6. Equazioni differenziali a derivate ordinarie

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1 6. Equazioni differenziali a derivate ordinarie Le equazioni che hanno come incognite funzioni che compaiono sotto operazioni di derivata prendono il nome di equazioni differenziali. In questa Nota considereremo solo equazioni differenziali a derivate ordinarie. Se un equazione differenziale ha soluzioni esse sono infinite. Per fissarne una è necessario imporre ulteriori condizioni che sono dettate dal particolare problema in esame. In questa Nota affronteremo il problema della soluzione numerica di equazioni differenziali con condizioni iniziali, il cosiddetto problema di Cauchy. Il problema che considereremo in questa Nota è il seguente. Calcolare la funzione u = u( t) definita in! " t 0,t f # $ tale che con du = f u;t ( )! " du 1 $ $ du 2 $ # $ $ $ du n $ u( t = t 0 ) = u ( 0)! = f 1 ( u 1,u 2,...,u n ;t) = f 2 ( u 1,u 2,...,u n ;t)... = f n ( u 1,u 2,...,u n ;t) 0 ( ) = u 1 0 ( ) = u 2! u 1 t = t 0 # # u 2 t = t 0 " #... # $ u n t = t 0 ( ) ( ) ( ) = u n 0 ( ), (6.1) (6.2) dove u!" n, f :! n+1 "! n è una funzione assegnata, continua e a un solo valore, e u ( 0) è il valore iniziale di u. Il problema (6.1)-(6.2) è un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, a derivate ordinarie, in forma normale 1 con condizioni iniziali. 1 Un equazione differenziale si dice che è in forma normale se la derivata della funzione incognita è espressa in forma esplicita in termini della stessa funzione incognita. Un esempio di equazione differenziale in forma non normale è G!u, u; t ( ) = 0 (!u indica la derivata prima di u rispetto al tempo).

2 2 Nella prima parte di questa Nota considereremo il problema della soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine; in seguito estenderemo i risultati ai sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. 3.1 Equazioni differenziali del primo ordine Ora ci occuperemo della risoluzione numerica di un equazione differenziale del primo ordine con condizione iniziale assegnata. Bisogna calcolare la funzione u = u( t) per t 0 < t! t f tale che! du # " = f u;t $ # u t = t 0 ( ) ( ) = u 0 (6.3) dove f = f ( u;t) è una funzione assegnata, continua e ad un solo valore, e u 0 è il valore di u all istante (iniziale) t 0. Esempio 3.1 Si consideri il circuito non lineare illustrato in Figura 6.1. L equazione caratteristica del resistore non lineare è i N = g( v) (6.4) dove g = g( v) è una funzione nota, dipendente solo dalla natura fisica del resistore, che assumiamo continua e ad un solo valore. Espressioni approssimate di g per il diodo a giunzione pn e per il diodo tunnel sono date nella Nota 1. L equazione caratteristica della serie generatore di tensione-resistore lineare è i = e( t)! v. (6.5) R Figura 6.1 Un esempio di circuito non lineare.

3 3 L equazione caratteristica del condensatore è Infine, applicando la legge di Kirchhoff per le correnti si ha i C = C dv. (6.6) i! i N! i C = 0. (6.7) A queste equazioni bisogna aggiungere l informazione sul valore della tensione del condensatore ad un istante assegnato, che indichiamo con t 0, v( t 0 ) = V 0. (6.8) Combinando le equazioni algebriche (6.4), (6.5) e (6.7) con l equazione differenziale (6.6) si ottiene l equazione differenziale a derivate ordinarie del primo ordine, in forma normale, ( ) dv =! 1 " v C R + g( v) # $ & ' + e t RC. (6.9) L equazione (6.9) deve essere risolta con la condizione iniziale (6.8). Questo è uno degli esempi più semplici di problema di Cauchy non lineare. Se il resistore N fosse un resistore lineare di resistenza R N l equazione (6.9) si ridurrebbe all equazione lineare dove R!1 eq = R!1 + R!1 N. dv =! Esistenza e unicità della soluzione ( ) v R eq C + e t R eq C (6.10) La prima questione che bisogna affrontare quando si vuole risolvere numericamente un problema del tipo (6.3) riguarda l esistenza e l unicità della soluzione. Se la funzione f = f u;t ( ) - è continua rispetto ad entrambi gli argomenti; - è lipschitziana rispetto alla variabile u, cioè esiste una costante positiva L tale che per ogni t f ( u 1 ;t)! f ( u 2 ;t) " L u 1! u 2, (6.11) allora esiste ed è unica la soluzione del problema (6.3). La funzione f è lipschitziana rispetto alla variabile u se la derivata parziale di f rispetto alla variabile u esiste ed è

4 4 limitata 2 per ogni valore di u e per ogni t. Le soluzioni del problema (6.3) sono limitate per ogni t finito se f ( u;t) è limitata per ogni valore di u e di t limitati. Per approfondimenti rimandiamo alla referenza [6.1]. Questi risultati si estendono immediatamente a un sistema di equazioni differenziali del primo ordine del tipo (6.1) se f ( u,t ) è continua rispetto ad entrambi gli argomenti ed è lipschitziana in ogni dominio finito Stabilità delle soluzioni Un concetto importante nello studio del comportamento qualitativo delle soluzioni di un problema del tipo (6.3) è quello di stabilità. Un metodo numerico è affidabile se riesce a preservare il comportamento qualitativo delle soluzioni del problema in esame, in particolare le proprietà di stabilità delle soluzioni. Figura 6.2 Soluzioni stabili; soluzioni asintoticamente stabili. La soluzione u = u t ( ) del problema (6.3), definita nell intervallo [ t 0,!), si dice che è ( ) con stabile, se, per ogni! > 0, esiste un! > 0 tale che per ogni soluzione!u =!u t u 0!!u ( t 0 ) < " (6.12) si ha u( t)!!u ( t) < " (6.13) 2 Nel caso del modello esponenziale di un diodo a giunzione pn la funzione f è lipschitziana solo per valori finiti di u. Tuttavia, ciò non limita l applicabilità del criterio appena enunciato perché in questo caso la soluzione del circuito è limitata. 3 La funzione f = f u,t f ( x,t)! f y,t ( ) è lipschitziana al finito, se per ogni x e y limitati esiste una costante L tale che ( ) " L x! y (! indica una norma naturale in! n ).

5 5 per ogni t > t 0. Nel caso contrario la soluzione u = u( t) si dice instabile. Questo concetto di stabilità è anche noto come stabilità secondo Liapunov. Esso è illustrato in Figura 6.2a. Per assegnato! > 0 costruiamo la striscia S di larghezza 2!, centrata sulla curva che rappresenta la funzione u( t). Se la soluzione u( t) è stabile comunque si scelga! esistono altre soluzioni con condizioni iniziali diverse da u 0 che partono nella striscia S e non la lasciano mai. Invece, se la soluzione u t ( ) è instabile comunque si scelga!u ( t 0 ) ( ) lascerà la striscia dopo un intervallo di tempo finito. Si vicino a u 0, la funzione!u t osservi che in base alla definizione data, soluzione instabile non implica affatto che la soluzione sia divergente. Un altro concetto importante è quello di asintotica stabilità. La soluzione u = u t problema (6.3), definita nell intervallo t 0,! stabile ed esiste un! > 0 tale che per ogni soluzione!u =!u t ( ) del [ ) si dice che è asintoticamente stabile, se è ( ) con si ha u 0!!u ( t 0 ) < " (6.14) lim u( t) #!u ( t) = 0. (6.15) t!" Anche questo concetto è illustrato graficamente in Figura 6.2b. Se la condizione iniziale di!u t è sufficientemente vicina a quella di u t ( ) all interno della striscia S e tende per t! " alla funzione u t Esempio 6.2 Si consideri l equazione differenziale lineare ( ), allora la funzione!u ( t) si trova ( ). du =!u + b t ( ) (6.16) dove! è un coefficiente costante nel tempo. Se! < 0 tutte le soluzioni dell equazione (6.16) sono asintoticamente stabili. Se! = 0 tutte le soluzioni sono stabili. In entrambi i casi si ha se b t ( ) è limitata, tutte le soluzioni sono limitate. Invece, se! > 0 tutte le soluzioni sono instabili e le soluzioni sono, in generale, divergono per t! ". Lasciamo al Lettore la dimostrazione di queste proprietà. Facciamo notare che non esistono sistemi lineari fisicamente realizzabili governati dall equazione (6.16) con! > 0. L equazione (6.16) con! > 0 può essere solo il modello linearizzato di un equazione non lineare più complessa, come faremo vedere nel prossimo esempio. A causa delle non linearità nascono effetti di saturazione che limitano il valore della soluzione.

6 Criteri di stabilità Lo studio della stabilità delle soluzioni di equazioni non lineari è un problema estremamente complesso e quando può essere risolto richiede tecniche particolari. Come ora vedremo, esso può essere effettuato senza dover risolvere necessariamente l equazione. Studieremo le proprietà di stabilità della soluzione u = u( t) del problema (6.3) attraverso una tecnica molto generale. Si consideri la differenza!u( t) =!u ( t) " u( t) (6.17) tra la soluzione u = u( t) del problema (6.3) e la soluzione del problema " d!u $ = f ( #!u,t ), $!u 0 = u 0 +!u 0. (6.18) Cerchiamo l equazione che governa la differenza!u( t). Sottraendo membro a membro le equazioni dei problemi (6.3) e (6.18) abbiamo # d!u $ &!u t 0 = f (!u,t ) " f ( u,t), ( ) =!u 0. (6.19) Dal teorema della media (formula di Lagrange) abbiamo che, se f ( u,t) è differenziabile esiste un 0! "! 1 tale per ogni u e!u f (!u )! f ( u) = "f (!u! u) (6.20) "u u # dove u! =!u + ( 1"!)!u. Combinando la prima delle equazioni (6.19) e la (6.20) si ha d!u = "f!u. (6.21) "u u # Moltiplicando ambo i membri della (6.21) per!u otteniamo d!u 2 = 2 "f "u u #!u2. (6.22)

7 7 Consideriamo, ora, i tre casi: a)!f /!u " 0 per ogni u!" ; b)!f /!u < 0 per ogni u!" con!f /!u " #$ min dove! min > 0 è una costante; c)!f /!u > 0 per u!d dove D è un intervallo limitato di!. Nel caso a) si ha d!u 2 " 0, (6.23) quindi deve essere necessariamente!u 2 2 ( t) "!u 0 (6.24) ( ) non può crescere. In questo caso la soluzione u( t) è stabile. La perché!u 2 t condizione!f /!u " 0 è la generalizzazione al caso non lineare della condizione! = 0 per l equazione lineare. Nel caso b) si ha d!u 2 " #2$ min!u 2. (6.25) Integrando per parti si ottiene quindi ovvero!u 2 t ( ) "!u 2 0 exp #2$ min ( t # t 0 ) & ' (, (6.26) lim#u t t!" ( ) = 0, (6.27) lim $!u t &' = 0. (6.28) t!" ( ) # u( t) In questo caso la soluzione u( t) è asintoticamente stabile. La condizione!f /!u < 0 è la generalizzazione al caso non lineare della condizione! < 0 per l equazione lineare. Nel caso c) si ha

8 8 d!u 2 > 0 per u! "D. (6.29) In queste situazioni la soluzione u( t) è instabile perché!u 2 cresce fino a quando la (6.29) è verificata. La condizione!f /!u > 0 è la generalizzazione al caso non lineare della condizione! > 0 per l equazione lineare. Riassumendo, abbiamo il seguente criterio di stabilità: a) se!f /!u " 0 per ogni u!" tutte le soluzioni sono stabili; b) se!f /!u < 0 per ogni u!" con!f /!u " #$ min dove! min > 0 è una costante, tutte le soluzioni sono asintoticamente stabili; c) se!f /!u > 0 per u!d dove D è un intervallo limitato di! possono esserci soluzioni instabili. Applicheremo, ora, questi risultati alle soluzioni del circuito di Figura 6.1. Esempio 6.3 Per evidenziare alcuni aspetti fondamentali della stabilità che saranno ampiamente utilizzati in questa Nota studieremo il problema della stabilità delle soluzioni del circuito di Figura 6.1. Solo per semplificare la trattazione, tratteremo il caso in cui la tensione del generatore di tensione sia costante nel tempo, e( t) = E 0. In questo caso, il circuito ha soluzioni stazionarie. Analizzeremo le proprietà di stabilità di queste soluzioni in due diverse situazioni: a) il resistore non lineare N è un diodo a giunzione pn; b) il resistore non lineare N è un diodo tunnel. Figura 6.3 Studio grafico delle dinamiche delle soluzioni del circuito di Figura 6.1.

