Esercizi sulle progressioni

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1 Esercizi sulle progressioni Esercizio 1 Il perimetro di un trapezio è di 26 m. La somma della lunghezza dei lati minori è uguale a 7 m. Determinare le misure dei lati sapendo che sono progressione aritmetica. Soluzione Il termine generico di una progressione aritmetica è P (n) = P (0) + nd dove d viene detta ragione ed è data dalla differenza tra un termine e quello che lo precede, qualunque termine si consideri. Nel nostro caso i lati del trapezio sono i primi 4 termini di una progressione aritmetica P (0) = P (0) P (1) = P (0) + d P (2) = P (0) + 2d P (3) = P (0) + 3d. Inoltre sappiamo che la somma dei lati misura 26 m e che la somma dei due lati minori misura 7 m P (0) + P (1) = 7 P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 26. Nella seconda equazioni si può sostituire P 0) + P (1) = 7 e si avrà P (0) + P (1) = P (2) + P (3) = 26 P (0) + P (1) = 7 P (2) + P (3) = 19 sostituendo a ogni elemento il suo corrispettivo si avrà P (0) + P (0) + d = 7 2P (0) + d = 7 P (0) + 2d + P (0) + 3d = 19 2P (0) + 5d = 19 2P (0) = 7 d 2P (0) = 7 d 2P (0) + 5d = 19 7 d + 5d = 19 2P (0) = 7 d 2P (0) = 7 d 2P (0) = 4 4d = 12 d = 3 d = 3 1

2 Segue che d = 3. P (n) = 2 + 3n P (1) = = 5 P (2) = = 8 P (3) = = 11. Per verificare che questo risultato è giusto basta notare che P (0) + P (1) = 7 e P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 26 come ipotizzato. Esercizio 2 Il perimetro di un trapezio è di 24 m. La somma della lunghezza dei primi tre lati è uguale a 15 m. Determinare le misure dei lati sapendo che sono progressione aritmetica. Soluzione Sappiamo che la somma dei lati misura 24 m e che la somma dei primi tre lati misura 15 m, ragionando come per nell Esercizio 1 si ha: P (0) + P (1) + P (2) = 15 P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 24. Nella seconda equazioni si può sostituire P (0) + P (1) + P (2) = 15 e si avrà P (0) + P (1) + P (2) = P (3) = 24 P (0) + P (1) + P (2) = 15 P (3) = 9 sostituendo a ogni elemento il suo corrispettivo si avrà P (0) + P (0) + d + P (0) + 2d = 15 3P (0) + 3d = 15 P (0) + 3d = 9 P (0) + 3d = 9 P (0) = 5 d 5 d + 3d = 9 P (0) = 5 d P (0) = 5 d 2d = 4 d = 2 P (0) = 5 2 d = 2 2

3 Segue che P (0) = 3 d = 2. P (n) = 3 + 2n P (0) = 3 P (1) = = 5 P (2) = = 7 P (3) = = 9. Per verificare che questo risultato è giusto basta notare che P (0)+P (1)+P (2) = 15 e P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 24 come ipotizzato. Esercizio 3 Il perimetro di un trapezio è di 80 m. La somma della lunghezza dei lati minori è uguale a 8 m. Determinare le misure dei lati sapendo che sono progressione geometrica. Soluzione Il termine generico di una progressione geometrica è P (n) = P (0)q n dove q viene detta ragione ed è data dal rapporto tra un termine e quello che lo precede, qualunque termine si consideri. Nel nostro caso i lati del trapezio sono i primi 4 termini di una progressione geometrica P (0) = P (0) P (1) = P (0)q P (2) = P (0)q 2 P (3) = P (0)q 3. Inoltre sappiamo che la somma dei lati misura 80 m e che la somma dei due lati minori misura 8 m P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 80. 3

