INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA. Nell iniziare a trattare della teoria della probabilità, conviene chiarire quale

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1 INTRODUZIONE L CLCOLO DELLE ROILIT Fonti: Cicchitelli, Dall glio, Mood-Graybill. Moduli, e 3 del programma. Nell iniziare a trattare della teoria della probabilità, conviene chiarire quale relazione intercorra tra probabilità e statistica. E noto che la statistica ha a che fare con la rilevazione e la rappresentazione di insiemi di dati: la parola statistica evoca immagini come il censimento demografico, l andamento del costo della vita, i sondaggi di opinione. Queste immagini sono tutte pertinenti; la statistica infatti è la disciplina che studia quantitativamente i fenomeni collettivi, ossia quei fenomeni che si possono concepire solo tramite una pluralità di osservazioni. L osservazione di una caratteristica sul caso individuale indica il modo con cui il fenomeno collettivo si manifesta; l insieme dei casi individuali costituisce la popolazione o collettivo statistico: gli abitanti di un paese nel censimento demografico, i prezzi dei singoli beni sul mercato nell indagine sul costo della vita, le persone di cui si vuole rilevare l orientamento circa un dato argomento nei sondaggi di opinione sono tutti esempi di unità statistiche appartenenti ad un dato collettivo. I metodi e le finalità stesse della statistica sono diversi secondo che la popolazione venga osservata per intero oppure solo in parte. Se l indagine è totale, come nel censimento, i metodi statistici forniscono la sintesi quantitativa dei fenomeni studiati, rendendone possibile una visione semplificata, assai importante per la loro comprensione. Se invece l indagine è parziale, ossia se è condotta su un campione estratto casualmente dalla popolazione, la prospettiva dell analisi muta completamente. Infatti, non è tanto il campione in sé che interessa quanto la popolazione che esso rappresenta. llora la statistica

2 fornisce i metodi con cui le informazioni contenute nel campione possono venire estese, riferite, all intera popolazione. Il primo approccio prende il nome di statistica descrittiva, mentre il secondo di inferenza statistica; ed è proprio questa seconda parte della statistica che ha come base necessaria la teoria della probabilità. er comprendere l utilizzo del calcolo delle probabilità in questo contesto, può essere utile illustrare un esempio. Se attraverso un sondaggio di opinione si volesse conoscere la percentuale dei votanti propensi a dare il loro voto per il partito X alla prossima tornata elettorale, verrebbe spontaneo prendere come base di valutazione della percentuale incognita nella popolazione la percentuale osservata su un campione di soggetti estratti dal collettivo in esame. Ma questo, con quali cautele e con quale affidabilità? Qui sta il cuore del problema, il fulcro di tutto il discorso. Se si conoscesse la percentuale dei votanti nella popolazione, allora la teoria della probabilità consentirebbe di determinare la probabilità che nel campione la percentuale assuma un particolare valore. Ma il problema reale è un altro: si conosce la percentuale del campione e si vogliono trarre delle conclusioni intorno alla percentuale non nota nella popolazione. Schematicamente si può dire che con la teoria della probabilità si risolve il problema diretto: dalla conoscenza della struttura della popolazione si deduce la probabile struttura del campione; con l inferenza statistica invece si risolve il problema inverso, si descrive la struttura della popolazione a partire dal campione osservato. E importante rilevare che l inferenza statistica presuppone che sia risolto il problema diretto. In sintesi, con l inferenza statistica si tende a dare una risposta al quesito: con quale precisione si possono descrivere le caratteristiche di una popolazione sulla base delle informazioni desunte dal campione? Questa domanda non può avere risposta se non si è prima risolto il problema probabilistico riassumibile nella

3 domanda: qual è il comportamento potenziale di un campione estraibile da una popolazione nota? La teoria della probabilità costituisce la trama di un discorso di tipo deduttivo dal generale al particolare, mentre l inferenza statistica si fonda sul ragionamento induttivo dal particolare al generale. CONCETTI DI SE Il punto di partenza della teoria probabilistica consiste nella definizione di esperimento: Esperimento deterministico: il risultato non cambia se non vengono modificate le condizioni in cui l esperimento viene praticato; ogni sua ripetizione fornisce lo stesso risultato es. la temperatura di ebollizione dell acqua, le operazioni matematiche. Esperimento casuale o aleatorio: anche se le condizioni sperimentali vengono mantenute invariate, il risultato può essere differente es. lancio di un dado o di una moneta, l esito di un esame, l effetto di un farmaco. Un esperimento deve essere ripetibile con prove effettuate in condizioni uguali e i suoi risultati devono essere definibili in anticipo e catalogabili in modo preciso. Spazio campionario Ω o evento certo: l insieme di tutti i risultati possibili associati ad un esperimento casuale. Evento elementare ω i : ogni risultato dell esperimento casuale, cioè ogni elemento dello spazio campionario. 3