9 9 Le soluzioni stazionarie sono rappresentate dalle intersezioni della curva caratteristica del resistore non lineare con la retta che rappresenta la funzione (retta di carico, Figura 6.3) i = E! v R. (6.30) In Figura 6.3a è riportata l intersezione della retta di carico con la curva caratteristica del diodo a giunzione pn; in Figura 6.3b è riportata l intersezione della retta di carico con la curva caratteristica del diodo tunnel. Nel primo caso c è una sola intersezione e, quindi, una sola soluzione stazionaria, perché la curva caratteristica del diodo a giunzione pn è monotona crescente. Nel secondo caso, invece, è possibile avere tre intersezioni e, quindi, tre soluzioni stazionarie perché la curva caratteristica del diodo tunnel non è monotona, ha un tratto a pendenza negativa. Analizziamo, ora la stabilità di queste soluzioni stazionarie. Caso a) La caratteristica del diodo a giunzione pn può essere rappresentata attraverso la relazione approssimata g( v) = I s e v/v T (! 1 ) (6.31) con I S = 10!15 A e V T = 26mV ; per gli altri parametri si assuma E 0 = 1V e R = 1!. In questo caso l equazione (6.9) ha una sola soluzione stazionaria. Utilizzando il Programma 5.2 possiamo calcolare questa soluzione. Essa è V! 0.87V. Per studiare la stabilità della soluzione stazionaria utilizziamo sia il criterio di stabilità appena dimostrato, sia un metodo grafico. In questo caso la funzione f v,t ( ) è data da quindi f ( v,t) =! 1 C " v R + I s e v/v T (! 1) # $ & ' + E RC, (6.32) df dv =! 1 C " # $ 1 R + I s V T e v/v T & ' (! 1 RC < 0. (6.33) Essendo la curva caratteristica del diodo a giunzione pn monotona crescente, il resistore lineare e il condensatore passivi ( R > 0 e C > 0 ), la funzione f è monotona decrescente nella variabile v. In base al criterio di stabilità, tutte le soluzioni sono asintoticamente stabili, quindi lo è anche quella stazionaria. Dimostreremo, ora, che la soluzione stazionaria è asintoticamente stabile anche attraverso un metodo grafico. Riportiamo su un piano che ha come asse delle ascisse la tensione v sia la curva caratteristica del diodo, sia la retta di carica, Figura 6.3a. Come

10 10 abbiamo già messo in evidenza in corrispondenza del punto di intersezione tra la retta e la curva caratteristica del diodo si ha dv = 0. (6.34) L ascissa di questo punto è la soluzione stazionaria del circuito. Dalla Figura 6.3a si evince immediatamente che dv > 0 per v < V, (6.35) dv < 0 per V < v. ( ) < V, sia se v( 0) > V si ha v( t)! V per t! ". Pertanto, la Di conseguenza, sia se v 0 soluzione stazionaria v = V è una soluzione asintoticamente stabile: comunque sia il valore della condizione iniziale la soluzione tende alla soluzione stazionaria v = V per t! ". Caso b) La caratteristica del diodo tunnel può essere rappresentata attraverso la relazione approssimata dove a 1 = 6.0! "1, a 2 =!4.5 "V g( v) = a 3 v 3 + a 2 v 2 + a 1 v (6.36) ( )!1, a 3 = 1!V 2 ( ) "1. Si assuma E 0 = 15V e R = 6!. In questo caso l equazione (6.9) ha tre soluzioni stazionarie come abbiamo visto attraverso il metodo grafico. Utilizzando il Programma 5.2 possiamo calcolare queste soluzioni. Esse sono: V 1! V, V 2 = 1.5 e V 3 = V. Ora ne studieremo le proprietà di stabilità. Anche in questo caso per studiare la stabilità della soluzione stazionaria utilizziamo sia il criterio di stabilità appena dimostrato, sia un metodo grafico. In questo caso la funzione f v,t ( ) è data da quindi f ( v,t) =! 1 C df dv =! 1 C " v R + a 3 v3 + a 2 v 2 + a 1 v # $ & ' + E RC, (6.37) " 3a 3v 2 + 2a 2 v + a # $ R& '. (6.38)

11 11 In un intorno D della soluzione stazionaria v = V 2 si ha df / dv > 0. Ciò è conseguenza del fatto che la curva caratteristica del diodo tunnel ha un tratto con pendenza negativa in quello intorno e la retta di carico ha pendenza in valore assoluto più piccola della pendenza della curva caratteristica del diodo in v = V 2. In base al criterio di stabilità, possono esistere soluzioni instabili. In particolare, la soluzione stazionaria v = V 2 è instabile. Dimostreremo, ora, che la soluzione stazionaria v = V 2 è instabile anche attraverso il metodo grafico. Riportiamo sul piano che ha come asse delle ascisse la tensione v sia la curva caratteristica del diodo tunnel, sia la retta di carico (Figura 6.3b). In corrispondenza dei punti di intersezione tra la retta e la curva caratteristica del diodo tunnel si ha di nuovo dv = 0. (6.39) Le ascisse di questi punti sono le soluzioni stazionarie del circuito. Dalla Figura 6.3b si evince immediatamente che dv > 0 per v < V 1 e V 2 < v < V 3, dv < 0 per V 1 < v < V 2 e v < V 3. (6.40) ( ) < V 1 o V 1 < v( 0) < V 2 si ha v( t)! V 1 per t! ", mentre se se ( ) > V 3 o V 2 < v( 0) < V 3 si ha v( t)! V 3 per t! ". La soluzione stazionaria v = V 2 ( ) = V 2. Pertanto, le soluzioni Di conseguenza se v 0 v 0 non può essere mai raggiunta a meno che non si abbia v 0 stazionarie v = V 1 e v = V 3 sono asintoticamente stabili, mentre la soluzione stazionaria v = V 2 è instabile. La soluzione stazionaria v = V 2 è instabile perché essa si trova sul tratto della curva caratteristica del diodo a pendenza negativa, mentre le altre due soluzioni stazionarie sono asintoticamente stabili perché si trovano sul tratto a pendenza positiva. Non sarebbe fisicamente ammissibile una curva caratteristica monotona decrescente ovunque (con la convenzione dell utilizzatore) per motivi di natura energetica, di conseguenza si può avere df / dv > 0 solo in regioni limitate del dominio di definizione di f. Essendo df / dv > 0 in una regione limitata D del dominio di definizione di f v ( ), le soluzioni con condizioni iniziali appartenenti a D sono instabili ma non divergono per t! ". Le soluzioni instabili del circuito, a differenza delle soluzioni dell equazione (6.16) con! > 0, non divergono per t! " : tendono al regime stazionario v = V 1 o v = V 3 a seconda delle condizioni iniziali. Instabilità non è affatto sinonimo di soluzione con crescita illimitata!!!

12 12 Modello linearizzato Ora chiariremo perché è instabile proprio la soluzione che si trova sul tratto a pendenza negativa della curva caratteristica del diodo tunnel. Indichiamo con V una soluzione stazionaria del circuito e analizziamo l andamento di una soluzione v = v t con condizione iniziale molto prossima ad essa. La soluzione v t ponendo ( ) ( ) può essere cercata con v( t) = V +!v( t) (6.41)!v( t = t 0 ) =!v 0 (6.42) e!v 0 << V. Essendo!v 0 piccolo possiamo ritenere che esista almeno un intervallo di tempo finito durante il quale l ampiezza massima di!v sia piccola se confrontata con la soluzione stazionaria V. Sostituendo la (6.41) nella (6.9), trascurando i termini di ordine di grandezza superiori a quello lineare, otteniamo il modello linearizzato (del circuito di Figura 6.1 intorno alla soluzione stazionaria v = V ) dove d!v = "!v R eq C, (6.43) R!1 eq = 1 R + dg dv v=v. (6.44) Se dg / dv v=v > 0 (ciò può accadere, ad esempio, se il resistore non lineare è un diodo a giunzione pn o se la soluzione stazionaria è sul tratto a pendenza positiva della curva caratteristica del diodo tunnel) si ha R eq > 0 e!v( t) " 0 per t! ". In queste situazioni la soluzione stazionaria v = V è asintoticamente stabile. Invece, se dg / dv v=v < 0 (ciò può accadere, ad esempio, se il resistore non lineare è un diodo tunnel e la soluzione stazionaria è sul tratto a pendenza negativa) si può verificare che R eq < 0 e!v t ( ) " # per t! ". In questa situazione la soluzione stazionaria v = V è instabile. Si osservi che il modello linearizzato, a differenza del modello non lineare completo, non è in grado di prevedere la saturazione dell instabilità dovuto alla presenza della non linearità.

13 Metodi alle differenze finite La strategia generale dei metodi alle differenze finite per risolvere un problema del tipo (6.3) consiste nel dividere l intervallo di integrazione I =! " t 0,t f # $ (t f non può che essere di lunghezza finita), in N sottointervalli I k = [ t k,t k +1 ] n = 0,1,..., N! 1, di ampiezza (uniforme, solo per semplicità) Si ha!t = t f " t 0 N. (6.45) t k = t 0 + k!t per k = 1,2,..., N. (6.46) Il parametro!t è il passo di discretizzazione dell intervallo I. L obiettivo è determinare i valori della funzione incognita u agli istanti t 1,t 2,... a partire dalla conoscenza del suo valore all istante t 0, u 1 = u( t 1 ),u 2 = u( t 2 ),...,u k = u( t k ),.... (6.47) La successione dei valori u 1,u 2,...,u k,... costituisce la soluzione del problema (6.3). Per!t " 0 il numero di campioni N dell intervallo finito I tende all infinito e otteniamo la funzione u = u( t). E evidente che in una simulazione numerica per quanto!t possa essere scelto piccolo deve essere diverso da zero. Nella Nota 7 sarà affrontato il problema di come recuperare i valori della soluzione in istanti di tempo diversi da quelli della discretizzazione attraverso tecniche di interpolazione. Per determinare le equazioni per i campioni u 1,u 2,...,u k,... bisogna algebrizzare l operatore di derivata temporale che compare nelle (6.3), cioè bisogna determinare una approssimazione dell operatore derivata in termini di sole operazioni algebriche (somme, differenze, ) Metodo di Eulero esplicito La funzione incognita u = u( t) sia sufficientemente regolare da poter essere sviluppata attraverso la formula di Taylor di ordine 2. Allora esiste un istante!t k!i k tale che u( t k +1 ) = u( t k ) + du ovvero (notazione sintetica) t =t k ( t k +1! t k ) + 1 d 2 u 2 2 t =!t k ( t k +1! t k ) 2, (6.48)

14 14 u k +1 = u k + du t =t k!t d 2 u 2 t =!t k!t 2. (6.49) La (6.49) dà du t =t k = u k +1! u k "t! 1 2 d 2 u 2 t =!t k "t. (6.50) Per!t " 0 il secondo termine a destra della relazione (6.50) tende a zero, mentre il primo termine tende ad un valore finito, in generale diverso da zero. Questa relazione ci suggerisce che possiamo approssimare il valore della derivata prima di u all istante t = t k attraverso la differenza finita 4 du t =t k! u k +1 " u k #t, (6.51) a patto di tollerare un errore che va a zero come!t per!t " 0. Questa è la formula alle differenze finite di Eulero esplicito per l operatore di derivata prima. Dall equazione (6.3) si ha anche du t =t k = f ( u k ;t k ). (6.52) Combinando le (6.51) e (6.52) si ottiene l equazione (approssimata) che governa la successione u 1,u 2,...,u k,... u k +1! u k + "tf ( u k ;t k ). (6.53) Questo è il metodo di Eulero esplicito. La (6.53) è risolta iterativamente per k = 0,1,... a partire dal valore iniziale u 0 assegnato attraverso la condizione iniziale (6.3). L aggettivo esplicito sta ad indicare il fatto che la legge (6.53) dà in modo esplicito il valore u k +1 (incognito) in funzione del valore u k (noto al passo precedente). L errore che si commette con il metodo di Eulero esplicito (la differenza tra la soluzione numerica e quella esatta), a causa del fatto che nella (6.51) è stato trascurato il termine 0.5!! u ("t k )!t prende il nome di errore di troncamento 5. Il metodo di Eulero esplicito è un metodo alle differenze finite del primo ordine perché l errore di 4 Il significato geometrico della (6.51) è immediato: approssimiamo la tangente della curva, che rappresenta nel piano ( t, u) la funzione u = u ( t) ) nel punto con coordinate ( t k,u k ) con la secante passante per i punti ( t k,u k ) e ( t k+1,u k+1 ). 5 Nel testo, per ridurre l ingombro, indicheremo con!u, u!!,, le derivate ordinarie di u rispetto al tempo di ordine 1, 2,.

