Digitalizzazione di segnali - Complementi

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1 1 Digitalizzazione di segnali - Complementi 1.1 Quantizzazione con sovracampionamento In un sistema di conversione analogico-digitale, la sezione analogica, la quale include il filtro di antialiasing, risulta essere una delle parti più critiche. Per segnali campionati alla frequenza di Nyquist, tale elemento è caratterizzato da un elevata selettività in frequenza, cioè una banda di transizione estremamente stretta, e quindi da un elevata complessità in termini di componenti elettronici e da una non semplice realizzabilità in tecnologia VLSI. Con opportuni accorgimenti, è possibile trasportare parte di tale complessità dal dominio analogico a quello digitale, dove è possibile sfruttare una sempre crescente capacità di elaborazione. Si consideri un segnale con frequenza massima f m, campionato alla frequenza di campionamento M 2f m, cioè M volte la frequenza di Nyquist. In questo caso, il filtro di antialiasing può essere progettato con caratteristiche molto più rilassate, senza tuttavia creare aliasing nella banda di interesse ( f m,f m ). Una volta quantizzato il segnale, la frequenza di campionamento di Nyquist può essere ripristinata usando un filtraggio numerico e un sottocampionatore di un fattore M. Quindi, il vantaggio sulla componente analogica è ottenuto a scapito del fattore di sovracampionamento M e del successivo filtraggio nel dominio numerico. Lo schema risultante è mostrato in Figura 1.1. Figura 1.1 Schema di ADC con sovracampionamento. Lo schema con sovracampionamento è vantaggioso anche da un punto di vista di risoluzione di ampiezza: permette cioè di ottenere un vantaggio in termini di rapporto segnale-rumore a parità di bit di quantizzazione. Per verificare questo fatto si osservi la Figura 1.2, in cui abbiamo indicato con S xx (F) e con S ee (F) le densità spettrali di potenza del segnale e del rumore di quantizzazione, espresse in frequenze normalizzate. La funziones xx (F) è limitata alla frequenza

2 2 Capitolo 1 f m /(M 2f m ) = 1/(2M). La funzione S ee (F) è legata al modello di rumore di quantizzazione, il quale viene assunto bianco, con potenza σ 2 e = 2 2B /3, dove B è il numero di bit di quantizzazione (tale valore di potenza vale per una dinamica tra -1 e 1). Il rapporto tra la potenza del segnale e quella del rumore di quantizzazione, se ci limitiamo alla banda di interesse del segnale, è dato da SNR qs = P x 1 M 2 2B 3 dove conp x abbiamo indicato la potenza del segnale, cioè l area sottesa dalla curvas xx (F), mentre il denominatore indica la potenza del rumore di quantizzazione nella banda ( f m,f m ), la quale risulta 1/M della potenza di errore complessiva introdotta dal quantizzatore. Indicando con SNR q = Px il rapporto segnalerumore in assenza di sovracampionamento, si ricava che il guadagno ottenuto dal 2 2B /3 sovracampionamento è uguale a M. In termini di bit, il guadagno può essere quantificato da 1 2 log 2M, essendo, con SNR qs = P x, 2 2Beq 3 B eq = B log 2M. Figura 1.2 Densità spettrale di potenza del segnale e del rumore in un ADC con sovracampionamento. L uso del sovracampionamento nella conversione analogico-digitale può essere reso più efficace associando ad esso una modellazione della densità spettrale di potenza del rumore di quantizzazione (noise shaping). Alla base di tale metodo vi è la considerazione che per un segnale correlato, come quello ottenuto da un sovracampionamento, è più vantaggioso quantizzare un segnale differenziale invece che direttamente il segnale campionato. Per illustrare tale concetto, si consideri un sistema che quantizza la differenza d(nt) = x(nt) x((n 1)T), F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