4 Evento indicato con una lettera maiuscola,, : un qualsiasi insieme di eventi elementari, cioè un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario Ω. Esempio : Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare tre volte una moneta. Lo spazio campionario contiene 8 eventi elementari numero finito di eventi elementari: Ω {TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} Eventi elementari: ω TTT, ω TTC, ω 3 TCT Esempi di eventi: {CCT, CTC, TCC} Esce una testa {CCT, CTC, TCC, CCC} Escono almeno due croci Esempio : Si consideri l esperimento casuale che consiste nel lanciare ripetutamente una moneta finché non esca la prima testa. Lo spazio campionario contiene un infinità numerabile di eventi elementari: Ω {T, CT, CCT, CCCT, CCCCT, } Eventi elementari: ω T, ω CT, ω 3 CCT Esempi di eventi:

5 {CCT} Esce una testa al terzo tentativo {CCT, CCCT, CCCCT, } Esce testa dopo due tentativi Esempio 3: Si consideri la durata in ore di una lampadina elettrica prodotta dall industria xyz. Lo spazio campionario è formato da un infinità non numerabile di eventi elementari, che sono tutti i numeri reali da 0 a T T indica la durata massima della lampadina, che è dedotta dal processo produttivo: Ω {x: 0 x T} Eventi elementari: ω 65, ω 7,35, ω 3 00,53 Esempi di eventi: { x: 0 x < } La lampadina dura meno di ore { x: 60 x T } La lampadina dura almeno 60 ore Spazio campionario discreto: se contiene un numero finito oppure un infinità numerabile di eventi elementari. Lo spazio campionario degli esempi e è discreto. Spazio campionario continuo: se contiene un infinità non numerabile di eventi elementari. Lo spazio campionario dell esempio 3 è continuo. 5

6 OERZIONI CON GLI EVENTI Le operazioni che si possono eseguire con gli eventi sono le medesime degli insiemi. Nella rappresentazione grafica mediante i diagrammi di Eulero-Venn lo spazio campionario Ω è indicato con un rettangolo, mentre gli eventi sono indicati mediante cerchi. Evento complementare: Dato un evento, si definisce evento complementare in grigio l insieme di tutti gli eventi elementari di Ω che non appartengono ad : { x : x } Evento unione: Dati due eventi e, si definisce evento unione in grigio l insieme di tutti gli eventi elementari di Ω che appartengono ad o a oppure ad entrambi: : { x x o x } Evento intersezione: Dati due eventi e, si definisce evento intersezione in grigio l insieme di tutti gli eventi elementari di Ω che appartengono sia ad che a : 6

7 : { x x e x } Evento differenza: Dati due eventi e, si definisce evento differenza - in grigio l insieme di tutti gli eventi elementari di che non appartengono a. ttenzione che è diverso da : : { x x e x } Eventi incompatibili o disgiunti: Due eventi e si definiscono incompatibili se non hanno eventi elementari in comune, cioè se la loro intersezione è pari all evento impossibile insieme vuoto: φ. roprietà delle operazioni tra eventi ttenzione che non corrispondono sempre alle proprietà delle operazioni tra numeri.. roprietà di idempotenza: 7

8 8. roprietà commutativa: 3. roprietà associativa: C C C C. roprietà distributiva: C C C C 5. Casi particolari di unione e intersezione: φ φ φ φ Ω Ω Ω Ω 6. Leggi di De Morgan: DEFINIZIONE DI ROILIT er definire la funzione di probabilità è innanzitutto necessario definire il suo dominio. er questo è fondamentale la definizione di insieme delle parti. Insieme delle parti di Ω o famiglia dei sottoinsiemi di Ω, indicata con I: è un insieme contiene tutti gli insiemi che si possono formare con gli eventi elementari dello spazio campionario. Deve soddisfare le seguenti proprietà: I I I I Ω I allora se allora se, Come conseguenza si ha che:

9 Ω φ I se, I se, I allora allora I I I è quindi una classe di sottoinsiemi di Ω che contiene Ω ed è chiusa rispetto alle operazioni di negazione, di differenza, di unione e di intersezione di un numero finito o di un infinità numerabile di eventi. La famiglia I è facilmente identificabile per gli spazi campionari discreti, infatti se Ω contiene n eventi elementari, allora I contiene n eventi. Esempio : Un urna contiene tre palline numerate da a 3. Si consideri l estrazione a caso di una pallina. Lo spazio campionario e l insieme delle parti sono dati rispettivamente da: Ω {,, 3} I {φ; ; ; 3;,;,3;,3;,,3Ω } Nota: er gli spazi campionari non numerabili, la determinazione di Ω è un problema non banale. Infatti gli eventi elementari rappresentati dai singoli punti si pensi all esempio 3 dell intervallo [0, T] non possono essere inseriti come tali nella famiglia I; così facendo la funzione di probabilità presenterebbe un comportamento non accettabile. Gli elementi di I sono quindi tutti gli intervalli del tipo: [a, b]; a, b; a, b] e [a, b 9

10 dove a e b sono due numeri reali distinti contenuti nell intervallo [0, T], e gli intervalli possono essere costruiti con le operazioni di unione e intersezione. Funzione di probabilità : si chiama funzione di probabilità una funzione d insieme a valori reali definita su I avente le seguenti proprietà assiomi della probabilità o assiomi di Kolmogorov: Ω 0 I per ogni successione di eventi di I a due a due incompatibili cioè, presi a caso due qualsiasi eventi distinti i e j la loro intersezione è sempre uguale all evento impossibile: i φ i j. j Il dominio della funzione di probabilità è pertanto pari a I è una funzione d insieme poiché il suo dominio è formato da insiemi e il suo condominio è pari a R insieme dei numeri reali o meglio al suo sottoinsieme [0, ]. Spazio di probabilità: è la terna formata dallo spazio campionario Ω, dall insieme delle parti I e dalla funzione di probabilità. LE DIVERSE IMOSTZIONI DELL ROILIT Con la definizione assiomatica di probabilità appena data, non è stato chiarito il significato da attribuire alla parola probabilità. I primi sviluppi della probabilità si hanno a partire dal XVII secolo in connessione con i giochi di sorte. 0

11 Definizione classica La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di e il numero totale dei casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili. L equiprobabilità dei risultati possibili è molto importante, infatti se questi non hanno tutti la medesima probabilità la definizione non può essere applicata. er cui: n dove n indica il volte in cui si presenta il risultato nell insieme n Ω Ω dei risultati possibili. Da qui, lanciando un dado di ottiene che la probabilità di ottenere un numero maggiore di risultato è: Ω {,, 3,, 5, 6} e { 5, 6} n 0,33. n Ω 6 Definizione frequentista Secondo questa interpretazione, la probabilità di un evento è il limite della frequenza relativa con cui si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto condizioni simili. er cui: n lim dove n indica il numero di volte in cui si verifica il risultato n n in un insieme molto grande n di prove ripetute in modo indipendente. lla base di questa teoria si ha la legge empirica del caso, secondo la quale in una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un grande numero di volte in circostanze il più possibile simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con

12 una frequenza che è pressappoco uguale alla sua probabilità. L approssimazione ovviamente cresce col crescere del numero delle prove. Interpretazione soggettivista La probabilità è la valutazione che il singolo soggetto può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento. La probabilità viene pertanto identificata con un prezzo, è il prezzo che un soggetto ritiene equo pagare per: ricevere se si verifica, ricevere 0 se non si verifica; se si verifica il guadagno è pari a. Ha qui senso introdurre lo schema della scommessa: S somma puntata, q quota che si suppone fissa. Uno scommettitore punta a sul verificarsi dell evento ; se si verifica vince S q. Legando l interpretazione soggettiva della probabilità con lo schema della scommessa: S deve essere proporzionale a e S q deve essere proporzionale ad. er cui: S S q [ q] q q