15 15 troncamento tende a zero linearmente in!t per!t " 0 : l ordine di grandezza dell errore è O (!t) 6. La successione u 1,u 2,...,u k,... generata dalla (6.53) a partire dal valore iniziale u 0 è una soluzione approssimata del problema originario sia a causa dell errore di troncamento, sia a causa dell errore di arrotondamento dovuto alla precisione finita delle macchine di calcolo. Nel Programma 6.1 viene implementato il metodo di Eulero esplicito, [6.2]. Le variabili t0, T, N e y0 sono, rispettivamente, l istante iniziale, l istante finale, il numero di intervalli elementari in cui è discretizzato l intervallo ( t 0,t f ) e il valore iniziale. La variabile f è una stringa che dà f ( u;t) in funzione di u e t. Programma 6.1: Eulero esplicito function [t,u]=eulesp1d(t0,t,n,f,y0) Metodo di Eulero esplicito: risolve il sistema di ode dy/=f(y;t) h=(t-t0)/n;tt=[t0:h:t]; u(1)=y0; for i=2:n+1 y=u(i-1); t=tt(i-1); u(i)=y+h*eval(f)'; end t=tt; return Una questione fondamentale è come scegliere il passo di discretizzazione!t. Da questa scelta dipende l errore. Indichiamo con u! = u! ( t) la soluzione esatta del problema in esame. L errore e k è definito come e k = u k! u " ( ). (6.54) Affronteremo in dettaglio questa questione nel prossimo paragrafo, per ora ci limiteremo a fare qualche considerazione del tutto generale aiutandoci con un esempio. Esempio 6.4 Risolviamo attraverso il metodo di Eulero esplicito l equazione lineare t k du =! u " (6.55) con! > 0 e condizione iniziale u( t = 0) = u 0. Abbiamo considerato come primo esempio questo problema perché la soluzione è esprimibile in forma analitica, 6 Con il simbolo O (!t p ) indichiamo una grandezza che tende a zero almeno come!t p per!t.

16 16 u! ( t) = u 0 e "t /# per t! 0, (6.56) e quindi possiamo valutare l errore introdotto nella soluzione numerica dall approssimazione (6.51). La (6.56) è l esempio più semplice di soluzione asintoticamente stabile: qualunque sia il valore iniziale u 0 si ha u! ( t) " 0 per t! ". Si intuisce che per ottenere una buona approssimazione con il metodo di Eulero è necessario che il passo di discretizzazione temporale!t sia molto più piccolo della costante di tempo!. In Tabelle 6.1 riportiamo l andamento dell errore e k ottenuto risolvendo l equazione in esame con il Programma 6.1 per due valori del passo di integrazione. Come ci aspettavamo al diminuire di!t l errore diminuisce linearmente in!t. Tabella 6.1 ( ) t k /! e k per!t / " = 10 #2 e k per!t / " = 10 #3 u! t k !10 "4 9.7!10 " !10 "3 1.5!10 " !10 "3 1.8!10 " !10 "3 1.4!10 " !10 "4 3.6!10 "5 0.18!10 " !10 "6 2.3!10 "7 0.45!10 "4 Cosa accade se scegliamo!t confrontabile con!? L errore cresce al crescere di!t ma l andamento qualitativo resta invariato fino a quando!t = 2". Per!t > 2" la soluzione numerica diventa completamente diversa da quella esatta. Cosa accade? Possiamo vederlo subito particolarizzando la (6.53) al caso in esame. Abbiamo dove u k =!u k "1 (6.57)! = 1" #t / $. (6.58) La soluzione dell equazione alle differenze (6.57) con il valore iniziale u 0 è u k =! k u 0 per k = 1,2,.... (6.59) Innanzitutto, per!t < 2" si ha! < 1 e anche la soluzione numerica è asintoticamente stabile. Per!t < " si ha 0 <! < 1 e u k tende a zero per k! " con legge monotona; per!t = " si ha! = 1 e u k = u 0 ; per! < "t < 2! si ha!1 < " < 0 e u k tende a zero per ( ) k u 0 (oscilla con ampiezza k! " oscillando; per!t = 2" si ha! = "1 e u k =!1 costante); infine, per!t > 2" si ha! < "1 e u k diverge (oscillando) per k! ". In conclusione, solo per!t < 2" la soluzione numerica è asintoticamente stabile. Inoltre,

17 17 solo per!t < " la soluzione numerica ha lo stesso andamento qualitativo della soluzione esatta, cioè tende a zero con andamento monotono per k! ". Esercizio 6.1 Si consideri il circuito di Figura 6.1 assumendo che il resistore non lineare sia un diodo a giunzione pn descrivibile attraverso l equazione g( v) = I s e v/v T (! 1 ) (6.60) con I S = 10!15 A e V T = 26mV ; per gli altri parametri si assuma e( t) = 1V e R = 1!. Si risolva l equazione con v( 0) = 0 usando il Programma 6.2 con t 0 = 0, T = 5ms e N = 100. Il circuito in esame raggiunge il regime stazionario per t! ". Si confronti il valore della tensione a regime ottenuta con il Programma 6.2 con il valore ottenuto risolvendo il circuito resistivo equivalente di regime con il metodo di Newton-Raphson (Programma 5.2). Infine, si ripeta la simulazione variando il passo di discretizzazione. Esempio 6.5 Risolviamo attraverso il metodo di eulero esplicito l equazione du = u! (6.61) con! > 0 e condizione iniziale u( t = 0) = u 0. La soluzione è u! ( t) = u 0 e t /" per t! 0 (6.62) e diverge t! " con costante di tempo!. Questo è l esempio più semplice di soluzione instabile. Applicando il metodo di Eulero esplicito a questa equazione abbiamo di nuovo l equazione (6.57) con! dato da! = 1+ "t / #. (6.63) Per ogni valore di!t > 0 la soluzione numerica è instabile e diverge con legge monotona allo stesso modo della soluzione esatta. Anche in questo caso, se vogliamo una soluzione

18 18 numerica accurata, che non sia solo qualitativamente ma anche quantitativamente vicina alla soluzione esatta, dobbiamo scegliere!t molto più piccolo della costante di tempo!. Possiamo concludere questo paragrafo notando che il metodo di Eulero esplicito preserva, almeno qualitativamente, l andamento delle soluzioni instabili comunque sia il valore di!t. Invece, per preservare l andamento qualitativo delle soluzioni asintoticamente stabili bisogna scegliere un!t più piccolo di due volte la costante tempo caratteristica della soluzione Metodo di Eulero implicito Ora illustreremo un altro metodo di discretizzazione per equazioni differenziali del primo ordine. La (6.48) dà u k +1 attraverso un espansione di u nell intono dell istante t k. C è un altra possibilità, esprimere u k attraverso una espansione di u nell intorno dell istante t k +1. Come per la (6.48), esiste un istante ˆt k!i k tale che u( t k ) = u( t k +1 ) + du ovvero (notazione sintetica) t =t k+1 ( t k! t k +1 ) + 1 d 2 u 2 2 t = ˆt k ( t k! t k +1 ) 2, (6.64) u k = u k +1! du t =t k+1 "t d 2 u 2 t = ˆt k "t 2. (6.65) La (6.65) dà per!t " 0 du t =t k+1 = u k +1! u k "t! 1 2 d 2 u 2 t = ˆt k "t. (6.66) Come nel caso del metodo di Eulero esplicito, la (6.66) suggerisce che il valore della derivata prima di u all istante t = t k +1 può essere approssimato attraverso la differenza finita du t =t k+1! u k +1 " u k #t, (6.67)

19 19 a patto di tollerare un errore che va a zero come!t per!t " 0 7. Questa è la formula di Eulero implicito per l operatore di derivata prima. La differenza tra la (6.67) e la (6.51) sta nel fatto che nella (6.67) si considera il valore della derivata all istante t k +1 mentre nella (6.51) si considera il valore della derivata all istante t k, l espressione a destra è la stessa. Dall equazione (6.3) si ha du t =t k+1 = f ( u k +1 ;t k +1 ). (6.68) Combinando le (6.67) e (6.68) si ottiene un altra equazione (approssimata) che governa la successione u 1,u 2,...,u k,... u k +1! "tf ( u k +1 ;t k +1 ) = u k (6.69) a partire da un assegnato valore iniziale u 0. Questa equazione ha una forma completamente diversa dalla (6.53). Essa dà u k +1 in funzione di u k in forma implicita: ad ogni passo dell iterazione bisogna risolvere, in generale, un equazione algebrica non lineare. Questo è il metodo di Eulero implicito. Come il metodo di Eulero esplicito, anche quello implicito è un metodo alle differenze finite del primo ordine: l errore di troncamento tende a zero come!t per!t " 0. In seguito vedremo che il metodo di Eulero implicito ha proprietà di stabilità numerica diverse da quelle del metodo di Eulero esplicito. Programma 6.2: Eulero implicito function [t,u]=eulimp1d(t0,t,n,f,df,y0) Metodo di Eulero implicito: dy/=f(y;t) h=(t-t0)/n;tt=[t0:h:t]; u(1)=y0; for i=2:n+1 t=tt(i); fun=['y-',num2str(h,16),'*(',char(f),')-',num2str(u(i-1),16)]; dfun=['1-',num2str(h,16),'*(',char(df),')']; u(i)=zerof1d(fun,dfun,u(i-1),t); end t=tt; return 7 Il significato geometrico della (6.67) è immediato: approssimiamo la tangente della curva, che rappresenta nel piano t, u passante per i punti t k,u k ( ) la funzione u = u ( t) ) nel punto con coordinate ( t k+1,u k+1 ) con la secante ( ) e ( t k+1,u k+1 ).

20 20 Programma 6.3: Soluzione dell equazione (6.69) function [zero]=zerof1d(f,df,x0,t) Risolve l equazione algebrica non lineare uk+1-dt*f(uk+1;tk+1)-uk=0 attraverso l algoritmo di Newton-Raphson nmax=1000;toll=1.e-13; [zero,niter]=newton1d(f,df,t,x0,toll,nmax); return Nel Programma 6.2 riportiamo una implementazione del metodo di Eulero implicito, [6.2]. Si noti l uso della function zerof per la soluzione dell equazione algebrica non lineare (6.69) ad ogni passo dell iterazione di Eulero. La soluzione iniziale di tentativo per zerof al passo k + 1 dell iterazione di Eulero è scelta uguale u k, la soluzione al passo precedente dell iterazione di Eulero. Nel Programma 6.3 si riporta una implementazione di questa funzione che si basa sull algoritmo di Newton-Raphson (vedi Programma 5.2). Perché considerare un metodo così complicato, che richiede per essere implementato addirittura la soluzione ad ogni passo di un equazione algebrica non lineare? Daremo una risposta precisa a questa domanda nel prossimo paragrafo. Per il momento ci limiteremo a fare qualche considerazione prendendo spunto da quanto si osserva in un caso particolare ma significativo. Esempio 6.6 Risolviamo l equazione dell Esempio 6.4 impiegando il metodo di Eulero implicito. Particolarizzando la (6.69) all equazione lineare (6.55) si ha di nuovo l equazione (6.57), ma in questo caso il parametro! è dato da! = "t / #. (6.70) E evidente che (essendo per ipotesi! > 0 ) si ha 0 <! < 1 per ogni!t > 0. Dunque, con il metodo di Eulero implicito, comunque si sceglie il valore di!t, l andamento qualitativo della soluzione numerica riproduce quello della soluzione esatta. E chiaro che quando più piccolo sarà!t tanto più piccolo sarà lo scostamento quantitativo della soluzione numerica da quella esatta. Esercizio 6.2 Risolvere il problema dell Esercizio 6.1 con il metodo di Eulero implicito.