3 Complementi 3 al posto di x(nt). A parità del numero di bit di quantizzazione, abbiamo un vantaggio nel caso in cui il segnale da quantizzare abbia una dinamica inferiore rispetto a quella del segnale di partenza. Poiché per processi aleatori la dinamica può essere messa in relazione alla varianza del segnale (che assumiamo a media nulla), abbiamo un vantaggio seσ 2 d < σ2 x, cioè se σ 2 d = E[(x(nT) x((n 1)T))2 ] = 2σ 2 x 2E[x(nT)x((n 1)T)] = 2(σ 2 x R xx (T)) < σ 2 x, dove R xx (T) è l autocorrelazione del segnale di ingresso calcolata per un ritardo di un passo di campionamento T. La disuguaglianza è soddisfatta se il segnale è sufficientemente correlato, cioè ser xx (T) > 0.5σ 2 x. In generale, il segnale differenziale può essere ottenuto sottraendo dal campione attuale una sua predizione costruita a partire dai campioni del segnale precedentemente quantizzati. Lo schema mostrato in Figura 1.3 prende il nome di DPCM (Differential Pulse Code Modulation): esso è utilizzato nella compressione di segnali (per esempio, nella codifica di voce e immagini), dove l ingresso è costituito da campioni rappresentati con un elevato numero di bit, mentre il segnale di uscita è una versione sufficientemente fedele del segnale di ingresso, rappresentata con un numero di bit minore. In tale schema, il predittore ha il compito di creare un segnale di riferimento con cui confrontare il segnale di ingresso. I predittori più comuni sono quelli lineari. In applicazioni di compressione dei segnali, il sistema che crea il segnale d q (nt) è usato per rappresentare i dati in forma compatta (per esempio, dal lato del trasmettitore in un sistema di comunicazione su canale a banda limitata); il sistema finale, invece, è usato per ricostruire x q (nt) dad q (nt) (per esempio, dal lato del ricevitore). x(nt) d(nt) + + Q - d q(nt) + x q(nt) Predittore Predittore + Figura 1.3 Schema di analisi e sintesi di un segnale basata su DPCM. Uno schema simile può essere usato nella conversione analogico-digitale. Si consideri lo schema in Figura 1.4, dove abbiamo posto B = 1 (one bit quantizer). Il sistema viene detto modulazione delta (DM). In tale schema, il predittore è costituito da un semplice ritardo. I sottosistemi caratterizzati da un anello di retroazione con ritardo e guadagno unitario costituiscono degli accumulatori o integratori. Evidenziando tali blocchi, lo schema si trasforma in quello mostrato in Figura 1.5-(a) e, successivamente, in quello mostrato in Figura 1.5-(b), dove è stato scambiato l ordine dei sistemi presenti e raggruppato i due integratori in uno unico a valle del sommatore. Tale configurazione prende il nome di modulazione sigma-delta (SDM).

4 4 Capitolo 1 Il sistema mostrato in Figura 1.5-(b) rappresenta il blocco di ingresso di un convertitore analogico-digitale con sovracampionamento, il quale pone in cascata al modulatore sigma-delta un filtro digitale e un sottocampionatore per riportare la frequenza di campionamento al valore di Nyquist. Nell esercizio 3.24 del testo, è stato dimostrato l effetto di modellazione della densità spettrale di potenza del rumore di quantizzazione prodotto dal modulatore sigma-delta ed il vantaggio che ne deriva nel caso di quantizzazione di un segnale sovracampionato. Nel successivo esempio al calcolatore vengono analizzate le prestazioni del quantizzatore mediante una simulazione. x(nt) d(nt) d q(nt) + z -1 x q(nt) z -1 + Figura 1.4 Modulazione delta. x(nt) d(nt) d q(nt) x q(nt) (a) x(nt) d(nt) - + x (nt) q Figura 1.5 Modulazione sigma-delta. (b) Esempio 1.1 Esempio Si desidera scrivere una function in Matlab che esegue la quantizzazione di un segnale usando lo schema SDM. Per verificarne la correttezza, la funzione viene usata per quantizzare un segnale Gaussiano passa-basso, con banda limitata fino af t = 1/16. F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

