x c t per verificare questa equazione differenziale provo a buttare dentro una soluzione si propaga lungo l asse delle x>0 con

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1 FISICA SPERIMENTALE 3 (5 cfu) AA.3-4 Prof. Cerullo ONDE ELETTROMAGNETICHE ρ = j = B ro ( ro E) = ro E grad dive E = ( rob) = µ ε = E E E = µ ε E µ ε = grad divb B B µ ε ( roe) µ ε = = = B B B = µ ε B µ ε = oare che il laplaciao si applica a ciascu compoee scalare Ex Ex µ ε = Equazioe di Dalamber ϕ ϕ = c = c ε µ ϕ ϕ ϕ ϕ + + = x y z c ϕ ϕ = x c per verificare quesa equazioe differeziale provo a buare dero ua soluzioe ϕ( x, ) = f ( x c) = f ( η) η = x c per verificare prediamo ϕ = ϕ ( x, ) ϕ f η f = = x η x η = ϕ ϕ η f f = = = x η x x η η η ϕ f η f = = c η η ϕ f = c = = ideià; la soluzioe f soddisfa l equazioe differeziale η ache ϕ ( x, ) = f ( x + c) soddisfa l equazioe ϕ( x, ) = f ( x c) ϕ( x, ) = f ( x + c) ϕ( x, ) = f ( x c) = f x c c c = f x c x x x c( ) V = = ( ) la f ( x) si propaga lugo l asse delle x> co velocià c. ϕ ( x, ) = f ( x c) si propaga lugo lasse x> ONDA PROGRESSIVA

2 ϕ ( x, ) = f ( x + c) si propaga lugo l asse x< ONDA REGRESSIVA E E = sia E che B soddisfao queso ipo di equazioe ONDA ELETTROMAGNETICA c C ε = 8.85 c = N m µ ε 7 T m µ = 4π A 8 m km c = 3 = 3 s s N C N T = A = T m = A m s A ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE dive = divb = E rob = µ ε equazioi di Maxwell el vuoo B roe = dobbiamo rovare soluzioi paricolari di quese equazioi differeziali affiché sia il campo elerico che il campo mageico dipedao solo da ua coordiaa caresiaa: ONDE PIANE E = E( x, ) B = B( x, ) x viee dea direzioe di propagazioe E E x y Ez dive = + + = x y z () Ex Ex Ex divb = + + = x x x () B z B y Ex = µ ε E x y z µ ε = (3) E B E x Bz y rob = µ ε = µ ε B E z y = µ ε (4) z x x By Bx E By = µ z Ez ε µ = ε (5) x y x

3 E E z y Bx = By y z = (6) B E B x E z y E B z y roe = = = (7) z x x Ey Ex B E z y Bz = = (8) x y x i oale abbiamo 8 equazioi,da 4 di quese oeiamo che: Ex () = x Bx () = x Ex ( x, ) = cosae Ex Bx ( x, ) = cosae (3) = B x (6) = Ex = Bx = Il campo elerico ed il campo mageico o hao compoei lugo la direzioe di propagazioe Qualuque oda eleromageica o ha compoei e del campo elerico e del campo mageico lugo la direzioe di propagazioe Il campo elerico ed il campo mageico i u oda eleromageica soo orogoali Si dice che l oda eleromageica è TRASVERSALE Oda logiudiale: la direzioe di propagazioe coicide co la direzioe di oscillazioe Oda rasversale: la direzioe di propagazioe e oscillazioe soo orogoali E E = c quese due equazioi descrivoo compleamee le ode EM B B = c el vuoo c = velocià della lue el vuoo ε µ le ode e.m. piae soo ode i cui E e B o dipedoo da coordiae, ma solo da ua. E = E( x, ) soo idipedei da y,z quidi giaccioo i u piao perpedicolare a x B = B( x, ) Equazioi di Maxwell el vuoo I dive = II divb = E III ro B = µ ε B IV ro E = E e B si cocaeao dado luogo ad u campo eleromageico, si origiao ache ode che si propagao. 3

4 Ex I = x Bx II = x Ex III = µ ε B E z y IV = µ ε x Bz Ez V = µ ε x Bx VI = E B z y VII = x Ey Bz VIII = x dalle equazioi I e III si ricava che E x = cosae dalle equazioi II e IV si ricava che B x = cosae quese due compoei Ex e Bx posso uguagliarle a poiché a oi ieressao solo campi variabili. Duque il campo elerico ed il camp mageico soo orogoali all asse x che è il verso di propagazioe ode rasversali Cosideriamo ora l equazioe VII E z B y = x x e cosideriamo ora l equazioe V By Ez = ε µ x dal eorema di Shwarz oeiamo che B B y y E E = z = ε z µ x x x equazioe di Dalamber di propagazioe delle ode Ez E z = co c = x c ε µ Ode polarizzae liearmee cosideriamo il caso i cui E giace su ua rea, E varia ma maiee cosae la sua direzioe di oscillazioe. Queso ipo di ode si chiamao ode polarizzae liearmee. Cosideriamo u oda il cui campo elerico oscilla lugo l asse y E z = By VII = B y = ciò sigifica che il campo elerico oscilla lugo l asse z By V = x Ez = coclusioe: E e B soo orogoali By = calcoliamo ora la relazioe che lega quesi due campi 4