21 21 Esempio 6.7 Risolviamo l equazione dell Esempio 6.5 impiegando il metodo di Eulero implicito. Particolarizzando la (6.69) all equazione lineare (6.55) si ha di nuovo l equazione (6.57), ma in questo caso il parametro! è dato da! = 1 1 " #t / $. (6.71) Innanzitutto, per 0 <!t < 2" si ha! > 1 e anche la soluzione numerica è instabile. Per 0 <!t < " si ha! > 1 e u k tende diverge per k! " con legge monotona; per!t = " si ha! = " e u k =! ; per! < "t < 2! si ha! < "1 e u k ancora diverge per k! " ma ( ) k u 0 (oscilla con ampiezza costante); infine, oscilla; per!t = 2" si ha! = "1 e u k =!1 per!t > 2" si ha!1 < " < 0 e u k tende a zero per k! " oscillando. Allora, solo per!t < " la soluzione numerica ha un andamento qualitativo che riproduce quello della soluzione esatta. Già per!t = " la soluzione è molto diversa. Possiamo concludere questo paragrafo notando che il metodo di Eulero implicito preserva, almeno qualitativamente, l andamento delle soluzioni asintoticamente stabili comunque sia il valore di!t. Invece, per preservare l andamento di soluzioni instabili bisogna scegliere un!t più piccolo della costante di tempo caratteristica della soluzione. C è una sorta di complementarietà tra il metodo di Eulero esplicito e quello implicito Metodo di Crank-Nicolson In questo paragrafo presenteremo un metodo che, a differenza dei metodi di Eulero, è del secondo ordine e preserva il comportamento qualitativo sia delle soluzioni asintoticamente stabili che di quelle instabili comunque si scelga il passo di discretizzazione. Applichiamo la formula di Taylor al terzo ordine prima per esprimere u k +1 in funzione di u k +1/2! u( t k +1/2 ), (6.72) dove t k +1/2! t k + "t 2 = t + t k k +1! t k, (6.73) 2 e poi per esprimere u k in funzione sempre di u k +1/2 ; t k è la media aritmetica tra t k e t k +1. Allora, per!t " 0 otteniamo

22 22 e u k +1 = u k +1/2 + du u k = u k +1/2! du!t t =t k+1/2 2 + d 2 u 2 "t t =t k+1/2 2 + d 2 u 2 t =t k+1/2 t =t k+1/2!t 2 "t O!t O "t 3 ( ) (6.74) ( ). (6.75) Sottraendo membro a membro le (6.74) e (6.75) abbiamo du t =t k+1/2 = u k +1! u k "t + O ("t 2 ). (6.76) La (6.76) dà per!t sufficientemente piccolo du t =t k+1/2! u k +1 " u k #t. (6.77) Questa è la formula della derivata centrale 8. Essa è del secondo ordine perché l errore commesso tende a zero come!t 2 per!t " 0. Dall equazione (6.3) abbiamo che du t =t k+1/2 = f ( u k +1/2 ;t k +1/2 ). (6.78) E poco utile combinare le (6.77) e (6.78), perché la (6.78) richiede il valore della funzione incognita all istante intermedio t k +1/2, mentre la (6.77) richiede i valori della funzione incognita negli istanti t k e t k +1. Attraverso l interpolazione possiamo esprimere il secondo membro della (6.78) in funzione dei campioni u k e u k +1 e degli istanti di tempo t k e t k +1 con un errore che tende a zero almeno come!t 2 per!t " 0. Ora cercheremo questa interpolazione. Sommando membro a membro le (6.74) e (6.75) otteniamo u k! u k +1 + u k 2 = u k +1/2 + O ("t 2 ). (6.79) Con i simboli u k indichiamo la media aritmetica tra u k e u k +1. Dalla (6.79) segue che ( ) = f u k + O!t 2 f u k +1/2 ;t k +1/2 ( ( ); t k ). (6.80) 8 Il significato geometrico della (6.77) è immediato: approssimiamo la tangente della curva, che rappresenta nel piano t, u passante per i punti t k,u k ( ) la funzione u = u ( t) ) nel punto con coordinate ( t k+1/2,u k+1/2 ) con la secante ( ) e ( t k+1,u k+1 ).

23 23 ( ), prima per ( ) in Applichiamo, ora, la formula di Taylor alla funzione di due variabili f u,t esprimere f ( u k +1,t k +1 ) in funzione di f ( u k + O (!t 2 ); t k ) e poi per esprimere f u k,t k funzione della stessa grandezza. Ignorando i termini dal terzo ordine in poi otteniamo e ( )! f u k + O "t 2 f u k +1,t k +1 ( )! f u k + O "t 2 f u k,t k ( ( ); t k ) + #f ( ( ); t k ) # $f Sottraendo membro abbiamo quindi per!t " 0 #u u =u t = t $u u =u t = t f u k + O (!t 2 ); t k & ' & ' u k +1 $ u k 2 u k +1 # u k 2 ( ) = f u k +1,t k +1 f u k + O (!t 2 ); t k ( ) * + #f #t ( ) * # $f $t u =u t = t u =u t = t & ' ( ) + f ( u k,t k ) ( ) " f u k +1,t k +1 2 & ' t k +1 $ t k 2 t k +1 # t k 2 ( ) + f ( u k,t k ) 2 ( ) * + O ("t 2 ) (6.81) ( ) * + O ("t 2 ). (6.82) + O (!t 2 ), (6.83). (6.84) Questa è la formula di interpolazione che cercavamo. L errore nella (6.84) tende a zero come!t 2 per!t " 0, quindi è una formula di interpolazione del secondo ordine. Combinando le (6.77) e (6.83) abbiamo il metodo di Crank-Nicolson u k +1! "t 2 f ( u,t k +1 k +1) = u k + "t 2 f ( u,t k k ). (6.85) L errore di troncamento tende a zero come!t 2 per!t " 0 perché sia la (6.77) che la (6.83) sono formule del secondo ordine. Per questa ragione si dice che il metodo di Crank-Nicolson è un metodo alle differenze finite del secondo ordine. Come il metodo di Eulero implicito, anche il metodo di Crank-Nicolson dà in forma implicita u k +1 in funzione di u k : ad ogni passo dell iterazione bisogna risolvere un equazione algebrica non lineare. Nel Programma 6.4 viene presentata una implementazione in MATLAB del metodo di Crank-Nicolson, [6.2]. Questo programma richiede gli stessi parametri del Programma 6.2 e la function zerof implementata nel Programma 5.3.

24 24 Programma 6.4 Crank-Nicolson function [t,u]=cranknic1d(t0,t,n,f,df,y0) Metodo di Crank-Nicolson per risolvere l'equazione dy/=f(y;t) h=(t-t0)/n;tt=[t0:h:t]; u(1)=y0; for i=2:n+1 y=u(i-1);t=tt(i-1); cc=eval(f)*h/2+y; t=tt(i); fun=['y-',num2str(h/2,16),'*(',char(f),')-',num2str(cc,16)]; dfun=['1-',num2str(h/2,16),'*(',char(df),')']; u(i)=zerof1d(fun,dfun,u(i-1),t); end t=tt; return Esercizio 6.3 Risolvere il problema dell Esempio 6.4 con il metodo di Crank-Nicolson e confrontare la soluzione numerica con quella analitica. Inoltre, confrontare l errore ottenuto con il metodo di Crank-Nicolson con l errore ottenuto con uno dei due metodi di Eulero e verificare che la precisione ottenuta con il metodo di Eulero con passo di discretizzazione!t è praticamente la stessa precisione ottenuta con il metodo di Crank- Nicolson con passo!t. Esercizio 6.4 Risolvere il problema dell Esercizio 6.1 con il metodo di Crank-Nicolson. Esempio 6.8 Consideriamo l equazione con la condizione iniziale u( t = 0) = u 0. La soluzione è du =!u (6.86) u( t) = u 0 e!t per t > 0. (6.87)

25 25 Se! < 0 la soluzione è asintoticamente stabile (tende a 0 per t! " per ogni valore di u 0 finito); se! = 0 la soluzione è stabile (è uguale in ogni istante a u 0 ); se! > 0 la soluzione è instabile (diverge per t! " ). Consideriamo ora la legge che governa la successione u 1,u 2,...,u k,... ottenuta risolvendo la (6.86) con il metodo di Crank-Nicolson. Abbiamo con u k +1 =!u k (6.88)! = 2 + "#t 2 $ "#t. (6.89) Se! = 0 si ha! = 1 e, di conseguenza, u = u 0 per ogni!t ; se! < 0 si ha! < 1 per ogni scelta di!t e, quindi, u k! 0 per k! " comunque si scelga u 0 e!t ; infine, per! > 0 si ha! > 1 per ogni scelta di!t e, quindi, u k! " per k! " comunque si scelga u 0 e!t. Il metodo di Crank-Nicolson, allora, preserva tutte le proprietà di stabilità della soluzione esatta indipendentemente dalla scelta del passo di discretizzazione. Si noti, comunque, che se! < 0 solo con!t < 1 / " la soluzione numerica decresce con andamento monotono, altrimenti decresce oscillando (per!t = 1 " si ha addirittura! = 0 ). Analoghe considerazioni valgono nell altro caso,! > 0. In conclusione, a differenza dei metodi di Eulero, il metodo di Crank-Nicolson garantisce che le proprietà di stabilità siano preservate indipendentemente dalla scelta del valore del passo di discretizzazione. Inoltre, il metodo di Crank-Nicolson è del secondo ordine Considerazioni finali I metodi presentati in questo paragrafo sono metodi alle differenze finite a un passo: la soluzione numerica all istante t k +1 richiede, per essere calcolata, il valore della soluzione solo al passo precedente t k. Metodi ad un passo più sofisticati e più accurati sono i metodi di Runge-Kutta per la cui presentazione rimandiamo a [6.3] e [6.4]. Ricordiamo che essi sono alla base di una serie di programmi MATLAB estremamente efficaci. Esistono metodi a più passi (metodi alle differenze finite multi-passo): la soluzione numerica u k +1 all istante t k +1 è espressa in funzione del valore u k all istante t k, del valore u k!1 all istante t k!1 e così via. I metodi multi-passo sono più accurati di quelli a passo singolo che abbiamo illustrato. Tra i più noti e utilizzati ricordiamo i metodi di Adams-Bashford (metodi impliciti), i metodi di Adams-Moulton (metodi espliciti) e le tecniche di predictor-corrector per la cui descrizione rimandiamo a [6.3], [6.4].

26 26 Esercizio 6.5 Risolvere il problema dell Esercizio 6.1 con uno dei metodi alle differenze finite implementati in MATLAB. 6.3 Errore globale e stabilità numerica I metodi alle differenze finite sono metodi approssimati, quindi la soluzione ottenuta attraverso di essi è affetta da errore. Abbiamo due tipi di errori: l errore locale e l errore globale. Indichiamo con u! = u! ( t) la soluzione esatta e con!u k la soluzione numerica al passo k che si avrebbe se la soluzione al passo precedente ( k! 1) fosse esatta. L errore locale! k è definito come mentre l errore globale e k è definito come! k =!u k " u # ( t k ), (6.90) e k = u k! u " ( ). (6.91) L errore! k prescinde dagli errori introdotti ai passi precedenti dal metodo numerico e, quindi, dipende solo dagli errori di troncamento e di arrotondamento al passo k, mentre l errore globale e k tiene conto degli errori introdotti ad ogni passo precedente. Per il momento assumiamo che l errore locale sia dovuto solo all errore di troncamento (e come se avessimo a disposizione una macchina in grado di rappresentare esattamente qualsiasi numero reale). Lasciamo al Lettore la dimostrazione che per entrambi i metodi di Eulero si ha mentre per il metodo di Crank-Nicolson si ha! k t k "t = O ( "t ), (6.92)! k "t = O ( "t 2 ). (6.93) In generale si definisce ordine dello schema alle differenze finite l intero p tale che per ogni k sia! k "t = O ( "t p ). (6.94)

27 27 Come già abbiamo visto nel precedente paragrafo i metodi di Eulero sono metodi alle differenze finite del primo ordine, mentre il metodo di Crank-Nicolson è un metodo alle differenze finite del secondo ordine. Il problema fondamentale nella soluzione di un equazione differenziale attraverso un metodo alle differenze finite è quello del controllo dell errore globale. La soluzione numerica converge alla soluzione esatta se ad ogni istante l errore globale può essere reso piccolo a piacere scegliendo opportunamente il passo!t. Il metodo alle differenze finite si dice consistente con l equazione differenziale di partenza se $ # lim k '!t"0 &!t ( ) = 0 per ogni k. (6.95) Entrambi i metodi di Eulero e il metodo di Crank-Nicolson sono consistenti. Una condizione per la convergenza è che l errore locale tenda a zero per!t " 0 e la consistenza del metodo la garantisce. In realtà, questa condizione è solo necessaria ma non sufficiente. L errore globale è il risultato dell accumulo successivo degli errori locali: ad ogni passo viene introdotto un nuovo errore locale e questo si propaga successivamente attraverso la legge che governa l iterazione e può accumularsi. Per la convergenza occorre che l errore globale non esploda per N! ", e ciò può accadere solo se la propagazione dell errore locale non dà luogo ad un accumulo dell errore. Un metodo alle differenze finite si dice numericamente stabile se la propagazione dell errore locale dà un errore globale limitato per N! ". Sotto questa ipotesi possiamo ridurre a piacere l errore globale scegliendo un passo di discretizzazione opportunamente piccolo. Due sono i possibili scenari: (a) si pensi fissato l intervallo ( t 0,t f ) e si richieda che l errore si propaghi in maniera stabile per h! 0 ; (b) si pensi fissato il passo!t e si richieda che l errore si propaghi in maniera stabile per t f! ". Il primo scenario è equivalente a richiedere la convergenza del metodo alle differenze finite. Il metodo alle differenze finite è convergente se, applicato a un problema del tipo (6.3), è tale che max u k " u # ( t k ) $ 0 per!t " 0. (6.96) 0!k! N Un metodo alle differenze finite si dice zero-stabile se esiste una costante T 0 tale che ad ogni perturbazione del valore iniziale u 0 e/o dei parametri della legge che governa l iterazione corrisponde una variazione limitata della soluzione per ogni 0 <!t < T 0. Per!t " 0 si ha N! ". I metodi di Eulero e il metodo di Crank-Nicolson sono zerostabili, lasciamo al Lettore la dimostrazione (per approfondimenti vedi [6.3], [6.4]). Il concetto di zero-stabilità è fondamentale nello studio della convergenza di un metodo alle differenze finite. Si può dimostrare (Teorema di Lax) che condizione

