CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA ANDREA SCAPELLATO
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- Oliviero Nanni
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1 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA ANDREA SCAPELLATO In queste note illustriamo alcuni elementi di probabilità discreta. Si sottolinea che non si ha alcuna pretesa di completezza: quanto qui riportato rappresenta unicamente un indice degli argomenti trattati a lezione. Per la realizzazione di queste note si è fatto riferimento principalmente a [1], dove è possibile reperire molti dettagli e risultati interessanti. Per ulteriori approfondimenti e curiosità si può fare riferimento (anche) agli altri testi indicati nei Riferimenti Bibliografici. 1. Definizione di probabilità Con la dicitura esperimento aleatorio indicheremo un osservazione relativa ad un qualunque fenomeno (fisico, economico, sociale,...) il cui esito non sia determinabile con certezza a priori. Il nostro obiettivo è di fornire una descrizione matematica di un esperimento aleatorio, definendo un modello probabilistico. Il primo passo consiste nell identificare un insieme Ω, detto spazio campionario, che contiene tutti gli esiti possibili dell esperimento. Ad esempio, per il lancio di un dado ordinario a sei facce, lo spazio campionario naturale è Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il secondo elemento di un modello probabilistico è costituito dagli eventi, intesi informalmente come affermazioni sull esito di un esperimento aleatorio. Matematicamente, gli eventi sono descritti da opportuni sottoinsiemi dello spazio campionario Ω: ogni affermazione è identificata con il sottoinsieme di Ω costituito da tutti e soli gli esiti dell esperimento per cui l affermazione si verifica. Sempre nel caso del lancio di un dado ordinario a sei facce, A = Esce un numero pari = {2, 4, 6}, è un evento. Quando non c è alcun esito che verifica l affermazione, l evento è detto impossibile ed è identificato con l insieme vuoto. Di contro, un affermazione che è vera qualunque sia l esito dell esperimento corrisponde all evento certo, dato dall intero insieme Ω. Si noti che le operazioni logiche di congiunzione, disgiunzione e negazione di affermazioni corrispondono all intersezione, unione e complementare di insiemi: si verifica sia A che B A B, si verifica almeno uno tra A e B A B, non si verifica A A c. Il terzo e ultimo ingrediente di un modello probabilistico, il più importante, è l assegnazione di un grado di fiducia, o probabilità, agli eventi di un esperimento aleatorio. Matematicamente, una probabilità viene descritta da una applicazione P che a ogni evento A Ω assegna un numero P (A) [0, 1]. Talvolta la probabilità di un evento viene espressa come percentuale, scrivendo 50% invece di 1 2, 10% invece di 0.1, e così via. Che significato concreto dare al grado di fiducia P (A)? Se l esperimento aleatorio può essere ripetuto un numero elevato N 1 di volte in condizioni analoghe e indipendenti, è possibile (almeno in linea di principio) contare il numero di volte S N (A) {0,..., N} in cui l evento A si verifica. In questo caso è naturale interpretare P (A) come la frazione di volte in cui l evento A si verifica, ossia P (A) S N (A) S N (idealmente P (A) = lim N (A) N + N ). Questa è la celebre interpretazione frequentista della probabilità. Sottolineiamo tuttavia che non si tratta di una definizione operativa: innanzitutto, non tutti gli esperimenti aleatori possono essere ripetuti in condizioni analoghe e indipendenti. Inoltre, anche quando è possibile farlo, niente garantisce a priori che il rapporto S N (A) N converga verso un limite e, se anche ciò avvenisse, non è chiaro quanto N debba essere grande perché l approssimazione P (A) S N (A) N 1
2 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 2 sia buona. Tuttavia, pur con le dovute cautele, suggeriamo di tenere sempre a mente l interpretazione frequentista per dare contenuto intuitivo ai risultati che incontreremo. Senza addentrarci in questioni tecniche, segnaliamo che nonostante la scelta del modello probabilistico per un esperimento aleatorio può dipendere da considerazioni extra-matematiche, una volta scelto il modello, il suo studio è un problema genuinamente matematico. Poniamo la seguente fondamentale definizione: Definizione 1.1 (Assiomi della probabilità). Sia Ω un insieme (non vuoto) finito o numerabile e sia P(Ω) la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Una funzione P : P(Ω) [0, 1] si dice probabilità se valgono le seguenti proprietà: (P1) P (Ω) = 1, (P2) (σ-additività). Per ogni successione (A n ) n N di sottoinsiemi di Ω disgiunti (ossia A i A j = per i j) si ha ( + ) + P A n = P (A n ). n=1 n=1 La coppia (Ω, P ) è detta spazio di probabilità discreto. campionario e i suoi sottoinsiemi sono chiamati eventi. L insieme Ω è detto spazio L interpretazione di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ) è la seguente: l insieme Ω contiene tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio e, per ogni sottoinsieme A Ω, il numero P (A) [0, 1] esprime il grado di fiducia che si attribuisce all eventualità che l esito dell esperimento sia un elemento di A. La proprietà (P1) esprime il fatto che l intero spazio campionario è un evento certo. Dalla Definizione 1.1, si deduce facilmente la proposizione seguente: Proposizione 1.2. Sia (Ω, P ) uno spazio di probabilità discreto. Allora: (a) P ( ) = 0, (b) (Additività finita). Se A 1,..., A k è una famiglia finita di eventi disgiunti (ossia A i A j = per i j), allora ( k ) k P A n = P (A n ). (1) n=1 n=1 Dimostrazione. Dimostriamo separatamente le due affermazioni. (a) Sia x := P ( ) [0, 1] e i definisca A n = per ogni n N. Chiaramente (A n ) n N è una successione di sottoinsiemi disgiunti di Ω. Allora, per l Assioma (P2) e per il fatto che + n=1 A n =, si ha ( + ) + + x = P ( ) = P A n = P (A n ) = x. n=1 Tale identità è possibile se e solo se x = 0 (perché + n=1 x = + se x > 0). (b) Prolunghiamo la famiglia di eventi disgiunti A 1, A 2,..., A k ad una successione infinita di eventi disgiunti, ponendo A n := per ogni n k + 1. Allora k j=1 A j = + j=1 A j. Per l Assioma (P2) e per quanto provato in (a), si ha: + + k P (A 1 A 2... A k ) = P = P (A j ) = P (A j ), j=1 A j n=1 j=1 n=1 j=1
3 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 3 che è quanto volevamo dimostrare. Per la Proposizione 1.2, l insieme vuoto è l evento impossibile. Osservazione 1.3. Se k = 2 la (1) diventa P (A B) = P (A) + P (B), A, B Ω, A B =. Esempio 1.4 (Probabilità uniforme). Sia Ω un insieme finito non vuoto. Definiamo per ogni A Ω P (A) := A Ω, dove indica il numero di elementi di un insieme. Quindi P (A) è, per definizione, il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi dell evento A ed il numero di casi possibili. Si può provare che P soddisfa (P1) e (P2) della Definizione 1.1, quindi P è una probabilità, detta uniforme su Ω. Lo spazio (Ω, P ) è detto spazio di probabilità uniforme. Esso è il modello probabilistico adeguato a descrivere gli esperimenti aleatori in cui tutti gli esiti si possono ritenere equiprobabili (per esempio, per ragioni di simmetria). Casi tipici: lancio di un dado o di una moneta regolari, estrazione di un numero in una ruota del lotto,.... Esponiamo adesso alcune conseguenze fondamentali degli assiomi (P1) e (P2) che per comodità riuniamo in un unica proposizione. Proposizione 1.5. Sia (Ω, P ) uno spazio di probabilità discreto. (i) Per ogni A, B Ω tali che A B, si ha P (B \ A) = P (B) P (A), di conseguenza P (A) P (B). In particolare, per ogni A Ω, denotato con A c il complementare dell insieme A in Ω (ossia l evento contrario di A), si ha (ii) Per ogni A, B Ω, si ha di conseguenza P (A c ) = 1 P (A). P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), P (A B) P (A) + P (B). Dimostrazione. Dimostriamo separatamente le due affermazioni. (i) Se A B si può scrivere B = A (B \ A) e tale unione è disgiunta. Quindi, per l additività di P, P (B) = P (A (B \ A)) = P (A) + P (B \ A), ossia P (B \ A) = P (B) P (A). Dato che la probabilità di qualsiasi evento è un numero non negativo, segue P (A) P (B). (ii) Per ogni scelta di A, B Ω si ha B \ A = B \ (A B). Dato che (A B) B, per il punto precedente P (B\A) = P (B) P (A B). Infine, notando che A B = A (B\A) e tale unione è disgiunta, per l additività di P si ottiene P (A B) = P (A) + P (B \ A) = P (A) + P (B) P (A B), e la dimostrazione è conclusa.
4 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 4 2. Probabilità condizionata Consideriamo un evento A di un esperimento aleatorio, che abbia probabilità P (A). Se veniamo a conoscenza del fatto che un altro evento B si è verificato, come è sensato aggiornare il valore di P (A) per tenere conto di questa informazione? La risposta è la probabilità condizionata P (A B) di A sapendo B, che definiremo tra un momento. Per motivare e indovinare la definizione, consideriamo per un istante all interpretazione frequentista. Supponiamo di poter ripetere N 1 volte l esperimento aleatorio in condizioni analoghe e indipendenti. Se S N (A) è il numero di volte in cui l evento A si verifica, si ha P (A) S N (A) N. Per tenere conto dell informazione aggiuntiva che l evento B si è verificato, è naturale limitarsi a considerare le volte in cui l esperimento ha dato esito in B, che sono in numero S N (B), e contare in quante di queste volte anche A si è verificato, ossia S N (A B). Definendo la probabilità condizionale P (A B) come il rapporto di tali numeri, per N grande si ottiene P (A B) S N(A B) S N (B) = S N (A B) N S N (B) N P (A B). P (B) Queste considerazioni euristiche motivano la seguente definizione. Definizione 2.1 (Probabilità condizionata). Siano A e B due eventi di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ), con P (B) > 0. Si dice probabilità condizionata di A dato B (o sapendo B, o rispetto a B, o supposto B) la quantità Si può provare la seguente proposizione: P (A B) = P (A B). P (B) Proposizione 2.2. Sia B un evento fissato di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ), con P (B) > 0. La funzione P ( B), ossia è una probabilità su Ω. P(Ω) [0, 1] A P (A B), Sottolineiamo che, fissato un evento A, la funzione B P (A B) non è una probabilità (ad esempio, non è nemmeno definita per B = ). La probabilità condizionata permette di esprimere in modo ricorsivo la probabilità dell intersezione di n eventi: Proposizione 2.3 (Regola della catena). Per n N, n 2 siano A 1,..., A n eventi tali che P (A 1... A n 1 ) > 0. Allora ( n ) P A i i=1 = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 )...P (A n A 1... A n 1 ) = P (A 1 ) n P (A i A 1... A i 1 ). i=2