13 Esempio 5: i mondiali di Spagna del 98 le scommesse clandestine davano le seguenti quote: Squadre Quote q robabilità Italia / 3 0,333 Germania 3 / 0,5 Francia 3 / 0,5 olonia 5 / 6 0,67 TEOREMI DELL ROILIT Dagli assiomi introdotti nella definizione di probabilità assiomi di Kolmogorov si possono dedurre alcuni teoremi utili nel calcolo delle probabilità di alcuni eventi. per ogni evento di Ω; Dim: Dato che Ω e φ si può scrivere Ω. φ 0; Dim: E un corollario del teorema precedente dato che l evento impossibile è il complemento dello spazio campionario, Ω φ. 0 per ogni evento di Ω; Dim: La prima parte 0 è un assioma. La dimostrazione di viene fatta per assurdo, infatti dall equazione 3

14 se fosse >, dovrebbe essere 0 < per avere somma ; questa probabilità negativa sarebbe però in contrasto con il secondo assioma per il quale la probabilità di un qualsiasi evento è sempre positiva o nulla. se ; Dim: Se dalla definizione di intersezione si deduce che, quindi, dato che e che gli eventi e sono disgiunti, si ha che. ; Dim: Dai diagrammi di Venn si può notare che: e che gli eventi, e sono tra loro disgiunti, per cui. ; C C C C C Dim: Segue come estensione del teorema precedente. ;

15 5 Leggi di De Morgan:. Viene dimostrata solo la prima, la seconda è simile. Dato che due eventi sono uguali se ognuno di essi è contenuto nell altro, si dovrà dimostrare che a: e che b:, cioè che se un qualsiasi evento elementare ω appartiene ad un evento, appartiene anche all altro. a: e ω ω ω ω e ω ω ω. b: e ω ω ω ω perché, altrimenti, ω apparterrebbe ad almeno uno dei due, ad o a, contraddicendo che ω appartiene sia a che a ; ω ω. Nel caso di uno spazio campionario discreto, per determinare la probabilità di un evento Ω basta assegnare la probabilità p i a ciascun evento elementare ω i di, e in seguito sommare le probabilità dei singoli ω i : ω ω ω i i i i p. robabilità condizionata Se e sono due eventi dello spazio campionario Ω e > 0, allora la probabilità condizionata di dato rispetto ad è pari a:.

16 6 Questa probabilità così definita soddisfa i tre assiomi della probabilità: i. ii >. iii per una successione di eventi a due a due incompatibili. Se lo spazio campionario è finito, la definizione di probabilità condizionata trova una piena giustificazione intuitiva: poiché si assume che l evento si sia già verificato, si tratta di determinare la probabilità dell evento prendendo come nuovo spazio campionario l evento. gli eventi elementari di si devono allora attribuire delle nuove probabilità la cui somma sia. Eventi indipendenti Due eventi e si dicono indipendenti se e solo se sussiste la relazione:. Se sussiste l indipendenza tra e, allora sussiste anche l indipendenza tra e, tra e, tra e, per cui: Il concetto di indipendenza può anche essere esteso al caso di 3 o più eventi.

17 Dato uno spazio di probabilità gli eventi,,, n sono globalmente indipendenti se e solo: per i j; i j i j per i j, k j, i k; i j k i j k n n I i i. i i Esempio 6: Siano 3 eventi,, C tali che: C 0, C 0 0,6 C 0,7 Determinare: C C C 0,7 0, 3; C C 0,6 0,3 0,9 poiché gli eventi e C sono incompatibili questo è dedotto dal fatto che la probabilità della loro intersezione è nulla; 0,9 0,6 0, 0, ; 0, 0, 67 ; 0,6 7

18 C 0 C C 0. C 0,3 Esempio 7: Siano e due eventi tali che: 0,5 0, Calcolare la probabilità della loro unione nei tre seguenti casi: e sono incompatibili 0,5 0, 0,65; e sono indipendenti in questo caso si ha che 0,5 0, 0, per cui 0,5 0, 0, 0,55; 0, dal diagramma di Venn si vede che 0, 0, 0,6. Esempio 8: Fra le auto prodotte da una certa casa automobilistica su 00 presenta difetti di carrozzeria e su 80 presentano difetti meccanici. Inoltre, fra le auto con difetti di carrozzeria, la probabilità di trovarne una con difetti meccanici è pari a 0,00. Indicando con C e M gli eventi: 8

