Esercizi superfici. per ogni s [0, T ]. Sia f : [0, T ] [0, 2π] R 3 l applicazione definita da

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1 Esercizi sperfici Esercizio. Sia γ : [, T ] R 3 na crva biregolare piana semplice e chisa con velocità nitaria. Siano T, N, B, κ i dati di Frenet di γ. Sia R > n nmero reale fissato tale che R < κ(s) per ogni s [, T ]. Sia f : [, T ] [, π] R 3 l applicazione definita da e sia S la sperfice parametrizzata da f.. Calcolare la prima forma fondamentale di S.. Trovare na mappa di Gass n per S. 3. Calcolare la seconda forma fondamentale di S. 4. Calcolare la crvatra gassiana K di S. 5. Calcolare le crvatre principali di S. f(s, θ) γ(s) + R(cos θn(s) + sin θb(s)) 6. Sia S + S il sottoinsieme di S dove la crvatra gassiana K >. Calcolare S + KdS. Solzioni.. Usando il fatto che γ è piana torsione τ(s), e le formle di Frenet per le derivate di T, N, B, abbiamo f s γ(s) + R(cos θṅ(s) + sin θḃ(s)) T (s) + R(cos θ( κ(s)t (s) + τ(s)b(s)) + sin θ( τ(s)n(s))) ( R cos θκ(s))t (s) f θ R( sin θn(s) + cos θb(s)) R sin θn(s) + R cos θb(s) Qindi, per l ortonormalità della base T, N, B perci la prima forma fondamentale è. Una mappa di Gass: E f s, f s ( R cos θκ(s)) F f s, f θ G f θ, f θ R I (s,θ) (w, w ) ( R cos θκ(s)) w + R w. f s f θ ( R cos θκ(s))t (s) ( R sin θn(s) + R cos θb(s)) R sin θ( R cos θκ(s))b(s) R cos θ( R cos θκ(s))n(s) f s f θ R sin θ( R cos θκ(s)) + R cos θ( R cos θκ(s)) R ( R cos θκ(s)) R( R cos θκ(s)) n(s, θ) f s f θ sin θb(s) cos θn(s) f s f θ

2 3. Seconda forma fondamentale: L f ss, n(s, θ) ( R cos θκ (s))t (s) + ( R cos θκ(s)) T (s), sin θb(s) cos θn(s) ( R cos θκ (s))t (s) + ( R cos θκ(s))(κ(s)n(s)), sin θb(s) cos θn(s) ( R cos θκ(s))κ(s)( cos θ) cos θκ(s)( R cos θκ(s)) M f sθ, n(s, θ) R sin θκ(s)t (s), sin θb(s) cos θn(s) N f θθ, n(s, θ) R cos θn(s) R sin θb(s), sin θb(s) cos θn(s) R 4. Crvatra gassiana: K det A LN M R cos θκ(s)( R cos θκ(s)) EG F R ( R cos θκ(s)) cos θκ(s) R( R cos θκ(s)) 5. Crvatre principali: A Tr A ( ) ( ) G F L M EG F F E M N ( ) GL F M GM F N EG F F L + EM F M + EN (GL F M + ( F M + EN)) EG F (GL F M + EN) EG F R ( R cos θκ(s)) (R ( cos θκ(s)( R cos θκ(s))) + ( R cos θκ(s)) R) cos θκ(s) ( R cos θκ(s)) + R Qindi, sando la formla λ ± Tr(A)± Tr(A) 4 det A per gli atovalori di A, abbiamo (Tr A) 4 det A λ ± ( cos θκ(s) ( R cos θκ(s)) + ) cos θκ(s) 4 R R( R cos θκ(s)) ( ) ( ) ( ) cos θκ(s) cos θκ(s) ( R cos θκ(s)) ( R cos θκ(s)) R + cos θκ(s) + 4 R R( R cos θκ(s)) ( ) ( ) ( ) cos θκ(s) cos θκ(s) + ( R cos θκ(s)) ( R cos θκ(s)) R + R ( cos θκ(s) ( R cos θκ(s)) + ) R ( ) cos θκ(s) ( R cos θκ(s)) + R ± cos θκ(s) ( R cos θκ(s)) + R λ + R λ cos θκ(s) ( R cos θκ(s)). 6. Per ipotesi R < κ(s) perci Rκ(s) <, qindi Rκ(s) cos θ > per ogni s, θ. Qindi K > cos θκ(s) > cos θ > cos θ > θ ( π/, π/). Qindi S + [, T ] ( π/, π/)