5 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 5 La dimostrazione della regola della catena è una facile applicazione del principio di induzione ed è lasciata al lettore per esercizio. La seguente proposizione è di fondamentale importanza nelle applicazioni: Proposizione 2.4 (Formula di disintegrazione e delle probabilità totali). Sia (Ω, P ) uno spazio di probabilità discreto e sia (B i ) i I una partizione finita o numerabile di Ω, ossia I N, B i B j = per ogni i j e i I B i = Ω. Per ogni evento A vale la formula di disintegrazione: P (A) = i I P (A B i ). Se inoltre P (B i ) > 0 per ogni i I, vale la formula delle probabilità totali: P (A) = i I P (A B i )P (B i ). In particolare, per ogni coppia di eventi A, B, con 0 < P (B) < 1, si ha P (A) = P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) = P (A B)P (B) + P (A B c )(1 P (B)). Dimostrazione. Per ipotesi Ω = i I B i, pertanto ( ) A = A Ω = A B i = i I(A B i ). Dato che gli eventi (B i ) i I sono disgiunti, anche gli eventi (A B i ) i I lo sono. I N, per la σ additività di P si ha P (A) = i I i I P (A B i ). Dato che Infine, se P (B i ) > 0, possiamo scrivere P (A B i ) = P (A B i )P (B i ) per definizione di probabilità condizionata. Segnaliamo, infine, il seguente classico risultato: Teorema 2.5 (Formula di Bayes). Se A e B sono eventi di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ), con P (A) > 0 e P (B) > 0, allora vale la formula di Bayes: P (B A) = P (A B)P (B). (2) P (A) Dimostrazione. La formula di Bayes (2) è equivalente a P (B A)P (A) = P (A B)P (B), che è vera in quanto, per definizione di probabilità condizionata, entrambi i membri sono uguali a P (A B). Osservazione 2.6. Le ipotesi P (A) > 0 e P (B) > 0 garantiscono che le probabilità condizionate P (A B) e P (B A) sono definite. Osservazione 2.7. Nell ipotesi che 0 < P (B) < 1, usando la formula delle probabilità totali, la formula di Bayes può essere scritta nella forma
6 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 6 P (B A) = P (A B)P (B) P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ). (3) Analogamente, se (B i ) i I è una famiglia di eventi finita o numerabile verificante le ipotesi della Proposizione 2.4, per ogni i I si ha P (B i A) = P (A B i)p (B i ) P (A) = P (A B i )P (B i ) j I P (A B j)p (B j ). (4) Le versioni (3) e (4) della formula di Bayes sono quelle che più spesso capita di usare negli esercizi. 3. Indipendenza stocastica Abbiamo visto che la probabilità condizionata P (A B) rappresenta la probabilità di verificarsi dell evento A sotto la condizione del verificarsi dell evento B. Tuttavia, potrebbe succedere che il verificarsi dell evento B non modifichi la probabilità del verificarsi dell evento A, ossia P (A B) = P (A). (5) Usando la definizione di probabilità condizionata si vede subito che la relazione (5) equivale a P (A B) = P (A)P (B). (6) L identità (6), rispetto alla (5), presenta due vantaggi: innanzitutto è simmetrica in A e B e, inoltre, è definita e banalmente vera anche quando P (B) = 0. Per tutte queste ragioni, la (6) viene scelta per caratterizzare la nozione di indipendenza stocastica. Definizione 3.1 (Indipendenza stocastica di due eventi). Due eventi A e B di uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ) si dicono stocasticamente indipendenti se P (A B) = P (A)P (B). Benché sia ovvio dalla definizione, sottolineiamo che due eventi indipendenti non sono disgiunti, escludendo il caso banale in cui uno dei due eventi abbia probabilità zero. Infatti, se P (A) > 0 e P (B) > 0, segue che P (A B) = P (A)P (B) > 0 e dunque A B. Per completezza, definiamo l indipendenza stocastica di più di due eventi, segnalando che tale definizione non è proprio l immediata generalizzazione della Definizione 3.1. Definizione 3.2 (Indipendenza stocastica di eventi). Sia (A i ) i I una famiglia di eventi in uno spazio di probabilità discreto (Ω, P ), dove l insieme di indici I è arbitrario. Si dice che tali eventi sono stocasticamente indipendenti se per ogni sottoinsieme finito J I (con J 2) si ha P A j = P (A j ). (7) j J j J Per l indipendenza di n eventi A 1,..., A n non basta dunque verificare che P (A 1... A n ) = P (A 1 )... P (A n ), ma occorre mostrare che questa proprietà di fattorizzazione vale anche per ogni sottofamiglia, come richiesto dalla relazione (7). Il lettore interessato può reperire ulteriori dettagli in [1].