19 C l auto presenta difetti di carrozzeria M l auto presenta difetti meccanici dal testo si deducono le probabilità C / 00 0,0 M / 80 0,0 M C 0,00 questa è una probabilità condizionata perché si fa riferimento solo all insieme delle auto che presentano difetti di carrozzeria e non all insieme totale. Calcolare la probabilità di trovare un auto con difetti di carrozzeria o meccanici. Si ricerca la probabilità dell unione fra M e C: MC M C C 0,00 0,0 0,0000 da cui MC M C MC 0,0 0,0 0,0000 0,03. Calcolare la probabilità che l auto non abbia difetti. Questa è la probabilità dell intersezione tra C e M che per le leggi di De Morgan è pari al complemento dell unione tra C e M: C M MC 0,03 0,968. Dire se i due difetti si presentano in modo indipendente. erché due eventi siano indipendenti la probabilità della loro intersezione deve essere pari al prodotto delle loro probabilità: CM C M 9

20 0 0,0000 0,0 0,0 da cui si deduce che i due eventi non sono indipendenti. Esempio 9. Un urna contiene biglietti:,, 3 e, sui quali è stampato: vinci un cappello vinci un ombrello 3 vinci un mantello vinci tutti e tre i premi. Si estrae a caso un biglietto dall urna e si definiscano i seguenti eventi: si vince il cappello si vince l ombrello 3 si vince il mantello. Dire se gli eventi, e 3 sono indipendenti. I tre eventi sono, e 3 indipendenti se e solo se: ma 8 3 3

21 quindi i tre eventi non sono indipendenti. Estrazioni con reinserimento: Da un insieme di N unità ne viene estratta una, viene osservata e poi reinserita nell insieme prima di procedere all estrazione successiva; e così via fino a che si sono estratte n unità. In questo modo l insieme dal quale si estraggono le unità non si modifica e i risultati delle estrazioni risultano pertanto essere fra loro indipendenti. Estrazioni senza reinserimento: Da un insieme di N unità ne viene estratta una, viene osservata e messa da parte prima di procedere all estrazione successiva; e così via fino a che si sono estratte n unità n N. In questo modo l insieme dal quale si estraggono le unità si modifica ad ogni estrazione e i risultati delle estrazioni risultano pertanto dipendere dai risultati precedenti. Esempio 0: Un urna contiene 5 palline bianche e 6 palline nere N. Vengono estratte palline. Determinare la probabilità dell evento E le palline sono dello stesso colore e dell evento F almeno una pallina è nera : Ω {, N N, N, N } E {, N N } F {N N, N, N } nel caso in cui le estrazioni sono state fatte con reinserimento: in questo caso le estrazioni sono indipendenti, per cui:

22 E N N N N F N N N N N N N N nel caso in cui le estrazioni sono state fatte senza reinserimento: in questo caso le estrazioni NON sono indipendenti, per cui: E N N N N N F N N N N N N N N N N Teorema delle probabilità totali Dati un evento ed un insieme finito di eventi E i ad esempio k a due a due incompatibili, tali che la loro unione dia Ω, allora k E E E i i k i i i.

23 Teorema di ayes Dati un evento ed un insieme finito di eventi E i ad esempio k a due a due incompatibili, tali che la loro unione dia Ω, allora E i Ei k i E E i E E i i i. Il teorema delle probabilità totali e la formala di ayes sono utili per risolvere quei problemi in cui un evento può essere visto come il risultato effetto di uno fra k possibili eventi cause E, E,, E k, fra loro incompatibili e tali che uno di essi deve per forza verificarsi. Con il teorema delle probabilità totali si determina la probabilità di osservare l effetto indipendentemente dalla causa E i che lo ha prodotto, mentre con la formula di ayes si può determinare la probabilità che sia data la causa E i a determinare l effetto osservato. La probabilità E i è la probabilità che si verifichi la causa E i, indipendentemente dal presentarsi o meno dell evento ; viene detta probabilità a priori o iniziale. La probabilità condizionata E i / è la probabilità di E i valutata sapendo che si è già verificato l evento e viene chiamata probabilità a posteriori o finale. Il teorema di ayes mostra come il verificarsi dell evento modifica la probabilità di E i, facendola passare da E i a E i /; a determinare tale modifica sono le probabilità probative o verosimiglianze, /E i. Si possono anche considerare due cause E i e E j e valutare il rapporto di verosimiglianza / E i / E j. 3

