Introduzione alla statistica 2/ed. Marilyn K. Pelosi, Theresa M. Sandifer, Paola Cerchiello, Paolo Giudici

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Diana Testa
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1 CAPITOLO 8 LA VERIFICA D IPOTESI:I FONDAMENTI SOLUZIONI Nota:è stato usato un computer per i risultati di molte domande dei test d ipotesi. Se usi un computer per le tabelle potresti avere risultati leggermente diversi per gli arrotondamenti 8.1 x=195,1 H 0 : H A μ=130,5 μ 130,5 Valori critici + 1,96 Test 1,25 d) c è sicuramente un valore anomalo e i dati sembrano leggermente asimmetrici e)siccome il p value è più grande di 0,05, non possiamo rifiutare H 0. Non ci sono abbastanza prove per dire che è cambiato il numero medio delle sospensioni 8.2

2 d) siccome il p value è minore di 0,05,possiamo rifiutare H 0. Il tempo medio per completare l esame non è 120 minuti 8.3 d) siccome il p value è minore di 0,05,possiamo rifiutare H 0. Il tempo medio passato a giocare ai videogame non è 60 minuti 8.4 d) siccome il p value è più grande di 0,10, non possiamo rifiutare H 0. Non ci sono abbastanza prove per dire che è diverso da il numero medio di turisti per mese

3 a) Errore di I tipo:dire che la proporzione è più grande del 25% quando non è così. Cosi,vorrebbero mantenere il corso di orientamento quando non dovrebbero. b) Errore di II tipo: non dire che la proporzione è più grande del 25% quando è cos. Cosi, non hanno il corso di orientamento quando dovrebbero c) L errore di I tipo è più caro,così dovrebbero testare a 0,05 e 0, a) Errore di I tipo:dire che la proporzione è più grande dell 80% quando non è così. Cosi,aprono un asilo nido per i figli dei dipendenti che non sono a favore. b) Errore di II tipo: non dire che la proporzione è più grande dell 80% quando è cos. Cosi, non aprono un asilo nido per i figli dei dipendenti quando dovrebbero c) Siccome un asilo nido è costoso,l errore di I tipo è più costoso. Dovrebbero testare a 0, a) Errore di I tipo:dire che il tempo medio di guarigione è meno di una settimana quando non è cosi. b) Errore di II tipo: non dire che il tempo medio di guarigione è meno di una settimana quando è così. c) Provare a testare a 0,05. Assumendo di voler testare se funziona il sistema antibloccaggio dei freni (ABS): H 0 :il numero di incidenti stradali mortali con ABS è per lo meno uguale a quelli senza ABS H A : il numero di incidenti stradali mortali con ABS è minore a quelli senza ABS a) Errore di I tipo:dire che la media con l ABS è minore di quelli senza ABS, quando non è cosi b) Errore di II tipo:non dire che la media con l ABS è minore di quelli senza ABS, quando è cosi

4 8.9 c) Dipende veramente delle conseguenze della decisione. Se il Ministero dei Trasporti Italiano tende a forzare le industrie a usare i freni ABS, allora l errore di II tipo è più gravoso perché si potrebbero salvare più vite. Dall altra parte,dal punto di vista delle industrie automobilistiche, se i freni ABS sono costosi, l errore di I tipo è peggiore. Nell interesse della sicurezza, direi di testare a 0,01 cosi che si riduca l errore di II tipo a) Errore di I tipo:concludere che il tempo medio prima di un problema è più di 3 anni quando non è cosi b) Errore di II tipo: non concludere che il tempo medio è più di 3 anni quando è così. c) Richiederà un analisi dei costi. Se si commette un errore di I tipo, si pagherà per la nuova garanzia quando non ci sarà bisogno. Se si commette un errore di II tipo, allora dipenderà dal costo medio di riparazione comparato con il costo di garanzia. Suggerirei 0, Assumendo di voler provare la correttezza del manager: H 0 :gli uomini usano le e mail per lo meno quanto le donne H A :gli uomini usano le e mail meno delle donne Assumendo di voler provare la correttezza dello studio del Ministero dei Trasporti: H 0 : il numero di incidenti mortali con ABS è per lo meno uguale a quelli senza

5 H A : il numero di incidenti mortali con ABS è minore 8.18 d)siccome il p value 0,0001 è minore di 0,10,rifiutiamo H 0 e concludiamo che l età media è più alta di 18 mesi d)siccome il p value è minore del livello di significatività, possiamo rifiutare H 0 e concludere che il tempo medio prima che sorga un problema è più grande di 43 mesi

