circa uguale alla mobilità di deriva (3900 cm 2 V -1 s -1 per gli elettroni e 1900 cm 2 V -1 s -1 per le lacune) La concentrazione dei portatori liberi (nel nostro caso lacune) risulta p = 2, m -3 I risultati ottenuti per un campione di GeN dello spessore di 1,65 mm sottoposto ad un campo magnetico di 0,46 T sono riportati in Figura 5. Effetto Hall - germanio N y = -9,05E-01x - 4,95E corrente (ma) Figura 5: tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,46 T. Dal fit del grafico otteniamo per R H il seguente valore: RH = VH s / (Ix B) = (VH / Ix) s /B = - 3, m 3 / C M. Gervasio, M. Michelini Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell attività sperimentale SNFMI 2014 R7-10