7 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 7 4. Affidabilità di un sistema In questa sezione esamineremo un applicazione notevole e interessante del concetto di indipendenza di eventi, che ha a che fare con vari tipi di problemi applicativi: ci occuperemo del concetto di affidabilità. Consideriamo un apparecchiatura, semplice o complessa (ad esempio: un microchip o un computer). Vogliamo tradurre quantitativamente l idea che esso funzioni o meno in modo soddisfacente. Naturalmente, le stesse prestazioni possono essere giudicate soddisfacenti oppure no a seconda del tipo di impiego dell apparecchio (si pensi a come viene utilizzato un computer in un ufficio comunale o in un centro di ricerca avanzata); inoltre le prestazioni possono dipendere dalle condizioni in cui l apparecchio è utilizzato (gli stessi pneumatici non si comportano allo stesso modo se usati su una strada ben asfaltata o sterrata); infine, non ci si potranno aspettare, in genere, le stesse prestazioni da un apparecchio quasi nuovo e da uno già usato a lungo. Definiremo quindi l affidabilità di un apparecchio come la probabilità che esso dia prestazioni entro certi limiti specificati, almeno per un certo tempo specificato, se utilizzato in certe condizioni specificate. Spesso parleremo di probabilità che un apparecchio funzioni, ma occorre tenere presente che questa espressione ha un senso solo in relazione alla discussione precedente. Consideriamo un sistema costituito da più componenti (ad esempio, un apparecchiatura elettronica costituita da più microchips). Si può parlare di affidabilità delle singole componenti e anche di affidabilità del sistema. L affidabilità di componenti semplici si può di solito stimare sperimentalmente, con opportuni test: ad esempio, si misurerà il tempo medio di buon funzionamento, per un campione casuale di componenti identici. Il problema che ora ci poniamo è il seguente: è possibile calcolare l affidabilità del sistema, note le affidabilità delle singole componenti? Poiché le affidabilità sono probabilità, le regole del calcolo delle probabilità esposte nelle sezioni precedenti, sono utili in proposito. Per vedere come questo sia possibile, occorre fare anzitutto qualche ipotesi su come il funzionamento del sistema dipenda dal funzionamento dei componenti. Supporremo sempre che i vari componenti siano tra loro indipendenti, ovvero, che le prestazioni di una qualunque parte del sistema non influenzino l affidabilità delle altre. Precisamente: Definizione 4.1 (Connessione in serie e in parallelo). Sia S un sistema costituito da n componenti A i indipendenti, ovvero: gli n eventi Il componente A i funziona correttamente formano una famiglia di eventi indipendenti. Si dice che i componenti sono connessi in serie se il sistema funziona se e solo se funzionano tutti i componenti; si dice che i componenti sono connessi in parallelo se il sistema funziona se e solo se funziona almeno un componente. Presentiamo il seguente teorema fondamentale. Proposizione 4.2 (Affidabilità di un sistema). Sia S un sistema costituito da n componenti, di affidabilità a 1, a 2,..., a n. Allora: (1) Se i componenti sono connessi in serie, l affidabilità del sistema è a = a 1 a 2... a n ; (2) Se i componenti sono connessi in parallelo, l affidabilità del sistema è a = 1 (1 a 1 ) (1 a 2 )... (1 a n ). Dimostrazione. Dimostriamo separatamente le due affermazioni.
8 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 8 (1) L affidabilità di S è la probabilità che esso funzioni, quindi, per l ipotesi di connessione in serie, è la probabilità che tutti i componenti funzionino. Per l ipotesi di indipendenza, tale probabilità è il prodotto delle probabilità di funzionamento dei componenti, ossia il prodotto delle affidabilità. (2) Calcoliamo 1 a, ossia la probabilità che S non funzioni. Per l ipotesi di connessione in parallelo, questa è uguale alla probabilità che tutti i componenti non funzionino; per l indipendenza dei componenti, questa è il prodotto delle probabilità che ciascuno non funzioni, ovvero il prodotto (1 a 1 ) (1 a 2 )... (1 a n ). Da ciò segue subito la tesi. Osservazione 4.3. Nella dimostrazione del teorema precedente abbiamo usato implicitamente il fatto che se gli eventi Il componente A i funziona sono indipendenti, allora anche gli eventi Il componente A i non funziona sono indipendenti. Il lettore verifichi tale fatto nel caso di due soli eventi (suggerimento: sfruttare una delle Leggi di De Morgan). Il lettore interessato ad una dimostrazione generale, la può reperire in [1] (Proposizioni 1.63 e 1.64). Esempio 4.4. Vogliamo calcolare l affidabilità del sistema schematizzato in figura, supponendo che i componenti abbiano le seguenti affidabilità: a A = 0.95, a B = 0.99, a C = 0.70, a D = 0.70, a E = Il sistema costituito dai due componenti C e D ha affidabilità a C,D = 1 (1 0.7)(1 0.7) = Il sistema può vedersi come costituito da quattro componenti in serie: A, B, la coppia (C, D), E, e quindi ha affidabilità a = Si osservi che connettere più componenti in serie diminuisce l affidabilità del sistema (rispetto a quella delle singole componenti); viceversa connettere più componenti in parallelo aumenta l affidabilità del sistema, rispetto a quella delle singole componenti. II termine sistema non indica necessariamente un apparecchio, ma può avere un significato molto ampio; conseguentemente la nozione di affidabilità è applicabile in vari contesti.
9 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 9 5. Il paradosso dei compleanni Vogliamo determinare la probabilità p n che, in un gruppo di n persone selezionate in modo casuale (nate tutte in un anno non bisestile, per semplicità), almeno due di esse compiano gli anni lo stesso giorno. Ci chiediamo, poi, quanto deve essere grande n affinché p n > 1 2. Numerati i giorni dell anno e le n persone, lo spazio campionario naturale è dato dalle disposizioni con ripetizione di n elementi di classe 365, ossia Ω = {f : {1,..., n} {1,..., 365}}. Sappiamo che Ω = 365 n. L evento di interesse è dato da A = {f Ω : f non è iniettiva}. Munendo lo spazio Ω della probabilità uniforme P, si ha dunque: dove, per quanto detto sopra, Si ottiene dunque p n = P (A) = 1 P (A c ) = 1 Ac Ω, n 1 A c 365! = {f Ω : f è iniettiva} = (365 n)! = (365 i). p n 1 n 1 n 1 i=0 (365 i) 365 i 365 n = 1 = i=0 i=0 n 1 i=0 ( 1 i ). (8) 365 Abbiamo ottenuto un espressione esatta, anche se non del tutto esplicita. È interessante notare che l espressione (8) può essere approssimata in modo efficace ed esplicito: basta sfruttare la disuguaglianza 1 x e x, valida per ogni x R, e ricordando che n 1 k=0 n = (n 1) n 2. Si ottiene dunque: n 1 p n = 1 i=0 e i n = 1 exp ( i=0 ) ( i = 1 exp 365 ) (n 1)n Alla luce di ciò, si ha che p n > 1 2 se e solo se ( ) (n 1)n 1 exp > 1 (n 1)(n) < ln 2 n 2 n 730 ln 2 > Da ciò segue che n > n 0 = 1 ( 1 + ) ln , 2 dunque, non appena n 23, in gruppo di almeno 23 persone c è una probabilità maggiore del 50% che almeno due persone facciano il compleanno lo stesso giorno. Un risultato a prima vista sorprendente. Per un gruppo di 50 persone, la probabilità è maggiore del 97%. Chi volesse una possibile giustificazione a questo paradosso, può consultare [1] (Esempio 3.56). 6. Il problema dei giochi d azzardo Un gioco d azzardo è un gioco composto esclusivamente da mosse casuali, perciò la vincita dipende dal caso piuttosto che dalla bravura del giocatore. Sono esempi di giochi d azzardo il gioco dei dadi, la roulette, il baccarat ecc. In un gioco d azzardo è importante che, a prescindere dall intervento della casualità, la somma puntata da ciascun giocatore sia proporzionale alla probabilità che questo ha di vincere; in tal caso il gioco si dice equo. Esempio 6.1. Due giocatori A e B scommettono la stessa somma sul lancio di un dado: A vince se esce il 2, in caso contrario vince B.