28 28 necessaria e sufficiente per la convergenza di un metodo alle differenze finite è che il metodo sia consistente e zero-stabile (per approfondimenti vedi [6.3], [6.4]), ovvero convergenza = consistenza + zero-stabilità. Il secondo scenario considera uno dei problemi pratici fondamentali della simulazione numerica. La convergenza dei metodi alle differenze finite non è una garanzia che essi forniscano risultati numerici accettabili. Per fissato passo!t, l errore globale deve essere limitato superiormente per k! ". In particolare, il metodo fornisce risultati accettabili se il passo di discretizzazione determina solo il comportamento quantitativo della soluzione e, quindi, l accuratezza, ma non influenza il suo comportamento qualitativo. In altre parole, la propagazione dell errore non deve avere influenza sulle proprietà di stabilità proprie delle soluzioni dell equazioni in esame, così come abbiamo già evidenziato negli Esempi Il problema del controllo della propagazione e accumulo dell errore locale può essere affrontato in due modi: (i) studiare il comportamento dell errore globale per k! " ; (ii) studiare le proprietà di stabilità del metodo alle differenze finite Comportamento dell errore globale Come ora faremo vedere, è possibile ottenere, con gli strumenti a nostra disposizione informazioni generali sull andamento dell errore globale solo per alcuni casi Metodo di Eulero esplicito Cominciamo a studiare il comportamento dell errore globale della soluzione ottenuta con il metodo di Eulero esplicito. Utilizzando le (6.48) e (6.53), per l errore e k definito dalla (6.54) abbiamo e k = u k! u " $ $ ( )& '! ) u " t k!1 ( t k ) = u k!1 + #tf u k!1 ;t k!1 ( ) + du" & t =t k!1 #t + ( k #t 2 * (6.97) ' dove! k = 0.5!! u " ( ) e t k!1 "!t k " t k. Utilizzando la (6.3), la (6.97) dà "t k e k = u k!1 + "tf ( u k!1 ;t k!1 ) #$ &! # $ u ' t k!1 ' ( ) + "tf u k!1 ( ;t k!1 ) + ( k "t 2 &. (6.98) " Essendo f differenziabile rispetto a u, esiste un 0! "! 1 tale che per ogni u k!1, u k!1 ha (teorema della media) si " ( )! f u k!1 f u k!1 ;t k!1 ( ;t k!1 ) = #f " ( ) (6.99) #u u =!u k!1 u k!1! u k!1

29 29 # dove!u k!1 = " u k!1 + ( 1! " )u k!1. Combinando, ora, le (6.98) e (6.99) si ottiene dove e k = ( 1+!t" k #1 )e k #1 + $ k!t 2 (6.100) Posto! k "1 = #f #u u =!u k"1. (6.101)! k "1 = 1 + #t$ k "1 (6.102) la (6.100) può essere così riscritta e k =! k "1 e k "1 + # k $t 2. (6.103) Posto e dalla (6.103) otteniamo! c = max k! k (6.104)! c = max! k, (6.105) k e k! " c e k #1 + $ c t 2. (6.106) Essendo e 0 = 0, la (6.103) dà e 1! " c #t 2 ( ) " c #t 2 ( ) " c #t 2 + " c #t 2 = $ 2 c + $ c + 1 e 2! $ c e 1 + " c #t 2! $ c " #t 2 + " c #t 2 = $ c + 1 e 3! $ c e 2 + " c #t 2! $ c $ c ( ) " c #t 2 (6.107) ovvero k 1 e k! " c #t 2 i & $ c per k = 1,2,.... (6.108) i=0 Essendo

30 30 k "1 i #! c = 1"! k c i=0 1"! c (6.109) dalla (6.108) si ottiene Se e k k! 1" # c $ 1" # c t 2. c (6.110)! c < 1 (6.111) dalla (6.110) segue immediatamente che per ogni k! 1 e k! " c 1 # $ c t 2. (6.112) Abbiamo ottenuto un risultato notevole: se è verificata la condizione (6.111) l errore globale è maggiorato dall espressione (6.112). Invece, se la condizione (6.111) non è verificata non possiamo, in base all analisi svolta, prevedere niente circa la dinamica dell errore. La condizione (6.111) non è certamente verificata se!f /!u " 0, quindi il risultato che abbiamo ottenuto è applicabile solo ai problemi per i quali!f /!u < 0. In questo caso la maggiorazione (6.106) non dà alcuna informazione. Consideriamo, ora la classe di problemi (6.3) per i quali!f /!u < 0, ovvero! k < 0. Si ponga allora si ha Se! min " min u 1 #f / #u, (6.113)! c = 1" #t $ min. (6.114) 0 <!t < 2" min (6.115) la condizione (6.111) è verificata e e k! " c # min $t. (6.116) Abbiamo visto nel 6.1 che per questi problemi le soluzioni sono asintoticamente stabili e limitate. Di conseguenza u!! t ( ) e, quindi,! c sono limitati per ogni k e il maggiorante dell errore e k nella (6.116) è anche esso limitato per ogni k.

31 31 Osservazione: errore di arrotondamento Abbiamo appena fatto vedere quali sono le conseguenze dell errore di troncamento sull errore globale. Quali sono gli effetti dell errore di arrotondamento? Assumiamo che vi sia errore di arrotondamento e non vi sia errore di troncamento. La (6.53) diventa! u k =! u k!1 + "tf! ( u k!1 ;t k!1 ) + # k!1 (6.117) dove con! u k indichiamo la soluzione numerica affetta da errore di arrotondamento e con! k "1 l effetto dell arrotondamento sull equazione alle differenze (6.53). Posto E k =! u k! u k si ha immediatamente E k = ( 1 +!t"! k #1 )E k #1 + $ k #1, (6.118) dove! k "1 = #f #u u = u! k"1. (6.119) Ripetendo tutto il ragionamento fatto precedentemente sull errore di troncamento otteniamo E k! " max # min $t (6.120) quando è verificata la condizione (6.115). In conclusione, per l errore globale generato dall arrotondamento e dal troncamento abbiamo ( tot) e k! " max # min $t + c # min $t. (6.121)

32 32 Figura 6.4 Andamento qualitativo dell errore globale al variare del passo di integrazione. La Figura 6.4 mostra l andamento qualitativo dell errore globale al variare del passo di integrazione!t. Esiste una soglia per il valore di!t, al di sotto della quale l errore complessivo aumenta a causa della presenza degli errori di arrotondamento. Quanto più piccolo è!t tante più cifre significative sono necessarie per rappresentare correttamente le variazioni temporali delle soluzioni. Per!t fissato è inutile avere una precisione della macchina con! max < " c #t 2. Osserviamo, tuttavia, che queste stime sono state fatte ponendoci nella situazione più sfavorevole, gli errori commessi ad ogni passo possono compensarsi Metodo di Eulero implicito Consideriamo, ora, il metodo di Eulero implicito. Utilizzando le (6.64) e (6.69) per l errore e k abbiamo e k = u k! u " $ $ ( )& '! ) u " t k +1 ( t k ) = u k +1 + #tf u k +1 ;t k +1 ( )! du" & t =t k+1 #t + ( k #t 2 * (6.122) ' dove, ora,! k = 0.5!! u " ( ˆt k ) e t k! ˆt k! t k +1. Utilizzando la (6.3)la relazione (6.122) dà e k = u k +1! "tf ( u k +1 ;t k +1 ) #$ &! # $ u ' t k +1 ' ( )! "tf u k +1 ( ;t k +1 ) + ( k "t 2 &. (6.123)

33 33 Utilizzando di nuovo il teorema della media abbiamo che esiste un 0! "! 1 tale che per! ogni u k +1 e u k +1 si ha " ( )! f u k +1 f u k +1 ;t k +1 ( ;t k +1 ) = #f " ( ) (6.124) #u u =!u k+1 u k +1! u k +1 # dove!u k +1 =! u k +1 + ( 1 "! )u k +1. Combinando le (6.123) e (6.124) si ottiene dove e k = ( 1! "t# k +1 )e k +1 + $ k "t 2 (6.125) Posto e la (6.100) può essere così riscritta! k +1 = "f "u u =!u k+1. (6.126)! k +1 =!! k = 1 1" #t$ k +1 (6.127)! k 1 " #t$ k +1, (6.128) e k +1 =! k e k "! # k $t 2. (6.129) Da questo punto in poi possiamo procedere come nel caso precedente e troviamo che se si ha! c = max k! k < 1 (6.130) e k!!" c 1 # $ c t 2 (6.131) dove!! c = max k!! k. (6.132) Se df / du < 0 la (6.130) è sempre verificata, comunque sia!t e quindi l errore verifica la condizione dove e k! " c # max $t (6.133)

34 34! max " max u 1 #f / #u. (6.134) Nei casi in cui df / du > 0 la maggiorazione (6.106) non dà alcuna informazione Metodo di Crank-Nicolson Come per il metodo di Eulero implicito, anche per il metodo di Crank-Nicolson l errore globale è limitato per ogni valore del passo!t se!f /!u < 0 (le soluzioni del problema (6.3) sono asintoticamente stabili e limitate per t! " ). Esercizio 6.6 Studiare il comportamento dell errore globale della soluzione del problema (6.3) ottenuta attraverso il metodo di Crank-Nicolson. E una proprietà generale dei metodi alle differenze finite impliciti il fatto che l errore globale è limitato per ogni valore del passo!t se!f /!u < 0. Ciò è conseguenza del fatto che, i metodi impliciti sono numericamente stabili (come tra poco vedremo) per qualsiasi valore del passo di integrazione!t se!f /!u < 0. Questa proprietà, come poi vedremo, può essere molto utile nella soluzione numerica di problemi con più di un tempo caratteristico Stabilità numerica L analisi fin qui effettuata non ci consente di analizzare la propagazione degli errori locali nel caso in cui il problema (6.3) ha anche soluzioni instabili. Questa analisi può essere effettuata attraverso un metodo più generale che sarà oggetto di questo paragrafo. Diremo che un metodo alle differenze finite è numericamente stabile in maniera incondizionata se preserva le proprietà qualitative di stabilità delle soluzioni del problema (6.3) indipendentemente dalla scelta del passo di discretizzazione!t : - la soluzione numerica di una soluzione asintoticamente stabile deve essere asintoticamente stabile; - la soluzione numerica di una soluzione stabile deve essere stabile; - la soluzione numerica di una soluzione instabile deve essere instabile. Se il metodo numerico preserva le proprietà di stabilità delle soluzioni del problema (6.3) solo per 0 <!t < " c, dove! c è un tempo caratteristico il cui valore dipende dal problema in esame e dal metodo numerico di soluzione impiegato, diremo che il metodo è condizionatamente numericamente stabile. Se sono preservate le proprietà di stabilità delle soluzioni del problema di partenza, l errore di troncamento generato dal metodo