3 3 e sando il fatto che ds EG F ds dθ abbiamo KdS K(s, θ) EG F ds dθ S + S + T π/ π/ T π/ π/ T sin θ π/ π/ ( ( )) cos θκ(s) R( R cos θκ(s)) cos θκ(s)ds dθ T T κ(s)ds. κ(s)ds κ(s)ds R( R cos θκ(s)) ds dθ Esercizio. Poniamo S {(x, y, z) R 3 x + y + z, < z < }, C {(x, y, z) R 3 x + y z, z > }, e h : (, ) R > n applicazione differenziabile strettamente crescente. Sia Φ : S C l applicazione definita da ( ) x Φ(x, y, z) h(z), y, z z. Far vedere che Φ è n applicazione differenziabile.. È possibile determinare la fnzione h in modo che l applicazione Φ trasformi i meridiani di S in crve di lnghezza finita s C? 3. È possibile determinare la fnzione h in modo che Φ sia na isometria locale? Solzione. La sperficie S è l emisfera nord della sfera senza il polo nord. La sperficie C è la parte del cono z r, r x + y, sopra il piano xy, cioè senza l origine (,, ). Una carta locale per S è la coppia (U, ϕ ) dove U {(x, y) R < x + y < } e ϕ (x, y) (x, y, x + y ). Una carta locale per C è la coppia (U, ϕ ) dove U R \ {(, )} e ϕ (x, y) (x, y, x + y ). Qindi φ : S U è la proiezione al piano xy, cioè (x, y, x + y ) (x, y).. Dobbiamo mostrare che l applicazione composta F (x, y) ϕ Φ ϕ : U U è differenziabile. Abbiamo F (x, y) h( x y ) ( x x + y, ) y x + y

4 4 Vediamo che, per le varie regole delle derivate, ed essendo h differenziabile, F (x, y) è differenziable ogni volta che le radici qadrate sono differenziabili. Dato che f(x) è differenziabile rispetto a x se f(x) > e f(x) è differenziabile, vediamo che poichè x + y > e x + y > s U, F (x, y) è differenziabile s U.. Un meridiano di S è l immagine, tramite ϕ, di n raggio scente dall origine (, ) in U. Cioè possiamo parametrizzare n meridiano con γ(t) ϕ (t cos θ, t sin θ) (t cos θ, t sin θ, t ), t (, ). La lnghezza dell immagine del meridiano tramite Φ sarà L(Φ γ(t)) (Φ γ) (t) dt. Ponendo z(t) t, l immagine di γ tramite Φ sarà la crva Φ γ(t) h(z(t)) ( t cos θ t, t sin θ t, ) h(z(t)) (cos θ, sin θ, ), perci Qindi (Φ γ) (t) (h z) (t)(cos θ, sin θ, ) (Φ γ) (t) h(z(t)) (cos θ, sin θ, ) (h z) (t) cos θ + sin θ + (h z) (t) Per la regola della catena, (h z) (t) h (z)z (t). z (t) è negativa per ogni t (, ). t t t t Per ipotesi h (z) è positiva per ogni z, mentre Sege che (h z) (t) è negativa per ogni t, perci (h z) (t) (h z) (t). Allora L(Φ γ(t)) (Φ γ) (t) dt (h z) (t) dt (h z) (t)dt (h z)(t) t t ( h( ) h( ) ) (h() h()) Qindi la risposta è sì se scegliamo na fnzione h : (, ) (, ) strettamente crescente tale che l immagine di h è limitata in (, ), allora L(Φ γ(t)) (h() h()) sarà n nmero finito. Ad esempio, la fnzione h(z) z è differenziabile, strettamente crescente, e l immagine (, ) è limitata. 3. È possibile scegliere h(z) in modo tale che Φ è na isometria locale? La risposta è no. Ecco il ragionamento: Per il teorema egregim di Gass, se S e C hanno diverse crvatre gassiane, non pò esistere na isometria locale da na all altra. Qindi bisogna verificare è se la crvatra Gassiana di S è diversa dalla crvatra Gassiana di C. A qesto pnto potremmo calcolare esplicitamente la crvatra gassiana di S e C. Alternativamente possiamo ragionare che la crvatra Gassiana di S è positiva ovnqe, mentre la crvatra Gassiana di C è ovnqe, senza calcoli. Usiamo il fatto che la crvatra Gassiana è il