6 8.20 x=115,47 d)siccome il p value è più grande di 0,01,non possiamo rifiutare H 0. non ci sono abbastanza prove per dire che è aumentata la media della velocità del servizio. Il tennista esperto non dovrebbe investire in una nuova racchetta 8.21 a) Come testato,la pubblicità è che il tempo medio è 3,5 minuti, che è una pubblicità a due parti b) c) I tipo: dire che il tempo medio non è 3,5 quando è cosi. (non lasciar pubblicizzare quando hanno ragione) d) II tipo:non dire che il tempo medio non è 3,5, quando non è cosi. (permetter di pubblicizzare quando non hanno ragione) e) Siccome il p value è minore del livello di significatività, si può rifiutare H 0 e dire che la media non è 3,5. Non possono far la pubblicità in televisione Nota:se avessero fatto il test a una coda: Avrebbero dovuto rifiutare H 0 e dire che la media è minore di 3,5 minuti. Comunque,con le ipotesi stabilite in questo modo,avrebbero dovuto rifiutare H 0 se la media fosse stata esattamente 3,5.

7 8.22 a) H 0 : il medicinale non è sicuro H A : il medicinale è sicuro (perché si può solo provare H A e le case farmaceutiche devono provare la sicurezza) b) I tipo: dire che il medicinale è sicuro quando non lo è c) II tipo: non dire che il medicinale è sicuro quando lo è 8.23 a) Due code vogliamo semplicemente sapere se è atipico o più lungo o più corto b) c) I tipo:dire che l attesa non è 55 giorni quando lo è d) II tipo: dire che l attesa è 55 giorni quando lo è e) e f) siccome il p value è minore del livello di significatività,rifiutiamo H 0. la media non è 55 giorni. Se rifacciamo il problema come un test a una coda per dire che è più importante di 55 giorni,allora cercherò un altro ospedale 8.24 a) a una coda per il 3 o di più. In questo caso,invece di usare 3 nell ipotesi,si dovrebbe usare un numero più piccolo, cosi che 3 è incluso nell ipotesi alternativa b) riportare valori H 0 e H A se si segue l altra via (con H A come ipotesi < allora la decisione non si baserà sulla corretta ipotesi) c) I tipo: dire che la media è 3 o più quando non è. (aprire il ristorante quando non si dovrebbe) d) II tipo:non dire che la media è 3 o più quando è cosi È un test a due code e non si possono cambiare le ipotesi per un test a due code. Si potrebbe rifare il test come un test a una coda se si ha la ragione di farlo 8.26 a) Se l ipotesi nulla è H 0 :μ 18, allora dovresti tentare di provare che il nuovo medicinale diminuisce l aspettativa di vita

8 b) Si deve considerare la condizione generale di salute del paziente, anni,tempo della malattia e molti altri fattori 8.27 Se la garanzia è troppo lunga,rischiano di più nel periodo di garanzia, ovvero pagheranno per più riparazioni 8.28 H 0 :μ=20000 H A : μ Errore di I tipo:dire che il turismo non è 20000,quando lo è Errore di II tipo: dire che il turismo è quando non lo è a) Dal punto di vista del governo non posso vedere se uno è più critico dell altro. Dal punto di vista di un albergatore, penso che l errore di II tipo è peggiore. Un errore nella stima mi potrebbe portare a programmare per un numero sbagliato di clienti che danneggerebbe il mio servizio. Se ricevessi meno clienti di quanti me ne aspetto,perderei le entrate e se ne ricevessi di più sarei stretto nei servizi. b) Siccome il p value è più grande di 0,10,non possiamo rifiutare H 0.non ci sono abbastanza prove per dire che il numero medio di turisti per mese è diverso da Dal punto di vista della rete televisiva,l errore di II tipo è peggiore. Rischiano di lasciar fare la pubblicità alla compagnia non giusta H 0 : il medicinale è sicuro H A : il medicinale non è sicuro a) I tipo:dire che il medicinale non è sicuro quando lo è b) II tipo:non dire che il medicinale non è sicuro quando non lo è c) Sono esattamente invertiti d) La prima formulazione è migliore. In quel metodo, provi che il medicinale è sicuro se rifiuti H 0. nel secondo caso, quando finisci per rifiutare H 0, dici semplicemente che non ci sono abbastanza prove per dire che non è sicuro.non dire MAI che è sicuro L errore di I tipo,aprire il ristorante quando non si dovrebbe,è più costoso. Non si hanno solo i costi associati con l apertura di un ristorante,ma non si ottengono i profitti di cui si ha bisogno. L errore di II tipo significa che non si deve aprire il ristorante dove ci potrebbe essere un business adeguato,ma ci sono altri posti in cui aprire il ristorante, quindi non perdi interamente.

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