35 35 numerico si propaga e si accumula saturando ad un valore che tende a zero al tendere a zero del passo di discretizzazione. Per analizzare le proprietà di stabilità della soluzione numerica ottenuta attraverso i metodi che abbiamo illustrato affronteremo il seguente problema. Si consideri la soluzione numerica ottenuta dalla condizione iniziale u 0 e la soluzione numerica u 1,u 2,... (6.135)!u 1,!u 2,... (6.136) ottenuta dalla condizione iniziale!u 0 = u 0 +!u 0. Studiamo la differenza!u k = u k "!u k (6.137) per k! ". La soluzione numerica è asintoticamente stabile se lim#u k = 0, è stabile se k!" lim #u k < C, dove C è una costante, ed è instabile se lim #u k = ". Ora cercheremo le k!" k!" condizioni che garantiscono che la soluzione numerica preservi le proprietà di stabilità della soluzione esatta. Analizzeremo separatamente i tre metodi alle differenze finite che abbiamo introdotto Metodo di Eulero esplicito e Essendo u k +1 =!tf ( u k ;t k ) + u k (6.138)!u k +1 =!tf (!u k ;t k ) +!u k, (6.139) sottraendo membro a membro si ottiene ( u k +1!!u k +1 ) = "t #$ f ( u k ;t k )! f (!u k ;t k ) & + ( u k!!u k ). (6.140) Dal teorema della media abbiamo che esiste un 0! "! 1 tale che per ogni u k,!u k si ha f ( u k ;t k )! f (!u k ;t k ) = "f ( u "u u =u k k!!u k ) (6.141) dove u k =! u k + ( 1"! )!u k. Combinando le (6.140) e (6.141) otteniamo

36 36 $!u k +1 = 1+ "t #f & #u u =u k ' ( )!u k. (6.142) Consideriamo, prima, il caso in cui l equazione differenziale (6.3) è lineare e a coefficienti costanti, La (6.142) diventa du =!u + b t ( ). (6.143)!u k +1 = "!u k (6.144) dove! = 1 + "#t. (6.145) La soluzione dell equazione alle differenze (6.144) è!u k = " k!u 0 per k = 1,2,.... (6.146) Se! > 0 le soluzioni del problema da risolvere sono instabili. Le soluzioni numeriche, in questo caso, sono instabili per qualsiasi valore di!t > 0. Consideriamo ora il caso in cui! < 0. Le soluzioni dell equazione (6.143) sono tutte asintoticamente stabili e la soluzione numerica è asintoticamente stabile solo se! < 1 e, quindi deve essere dove! " 1 / #. Esempio <!t < 2" (6.147) Risolviamo l equazione (6.143) usando il Programma 6.1 con! = "4, b( t) = 1 e ( ) = 0. Se!t > 0.5 la soluzione numerica diverge perché non è verificata la u t = 0 condizione di stabilità numerica (6.147). Discutiamo, ora, la situazione più generale, in cui l equazione è non lineare. Dobbiamo distinguere i due casi: (a)!f /!u < 0 per ogni u e t ; (b)!f /!u > 0 per u,t ( )!D dove D! R 2.

37 37 Caso (a) In questo caso, sotto condizioni aggiuntive poco restrittive, le soluzioni del problema di partenza sono asintoticamente stabili. Posto se! min = min u,t 1 "f / "u, (6.148) 0 <!t < 2" min (6.149) si ha!u k " 0 per k! ", altrimenti la soluzione numerica può divergere. Esempio 6.10 Risolviamo il circuito di Figura 6.1 con il metodo di Eulero esplicito, assumendo che N sia un diodo a giunzione pn, R = 1!, e t ( ) = 1V e v( t = 0) = 0. Eseguiamo il Programma 6.1 con T = 5!10 "3 ms e N = 100. In Figura 6.4 è illustrato l andamento temporale della tensione v. 1 v(t) (V) 0,8 0,6 0,4 Figura 6.4 0,2 0 t (s) 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 L equazione caratteristica del diodo è data dalla (6.31). Il tempo! min che compare nella condizione (6.149) è dato da (! min = * 1 ) C " # $ 1 R + max v dg + dv & ' -,.1. (6.150)

38 38 Se il resistore N fosse lineare con resistenza R N avremmo! min = R eq C dove ( ).Dopo circa 0.2ms la soluzione raggiunge il valore di regime R!1 eq = R!1!1 + R N (stazionario), che è uguale a V. Questo valore coincide con quello ottenuto calcolando la soluzione stazionaria del circuito con uno dei metodi descritti nella nota 5. Per stimare! min il massimo di dg / dv va cercato nell intervallo ( 0, ). Si ottiene! min " 7 #10 $5 s. La simulazione è stata effettuata con!t = 5 "10 #5. In realtà il limite di stabilità che si ottiene con il Programma 6.1 è in questo caso di circa!t = 4 "10 #4. La condizione (6.149) è conservativa. Esempio 6.11 Risolviamo il circuito analizzato nell esempio precedente con e( t) = E 0 + E m cos!t, (6.151) assumendo E 0 = E m = 1V,! = 2" / f e f = 10 3 Hz. Eseguiamo il Programma 6.1 con T = 5!10 "3 e N = 200. In Figura 6.5 è riportato l andamento temporale della soluzione. Dopo circa 2ms la soluzione raggiunge il regime, che in questo caso è periodico con periodo di 1ms. 1 v(t) (V) 0,8 0,6 0,4 Figura 6.5 0,2 0 t (s) 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 Caso (b) In questo caso l equazione (6.3) può avere soluzioni instabili. Dalla (6.142) abbiamo che

39 39!u k +1 >!u k in D (6.152) per ogni valore di!t > 0, quindi la soluzione numerica è instabile. Esempio 6.12 Risolviamo, ora, il circuito di Figura 6.1 ipotizzando che N siano un diodo tunnel, e = 10V, R = 6! e C = 1mF ; l equazione caratteristica del diodo tunnel è data dalla (6.36). Usiamo il Programma 6.1 con T = 0.02s e N = 200. In Figura 6.6 sono riportati gli andamenti temporali della tensione per due diversi valori della condizione iniziale. 2,5 v (V) 2 v 2 (0)=1.55 1,5 1 v 1 (0)=1.45 Figura 6.6 t (s) 0,5 0 0,005 0,01 0,015 0,02 In conclusione, il metodo di Eulero esplicito è condizionatamente numericamente stabile: esso preserva incondizionatamente le proprietà di stabilità delle soluzioni instabili, mentre preserva le proprietà di stabilità di quelle stabili solo se è verificata la condizione (6.149) Metodo di Eulero implicito e Essendo u k +1! "tf ( u k +1 ;t k +1 ) = u k (6.153)

40 40 sottraendo membro a membro si ottiene!u k +1! "tf (!u k +1 ;t k +1 ) =!u k, (6.154) ( u k +1!!u k +1 )! "t #$ f ( u k +1 ;t k )! f (!u k +1 ;t k ) & = u k!!u k ( ). (6.155) Applicando il teorema della media abbiamo che esiste un 0! "! 1 tale che per ogni u k +1,!u k +1 si ha f ( u k +1 ;t k )! f (!u k +1 ;t k ) = "f ( u "u u =u k+1 k +1!!u k +1 ) (6.156) dove u k +1 =! u k +1 + ( 1 "! )!u k +1. Combinando le (6.153) e (6.154) otteniamo!u k +1 1" #t $f & ' $u u =u k+1 ( ) * =!u k. (6.157) Consideriamo, prima, il caso in cui l equazione differenziale (6.3) è lineare e a coefficienti costanti, La (6.157) diventa du =!u + b t ( ). (6.158)!u k +1 = "!u k (6.159) dove ora! = 1 1 " #$t. (6.160) La soluzione dell equazione alle differenze (6.159) è!u k = " k!u 0 per k = 1,2,.... (6.161) Se! < 0 le soluzioni del problema sono asintoticamente stabili. Le soluzioni numeriche in questo caso sono asintoticamente stabili per qualsiasi valore di!t > 0. Consideriamo ora il caso in cui! > 0. Le soluzioni dell equazione (6.158) sono tutte instabili e la soluzione numerica è instabile solo se! > 1 e, quindi, dove! " 1 / #. 0 <!t < 2" (6.162)

41 41 Esempio 6.13 Risolviamo l equazione (6.158) usando il Programma 6.2 con! = "4, b( t) = 1 e ( ) = 0. Eseguiamo il programma con T = 10 e N = 10. Il passo di discretizzazione u t = 0 è!t = 1. Ricordiamo che per risolvere questa equazione con il metodo di Eulero esplicito sarebbe richiesto!t < 0.5. In Figura 6.7 è riportato l andamento della differenza tra la soluzione analitica e quella numerica. L errore più grande (circa il 18) è concentrato solo nei primi istanti di tempo, poi tende velocemente a zero. Pur essendo il passo di discretizzazione quattro volte la costante di tempo della soluzione, il valore di regime è ottenuto con una accuratezza elevata. 0,2 v anal -v num 0,15 0,1 0,05 Figura t (s) Discutiamo, ora, la situazione più generale, in cui l equazione è non lineare. Dobbiamo distinguere i due casi: (a)!f /!u < 0 per ogni u e t ; (b)!f /!u > 0 per u,t Caso (a) ( )!D dove D! R 2. In questo caso tutte le soluzioni dell equazione (6.3) sono asintoticamente stabili. Anche le soluzioni numeriche sono asintoticamente stabili qualunque sia il valore di!t. Infatti essendo $ 1! "t #f & #u u =u k+1 ' ( ) > 1 per ogni k (6.163)

42 42 si ha!u k " 0 per k! " qualunque sia il valore di!t. Esercizio 6.7 Si risolva il problema dell Esempio 6.10 con il metodo di Eulero implicito, verificando che è possibile ottenere una soluzione accurata utilizzando un passo di discretizzazione superiore a 4!10 "4 s, quindi più grande del limite di stabilità richiesto dal metodo di Eulero esplicito. Caso (b) In questo caso l equazione (6.3) può avere soluzioni instabili. Dalla (6.157) abbiamo che, se dove 0 <!t < 2" min, (6.164) # 1 &! min = min u,t $ "f / "u ' ( in D, (6.165) anche la soluzione numerica è instabile. Esempio 6.14 Risolviamo, ora, il problema trattato nell Esempio 6.12 utilizzando il metodo di Eulero implicito con u( t = 0) = 1.45, T = 1 e N = 100. La soluzione numerica tende per t! " alla soluzione stazionaria v = V 2 = 1.5, contrariamente a quanto accade nella realtà. Lo stesso si verifica per u( t = 0) = Il metodo numerico ha alterato le proprietà di stabilità delle soluzioni del problema in esame perché la condizione (6.164) non è verificata. Riducendo opportunamente il passo di discretizzazione è possibile preservare le proprietà di stabilità delle soluzioni del problema. In conclusione, anche il metodo di Eulero implicito è condizionatamente numericamente stabile: esso preserva incondizionatamente le proprietà di stabilità delle soluzioni asintoticamente stabili, mentre preserva le proprietà di stabilità di quelle instabili solo se è verificata la condizione (6.164) Metodo di Crank-Nicolson Essendo

43 43 e u k +1! "t 2 f ( u k +1;t k +1 ) = u k + "t 2 f ( u k;t k ) (6.166) sottraendo membro a membro si ottiene ( u k +1!!u k +1 )! "t!u k +1! "t 2 f (!u k +1;t k +1 ) =!u k + "t 2 f (!u k;t k ), (6.167) ( )! f (!u k +1 ;t k ) ( ) + "t f u k +1 ;t k 2 #$ & = u k!!u k Utilizzando le (6.141) e (6.156) dalla (6.168) abbiamo!u k +1 = 2 ( )! f (!u k ;t k ) #$ f u k ;t k &.(6.168) 2 + "t #f #u u =u k 2 $ "t #f!u k. (6.169) #u u =u k+1 Come al solito, consideriamo, prima, il caso in cui l equazione differenziale (6.3) è lineare e a coefficienti costanti, La (6.169) diventa dove ora du =!u + b t ( ). (6.170)!u k +1 = "!u k (6.171)! = 2 + "t# 2 $ "t#. (6.172) La soluzione dell equazione alle differenze (6.171) è!u k = " k!u 0 per k = 1,2,.... (6.173) Se! < 0 tutte le soluzioni dell equazione (6.170) sono asintoticamente stabili. Anche le soluzioni numeriche sono asintoticamente stabili per qualsiasi valore di!t > 0. Consideriamo ora il caso in cui! > 0. Le soluzioni dell equazione (6.170) sono tutte instabili e anche la soluzione numerica è instabile per ogni!t. Dunque, il metodo di Crank-Nicolson applicato ad un equazione lineare e a coefficienti costanti è incondizionatamente numericamente stabile.