5 5 prodotto delle crvatre principali, e le crvatre principali in n pnto p sono la massima e la minima crvatra normale in p. Abbiamo visto che la crvatra normale in na direzione è gale, a meno di segno, alla crvatra della sezione normale della sperfice in qella direzione. La crvatra normale è positivo se la sezione normale è concava nella direzione della normale nella mappa di Gass, ed è negativo se la sezione normale è concava nella direzione opposta della normale nella mappa di Gass. Per la sfera, scegliamo la normale scente per la mappa di Gass. Ogni sezione normale passante per n pnto è concava nella direzione opposta della normale della mappa di Gass, qindi la crvatra normale è negativa in ogni direzione. Qindi le de crvatre principali (che sono massima/minima crvatra normale) saranno entrambe negative, perci il loro prodotto (la crvatra gassiana) sarà >. Per il cono C, fissiamo per la mappa di Gass la normale in direzione di z crescente. Consideriamo n pnto p C. Siccome ogni sezione normale passante per p è o na retta o concava verso la normale della mappa di Gass, la crvatra normale in ogni direzione sarà. Qindi la crvatra normale minima è, la crvatra normale massima è. Le crvatre principali sono la minima e la massima delle crvatre normali, qindi la crvatra gassiana sarà (positivo). Esercizio 3. Sia g : R R na fnzione di classe C. Sia R R na regione compatta. Dimostrare che l area del grafico di g determinata dalla regione R è data da + gx + gydxdy R Solzione. L area è R EG F dx dy. La carta locale del grafico di g è φ(x, y) (x, y, g(x, y)) perci la prima forma fondamentale è data da E φ x, φ x g x F φ x, φ y g x g x g y + gx g x g y G φ y, φ y g y g y + g y qindi EG F ( + gx)( + gy) gxg y + gxg y + gx + gy gxg y + gx + gy. Esercizio 4. Sia S {(x, y, xy) x, y R}.. Dimostrare che S è na sperfice regolare.. Calcolare la prima forma fondamentale di S. 3. Calcolare la seconda forma fondamentale di S. 4. Calcolare la crvatra gassiana di S. 5. Trovare le crve s S che hanno la crvatra normale nlla in ciascn pnto. Solzioni.. Possiamo dire che S è il grafico della fnzione liscia f(x, y) xy, perci è na sperfice regolare. Oppre, se vogliamo dimostrare direttamente che S è na sperfice regolare, dobbiamo verificare che le de condizioni nella definizione di sperfice regolare sono soddisfatte. L intera sperfice è ricoperta con n nica carta locale, (R, φ) dove φ : R R 3 è data da φ(x, y) (x, y, xy).

6 6 φ : R S è n omeomorfismo, perchè è n applicazione contina e binivoca la ci inversa ψ : S R data da ψ(x, y, z) (x, y) è anche contina. per ogni (x, y) R la matrice jacobiana è dφ (x,y) che ha rango (perchè le colonne y x sono sempre linearmente indipendenti grazie alle prime de righe).. Prima forma fondamentale: E φ x, φ x F φ x, φ y G φ y, φ y y y x y x x + y xy + x I (x,y) (w, w ) Ew + F w w + Gw ( + y )w + xyw w + ( + x )w. 3. Seconda forma fondamentale. Scegliamo la mappa di Gass data da n(φ(x, y)) φx φy φ x φ y. Qindi φ x φ y det n(φ(x, y)) i j k y x + x + y yi xj + k y x Usando le formle L φ xx, n, M φ xy, n, N φ yy, n abbiamo L M N. y x + x + y + x + y + x + y II (x,y) (w, w ) Lw + Mw w + Nw y x y x y x + x + y + x + y w w. 4. Crvatra gassiana K LN M EG F (+y )(+x ) x y +x +y +x +y +x +y (+x +y ) 5. Una crva in S è l immagine tramite φ di na crva σ(t) (x(t), y(t)) in R. La crvatra normale nella direzione (φ σ) (t) è data nella carta locale dalla formla II σ(t) (σ (t)) I σ(t) (σ (t)) che èzero se e solo se il nmeratore è zero, qindi ponendo II σ(t) (σ (t)) Lx (t) + Mx (t)y (t) + Ny (t) x (t)y (t) + x(t) + y(t)