5 Ey Ey = E (, ) ( ) ( ) y x = f x c = f µ µ = x c x c B E z y df µ df = = = x dµ x dµ df Bz = d + cos dµ dµ = c d df Bz = dµ = f ( x c ) dµ c c d = dµ c Ey ma f ( x c) = Ey ( x, ) Bz = c quidi o solo il campo elerico e mageico soo orogoali, ma ra i due campi sussise ache quesa relazioe. Cosideriamo ora u oda co campo elerico direo lugo l asse z, i aalogia co quao già deo posso Ez scrivere che By = c Quidi: E y E E y z E Eyu y Ez u z y u B u = = = + c Ey E E z z B u z u y E = Ez u z B = u y = c c c E E z y E E = Ey + Ez B = + = E y + Ez = c c c c E per qualuque oda piaa vale sempre B = c EyEz EzEy E B = E y B + y E z B = z c + c = per qualuque oda eleromageica piaa B ed E soo sempre perpedicolari e giaccioo i u piao orogoale alla direzioe di propagazioe. Tramie la regola del prodoo veoriale ricaviamo u x u y u z Ey + E z E E che E B = E y E z = u x + u y + u z E B = u x = E u x = EBu x c c c E E z y c c Ricorda: regola della mao desra Pollice=E Idice=B Medio=prodoo veoriale (direzioe di propagazioe) ONDE PIANE ARMONICHE o MONOCROMATICHE Le ode piae armoiche o moocromaiche soo ode che hao u solo colore, il colore di u oda è associao alla frequeza ed alla lughezza dell oda. E( x, ) = E cos k ( x c) = E cos( kx kc) = E cos( kx ω) kc = ω = pulsazioe k = umero d'oda 5

6 kλ = π π λ = k lughezza d oda ωt = π π T = ω periodo ω υ = = T π frequeza π π c λ = = = ct k ω λ = ct N.B.: c o è sempre uguale ma varia da u maeriale all alro. Quidi da u maeriale all alro varia ache λ,mere rimagoo ivariae T. Spero delle ode e.m. 9 Hz υ Hz ode Herziae o ode radio Hz υ Hz 9 microode Hz υ Hz 3 radiazioiifrarossi Hz υ Hz visibile Hz υ Hz 5 6 ulraviolea Hz υ Hz 7 9 raggi X 9 υ Hz raggi γ Riassuo le direzioi di propagazioe di E e B soo perpedicolari Ey = f ( x c) ode piae Ey Bz = = f ( x c ) c c le ode piae si propagao lugo x a velocià c. B E E B = E B = EBµ x E, B, x formao ua era caresiaa desra E iolre solo per le ode piae si ha che B = C E = E cos ( k( x c) ) oda piaa armoica (o moocromaica) usa u deermiao ed uico colore 6

7 il colore è associao alla sua frequeza la frequeza è be precisa eorema di Fourier: posso rappreseare ogi oda co u umero di siusoidi pesae. E = E cos k( x c) = E cos( kx ω) Ricorda: [ ] k =umero d ode ω = kc pulsazioe π λ = lughezza d oda k π ω kc c T = υ = = = ω π π λ c λ = relazioe cosae poiché υ è cosae υ λ dipede quidi da c dal mezzo el quale l oda si propaga Ogi oda eleromageica raspora eergia. Per quao riguarda le ode piae o moocromaiche E = E cos kx ω E c E c ( ) cos ( ω ) B = = kx desià di eergia elerica desià di eergia mageica u e u m solo per le ode piae abbiamo che desià di eergia u ue u m = ε E B = µ ε µ um = = = E = E = u c = u = u + u = ε E B E ε e µ c µ µ ε µ e m quaià di eergia per uià di empo e di spaziou = u s c corrispode all iesià I dell oda eleromageica. U I = = c u = c ε E cos ( kx ω) s oda piaa moocromaica ( ω ) < I >= c ε E < cos kx > < I >= c ε E cos x + si x = < cos x >=< si x > / < > + < >= < >= < >= E I = c ε E = cε Ec = c εeb = EB c µ cos x si x cos x cos x / Veore di Poiig B EB S = E S = = I µ µ 7

8 queso veore lo associamo al rasporo di eergia eleromageica Teorema di Poiig Volumeτ coeee u campo eleromageico ue = ε E = ε EE B um = = BB µ µ U = ( ue + um ) dτ = ε EE BB dτ τ + τ µ quao vale la variazioe emporale di quesa eergia? U E E B B = ε EE + BB dτ = ε E + E + B + B dτ = τ µ τ µ E B E B E B E B = ε E + B dτ = Eε + B dτ τ µ τ µ B E roe rob µ j µ ε = = + ricordado: div( a b) = b roa a rob U B B B B = E ro j ro E dτ = E j ro E E ro dτ = τ µ τ µ µ µ B = E j div E dτ ( E j div j) dτ ( E j) dτ div jdτ ( E j) dτ S ud τ = = = Σ µ τ τ τ τ Σ per il eorema della divergeza abbiamo che Φ ( v) = U u ds = divvdτ U = E jdτ SudΣ τ Σ eorema di Poiig S S τ come cambia U el empo? -dissipazioe -scambio di eergia co il modo esero E j : eergia dissipaa ell uià di volume per effeo Joule Su : flusso di eergia araverso il cofie Σ del volume Pressioe di radiazioe 8