44 44 Esercizio 6.8 Si verifichi al calcolatore che il metodo di Crank-Nicolson applicato all equazione (6.170) è incondizionatamente numericamente stabile. Discutiamo, ora, la situazione più generale, in cui l equazione è non lineare. Dobbiamo sempre distinguere i due casi: (a)!f /!u < 0 per ogni u e t ; (b)!f /!u > 0 per u,t Caso (a) ( )!D dove D! R 2. In questo caso tutte le soluzioni dell equazione (6.3) sono asintoticamente stabili. Anche le soluzioni numeriche sono asintoticamente stabili qualunque sia il valore di!t. Infatti essendo, per ipotesi,!f /!u < 0 si ha 2 +!t "f "u u =u k 2 #!t "f "u u =u k+1 e!u k " 0 per k! " qualunque sia il valore di!t. Esercizio 6.9 < 1 per ogni k (6.174) Si risolva il problema dell Esempio 6.10 con Programma 6.4 e verificare che il metodo di Crank-Nicolson è incondizionatamente numericamente stabile. Caso (b) In questo caso l equazione (6.3) può avere soluzioni instabili. Anche le soluzioni numeriche delle soluzioni instabili sono instabili qualunque sia il valore di!t. Infatti, essendo, per ipotesi,!f /!u > 0 in D si ha 1+!t "f "u u =u k 1 #!t "f "u u =u k+1 e la soluzione numerica è instabile qualunque sia il valore di!t. > 1 in D, (6.175)

45 45 Esempio 6.15 Risolviamo, ora, il problema trattato nell Esempio 6.12 utilizzando il metodo di Crank-Nicolson con u( t = 0) = 1.45, T = 1 e N = 100. A differenza di quanto si ottiene con il metodo di Eulero implicito, la soluzione numerica tende per t! " alla soluzione di regime stazionario v = V 2 = V, così come accade nel problema continuo. Per u( t = 0) = 1.55 la soluzione numerica tende per t! " alla soluzione di regime stazionario v = V 2 = V. In conclusione, anche il metodo di Crank-Nicolson è incondizionatamente numericamente stabile: esso preserva incondizionatamente le proprietà di stabilità sia delle soluzioni stabili che di quelle instabili. Esercizio 6.10 Risolvere con uno dei tre metodi presentati il circuito radrizzatore rappresentato in Figura 6.9. Si descriva il diodo a giunzione pn con il modello esponenziale (6.60); si lascia al lettore la scelta degli altri parametri del circuito. Se la pulsazione del generatore è molto più grande dell inverso della costante di tempo più piccola del circuito conviene scegliere un metodo implicito come metodo di soluzione. Perché? Figura 6.8 Circuito raddrizzatore. 6.4 Sistemi di equazioni differenziali lineari In questo paragrafo estenderemo i metodi introdotti per un equazione del primo ordine a un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Il problema che consideriamo è il seguente. Data una funzione b = b t matrice quadrata A = a ij ( ), i, j = 1,2,...,n, si cerca la funzione u = u t ( )!R n e una ( )!R n tale che

46 46 con du = Au + b t ( )!! du 1 # # du 2 # " # # # du n $ # u( t = t 0 ) = u 0! = a 11 u 1 + a 12 u a 1n u n + b 1 ( t) = a 21 u 1 + a 22 u a 2n u n + b 2 ( t)... = a n1 u 1 + a n2 u a 1n u n + b n ( t) 0 ( ) = u 1 0 ( ) = u 2! u 1 t = t 0 # # u 2 t = t 0 " #... # $ u n t = t 0 ( ) ( ) ( ) = u n 0 ( ). (6.176) (6.177) Il sistema di equazioni (6.176) con le condizioni iniziali (6.177) ammette sempre una ed una sola soluzione, [6.1]. Nel prossimo paragrafo analizzeremo la situazione più generale di sistemi di equazioni differenziali del primo ordine tempo varianti e/o non lineari. Esempio 6.16 Si consideri il circuito dinamico lineare illustrato in Figura 6.9. Esso contiene due condensatori. Figura 6.9 Un circuito lineare del secondo ordine. Le equazioni caratteristiche dei condensatori sono C 1 dv 1 C 2 dv 2 = i 1, (6.178) = i 2. (6.179)

47 47 Ora bisogna esprimere le due intensità di corrente i 1, i 2 in funzione delle due tensioni v 1, v 2 attraverso la parte resistiva del circuito. Per ispezione diretta del circuito si ottiene: Combinando le (6.178)-(6.181) otteniamo i 1 = e( t)! v 1! i 2, (6.180) R 1 i 2 = v 1! v 2 R 2. (6.181) ( * ) * + * dv 1 dv 2 " =! # $ R 1 C 1 = v 1 R 2 C 2! v 2 R 2 C 2. ( ) R 2 C 1 & ' v 1 + v 2 + e t, R 2 C 1 R 1 C 1 Questo sistema deve essere risolto con assegnate condizioni iniziali per v 1 e v 2. (6.182) La soluzione generale del sistema (6.176) è data dalla sovrapposizione della soluzione generale dell equazione omogenea associata e di una soluzione particolare che dipende dal forzamento b = b t ( ). Si supponga (solo per semplicità) che gli autovalori! 1,! 2,...,! n della matrice A siano tutti distinti. Indichiamo con w 1,w 2,...,w n i corrispondenti autovettori, Aw k =! k w k per k = 1,2,...,n. (6.183) La soluzione generale dell equazione omogenea associata è data da u t n " (6.184) ( ) = c k w k e! kt k =1 dove c 1,c 2,...,c n sono n costanti arbitrarie. Gli autovalori della matrice A sono reali e/o complessi coniugati. A ciascun autovalore reale! k = " k corrisponde un modo di evoluzione naturale di tipo esponenziale c k w k e! kt, (6.185) mentre a ciascuna coppia di autovalori complessi coniugati! k = " k ± i# k corrisponde un modo di evoluzione naturale di tipo oscillante,

48 48 Se Re! k c k e! kt Re w k e i" kt ( ). (6.186) { } > 0 il modo naturale corrispondente è instabile, se Re {! k } = 0 il modo { } < 0 il modo naturale corrispondente è naturale corrispondente è stabile, se Re! k asintoticamente stabile. Introduciamo i campioni u ( 0) = u( t 0 ), u ( 1) = u( t 1 ),, u ( k) = u( t k ), (6.187) b ( 0) = b( t 0 ), b ( 1) = b( t 1 ),, b ( k) = b( t k ),. (6.188) La soluzione numerica del sistema (6.176) con la condizione iniziale (6.177) può essere ottenuta adottando le stesse tecniche di approssimazione usate per risolvere una singola equazione differenziale del primo ordine. Ora illustreremo i metodi di Eulero e il metodo di Crank-Nicolson per il sistema (6.176). L ordine e la consistenza sono una proprietà intrinseche del metodo impiegato per approssimare l operatore di derivata prima e per interpolare la funzione a secondo membro dell equazione, quindi non cambiano se al posto di funzioni scalari si considerano funzioni vettoriali. Di conseguenza, per l ordine e la consistenza valgono tutte le proprietà già illustrate per una singola equazione differenziale del primo ordine Metodo di Eulero esplicito Operando come nel 6.2 otteniamo per la derivata di u( t) all istante t k du t =t k = u ( k +1 )! u ( k) + O ("t). (6.189) "t Combinando le equazioni (6.176), (6.189) e ignorando i termini O (!t 2 ) otteniamo la formula di Eulero esplicito per il sistema (6.176) u ( k +1)! ( I + "ta)u ( k) + "tb k (6.190) dove I è la matrice identità n! n. Nel prossimo paragrafo è descritto un programma in MATLAB che implementa la formula (6.190) Il problema della stabilità numerica Consideriamo, ora, il problema della stabilità numerica. Posto

49 49!u ( k) =!u ( k) " u ( k), (6.191) dove u ( 1),u ( 2),...,u ( k),... e!u ( 1),!u ( 2),...,!u ( k),... sono le sequenze generate a partire dalle condizioni iniziali u ( 0) e!u ( 0), rispettivamente, si ha immediatamente che dove!u ( k +1) = "!u ( k) per k = 0,1,... (6.192)! = I + "ta. (6.193) Indichiamo con W A la matrice le cui colonne sono gli autovettori della matrice A, W A = w 1 w 2... w n. (6.194) Essendo, per ipotesi, gli autovalori di A distinti, gli autovettori di A sono linearmente indipendenti, quindi la matrice W A è invertibile. Per definizione di W A abbiamo dove W A!1 AW A = D A, (6.195) D A = diag (! 1,! 2,...,! n ) (6.196) è la matrice diagonale degli autovalori di A. Utilizzando la (6.195) la matrice! può essere così riscritta,! = W A ( I + "td A )W #1 A. (6.197) Sostituendo la (6.197) otteniamo W!1 A "u ( k +1) = ( I + #td A )W!1 A "u ( k). (6.198) Posto!y ( k) " W #1 A!u ( k), (6.199) la (6.198) può essere così riscritta!y ( k +1) = ( I + "td A )!y ( k). (6.200) Essendo!u ( k) = W A!y ( k), (6.201)

50 50 ( )! 0, le proprietà di stabilità della sequenza!u 0 e det W A quelle della sequenza!y ( 0),!y ( 1),..., e viceversa. ( ),!u ( 1),... coincidono con Figura 6.10 Diagramma di stabilità per il metodo di Eulero esplicito. Dato che D A è una matrice diagonale, la (6.200) si riduce a n equazioni alle differenze per i modi naturali non accoppiate, ( k +1! y ) ( k) h = " h! y h per h = 1,2,...,n. (6.202) dove! i = 1 + "t# i. (6.203) Si consideri il numero complesso ( ) =! h + 1 "t =! # $ # 1 ' h & "t ( ) (6.204) r h e sul piano delle frequenze naturali! h (piano di Gauss) del sistema di equazioni (6.176). Questo numero è la differenza tra la frequenza naturale! h e (!1 / "t). Utilizziamo la rappresentazione vettoriale per i numeri complessi per rappresentare il numero complesso ( ). Esso è il vettore che si ottiene dalla differenza tra il vettore! h e il vettore!1 / "t r h e ( ) : ( ) e la è uguale al vettore che ha l origine coincidente con la punta del vettore!1 / "t punta coincidente con la punta del vettore! h, Figura 6.10a. Per assegnato!t, le frequenze naturali! h per cui

51 51 ( e) r h =! h + 1 "t = 1 "t (6.205) appartengono alla circonferenza C!t centrata nel punto P! ("1 / #t,0) del piano complesso e di raggio 1 /!t, Figura 6.10b. Per queste frequenze naturali si ha! h = 1; per le frequenze naturali che si trovano all interno della circonferenza C!t si ha ( e) r h < 1 /!t, quindi! h < 1; infine, per le frequenze naturali che si trovano all esterno della circonferenza C!t si ha! h > 1 / "t, quindi! h > 1. Abbiamo trovato un criterio estremamente semplice ed elegante per determinare le proprietà di stabilità della soluzione numerica del sistema (6.176) ottenuta attraverso il metodo di Eulero esplicito. Per un assegnato!t, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali all interno della circonferenza C!t sono asintoticamente stabili, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali sulla circonferenza C!t sono stabili e le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali esterne alla circonferenza C!t sono instabili. E evidente, allora, che il metodo di Eulero esplicito preserva la stabilità numerica dei modi instabili per ogni!t > 0. Questo metodo non è in grado di preservare la stabilità numerica dei modi stabili, Re {! h } = 0 comunque si scelga!t > 0 ; può preservare la stabilità dei modi asintoticamente stabili, Re {! h } < 0, scegliendo il passo!t in modo tale che la circonferenza C!t li inglobi tutti al suo interno. Si osservi che per!t " 0 la circonferenza C!t tende a ricoprire l intero semipiano Re! h { } < Metodo di Eulero implicito Operando come nel 6.3 otteniamo per la derivata di u( t) all istante t k du t =t k+1 = u ( k +1 )! u ( k) + O ("t). (6.206) "t Combinando le equazioni (6.176), (6.206) e ignorando i termini O (!t 2 ) otteniamo la formula di Eulero implicito per il sistema (6.176) u ( k +1) ( I! "ta) # "tu ( k) + "tb k +1. (6.207) Nel prossimo paragrafo è descritto un programma in MATLAB che implementa la formula (6.207). Osserviamo subito che a differenza del metodo di Eulero esplicito, nel metodo di Eulero implicito ad ogni passo temporale bisogna risolvere un sistema di equazioni lineari. Questa è indubbiamente una limitazione di questo metodo. Tuttavia, il