7 7 vediamo che è zero se e solo se o x (t) o y (t), ossia se e solo se o x(t) o y(t) è costante. Qindi le crve di crvatra normale nlla sono le crve del tipo (a, y(t), ay(t)) e le crve del tipo (x(t), b, bx(t)) per qalsiasi fnzione liscia x(t). (Infatti qeste crve sono rette passanti per l origine, date da z ay o z bx.) Esercizio 5. Sia α na crva regolare nel piano xz. Sia S la sperficie di revolzione generata rotando α intorno all asse z. Spponiamo che α(s) (x(s),, z(s)) sia na parametrizzazione rispetto alla lnghezza d arco. (Qindi ẋ(s) + ż(s) ). La matrice che rappresenta rotazione attorno all asse z per l angolo θ è perci S ha na parametrizzazione ϕ(s, θ) R θ α(s) R θ cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ x(s) z(s), cos(θ)x(s) sin(θ)x(s) z(s) Fissato θ, la crva {R θ α(s) s [a, b]} che è l immagine di α tramite la rotazione R θ si dice n meridiano di S. Fissato s [a, b], la circonferenza {R θ α(s) θ [, π]} si dice n parallelo di S.. Trovare la prima forma fondamentale di S.. Trovare na mappa di Gass n : S S. 3. Trovare la seconda forma fondamentale di S. 4. Mostrare che na direzione principale è tangente al parallelo passante per p, e l altra direzione principale in p è tangente al meridiano passante per p. 5. Mostrare che la crvatra Gassiana di S in p ϕ(s, θ) è K ẍ(s) x(s). Esercizio 6. Sia S il grafico di na fnzione f : U R, z f(x, y). Mostrare che la crvatra Gassiana di S in p (x, y, f(x, y)) è K f xxf yy (f xy ) ( + f x + f y ) dove f xx f x, f x f x ecc. Il nmeratore è il determinante della matrice ( ) fxx f xy che si chiama la matrice Hessiana di f. f yx f yy Esercizio 7. Siano S {(,, ln ) >, v R} e S {(,, v) >, v R} de sperfici parametrizzate.. Mostrare che la mappa Φ : S S data da Φ(,, ln ) (,, v) è n diffeomorfismo locale.. Mostrare che la crvatra Gassiana di S in ϕ (, v) è gale alla crvatra Gassiana di S in ϕ (, v). 3. Calcolare la lnghezza della crva γ : [, π] S data da γ(t) (cos t, sin t, ). 4. Calcolare la lnghezza della crva Φ γ : [, π] S data da Φ γ(t) (cos t, sin t, t). 5. Concldere che Φ non è n isometria. Qesto esempio mostra che la conversa al Teorema Egregim non vale.

8 8 Solzioni.. Un diffeomorfismo locale è n applicazione f : X Y di classe C tale che ad ogni pnto p X esistono n intorno U di p ed n intorno V di f(p) tale che f : U V ha n inversa di classe C. Per mostrare che Φ è di classe C, dobbiamo sare carte locali. Poi per fare vedere che è n difffeomorfismo locale, siamo il teorema della fnzione inversa: na fnzione di classe C f : U U dove U, U R k è n diffeomorfismo locale se e solo se la matrice jacobiana è invertible. Per S possiamo prendere come carta locale na coppia (U, φ ) con U (, ) (a, b) dove (a, b) è qalsiasi intervallo in R tale che b a è inferiore a π (perchè altrimenti la mappa φ (, v) (,, ) non è n omeomorfismo perchè non è iniettiva.) Allora na carta locale per S è la coppia (U, φ ) dove U (, ) R e φ (, v) (,, v). La mappa inversa φ : S U è la mappa (x, y, z) ( x + y, z), cioè x + y, v z. La mappa φ Φ φ : U U è qindi data da φ Φ φ (, v) (, v) che è chiaramente di classe C. Poi ( vediamo ) che la matrice jacobiana di qesta fnzione composta (che rappresenta Φ nelle carte locali) è che è sempre invertibile, qindi Φ è n diffeomorfismo locale.. Prima forma fondamentale per S : E φ, φ F φ, φ v G φ v, φ v + Mappa di Gass per S : φ φ v det n(, v) Seconda forma fondamentale per S : Crvatra gassiana di S : L φ, n i j k i + j + k φ φ v φ φ v + M φ v, n N φ vv, n K LN M EG F + + ( + ) + +

9 9 Prima forma fondamentale per S : Mappa di Gass per S : E φ, φ F φ, φ v G φ v, φ v φ φ v det n(, v) Seconda forma fondamentale per S : Crvatra gassiana di S : 3. Lnghezza di γ(t): L φ, n i j k φ φ v φ φ v + M φ v, n N φ vv, n i j + k + K LN M EG F + + ( + ) + L(γ(t)) π γ (t) dt π π ( sin(t)) + (cos(t)) dt dt π 4. Lnghezza di Φ γ(t): L(Φ γ(t)) π (Φ γ) (t) dt π π ( sin(t)) + (cos t) + dt dt π. 5. Poichè la lnghezza di γ(t) non è gale alla lnghezza di Φ(γ(t)), Φ non è na isometria locale. Esercizio 8. Si consideri la crva γ : R R 3 definita da γ(t) (t, t, t 3 ). Per t R, sia C t il cerchio di centro γ() e raggio sl piano per γ() parallelo al piano (y, z). Poniamo S t R C t