9 Forza: F = q E + v B = σ s E v B + F = σ s v B forza elerosaica forza di Lorez Noare che sia co cariche posiive, sia co cariche egaive la mia forza è sempre rivola verso l iero. Poeza: P = F v = σ s E + v B v P = σ s E v P Iesià: I = = σ E v poeza assorbia per uià di superficie s E I F = σ s v B = s σ v = s c c F I P = = s c u oda eleromageica piaa icidee su ua superficie oalmee assorbee esercia su quesa I superficie ua pressioe pari a P rad = c 3 I =.4 W (iesià media luce solare) m 3 Nm.4 I 3 sm 6 P = = = 5 Pa c 9 m 3 s 5 Pam Pa e quidi la pressioe della luce solare è rascurabile Ricorda 8 Velocià della luce el vuoo c = =.99 m ε µ s Velocià della luce i u maeriale RIFRAZIONE Idice di rifrazioe = ( ) E( x, ) = E cos kx ω k = kux r = xux + yuy + zuz kr = kx ε r v = = ε r > µ r εµ ε µ ε µ r r piao di icideza: il piao idividuao dalla direzioe dell oda e dalla ormale al piao di separazioe dei mezzi. 9

10 Ei = Ei cos( ki r ωi ) E = E cos( k r ω ) Er = Er cos( kr r ωr ) a priori quidi posso ipoizzare che le ode possoo avere pulsazioi diverse Ei + Er = E per la coservazioe della compoee ageziale E cos k r ω = E cos k r ω E cos k r ω ( ) ( ) ( ) i i i r r r ωr = ω = ωi l uica possibilià che ho per soddisfare quesa equazioe è che ki r = kr r = k r r = xux + yuy ki r = ykiy ki = kiy uy + kiz uz k r = xk + yk kr = krx ux + kry uy + krz uz r rx ry ykiy = xkrx + ykry quesa equazioe deve valere per ogi coppia di pui ( x, y ) k = yk = yk k = k rx iy ry iy ry ciò vuol dire che la compoee riflessa giace el piao ( y, z) di icideza. La compoee x o esise. Lo sesso ideico ragioameo lo si può fare co l oda rasmessa k = k = k x y iy Ache l oda rasmessa giace el piao ( y, z) di icideza. La compoee x o esise. kiy = kry ki siϑi = kr siϑr ω ω c k = = v = kiy = ky ki siϑi = k siϑ v c k siϑ = k siϑ i i r r ω ω c c siϑ = siϑ i r siϑ = siϑ ( co ω = ω ) i r i r i r legge della riflessioe ϑi = ϑr l agolo di icideza è uguale all agolo della riflessioe ki siϑi = k siϑ ωi ω siϑi = siϑ ( co ωi = ω ) c c legge delle rifrazioe o legge di Sell siϑi = siϑ la rifrazioe è il passaggio di u oda da u mezzo ad ua aro. Riassumedo ω = ω = ω. i r. l oda riflessa e rasmessa giaccioo sul piao di icideza k = k = 3. legge della riflessioeϑ r = ϑ i 4. legge di sell siϑ = siϑ quese leggi dao solo u aalisi ciemaica, o mi dicoo iee sulla ampiezza del campo rasmesso ed il campo riflesso si ϑ si i arcsi si i ϑ ϑ ϑ = = < ϑ < ϑi se > ϑ > ϑi rx x

11 esise u agolo limieϑ l ale per cui o esise più rifrazioe ϑ > ϑ siϑ > o si hao più ode rifrae i l siϑl = ϑl = arcsi c è riflessioe oale dell oda. La dispersioe U maeriale è dispersivo se il suo idice di rifrazioe dipede dalla frequeza dell oda che lo araversa. Tramie queso srumeo possiamo vedere lo spero delle frequeze dl fascio di luce erae. OTTICA GEOMETRICA Legge della riflessioe: ϑr = ϑi Legge della riflesioe (o legge di Sell): siϑi = siϑ U sisema oico è u sisema formao da ua serie di lei e/o specchi Se ue le superfici soo rifleei si dice sisema caorico Se ue le superfici soo rifragei il sisema si dice diorico U fascio di raggi uscei da ua sorgee puiforme è deo fascio omocerico Se all uscia dal sisema abbiamo u alro fascio omocerico, il sisema si dice sigmaico. Se all uscia del sisema oico o abbiamo u fascio omocerico, il sisema si dice asigmaico A ed A soo dei pui coiugai del sisema oico Se all uscia del sisema io raggio covergoo i u puo, l immagie così ricosruia viee dea immagie reale.