4 Nella seconda equazioni si può sostituire e si avrà 8 + P (2) + P (3) = 80 P (2) + P (3) = 72 sostituendo a ogni elemento il suo corrispettivo si avrà P (0)q 2 + P (0)q 3 = 72 (P (0) + P (0)q) q 2 = 72 dove nella seconda equazione abbiamo messo in evidenza q 2. Ora il termine tra parentesi coincide col primo membro della prima equazione si può sostituire a questa quantità 8 e si avrà 8q 2 = 72 q 2 = 9 q = ±3. A questo punto occorre osservare che la soluzione q = 3 non ha senso perché in un trapezio non esistono lati negativi. Tuttavia se non abbiamo a che fare con un trapezio questa soluzione non va scartata. Consideriamo il caso. Si ha P (0) + 3P (0) = 8 4P (0) = 8. Avremo che P (n) = 2 3 n P (1) = 2 3 = 6 P (2) = = 18 P (3) = = 54. Per verificare che questo risultato è giusto basta notare che e P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 80 come ipotizzato. Esercizio 4 La somma dei primi quattro termini di una progressione geometrica è 80; la somma dei due termini minori è uguale a 8. Determinare i valori dei quattro termini. 4

5 Soluzione Sappiamo che la somma dei termini è 80 e che la somma dei due termini minori è 8, ragionando come nell Esercizio 3 si ha: P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 80. Nella seconda equazioni si può sostituire e si avrà 8 + P (2) + P (3) = 80 P (2) + P (3) = 72 sostituendo a ogni elemento il suo corrispettivo si avrà P (0)q 2 + P (0)q 3 = 72 (P (0) + P (0)q) q 2 = 72 dove nella seconda equazione abbiamo messo in evidenza q 2. Ora il termine tra parentesi coincide col primo membro della prima equazione si può sostituire a questa quantità 8 e si avrà 8q 2 = 72 q 2 = 9 q = ±3. Consideriamo il caso Caso 1: q = 3. Si ha q = 3 P (0) 3P (0) = 8 q = 3 2P (0) = 8 q = 3 P (0) = 4 q = 3 Avremo che P (n) = 4 ( 3) n P (0) = 4 P (1) = 4 ( 3) = 12 P (2) = 4 ( 3) 2 = 36 P (3) = 4 )( 3) 3 =

6 Per verificare che questo risultato è giusto basta notare che e P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 80 come ipotizzato. Caso 2:. Si ha q = ±3 P (0) + 3P (0) = 8 4P (0) = 8 Avremo che P (n) = 2 3 n P (1) = 2 3 = 6 P (2) = = 18 P (3) = = 54. Per verificare che questo risultato è giusto basta notare che e P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 80 come ipotizzato. Esercizio 5 La somma dei primi quattro termini di una progressione geometrica è 60; la somma dei due termini maggiori è uguale a 48. Determinare i valori dei quattro termini. Soluzione Sappiamo che la somma dei termini è 60 e che la somma dei due termini maggiori è 48, ragionando come nell Esercizio 3 si ha: P (2) + P (3) = 48 P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 60. Nella seconda equazioni si può sostituire P (2) + P (3) = 48 e si avrà P (2) + P (3) = 48 P (0) + P (1) + 48 = 60 P (2) + P (3) = 48 P (0) + P (1) = 12 6

7 sostituendo a ogni elemento il suo corrispettivo si avrà P (0)q 2 + P (0)q 3 = 48 P (0) + P (0)q = 12 q 2 (P (0) + P (0)q) = 48 P (0) + P (0)q = 12 dove nella prima equazione abbiamo messo in evidenza q 2. Ora il termine tra parentesi coincide col primo membro della seconda equazione si può sostituire a questa quantità 12 e si avrà 12q 2 = 48 P (0) + P (0)q = 12 q 2 = 4 P (0) + P (0)q = 12 q = ±2 P (0) + P (0)q = 12 A questo punto occorre distinguere i due casi q = 2 e q = 2. Caso 1: q = 2. Si ha q = 2 P (0) + P (0)q = 12 q = 2 P (0) 2P (0) = 12 q = 2 P (0) = 12 Avremo che P (n) = 12 ( 2) n P (0) = 12 P (1) = 12 ( 2) = 24 P (2) = 12 ( 2) 2 = 48 P (3) = 12 ( 2) 3 = 96. Per verificare che questo risultato è giusto basta notare che P (2) + P (3) = 48 e P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 60 come ipotizzato. Caso 2: q = 2. Si ha q = 2 q = 2 q = 2 P (0) + P (0)q = 12 P (0) + 2P (0) = 12 3P (0) = 12 q = 2 P (0) = 4 Avremo che P (n) = 4 2 n 7

8 P (0) = 4 P (1) = 4 2 = 8 P (2) = = 16 P (3) = = 32. Per verificare che questo risultato è giusto basta notare che P (2) + P (3) = 48 e P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 60 come ipotizzato. 8