52 52 metodo di Eulero implicito ha proprietà di stabilità numerica molto più interessanti di quelle del metodo di Eulero esplicito Il problema della stabilità numerica Consideriamo, ora, il problema della stabilità numerica. Proseguendo come per il metodo di Eulero esplicito abbiamo per!u ( k) l equazione alle differenze dove!"u ( k +1) = "u ( k) per k = 0,1,... (6.208)! = ( I " #ta). (6.209) Utilizzando la (6.195) la matrice! può essere così riscritta, Sostituendo la (6.210) nella (6.208) otteniamo! = W A ( I " #td A )W "1 A. (6.210) ( I! "td A )#y ( k +1) = #y ( k) (6.211) dove!y ( k) è legato a!u ( k) attraverso la (6.201). Come nell analisi della stabilità del metodo di Eulero esplicito, le proprietà di stabilità della sequenza!u ( 0),!u ( 1),... coincidono con quelle della sequenza!y ( 0),!y ( 1),..., e viceversa. Dato che D A è una matrice diagonale, la (6.211) si riduce alla n equazioni alle differenze non accoppiate per i modi naturali, ( k +1! y ) ( k) h = " h! y h per h = 1,2,...,n. (6.212) dove in questo caso! h = 1 1" #t$ h. (6.213) Si consideri, ora, il numero complesso ( i r ) h =! h " 1 #t (6.214) sul piano delle frequenze naturali! h del sistema di equazioni (6.176). Questo numero è ( i) la differenza tra la frequenza naturale! h e 1 /!t. Il vettore r h si ottiene dalla differenza tra il vettore! h e il vettore 1 /!t : esso è uguale al vettore che ha l origine coincidente

53 53 con la punta del vettore 1 /!t e la punta coincidente con la punta del vettore! i, Figura 6.11a. Per assegnato!t, le frequenze naturali! h per cui ( i) r h =! h + 1 "t = 1 "t (6.215) centrata nel punto P! ( 1 / "t, 0) del piano ( i) appartengono alla circonferenza C!t complesso e di raggio 1 /!t, Figura 6.11b. Pertanto, per le frequenze naturali che si i trovano sulla circonferenza C!t ( i) all interno della circonferenza C!t ( ) si ha! h ( i) si ha r h = 1; per le frequenze naturali che si trovano < 1 /!t, quindi! h > 1; infine, per le frequenze naturali che si trovano all esterno della circonferenza C!t si ha! i > 1 / "t, quindi! i < 1. Figura 6.11 Diagramma di stabilità per il metodo di Eulero implicito. Abbiamo trovato un criterio analogo a quello enunciato per il metodo di Eulero implicito per determinare le proprietà di stabilità delle soluzioni numeriche. Per un assegnato!t, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali all interno della circonferenza C!t sono instabili, le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali sulla circonferenza C!t sono stabili e le soluzioni numeriche per i modi con frequenze naturali esterne alla circonferenza C!t sono asintoticamente stabili. E evidente, allora, che il metodo di Eulero implicito preserva la stabilità numerica dei modi asintoticamente stabili, Re {! i } < 0, per ogni!t > 0 ; non è in grado di preservare la stabilità numerica dei modi stabili, Re {! i } = 0 comunque si scelga!t > 0 ; può preservare l instabilità dei modi instabili, Re {! i } > 0, scegliendo il passo!t in modo

54 54 ( i) tale che la circonferenza C!t li inglobi tutti al suo interno. Si osservi che per!t " 0 la { } > 0. In conclusione, le circonferenza C!t tende a ricoprire l intero semipiano Re! i proprietà di stabilità del metodo di Eulero implicito sono complementari a quelle del metodo di Eulero esplicito Metodo di Crank-Nicolson Operando come nel otteniamo per la derivata di u( t) all istante t k du t =t k+1/2 = u ( k +1 )! u ( k) "t dove t k +1/2 = t k +!t / 2. Dall equazione (6.176) abbiamo che + O ("t 2 ) (6.216) du t =t k+1/2 = Au ( k +1/2) + b ( k +1/2). (6.217) Operando come nel possiamo esprimere il secondo termine della (6.217) in funzione di u ( k +1) e u ( k), Au ( k +1/2) + b ( k +1/2) = 1 2! " ( Au ( k +1) + b ( k +1) ) + Au k ( ( ) + b ( k) )# $ + O t 2 ( ). (6.218) Combinando le equazioni (6.216)-(6.218) e ignorando i termini O (!t 2 ) otteniamo la formula di Crank-Nicolson per il sistema (6.176) # I! "t $ 2 A & ' ( u ( k +1) # ) I + "t $ 2 A & ' ( u ( k) + "t 2 b + b k k +1 ( ). (6.219) Nel prossimo paragrafo è descritto un programma in MATLAB che implementa la formula (6.219). Come nel metodo di Eulero implicito anche in questo caso bisogna ad ogni passo temporale risolvere un sistema di equazioni lineari. Anche il metodo di Crank- Nicolson è un metodo implicito Il problema della stabilità numerica Consideriamo, ora, il problema della stabilità numerica. Proseguendo come per i metodi di Eulero abbiamo per!u ( k) l equazione alle differenze dove!!"u ( k +1) = #"u! ( k) per k = 0,1,... (6.220)

55 55 e $!! = I " #t & 2 A ' ( ), (6.221) #!! = I + "t $ 2 A & ' (. (6.222) Utilizzando la (6.195) le matrici!! e!! possono essere così riscritte, Sostituendo le (6.223) e (6.224) nella (6.208) otteniamo $!! = W A I " #t 2 D ' A & ( ) W "1 A, (6.223) #!! = W A I + "t 2 D & A $ ' ( W )1 A. (6.224) # I! "t 2 D & A $ ' ( )y ( k +1) # = I + "t 2 D & A $ ' ( )y ( k) (6.225) dove!y ( k) è legato a!u ( k) attraverso la (6.201). Come nell analisi della stabilità dei metodi di Eulero, le proprietà di stabilità della sequenza!u ( 0),!u ( 1),... coincidono con quelle della sequenza!y ( 0),!y ( 1),..., e viceversa. Dato che D A è una matrice diagonale, la (6.225) si riduce a n equazioni alle differenze non accoppiate per i modi naturali, ( k +1! y ) ( k) h = " h! y h per h = 1,2,...,n. (6.226) dove in questo caso Si considerino i numeri complessi! h = 1+ "t 2 # h A ( ) 1$ "t 2 # h A (! r ) h = " h! 2 #t ( ). (6.227) (6.228) e ( + r ) h =! h + 2 "t (6.229)

56 56 (!) sul piano delle frequenze naturali! h del sistema di equazioni (6.176). Il numero r h ( + ) differenza tra la frequenza naturale! h e 2 /!t, invece il numero r h è la differenza tra (!) la frequenza naturale! h e!2 / "t. Il vettore r h si ottiene dalla differenza tra il vettore! h e il vettore 2 /!t : esso è uguale al vettore che ha l origine coincidente con la punta del vettore 2 /!t e la punta coincidente con la punta del vettore! i, Figura 6.12a. Il ( + ) vettore r h si ottiene dalla differenza tra il vettore! h e il vettore!2 / "t : esso è uguale al vettore che ha l origine coincidente con la punta del vettore!2 / "t e la punta coincidente con la punta del vettore! i, Figura 6.13a. Dalla Figura 6.12b è evidente che per ogni!t > 0 è la! k = r + k " r k! n = r + n " r n! m = r + m " r m > 1 se Re {! n} > 0, (6.230) = 1 se Re {! n} = 0, (6.231) < 1 se Re {! m} < 0. (6.232) Figura 6.12 Diagramma di stabilità per il metodo di Crank-Nicolson. In conclusione, il metodo di Crank-Nicolson preserva naturalmente, indipendentemente dal valore di!t, le proprietà di stabilità dei modi instabili (6.230), dei modi stabili (6.231) e dei modi asintoticamente stabili (6.232). Esempio 6.17 Risolviamo il circuito di Figura 6.9 con R 1 = R 2 = 1!, C 1 = 1mF, C 2 = 1µF e e = 1V. Utilizzando il comando di MATLAB eig (!) calcoliamo le frequenze naturali del

57 57 circuito: sono entrambi reali e negative,! 1 = "1.001#10 6 s "1,! 2 = "0.999 #10 3 s "1. Il circuito ha due costanti di tempo,! 1 = 1 / " 1 e! 2 = 1 / " 2. Il circuito in esame ha un regime stazionario. Per raggiungere il regime la durata della simulazione deve essere molto più grande della costante di tempo più grande, quindi almeno 10! 2, ad esempio 10ms. Se si risolve il problema con il metodo di Eulero esplicito il passo di discretizzazione deve verificare la condizione!t < 2" 1. In questo caso abbiamo bisogno almeno di 5! 2 /! 1 passi per raggiungere il regime stazionario garantendo la stabilità numerica. E evidente allora che il costo computazionale risulta essere direttamente proporzionale al rapporto tra la costante di tempo più grande e quella più piccola; nel caso in esame c è bisogno almeno di 5000 iterazioni. In Figura 6.13 è riportato l andamento della tensione t v 1 ( ) ottenuta con il Programma 6.5 (descritto nel prossimo paragrafo). 1 0,8 v 1 (t) (V) 0,6 0,4 0,2 0 t (s) 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 Figura 6.13 Il problema che abbiamo appena risolto è un esempio molto semplice di problema stiff. Un sistema di equazioni differenziali si dice stiff se la costante di tempo più grande (in modulo) è molto più grande della costante di tempo più piccola (sempre in modulo). Risolvere un problema stiff con il metodo di Eulero esplicito può essere molto oneroso. Ad esempio, se non siamo interessati a conoscere la soluzione sulla scala dei tempi della costante di tempo più piccola! 1, non possiamo scegliere un passo di discretizzazione molto più grande di! 1, altrimenti sarebbe violata la condizione di stabilità numerica. Questa è la limitazione del metodo di Eulero implicito.

58 58 Risolviamo ora il circuito con il metodo di Eulero implicito, Programma 6.6. In questo caso l algoritmo è numericamente stabile per qualsiasi valore di!t. Eseguiamo, ad esempio, il Programma 6.6 con N = 600, quasi un decimo del numero di iterazioni necessario per la stabilità numerica del metodo di Eulero esplicito. La soluzione è praticamente indistinguibile da quella ottenuta con il metodo di Eulero esplicito sulla scala dei tempi di! 2. Con N = 100 c è una lieve differenza. Risolviamo, ora, il circuito con il metodo di Crank-Nicolson, Programma 6.8. La soluzione che si ottiene con N = 60 è praticamente indistinguibile da quella ottenuta con N = 6000 applicando il metodo di Eulero esplicito. Ciò è dovuto a due fatti: il metodo di Crank-Nicolson è incondizionatamente numericamente stabile ed è del secondo ordine. Esercizio 6.11 Risolvere il circuito studiato nel Esempio 6.17 con i tre metodi alle differenze finite che abbiamo illustrato. 6.5 Sistemi di equazioni differenziali non lineari In questo paragrafo estenderemo i risultati presentati nel precedente paragrafo a un sistema di equazioni differenziali non lineari del tipo (6.1). Come nel caso scalare, la soluzione esiste ed è unica se la funzione f è continua ed è lipschitziana 9, [6.1]. Esempio 6.18 Si consideri il circuito dinamico non lineare riportato in Figura Esso contiene un induttore, un condensatore e un resistore non lineare. Le equazioni caratteristiche dei due elementi dinamici sono C dv = i, C (6.233) L di = v. L (6.234) Ora bisogna esprimere l intensità i C e la tensione v L in funzione delle variabili di stato. Per ispezione diretta del circuito si ottiene 9 Si dice che la funzione f : R n! R " R n è lipschitziana in D se esiste una costante finita L tale che per ogni x, y!d si ha che f ( x;t )! f ( y;t ) " L x! y.

59 59 i C =!g v v L =!v! Ri + e t ( ) + i, (6.235) ( ), (6.236) dove i N = g( v) è l equazione caratteristica del resistore non lineare. Combinando le (6.233)-(6.236) si ha il sistema di equazioni differenziali del primo ordine non lineare & dv = 1 ( C " #!g( v) + i $, ' ( di = 1 )( L " #!v! Ri + e ( t ) $. (6.237) Questo sistema deve essere risolto con le condizioni iniziali assegnate per v ed i. Figura 6.14 Un esempio di circuito non lineare del secondo ordine. Introduciamo i campioni u ( 0),u ( 1),u ( 2),.... L estensione dei tre metodi che abbiamo descritto nel precedente paragrafo al sistema di equazioni (6.1) è immediata. Metodo di Eulero esplicito con u ( 0) = u( t 0 ). u ( k +1) = u ( k) +!tf u ( k) ;t k ( ) per k = 0,1,2,... (6.238) Metodo di Eulero implicito con u ( 0) = u( t 0 ). ( )! "tf u ( k +1) ;t k +1 u k +1 ( ) = u k ( ) per k = 0,1,2,... (6.239) Metodo di Crank-Nicolson ( ) = u k u ( k +1)! "t 2 f u ( k +1 ) ;t k +1 ( ) + "t 2 f u ( k) ;t k ( ) per k = 0,1,2,... (6.240)