12 Se all uscia del sisema i raggi provegoo da u puo, l immagie così ricosruia ciee dea immagie viruale Termiologia Se ui i ceri degli elemei oici giaccioo sulla sessa rea, il sisema si dice cerao Covezioi. la luce icide sempre verso desra. R> quado la superficie, guardadola da sx, è covessa R< quado la superficie, guardadola da sx, è cocava 3. p> se l oggeo è a sx p< se l oggeo è a dx 4. q> se l immagie è a dx q< se l immagie è a sx 5. x> se l oggeo è sopra l asse oico x< se l oggeo è soo l asse oico 6. y> se l immagie è sopra l asse oico y< se l immagie è soo l asse oico 7. α> per l oggeo (i seso aiorario) α< per l immagie (i seso orario) Specchio sferico ( ) α = ϑ ' + ϑ ϑ ' = ϑ + ϑ ϑ ' + ϑ = α i h h h aϑ = a ϑ ' = aα AH ' A' H ' CH ' iroduciamo l approssimazioe parassiale cioè cosideriamo gli agoli ϑ, ϑ ', α piccoli, i queso modoϑ siϑ aϑ iroduciamo iolre u alra approssimazioe, cioè H ' V

13 h h h ϑ aϑ = AH ' AV p h h h ϑ ' gϑ ' = A' H ' A' V r h h h α aα = CH ' CV q quidi h h h ϑ ' + ϑ = α + = = q p r p q r che rappresea l equazioe dello specchio sferico i approssimazioe parassaile. Quidi ell ipoesi di approssimazioe parassaile, lo specchio sferico è u sisema sigmaico. il puo A viee deo fuoco dello specchio f = viee dea lughezza focale r specchio cocavo f> cocera i raggi specchio covesso f< disperde i raggi = equazioe dello specchio sferico p q f f p = = q p f pf specchio cocavo f > q > p < f immagie viruale p > q < p > f immagie reale specchio covesso f < q > p > immagie viruale u raggio parallelo viee madao per il fuoco (raggio ) se p = f ci risula q q =. Ciò sigifica che se u raggio esce dal fuoco lo specchio lo mada all ifiio (parallelamee all asse) (raggio ) u raggio che passa per il cero viee rifao passare per il cero (raggio 3) caso p > f co specchio cocavo 3

14 ui e 3 i raggi dell oggeo si icorao i u puo. Noo il puo è possibile ricosruire l oggeo che i queso caos è immagie reale, capovola, rimpicciolia. caso p < f co specchio cocavo l immagie è viruale poiché i raggi o si icorao ello specchio ma si icorao fuori dallo specchio. Caso co specchio covesso co uo specchio covesso si forma sempre u immagie viruale, al di fuori dello specchio. Caso co specchio piao ( f ) = = p = q p q p q se p> (oggeo reale) q< (immagie viruale) Dioro sferico > siϑi = siϑ α = ϑ ' + ϑ ϑi = ϑ + α 4

15 ϑ = ϑ ϑ = ϑi = ( ϑ + α ) ϑ = ( ϑ + α ) α = ϑ ' + ϑ ϑ α ϑ ' ϑ α α ϑ ' i ϑ α = + = + + = + ϑ + α α = ϑ + ϑ ( ) ' h aϑ ϑ = p h a ϑ ' ϑ ' = q h aα α = r h h h ( ) = + r p q + = p q r Dioro piao ( R ) + = q = p q p Lee soile La lee soile è la combiazioe di due diori sferici p + = p q r (dioro) + = p q r + = p q r = q l immagie del secodo dioro è l oggeo del primo cambiao di sego + = p q r + = q q r + = p q r r sommado le due equazioi membro a membro oego: ( ) + = (equazioe della lee) p q r r p è l oggeo che c è a siisra della lee 5

16 q è l immagie formaa dal secodo dioro, l immagie fiale cosruia dalla mia lee = + f r r + = p q f equazioe fodameale ipicamee abbiamo che = ( ) f r r = (aria) e = focale della lee Tipologie di lei lee bicovessa lei piaocovesse lee bicocava lee piaococava lee a meisco 6

17 se lo spessore della lee al cero è maggiore dello spessore della lee ai bordi, la lee è covergee (f>) se lo spessore della lee al cero è miore dello spessore della lee ai bordi, la lee è divergee (f<) ) approssimazioe parassiale (agoli piccoli): oica limiaa per diffrazioe ) approssimazioe oica geomerica: oica rifraiva - Co l oica difraiva riusciamo a calcolare le gradezze dell oggeo sulla focale per ovviare al problema dell aberrazioe si soo sviluppai srumei opporui: gli obieivi Quado usiamo quesi srumei ci roviamo el campo di u oica limiaa dalla diffrazioe. Nel fuoco della lee oeiamo la miima dimesioe dell oggeo possibile - p = f + = q = f q f abbiamo quidi u igradimeo dell immagie defiio come: p > f imagie reale M < p = f imagie reale M = per f < p < f immagie reale M > p < f immagie viruale y q i M = = y p l immagie della primamee rappresea l oggeo della secoda cambiao di sego. - se la prima lee forma u immagie reale, l oggeo della secoda è viruale. - Se la prima lee forma u immagie viruale, l oggeo della secoda è reale 7