24 Esempio : In inverno in una certa regione un individuo su 5 si vaccina evento V contro l influenza evento I. La probabilità di contrarre l influenza per un individuo vaccinato I dato V è pari a 0,05, mentre per un individuo non vaccinato I dato V è pari a 0,65. Scelto a caso un individuo a fine stagione, qual è la probabilità che abbia contratto l influenza? V / 5 0, V V 0, 0,8 I V 0,05 I V 0,65. Con il teorema delle probabilità totali si ottiene: I I V V I V V 0,05 0, 0,65 0,8 0,53. Scelto a caso un individuo che ha contratto l influenza, qual è la probabilità che si fosse vaccinato? Con la formula di ayes si ottiene: I V V 0,05 0,0 V I 0,089. I 0,53 Esempio : Una azienda produttrice di frigoriferi possiede 3 stabilimenti, e C che producono rispettivamente il 5%, 5% e 60% della produzione totale. Si sa che

25 dai 3 stabilimenti provengono elettrodomestici difettosi in percentuali, rispettivamente, del %, 3% e %. Siano gli eventi: D frigorifero difettoso frigorifero prodotto dallo stabilimento frigorifero prodotto dallo stabilimento C frigorifero prodotto dallo stabilimento C e le probabilità: 0,5 D/ 0,0 0,5 D/ 0,03 C 0,60 D/C 0,0 Quale è la probabilità che un frigorifero, scelto a caso dalla produzione totale, risulti difettoso? pplicando il teorema delle probabilità totali si ottiene: D D/ D/ D/C C D 0,0 0,5 0,03 0,5 0,0 0,60 0,065. Quali sono le probabilità che un frigorifero difettoso, scelto a caso dalla produzione totale, provenga dagli stabilimenti, o C? pplicando la formula di ayes si ottiene: 5

26 D / 0,0 0,5 / D 0,88 D 0,065 D / 0,03 0,5 / D 0,55 D 0,065 D / C C 0,0 0,60 C / D 0,3636. D 0,065 CLCOLO COMINTORIO Il calcolo combinatorio serve per determinare senza enumerazione diretta - il numero dei possibili risultati di un dato esperimento o il numero di elementi di un dato insieme. Il calcolo combinatorio serve per facilitare il calcolo della probabilità associato ad eventi complessi. Definizione preliminare: Il fattoriale di un numero n, indicato con n!, è dato da: n! n n - n -... Nota: 0! 6

27 Disposizioni semplici di classe m Dato un insieme di n oggetti distinti tra loro, si chiamano disposizioni semplici di classe m, i gruppi di m oggetti con m n che si possono formare con gli n oggetti dati, seguendo il criterio di considerare distinti due gruppi, non solo se differiscono per qualche elemento, ma anche se differiscono per l ordine con cui gli elementi si presentano. Si parla di estrazioni senza reinserimento. Il numero di disposizioni semplici è pari a: D n m, n n... n m. E importante notare che vale la relazione: D n m D. n, n, m m Se n {a, b, c, d} e m, le disposizioni semplici sono le seguenti: {a,b; a,c; a,d; b,a; b,c; b,d; c,a; c,b; c,d; d,a; d,b; d,c}; D 3., Disposizioni con ripetizione di classe m Si consideri ora il caso in cui gli m elementi di ciascun raggruppamento non debbano essere distinti tra loro. Quindi un elemento può apparire anche più di una volta. Si parla di estrazioni con reinserimento. Il numero di disposizioni con ripetizione è pari a: r m D n. n, m 7

28 E importante notare che vale la relazione: D r n, m n D r n, m. Se n {a, b, c, d} e m, le disposizioni con ripetizione sono le seguenti: {a,a; a,b; a,c; a,d; b,a; b,b; b,c; b,d; c,a; c,b; c,c; c,d; d,a; d,b; d,c; d,d}; r D 6., ermutazioni Le permutazioni di n oggetti sono un caso particolare delle disposizioni semplici: sono le disposizioni semplici di n oggetti di classe n. Il numero di permutazioni è pari a: n Dn, n n n n... n!. Se n {a, b, c} le permutazioni sono le seguenti: {a,b,c; b,a,c; b,c,a; c,a,b; c,b,a; a,c,b}; 3! 3. 3 Nel caso in cui degli n oggetti k siano uguali, per trovare il numero delle permutazioni si può ragionare nel seguente modo: se k n indica il numero delle permutazioni della situazione in esame, allora il numero n delle permutazioni di n 8