10 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 10 Chiaramente questo gioco non è equo, perché B ha più probabilità di vincere di A. Infatti, le probabilità di vincita di A e di B, sono: P (A) = 1 6, P (B) = 5 6. Indichiamo con S(A) la somma puntata da A e con S(B) la somma puntata da B. Affinché il gioco sia equo deve valere la proporzione: S(A) : P (A) = S(B) : P (B). Se il giocatore A punta 0, 50 euro sulla vincita, la somma puntata da B deve soddisfare la proporzione: 0, 50 : 1 6 = S(B) : 5 6 da cui si ricava: S(B) = 2, 50. Perché il gioco sia equo, il giocatore B deve puntare una somma 5 volte maggiore, dato che la sua probabilità di vincita è 5 volte più grande di quella di A. In questo modo, secondo la legge empirica del caso, dopo molte partite i due sarebbero circa in parità: uno ha vinto spesso una piccola somma, l altro ha vinto meno spesso ma ogni volta una somma maggiore.
11 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA Esercizi risolti 1 Da un sacchetto contenente le quattro lettere C, A, S, O, si estrae una lettera per volta. Qual è la probabilità che le lettere siano estratte senza formare, nell ordine, la parola CASO? L evento A = non si forma la parola CASO è il contrario dell evento B = si forma la parola CASO, per cui P (A) = 1 P (B). Procediamo quindi calcolando P (B); il numero dei casi possibili è dato dal numero delle permutazioni delle 4 lettere cioè P 4 = 4! = 24. Il numero dei casi favorevoli è 1, quindi P (B) = 1 24 e p(a) = = Sapendo che il gioco della roulette si basa sui numeri da 1 a 36, di cui 18 rossi e 18 neri più il numero 0 verde, calcolare la probabilità che esca un numero nero o pari. Occorre calcolare la probabilità dell evento A B, dove A = esce un numero nero, B = esce un numero pari. I due eventi sono compatibili: esistono infatti numeri che sono sia pari che neri. I numeri neri sono 18, quindi i casi favorevoli all evento A sono 18 dei 37 possibili; i numeri pari sono 19 (includendo lo 0), quindi i casi favorevoli all evento B sono 19 dei 37 possibili; i numeri sia pari che neri sono 10, quindi i casi favorevoli all evento A B sono 10 dei 37 possibili. Abbiamo allora: Per la Proposizione 1.5, (ii), si ha P (A) = , P (B) =, P (A B) = P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = Qual è la probabilità che lanciando un dado si ottenga 2 oppure 4? Consideriamo gli eventi A = esce il numero 2, B = esce il numero 4 e calcoliamo la probabilità dell evento A B. Gli eventi sono incompatibili, per cui per la Proposizione 1.5, (ii), si ha P (A B) = P (A) + P (B) = = Consideriamo l estrazione successiva di due biglie con reimmissione (dopo la prima estrazione la biglia viene rimessa nell urna) da un urna contenente 5 biglie rosse e 3 nere. Calcolare la probabilità che alla seconda estrazione esca una biglia nera, sapendo che nella prima estrazione è uscita una biglia rossa. Consideriamo gli eventi A = nella prima estrazione esce una biglia rossa, B = nella seconda estrazione esce una biglia nera. Si deve calcolare la probabilità che si verifichi l evento B supposto che si sia verificato l evento A. Poiché dopo la prima estrazione la biglia rossa viene rimessa nell urna, il fatto che A si sia già verificato non modifica la probabilità di B: nell urna ci sono infatti sempre 8 palline, di cui 5 rosse e 3 nere, quindi P (B A) = P (B) = In un urna sono contenuti i numeri da 0 a 9. Estraendo 4 numeri insieme, qual è la probabilità di estrarre le cifre per formare il numero 1234? Il caso favorevole è uno solo: l estrazione del gruppo di numeri 1, 2, 3, 4. Poiché non interessa l ordine, il numero di casi possibili è dato dalle combinazioni di 10 elementi di
12 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 12 classe 4: C 10,4 = ( ) 10 = 4 10! 4!(10 4)! = = La probabilità richiesta è dunque Estraendo tre carte da un mazzo di 40, qual è la probabilità che fra le tre carte vi sia almeno un re? I casi possibili sono tutte le terne che si possono formare con 40 carte; poiché non interessa l ordine con cui si forma ogni terna, il numero di casi possibili è dato dalle combinazioni di 40 elementi di classe 3: ( ) C 40,3 = = = I casi favorevoli sono tutte le terne in cui vi è almeno un re; pertanto, fissato un re nelle terne (per esempio il re di cuori), le altre due carte possono essere tutte le coppie possibili formate con le 39 carte rimaste, quindi le combinazioni di 39 elementi di classe 2: C 39,2 = ( 39 2 ) = = 741. Questo numero poi deve essere moltiplicato per il numero dei re, cioè 4. I casi favorevoli sono dunque La probabilità richiesta è quindi = Lanciando 3 volte