18 + = + = p q f q q f + = + = = p = q p q f f f f f eq eq i= i la serie di due lei può essere visa come u uica lee co f eq f f = f + f OTTICA ONDULATORIA La luce visibile o è alro che u paricolare ipo di oda eleromageica. E u oda eleromageica co frequeza pari a circa 5THz. Ci soo feomei che soo derivabili direamee dalla aura eleromageica della luce. Tui quesi feomei fao pare della oica odulaoria. I paricolare parleremo di ierfereza (Youg) e diffrazioe (Fresel). INTEREFRENZA Ierfereza cosruiva: quado due perurbazioi co la sessa fase vegoo a coao, l oda risulae è la somma delle due ode. Ierfereza disruiva: quado due perurbazioi i opposo di fase vegoo a coao, l oda risulae è ulla. Ierfereza cosruiva ierfereza disruiva codizioe ecessaria per l esiseza di ua ierfereza è ce esisa ua coereza di fase, ossia il rapporo ra le fasi delle ode deve essere cosae el empo. Prediamo il caso di due sorgei che geerao ode moocromaiche polarizzae liearmee lugo y. E = E cos kx + u E = E cos kx + u E = E + E = E cos kx + + E cos kx + uy ( ω ϕ ) y ( ω ϕ ) y { ( ω ϕ ) ( ω ϕ )} ϕ kx = α ϕ kx = α E = { E cos( ω + α ) + E cos( ω + α )} uy meodo dei veori roai α( ) = ω( ) + ϕ ( ) x( ) = R cosα = R cos ω + ϕ la proiezioe di u moo circolare uiforme sull asse descrive sull asse x u moo armoico semplice. Ciò mi cosee di rappreseare ua siusoide come la proiezioe sull asse x di u veore che ruoa co moo circolare uiforme. Nel osro casoα eα rappreseao la posizioe iiziale del veore. 8

19 l ampiezza oale sarà daa dalla somma veoriale di E e E però dobbiamo rovareα o e E o α = α α E = E + E E E cos β = E + E + E E cosα o α = α α = ϕ ϕ + kx kx sfasameo iriseco sfasameo di propagazioe il campo risulae oscillerà ra u valore massimo ed u valore miimo a secoda del valore di cosα. Se cosα è massimo, ossia è +, abbiamo ua ierfereza cosruiva. se cosα è miimo, ossia è -, abbiamo ua ierfereza disruiva. L iesià vale: I = cε E e el osro caso possiamo riscriverla come: I = cε E = cε E E EE cosα cε E cε E cε EE cosα o + + = + + Se prediamo sigolarmee I = cε E I = cε E cε EE = cε E cε E = II I = I + I + cosα I I per α =,cosα =, I = I + I + II ierfereza cosruiva per α = π,cosα =, I = I + I II ierfereza disruiva el caso paricolare i cui le iesià siao uguali I = I = I α = I = 4I α = π I = se le due ode di ierfereza hao frequeze diverse E = E cos( ω + α ) uy E = E cos( ω + α ) uy E = E + E = { E cos( ω + α ) + E cos( ω + α )} uy E cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I = cε E = cε E ω + α + E ω + α = cε E cos ω + α + cε E cos ω + α + cε E E cos ω + α cos ω + α = cε E cos ( ω + α ) + cε E cos ( ω + α ) + cε EE cos( ( ω + ω ) + α + α ) + cos( ( ω ω ) + α α ) < I >= cε E + cε E + = I + I se io ho ode eleromageiche a diverse frequeze o ho ierfereza. uavia ua siusoide reale o è ua frequeza pura, ma ho u paccheo di frequeze che si avviciao alla mia frequeza cercaa. 9

20 Polarizzazioe orogoale Orogoale: E = E + E parallelo E = E + E I = cε E = cε ( E + E ) = cε E + cε E = I + I co polarizzazioe orogoale o ho ierfereza, il campo risulae è E l iesià oale è la somma delle sigole iesià. Soddisfare al erza richiesa (?) I = I + I + I I cosα ( x ) α = ϕ ϕ + k x o e si oiee co Piagora, mere seα è cosae le sorgei soo coerei se α = α( ) variabile el empo (come è i realà) le sorgei soo o coerei. Tuavia se le sorgei soo o coerei cosα varia ra - ed + e quidi ho come valor medio il ermie II cosα sparisce. Dae due sorgei di luce aurale, quese due o soo ra loro coerei daa ua sorgee di luce aurale dalla quale ricavo ode moocromaiche, quese sorgei moocromaiche o soo coerei. per rovare sorgei coerei ci soo vari meodi: divisioe del froe d oda (ierferomero di Youg) [ ω + ϕ ] [ ω + ϕ ] [ ω + ϕ ] E cos ( ) E cos ( ) kd E cos ( ) kd (specchio di Lloyd)

21 oego luce da due sorgei lumiose, ua reale, l alra viruale. (Biprisma di Fresel) è come se avessi luce da due sorgei viruali coerei e così posso osservare ierfereza. Youg ϕ = ϕ poiché provegoo dalla sessa sorgee x = x x = d siϑ y y = L aϑ aϑ = ϑ per approssimazioe parassiale L y α = ( ϕ ϕ ) + k ( x x ) = k ( x x ) = k d siϑ = k d ϑ = k d L π d y α = = λ L d π d I( y) = 4I cos = 4I cos y L π miimi d π π λl y = + N π = ( m + ) y = ( m + ) λ L d π d λ massimi y = m π y = m L λ L d λl periodo y = d divisioe d ampiezza π ϕ = k d = d λ ϕ = π 4π ϕ = ϕ ϕ = d π λ se ϕ = π ho ierfereza disruiva se ϕ =,π ho ierfereza cosruiva DIFFRAZIONE la diffrazioe è il processo che mee i mosra la aura odulaoria della luce. Il pricipio secodo cui io posso affermare che la luce emessa da ua fediura, a causa di u oda piaa, sia sferica è il pricipio di Hyuges-Fresel