29 elementi, calcolato senza tener conto del fatto che k degli n oggetti sono tra loro uguali, si ottiene dal prodotto: k!. k n n k Infatti da ciascuna delle permutazioni n se ne possono ottenere k! scambiando i posti degli elementi coincidenti. Dalla relazione precedente si ottiene: k n n. k! Estendendo questa situazione al caso in cui degli n oggetti n sono uguali tra loro, n pure uguali tra loro, ma diversi dagli n precedenti, e così via, il numero delle permutazioni si ottiene facendo: n, n,..., nk n n! n! n!... n! con n n... n n. k k Combinazioni di classe m Le combinazioni di n oggetti di classe m sono tutti i gruppi che si possono formare con m degli n oggetti, considerando distinti due gruppi se differiscono per almeno un oggetto. Il numero di combinazioni si ricava considerando che da ogni combinazione si possono ottenere m! disposizioni permutando in tutti i modi possibili le m componenti. Quindi, da 9

30 D n, m m! C n, m si ottiene: C n, m D m! n, m n n... n m. m! Questa quantità prende anche il nome di coefficiente binomiale che viene indicato con: n n! m m! n m! e si legge n su m. Esempio 3: Determinare in quanti modi un gruppo di 7 persone si può disporre. a su 7 sedie allineate; b attorno ad un tavolo circolare. a Si possono disporre in modo allineato in 7! modi diversi, ovvero: 7! n b ermutazione circolare Si possono disporre in modo circolare in 7-! modi diversi, ovvero: 6! n 30

31 Nota: in generale, n oggetti possono essere disposti in modo circolare in n-! modi diversi. Esempio : In quanti modi diversi si possono disporre 5 individui in un divano a posti? Modo intuitivo: Chiamiamo gli individui,, C, D, E. osso formare le seguenti coppie:,, C, C, D, D, E, E, C, C, D, D, E, E, CD, DC, CE, EC, DE, ED Il numero di permutazioni è pari a 0 valore ottenuto contando!. Modo formale: pplico la formula sopra scritta ponendo n 5 e m : 5! 5 3 5, ! 3 Il numero di permutazioni di n oggetti presi n alla volta è infatti dato da: n n n n - n -... n! Esempio 5: In quanti modi diversi si possono disporre 3 individui in un divano a 3 posti? Modo intuitivo: Chiamiamo gli individui,, C. osso formare i gruppi seguenti: 3

32 C, C, C, C, C, C. Il numero di permutazioni è pari a 6. Modo formale: pplico la formula sopra scritta ponendo n 3: 3,3 3! 3 6 Il numero di permutazioni di n oggetti presi n alla volta tra i quali n, n,, n k sono uguali tra loro, è infatti dato da: n n!!n!... n! k k dove: n i n. i Esempio 6: a Determinare il numero di distinte permutazioni che si possono formare con le lettere della parola NVT. n 6, ci sono 3 che si ripetono. llora: 6! 0. 3! b Quante di queste cominciano con la? 3

33 Fisso la in prima posizione e permuto le lettere rimanenti: 5! 60.! d Quante di queste cominciano con la e terminano con la N? Fisso la in prima posizione, la N in ultima e permuto le lettere rimanenti:!.! c Quante hanno 3 di seguito? Il blocco di 3 può stare in diverse posizioni: er ognuno di questi casi vi sono da considerare le permutazioni delle 3 lettere rimanenti. erciò: 3!. 33

34 Esempio 7: Quante sono le disposizioni con ripetizione che si ottengono lanciando 3 volte una moneta? D Infatti posso formare gli 8 gruppi seguenti: TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC. Le combinazioni di n oggetti diversi presi a gruppi di m sono i gruppi di m oggetti che si possono formare a partire dagli n di partenza in modo che ciascun gruppo sia diverso dal precedente per almeno un elemento. Nota: L'ordine con cui gli oggetti compaiono nei gruppi NON CONT. Esempio 8: Si vuole formare una commissione di matematici e 3 fisici, scegliendo tra 5 matematici e 7 fisici. Calcolare in quanti modi può essere formata la commissione se: a può essere incluso qualsiasi matematico e fisico; 5 7 5! 7! 3!5! 3!7 3! 3

35 5 3! 7 6 5!!3! 3!! b un certo fisico deve far parte della commissione; 5 6 5! 6!!5!!6! c due certi matematici non possono far parte della commissione; 3 7 3! 7! !3! 3!7 3! 35