una moneta regolare, qual è la probabilità di ottenere almeno una volta testa? Potremmo affrontare il problema partendo dalla definizione di probabilità uniforme, tenendo conto che i casi favorevoli sono tutti i casi in cui si possono ottenere esattamente 1 volta testa, 2 volte testa o 3 volte testa. In questo caso dobbiamo eseguire alcuni calcoli che lasciamo al lettore. In alternativa possiamo pensare all evento: A = ottenere almeno una testa come all evento A = non ottenere tre croci e quindi considerarlo come l evento contrario all evento B = ottenere tre croci. Seguendo quest ultima strada è sufficiente calcolare la probabilità dell evento B, che è P (B) = 1 8, poiché ottenere 3 croci è un solo caso favorevole sugli 8 possibili. Per la Proposizione 1.5, (i), si ottiene: P (A) = 1 P (B) = = In un urna ci sono 30 biglie di vari colori, tra le quali 8 biglie sono bianche, 7 nere e 12 verdi. Qual è la probabilità che, estraendo dall urna successivamente 3 biglie senza reinserirle, siano la prima bianca, la seconda nera e la terza verde? Si definiscano gli eventi: A = prima biglia bianca, B = seconda biglia nera, C = terza biglia verde. Poiché nella consegna compare la congiunzione e dobbiamo calcolare la probabilità dell intersezione degli eventi in questione. Non reinserendo le biglie, ad ogni estrazione nell urna vi è una biglia in meno, quindi i casi possibili passano da 30 a 29 a La probabilità che la prima biglia sia bianca è quindi 30 = 4 15, la probabilità che la seconda sia nera è , la probabilità che la terza sia verde è 28 = 3 7. Applicando la regola della catena, si trova che la probabilità richiesta è quindi: P (A B C) = P (A)P (B A)P (C (A B)) = =
13 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 13 9 In un urna ci sono 30 biglie di vari colori, tra le quali 6 biglie sono bianche, 10 nere e 14 verdi. Dire qual è la probabilità che, estraendo dall urna successivamente 2 biglie senza reinserirle, (a) siano entrambe nere; (b) siano la prima verde e la seconda nera; (c) siano una bianca e una verde. Rispondiamo separatamente alle tre richieste. Allo scopo è conveniente definire i tre eventi B = esce una biglia bianca, N = esce una biglia nera, V = esce una biglia verde. Converremo di mettere il pedice i a ciascuno dei precedenti eventi, per indicare che esso si verifica all estrazione i. (a) Bisogna calcolare la probabilità P (N 1 N 2 ). Utilizzando la regola della catena si ha: P (N 1 N 2 ) = P (N 1 ) P (N 2 N 1 ) = = (b) Bisogna calcolare la probabilità P (V 1 N 2 ). Utilizzando la regola della catena si ha: P (V 1 N 2 ) = P (V 1 ) P (N 2 V 1 ) = = (c) Bisogna calcolare la probabilità P ((B 1 V 2 ) (V 1 B 2 )). Sfruttiamo la Proposizione 1.5, (ii), tenendo conto che gli eventi B 1 V 2 e V 1 B 2 sono disgiunti: P ((B 1 V 2 ) (V 1 B 2 )) = P (B 1 V 2 ) + P (V 1 B 2 ) = P (B 1 )P (V 2 B 1 ) + P (V 1 )P (B 2 V 1 ) = = Due tiratori, indipendentemente l uno dall altro, tirano allo stesso bersaglio: la probabilità di fare centro è del 60% per il primo tiratore, dell 80% per il secondo. Un solo colpo centra il bersaglio: qual è la probabilità che sia del primo tiratore? Si considerino gli eventi: A = nessuno centra il bersaglio, B = tutti e due centrano il bersaglio, C = solo il primo centra il bersaglio, D = solo il secondo centra il bersaglio. Gli eventi A, B, C, D sono indipendenti ed esauriscono tutti i possibili effetti. Si ha: P (A) = 0, 40 0, 20 = 0, 08, P (B) = 0, 60 0, 80 = 0, 48, P (C) = 0, 60 0, 20 = 0, 12, P (D) = 0, 40 0, 80 = 0, 32. Consideriamo ancora l evento: E = solo uno dei due centra il bersaglio. Le probabilità condizionali di E rispetto ad A, B, C, D sono: P (E A) = 0, P (E B) = 0, P (E C) = 1, P (E D) = 1. Calcoliamo ora, sotto la condizione che un solo colpo abbia raggiunto il bersaglio, la probabilità che a centrare sia stato il primo tiratore. Applichiamo la formula di Bayes: P (C E) = = P (E C)P (C) P (E A)P (A) + P (E B)P (B) + P (E C)P (C) + P (E D)P (D) 0, 12 = 0, , , 32