22 io posso immagiare di avere ifiie fediure. Ma affiché io possa osservare ierfereza occorre avere froe d oda coeree. Meo uo schermo a grade disaza e mi pogo el pricipio di diffrazioe di Frauofer L ierfereza ha u froe d oda del ipo sic λl λl Miimi y = m y = ϑ ϑ Ciò sigifica che ache il più direzioale fascio di luce che posso creare, si allarga mao a mao che mi alloao dalla sorgee a causa della diffrazioe.( rec sic ) Pricipio di Frauofer L ierfereza è la rasformaa di Fourier della disribuzioe del campo elerico sulla fediura. Quidi più piccola è la fediura, più grade è la larghezza dell ierfereza. λl ϑ Da ciò deduco che >> ϑ L >> ϑ λ Queso mi dà u idea di quao debba essere loao lo schermo affiché si possa parlare di diffrazioe di Frauofer. λ f y = a quado io focalizzo u oda co ua lee ui i raggi paralleli li cocero i u puo di dimesioi al limie ulle. I moivi per cui io posso o avere u puo ma ua macchia fiia soo le aberrazioi. Tuo ciò è causao dall approssimazioe parassiale siϑ aϑ ϑ posso correggere le aberrazioi meedo i serie più lei. Ua lee che crea ua macchia ivece che u puo o più precisamee ua lee che ha u λ f fuoco y > è dea limiaa per diffrazioe. a Se volessi focalizzare u puo piccolo ella focale occorre avere u fascio di luce più grade possibile. Ho u limie fodameale ella focalizzazioe dei faci di luce. No posso focalizzare i u puo più piccolo della lughezza d oda del fascio di luce, poiché il valore di y è dell ordie dell uià, mai miore di. Quidi al massimo posso focalizzare i u puo o più coro della lughezza d oda. Reicoli di diffrazioe - Ierfereza ra sorgei cosideriamo che l emissioe abbia u agoloϑ rispeo alla ormale dello schermo è poso a disaza L. ra ua sorgee e l alra ci sarà uo sfasameo ϕ legao alla differeza di cammio della luce.

23 π π ϕ = ma = d siϑ ϕ = d siϑ = δ λ λ dobbiamo sommare i campi elerici di ogi fediura cosiderado che oguo di quesi è sfasao dall alro diδ. Uilizzo il meodo dei veori roai. Possiamo pesare di iscrivere quesa poligoale i u cerchio co raggio ρ π π δ = ϕ = = d siϑ λ λ Nδ E E = ρ si ρ = δ si Nδ si E Nδ E = si E δ = δ si si Nδ Nπ si si d siϑ λ I E I = I = I δ π si si d siϑ λ π si ( Nx) chiamado d siϑ = x I = I λ si ( x) sudiamo ora quesa fuzioe si( Nx) Nx lim = lim = N x = I = N I x si( x) x x se x= sigifica che le sorgei soo i fase ra loro. (figura sisemare 78) quidi l iesià che è il quadrao del campo sarà I = N I quado x> i veori sarao ui sfasai l uo rispeo all alro. diffrazioe m π m m λ miimi: si ( Nx) = Nx = mπ x = π d siϑ = π siϑ = N λ N N d π π mπ mλ massimi: si ( Nx) = Nx = + mπ x = + ϑ = siϑ = N N d ierfereza miimi: si m λ λ ϑ = + d Nd massimi: si m d λ ϑ = (figura sisemare 78) m =,..., se =m avrò u massimo 3

24 quidi ra u massimo e l alro avrò - miimi uavia ra ogi coppia di miimi avrò - massimi secodari i massimi pricipali si hao quado ue le sorgei ierferiscoo ra loro cosruivamee (soo i fase). aumeado l iesià sui massimi, l iesià sui miimi secodari dimiuisce ed iolre dimiuisce la disaza ra massimi secodari ma o ra massimi assolui. Prededo u molo grade posso prevedere che lo spessore dei picchi sarà ao più piccolo quao più grade è il umero di fediure che ierferiscoo. Quesa è proprio ua caraerisica del reicolo di diffrazioe, ossia la capacià di dividere le lughezze d oda Sull origie ue le lughezze d oda si sommao, poi ma mao che aumea la lughezza d oda avrò il massimo di ua cera lughezza d oda. Divido la luce ei suoi colori. Queso srumeo si chiama speroscopio. Posso vedere quali lughezze d oda arrivao rasporae da u cero fascio di luce. Se ho iesià del verde più ala, sigifica che i quel fascio c è ua grade preseza di luce verde e meo delle alre. diffraggo agolarmee la luce per scomporla elle varie lughezze d oda. Se provassi co la luce solare, apparirebbero delle bade ere, la luce solare o ha ue le lughezze d oda. Sigifica che la radiazioe solare o emee ue le lughezze d oda. L origie delle bade ere è legao all assorbimeo della luce solare ei gas della fascia esera del sole, o assorboo ue le lughezze d oda ma alcue. Se voglio vedere se sul sole c è u cero gas basa far passare u fascio di luce coiuo elle lughezze d oda araverso il gas e vedere se le bade ere corrispodoo poi co quelle del sole. dϑ Viee defiio poere dispersivo di u reicolo D = e mi idica quao soo separae agolarmee le d λ lughezze d oda. λ dλ siϑ = cosϑ dϑ = d d dϑ = aumea all aumeare dell ordie e dimiuisce co l aumeare della disaza ra le dλ d cosϑ fediure. Voglio essere i grado di separare due lughezze d oda: poere separaore. Daa ua cera lughezza d oda λ, qual è la miima variazioe di λ che posso acora apprezzare? λ Poere separaore R = misure della variazioe miima λ che riesco acora a misurare. λ Se due massimi di iesià si avviciao, edoo a sovrapporsi e quidi o riesco più a spararli. Il crierio che posso imporre per poer separare due lughezze d oda è: due lughezze d oda soo acora separabili quado il massimo pricipale di λ coicide co il primo miimo di λ. Codizioe di visibilià delle due lughezze d oda. 4