10 . Trovare na parametrizzazione di S e discterne la regolarità.. Trovare n polinomio F : R 3 R tale che S F (). 3. È vero o falso che S è na sperfice liscia? 4. Calcolare la crvatra normale di C considerata come crva s S. Solzione.. Una parametrizzazione: la circonferenza di raggio centrata a γ() sl piano per γ() parallelo al piano (y, z) è γ() + (, cos θ, sin θ), θ [, π]. Qindi na parametrizzazione della sperfice S è f(, θ) γ() + (, cos θ, sin θ) (,, 3 ) + (, cos θ, sin θ) (, + cos θ, 3 + sin θ).. x, y + cos θ, z 3 + sin θ. Qindi, y x + cos θ, z x 3 + sin θ. Poi cos (θ) + sin (θ) (y x ) + (z x 3 ), perci ponendo abbiamo F () S. F (x, y, z) (y x ) + (z x 3 ) 3. (Interpretiamo sperfice liscia come sperfice regolare ). È vero. Usiamo il fatto che se F : R 3 R è na fnzione liscia (di classe C ), e a R è n valore regolare di F, allora ogni componente connessa di F () è na sperfice regolare. Verifichiamo che è n valore regolare di F : df (x, y, z) ((y x )( x) + (z x 3 )( 3x ), (y x ), (z x 3 )). I pnti critici sono qelli dove df (x,y,z), ossia i pnti (x, y, z) che soddisfano le eqazioni simltanee (y x )( x) + (z x 3 )( 3x ) (y x ) (z x 3 ). Se (x, y, z) F (), significa che (y x ) + (z x 3 ) perci (x, y, z) non pò soddisfare y x e z x 3. Qindi, è n valore regolare di F, perci F () S è na sperfice regolare. 4. Sia α(s) na crva parametrizzata rispetto alla lnghezza d arco. La crvatra normale in p α(s), nella direzione v α(s) è κ n (v) α(s), n(p). Una parametrizzazione di C è α(θ) (, cos θ, sin θ), per fortna è già parametrizzata rispetto alla lnghezza d arco (il vettore tangente è sempre nitario). Adesso bisogna scegliere na mappa di Gass. Una possibilità è n(f(, θ)) Oppre possiamo sare il fatto che F S, e sare Nel nostro caso, ( F )(, cos θ, sin θ) n(x, y, z) cos θ sin θ f f θ f f θ F F Qindi, la crvatra normale è α(θ), n(, cos θ, sin θ), qindi n(, cos θ, sin θ) cos θ sin θ cos θ sin θ cos θ sin θ..

11 Esercizio 9. Sia U (, ) (, π) R. Si consideri la parametrizzazione f : U R 3 definita da f(, v) (,, ).. Trovare na isometria di S (con la metrica indotta dalla metrica eclidea di R 3 ) s na regione del piano eclideo.. Calcolare crvatre e direzioni principali di f. Solzione.. La sperfice parametrizzata da f è contenta in n cono (si verifica che x + y z ). È la parte del cono sopra il piano xy, escldendo la retta z x (che corrisponde a v e v π). Tagliamo il cono lngo la retta z x, y, srotolandolo nel piano xy: R z R phi v y x Un pnto sl cono è (x, y, z) (,, ) dove x + y e v è l angolo tra (x, y, ) e l asse x nel piano xy. Qando il cono viene srotolato, qesto pnto diventa il pnto (R cos φ, R sin φ, ) nel piano xy, dove R x + y + z e l angolo φ si calcola dal fatto che v Rφ, ossia φ R v v v. Dnqe vogliamo verificare se l applicazione Φ : S P data da Φ(,, ) ( cos(v/ ), sin(v/ ), ) è na isometria. First fndamental form on cone: E f, f F f, f v G f v, f v First fndamental form on Φ(cone): so Φ is an isometry. Ẽ (Φ f), (Φ f) F (Φ f), (Φ f) v G (Φ f) v, (Φ f) v. Second fndamental form: gass map cos(v/ ) sin(v/ ) cos(v/ ) sin(v/ ) sin(v/ ) cos(v/ ) r n(f(, v)) f f v / f f v cos(v/ ) sin(v/ ) sin(v/ ) cos(v/ ) sin(v/ ) cos(v/ )

12 f f v n(f(, v)), f f v, so. So L f, n M f v, n N f vv, n Conseqently A EG F ( G F F E ) ( L M M N ) ( ) ( ) ( / ) ( ) So the principal crvatres are and, and the principal directions are the directions of f and f v, i.e. directions of and.