14 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA Il cane di casa odia il gatto del vicino: se lo afferra c è la probabilità del 90% che lo uccida, ma la probabilità che lo prenda è solo del 20%. Il gatto ha del resto, per il suo girovagare nella strada, la probabilità del 40% di morire travolto da un auto. Se il gatto viene trovato morto, qual è la probabilità che l abbia ucciso il cane? Consideriamo lo spazio Ω dei possibili fatti collegabili a tale uccisione: Le probabilità che conosciamo sono: Ω = {investimento, cattura, morte}. P (investimento) = 40%, P (cattura) = 20%, P (morte cattura) = 90%. Ciò che si vuole scoprire è la probabilità che il gatto sia stato catturato dal cane, sapendo che è morto; in altri termini si chiede il valore della probabilità condizionale Applichiamo la formula di Bayes: P (cattura morte). P (morte cattura)p (cattura) P (cattura morte) = P (morte cattura)p (cattura) + P (morte non cattura)p (non cattura) 0, 9 0, 2 = = 0, 36. 0, 9 0, 2 + 0, 4 0, 8 La stima P (cattura morte) = 0, 36 significa che, in accordo con le probabilità condizionali indicate, la probabilità che la morte del gatto sia imputabile al cane è... solo del 36%...! 12 Tre macchine producono lo stesso tipo di pezzi. La prima ne produce 150 al giorno con il 2% dei pezzi difettosi, la seconda ne produce 400 con il 5% di pezzi difettosi, la terza 50 con nessun pezzo difettoso. Supponiamo ora di prendere a caso un pezzo della produzione di un dato giorno. Calcolare la probabilità che: (a) il pezzo sia stato prodotto dalla prima macchina; (b) il pezzo sia stato prodotto dalla seconda macchina; (c) il pezzo sia difettoso. Supponiamo che il pezzo estratto sia difettoso. Calcolare la probabilità che: (e) il pezzo sia stato prodotto dalla prima macchina; (f) il pezzo sia stato prodotto dalla seconda macchina; (g) il pezzo sia stato prodotto dalla terza macchina. Si definiscano gli eventi A i = pezzo prodotto dalla macchina i, con i = 1, 2, 3, D = pezzo difettoso. Ogni giorno le tre macchine producono 600 pezzi in totale. (a) Si ha P (A 1 ) = (b) Si ha P (A 2 ) = (c) Si ha P (A 3 ) = (d) Dei 150 pezzi prodotti dalla prima macchina 3 sono difettosi mentre del 400 prodotti dalla seconda 20 sono difettosi; tutti buoni i pezzi prodotti dalla terza. In totale, si hanno 23 pezzi difettosi su una produzione di 600 pezzi, quindi P (D) = , 8%. (e) Si ha: P (A 1 D) = P (A 1 D) 600 = %. P (D) = 3 (f) Si ha: P (A 2 D) = P (A 2 D) P (D) = = , 7%. 13 Un urna contiene 6 biglie rosse e 4 nere. Si estraggono due biglie senza rimettere la prima nell urna. Calcolare la probabilità che:
15 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 15 (a) si siano ottenute due biglie rosse; (b) si sia ottenuta una sola biglia rossa; (c) non si sia ottenuta alcuna biglia rossa. Consideriamo gli eventi R = estrazione di una biglia rossa, N = estrazione di una biglia nera convenendo di mettere il pedice i a ciascuno dei precedenti eventi per indicare che esso si verifica all estrazione i e calcoliamo le relative probabilità nelle due estrazioni. Prima estrazione. Nell urna si hanno 10 biglie: 6 bianche e 4 nere. Si ha dunque: P (R) = 6 10, P (N) = 4 10 = 2 5. Seconda estrazione. Poiché la prima biglia non viene rimessa nell urna, in essa restano 9 biglie; pertanto le probabilità nella seconda estrazione sono: se la prima biglia estratta era rossa, ne restano 5 rosse e 4 nere, così: P (R) = 5 9, P (N) = 4 9 ; se la prima biglia estratta era nera, ne restano 6 rosse e 3 nere, così: P (R) = 6 9 = 2 3, P (N) = 3 9 = 1 3. Si ha: (a) Si ha: P (R 1 R 2 ) = P (R 1 )P (R 2 R 1 ) = = 1 3. (b) Si ha: P ((R 1 N 2 ) (N 1 R 2 )) = P (R 1 N 2 ) + P (N 1 R 2 ) = P (R 1 )P (N 2 R 1 ) + P (N 1 )P (R 2 N 1 ) = = = (c) Si ha: P (N 1 N 2 ) = P (N 1 )P (N 2 N 1 ) = = Si supponga di sapere che il 15% della popolazione adulta sia affetta da ipertensione, ma che il 75% di tutti gli adulti sia personalmente convinto di non avere tale problema. Si supponga anche che il 6% della popolazione abbia l ipertensione ma non pensi che la malattia sia presente. Calcolare la probabilità che (a) la malattia sia effettivamente presente in un paziente adulto che afferma di non avere l ipertensione; (b) un paziente sospetti la presenza della malattia, quando la malattia è effettivamente presente. Consideriamo gli eventi E 1 = il paziente non crede che la malattia sia presente e E 2 = il paziente è affetto dalla malattia. Si ha P (E 1 ) = 0, 75, P (E 2 ) = 0, 15 e P (E 1 E 2 ) = 0, 06. (a) Si ha P (E 2 E 1 ) = P (E 1 E 2 ) P (E 1 ) = 0,06 0,75 = 0, 08. Vi è quindi una probabilità dell 8% che un paziente che pensa di non avere problemi di ipertensione, abbia in effetti la malattia. (b) Occorre calcolare P (E1 c E 2). Osservato che P (E 2 ) = P (E1 c E 2) + P (E 1 E 2 ), si ha P (E c 1 E 2 ) = P (Ec 1 E 2) P (E 2 ) = 0, 15 0, 06 0, 15 = 0, 60, ossia, se il paziente esprime l opinione di soffrire di ipertensione, vi è una probabilità del 60% che abbia ragione. 15 Supponiamo che di tutti i pazienti malati di cancro, il 52% sia costituito da maschi e che per i maschi la sopravvivenza per almeno 5 anni sia del 35%. Calcolare la probabilità che un malato di cancro scelto a caso sia un maschio e sopravviva per almeno 5 anni.