25 mλ mλ λ m( λ λ ) λ λ λ = + = m λ = = m d d d d d λ o dipede dalla disaza ma dall ordie e dal umero di fediure. Reicolo di riflessioe c è u aperura i igresso per procurarmi u oda sferica che rasformo i u oda piaa. all ordie zero ho u riflessioe ormale, agli ordii maggiori di zero ho riflessioe co agoli diversi. C è uo schermo sul quale oego ua immagie corrispodee allo spero. (speroscopio a reicolo) Polarizzazioe della luce L oda eleromageica è: rasversale Oscillao i campi E, B che soo orogoali Il campo B oscilla i u piao orogoale alla direzioe di propagazioe L oscillazioe del campo E evolve el empo secodo ua relazioe deermiisica luce polarizzaa L oscillazioe del campo E oscilla i maiera del uo casuale luce o polarizzaa Se le oscillazioi del campo elerico soo lugo ua rea, la polarizzazioe viee dea lieare. La luce aurale o è polarizzaa, la direzioe di oscillazioe del campo elerico evolve el empo i maiera casuale. Per oeere luce polarizzaa si uilizzao disposiivi paricolari dei polarizzaori. U polarizzaore è u disposiivo oico che ha i igresso u fascio di luce co polarizzazioe arbiraria e mi dà i uscia u fascio di luce polarizzao liearmee lugo ua direzioe be precisa. Polarizzaore ideale come calcolo l iesià rasmessa? Scompogo E i due veori, la compoee parallela viee rasmessa, quella perpedicolare o. L ampiezza de E rasmessa è uguale al campo icidee proieao lugo l asse di rasmissioe. Legge di Malus E = E cosϑ I E I = I cos ϑ I ϑ = 9 = se icido sul polarizzaore co ua luce aurale o polarizzaa, quao vale l iesià del campo rasmesso? Ii I = Ii cos ϑ = Ii < cos ϑ >= Polarizzaori 5

26 polaroid lamia plasica polarizzarice che si basa su u assorbimeo differee della luce i base alla sua direzioe di propagazioe la lamia è faa da caee di molecole molo lughe che hao la capacià di oriearsi parallelamee. Li pesiamo come fili uidimesioali coduori. se E oscilla parallelamee al filo, E mee i moo le cariche, che si muovoo lugo il filo e dissipao eergia e quidi assorboo luce E fili e quidi la polarizzazioe viee rasmessa perché ulla viee messo i moo griglia di fili come polarizzaore: si compora come la lamia polaroid. λ comparabili co la disaza dei fili, se λ << della disaza dei fili, allora ci roviamo davai ad ua lamia polaroid. I i Gli occhiali da sole polaroid o passa il, c è u aeuazioe del 5%, ma aeua del % il riverbero. Per capire la polarizzazioe della luce riflessa dobbiamo capire l iesià della luce rasmessa e riflessa i fuzioe dell agolo di icideza e della polarizzazioe della luce Riflessioe e rifrazioe coservazioe compoee agee al campo E e al campo M Ea = Ea Ba = Ba Ei + Er = E Bi Br = B oda piaa E c B = c = c Ei Er E = c c c Ei + Er = E Ei Er = E Ei Er = E Ei Er = E E, E icogie r sommo membro a membro E = E ( + ) E E i = + coefficiee di riflessioe r = + coefficiee di rasmissioe = + co = > >, r < il sego di r dipede da < <, r > la riflessioe mi compora uo sfasameo diπ se > i 6

27 I r E r R = = = I i E i + Polarizzazioe della luce ramie riflessioe Er r = = E + i > r < E sfasao di π rispeo a E < r > E i fase co E r r i i se E giace el piao di icideza (direzioe di propagazioe dell oda è ormale alla superficie di separazioe) si ha polarizzazioe P o oda TM (rasvers mageic) se E è perpedicolare al piao di icideza si ha polarizzazioe S o oda TE (rasverse elecric) diverse proprieà delle polarizzazioi i riflessioe Ea = Ea Ba = Ba oda TM Ei cosϑi Er cosϑr = E cosϑ Bi + Br = B E B = c E E E + = c c c i r E + E = E i r cosϑ = cosϑ i r 7