16 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 16 Consideriamo gli eventi E 1 = il paziente scelto a caso è maschio e E 2 = il paziente scelto a caso sopravvive per almeno 5 anni. Occorre calcolare P (E 1 E 2 ): P (E 1 E 2 ) = P (E 2 E 1 )P (E 1 ) = = 0, Esercizi proposti 1 Si lanciano n monete non truccate. 1 (a) Qual è la probabilità che escano tutte teste? 2 n 1 (b) Qual è la probabilità che esca la medesima faccia negli n lanci? 2 n 1 2 Calcolare la probabilità che, lanciando 10 monete non truccate, escano esattamente tre teste Calcolare la probabilità che il primo numero del lotto estratto dalla ruota di Napoli sia un numero dispari o un multiplo di Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte siciliane. Calcolare la probabilità che sia un asso o una carta di mazze Calcolare la probabilità che lanciando sette monete non truccate, esca almeno una croce Un urna contiene 10 palline, di cui 4 rosse e 6 verdi. Calcolare la probabilità che, estraendone due contemporaneamente, almeno una di esse sia verde Si lancia un dado non truccato. Qual è la probabilità che esca il numero 5, nell ipotesi che esca un numero dispari Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte siciliane. Qual è la probabilità di estrarre una figura nell ipotesi che sia stata estratta una carta di spade? Si lanciano due dadi. Calcolare la probabilità che la somma dei punti delle due facce uscite sia 7 sapendo che su una di esse è uscito il Da un urna, contenente tre biglie rosse e cinque blu, se ne estraggono due, senza reinserire la prima biglia estratta prima di procedere alla seconda estrazione. Calcolare la probabilità di estrarre due biglie blu. Ripetere l esercizio nell ipotesi in cui la prima biglia estratta venga reinserita nell urna. 5 14, Da un mazzo di 40 carte siciliane se ne estraggono 3 successivamente. Calcolare la probabilità che siano tutte e tre carte di spade, sia nel caso che ciascuna carta estratta venga reinserita prima di procedere all estrazione successiva, sia nel caso che le carte estratte non vengano reinserite. 1 64, Si lanciano tre dadi non truccati. Calcolare la probabilità di ottenere quattro su uno e un solo dado Un urna contiene 30 biglie, di cui 12 rosse, 10 bianche, 8 nere. Se ne estraggono due senza reinserire la prima estratta prima di procedere alla seconda estrazione. Calcolare la probabilità che le biglie estratte siano dello stesso colore. Si supponga, adesso, che si reinserisca ciascuna biglia estratta prima di procedere alla successiva estrazione. Calcolare 139 la probabilità che le tre biglie siano almeno di due colori diversi. 145, In una fabbrica meccanica vi sono due macchinari che producono viti dello stesso tipo. Il primo macchinario produce il 5% di viti difettose, il secondo produce il 3% di viti difettose. I due macchinari contribuiscono rispettivamente per il 60% e per il 40% alla produzione complessiva. Calcolare la probabilità che una vite scelta a caso sia difettosa. 4, 2% 15 Vi sono tre scatole. La prima contiene 12 penne nere, la seconda contiene 8 penne nere e 2 rosse, la terza contiene 20 penne rosse. Si sceglie a caso una scatola e da questa si estrae una penna. 2 (a) Qual è la probabilità che la penna estratta sia rossa? 5
17 CENNI DI PROBABILITÀ DISCRETA 17 (b) Si supponga che la penna estratta sia rossa. Qual è la probabilità che essa sia stata estratta dalla seconda scatola? E qual è la probabilità che essa sia stata estratta dalla 1 terza scatola? 6, Uno studente universitario viene esaminato dal docente o dall assistente. La probabilità di essere esaminato dal docente è pari a 2 5. La probabilità di superare l esame, se sostenuto con il docente, è 0, 6, mentre è 0, 8 se sostenuto con l assistente. Se lo studente ha superato 1 l esame, qual è la probabilità che sia stato esaminato dal docente? 3 17 Date due urne, U 1 contenente due biglie bianche e quattro nere e U 2 contenente quattro biglie bianche e due nere, da una di esse si effettuano estrazioni con restituzione fino ad ottenere per la prima volta biglia bianca. L urna è stata scelta in base all esito del lancio di un dado: U 1 se è uscita la faccia 6, U 2 altrimenti. Supposto che la biglia bianca sia uscita per la prima volta alla quarta estrazione, calcolare la probabilità che non sia uscita la faccia [Tratto da [2]] In un ufficio lavorano 4 impiegati, un capufficio e un vicecapo; tutte e sei le persone sono spesso assenti. Ogni pratica può essere sbrigata da uno qualunque degli impiegati (basta che sia presente in ufficio), dopodiché viene passata al capufficio per il controllo finale e la firma; il vicecapo svolge la stessa funzione del capufficio, in sua assenza. Supponiamo che ogni impiegato abbia affidabilità 0.6 (intesa come probabilità che sia presente in ufficio nel momento in cui c è una pratica da sbrigare), il capufficio abbia un affidabilità 0.5, e il vicecapo affidabilità 0.7. (a) Si rappresenti il sistema con uno schema di connessioni in serie o in parallelo, e si calcoli l affidabilità del sistema. 83% (b) Visto lo scarso rendimento, il capufficio decide di prendere provvedimenti, e ha due alternative; assumere un nuovo impiegato, di affidabilità 0.6; oppure promuovere uno dei 4 impiegati al ruolo di aiuto vicecapo (con lo stesso molo del vicecapo, e la stessa affidabilità che l impiegato aveva prima della promozione). Qual è la scelta più conveniente? Conviene seguire la seconda strada Riferimenti bibliografici [1] F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilità. Un introduzione attraverso modelli e applicazioni, Springer (2013). [2] M. Bramanti, Calcolo delle Probabilità e Statistica. Teoria ed esercizi, Esculapio Editore (1997). [3] R. Giuliano, Argomenti di probabilità e statistica, Springer (2011). [4] F. Biagini, M. Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Springer (2006). [5] R. Scozzafava, Incertezza e probabilità, Zanichelli (2001).
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