28 ( E E )cosϑ = E cosϑ i r i E + E = E i r siϑ cosϑ cosϑ Er cosϑ cosϑ siϑ r = = = E cos cos si i ϑ + ϑ ϑ cosϑ + cosϑ siϑ legge di Sell: siϑ = siϑ = = siϑ siϑ coefficiee di riflessioe per l oda TM ( ϑ ϑ ) ( ) siϑ cosϑ siϑ cos a ϑ r = = siϑ cosϑ + siϑ cosϑ a ϑ + ϑ per l oda TE si hao gli sessi ragioamei ma i campi elerici soo iverii Ei + Er = E Bi cosϑ Br cosϑ = B cosϑ si ( ϑ ϑ ) coefficiee di riflessioe per l oda TE r = si ϑ + ϑ a + quado ϑ ϑ ( ϑ ϑ ) ( ) π + = a + = rtm = siϑ = siϑ π ϑ = ϑ siϑ = cosϑ ϑ = ϑ ϑ = = si cos a aϑ = agolo di Brewser: ϑ B = arca è l agolo per il quale il coefficiee di riflessioe dell oda TM è ullo. Per l oda TE o avrò mai u r= perché il seo o va da a + e quidi il seo o si aulla mai. iesià oda riflessa Ir R = = = r iesià oda icidee I i valori massimo di R=, all agoloϑ B rasmeo compleamee solo la compoee TE, quella TM viee ua assorbia. Per il veroϑ B = 56 Polarizzazioe ramie riflessioe all agolo di Brewser Suppoiamo di icidere all agolo di Brewser L oda icidee è o polarizzaa: i k, E al paio,ma la direzioe varia el piao k 8

29 ell oda riflessa è presee solo la compoee TE la polarizzazioe icidedo co u agoloϑ B co u oda o polarizzaa, l oda riflessa è polarizzaa come TE. Difei: o preleviamo il % dell iesià di TE, ma solo u % circa (il reso è rasmesso). Se agiamo i rasmissioe ho più TM, poiché TM è solo rasmessa mere TE i pare è ache riflessa Cosideriamo più lamie TE è ua riflessa Co 5 o 6 di quese lamie, facce che mi porao via circa il % di TE. Uilizzado ua serie di lamie rifleedo all agolo di Brewser riesco, i rasmissioe, a polarizzare come TM co il % dell iesià oali. lei polaroid elimiao il riverbero della luce solare o polarizzaa, ifai il riverbero ha agoli aoro ai 45,l agolo di Brewser è di circa 56, quidi araverso gli occhiali passa solo ua miima luce di riverbero. Tuavia sulla luce solare direa o hao alcu effeo. Polarizzare la luce -polarizzzaori -riflessioe all agolo di Brewser -disposiivi che si basao sulla birifrageza Birifrageza Oicamee aisropi variazioe a secoda della direzioe (Isoropo ivece dipede dalla direzioe) isoropo: l idice di rifrazioe i u puo è lo sesso qualuque sia la direzioe di propagazioe di E aisoropo: l idice di rifrazioe dipede dalla direzioe delle oscillazioi di E ordiary e exraordiary 9

30 icido co ua cera direzioe, E polarizzao i direzioe diversa, l idice di rifrazioe è diverso. Se facciamo di queso maeriale u prisma a secoda della polarizzazioe, abbiamo due agoli di rifrazioe diversi (poiché dipedoo dagli idici di rifrazioe) siϑi = siϑ doppia rifrazioe siϑ = siϑi gioco su queso per oeere ua polarizzazioe uilizziamo u prisma fao così per per ϑ > ϑ e i l ϑ < ϑ o i l riflessioe oale rifrazioe polarizzaore o prisma di Gla vaaggio rispeo a lamia polaroid uo ciò che o viee rasmesso viee riflesso, assorbe ua polarizzazioe e e rasmee u alra, uavia si riscalda e si può daeggiare. Ruoado la direzioe di polarizzazioe della luce: lamia birifragee ero co ua luce polarizzaa liearmee che formi i agolo co l asse ordiario, quidi E oscilla lugo la direzioe idicaa scompogo E i due veori che oscillao i fase. E = E cos( ω kx) oda piaa E cos( ) i = E ω campo i igresso (x=) cos( ) π Eou = E ω kd campo i uscia (x=d), sfasai diϕ = kd = d λ lo sfasameo della siusoide dipede da d ed. lamia birifragee, ha idici di rifrazioe diversi. π ϕo = od λ sfasamei diversi π ϕl = ld λ impogo che ϕ = ϕo ϕe = π quidi i uscia oscillao i opposizioe di fase. 3

31 Ruoo di ϕ la direzioe di oscillazioe di E. La lamia a mezz oda da a λ π λ λ ϕ = ( o l ) d = π d = per avere ua lamia a λ ( o l ) mi cosee di ruoare la direzioe di oscillazioe del campo elerico i maiera pressoché coiua. Se ho ua luce polarizzaa liearmee I = I cos ϑ (aeuaore oico variabile) luce o polarizzaa E = E cosα luce polarizzaa circolarmee, moo uiforme I I = E = E siϑ = E si ω ( ) I = I cos α legge di Malus filri polarizzaori, passa solo la compoee del campo elerico che è rivola lugo l asse, quella perpedicolare viee assorbia. I I = 3