5 Complementi 5 La funzione richiesta deve implementare il modulatore SDM precedentemente descritto. In ingresso, vengono passati il segnale da quantizzare x e il valore con cui viene approssimato il segnale differenziale. Dopo le necessarie inizializzazioni (viene aggiunto un campione nullo in testa al segnale di ingresso e si definiscono alcune variabili ausiliarie), viene eseguito il ciclo principale, il quale implementa il filtraggio operato dall integratore e quantizza il segnale differenziale ad 1 bit: i livelli di quantizzazione sono impostati a ± (nei test successivi, abbiamo imposto = 0.5, ottenendo così i valori centrali della dinamica negativa e positiva). Alla fine viene scartato il primo campione. function y = sigma_delta(x, Delta) N = length(x); x = [0 x]; d = zeros(1,n+1); yi = zeros(1,n+1); yq = zeros(1,n+1); % ciclo principale for n=2:n+1 d(n) = x(n) - yq(n-1); % segnale differenziale yi(n) = yi(n-1) + d(n); % uscita integratore yq(n) = Delta*sign(yi(n)); % quantizzazione a 1 bit end y = yq(2:n+1); return Il quantizzatore SDM produce benefici in termini di rapporto segnale-rumore rispetto ad una quantizzazione diretta del segnale solo se il segnale di ingresso è sovracampionato e se l uscita del quantizzatore viene elaborata da un filtro passabasso, tale da far passare inalterato lo spettro del segnale e da eliminare il rumore di quantizzazione in alta frequenza. Per produrre l effetto del sovracampionamento su un segnale Gaussiano, l uscita della funzione randn di Matlab viene filtrata con un filtro passa-basso con frequenza di tagliof t = 1/16. Tale filtraggio produce, approssimativamente, l effetto di un sovracampionamento di un fattore M = x Spettri errore di quantizzazione 10 3 Quantizzazione diretta SIGMA DELTA filtrato Segnale di ingresso e segnali quantizzati Segnale originale Quantizzazione diretta SIGMA DELTA filtrato Frequenza normalizzata n (a) (b) Figura 1.6 Quantizzazione con sovracampionamento: (a) effetto di noise shaping prodotto sull errore di quantizzazione, confrontato rispetto al caso di quantizzazione diretta del segnale (spettro uniforme); (b) segnali quantizzati (ingresso Gaussiano passa-basso) a B = 4 bit e mediante quantizzatore SDM a 1 bit.

6 6 Capitolo 1 In Figura 1.6 sono riportati i risultati di alcuni test effettuati usando la funzione sigma_delta appena creata; inoltre, viene mostrato il confronto con la quantizzazione diretta del segnale a B = 4 bit. In particolare, in Figura 1.6-(a) vengono mostrati gli spettri di una realizzazione del rumore di quantizzazione ottenuto direttamente con B = 4 e del rumore all uscita del quantizzatore SDM, dopo il filtraggio finale, da cui si può notare l effetto di noise shaping. In Figura 1.6-(b), invece, viene mostrato il segnale in uscita dal quantizzatore SDM (dopo il filtraggio finale) e dal quantizzatore diretto. È inoltre possibile, sempre nella simulazione, quantificare il vantaggio in termini di rapporto segnale-rumore introdotto: in una realizzazione dei segnali, sono stati ottenuti i valori numerici SNR quantizzazione diretta: SNR SIGMA-DELTA filtrato: Tali valori mostrano che, usando i parametri di sistema scelti, un quantizzatore SDM a 1 bit ha prestazioni simili ad un quantizzatore diretto a B = 4 bit. 1.2 Tempo di apertura degli ADC La conversione di un segnale da analogico a digitale è soggetta ad alcune limitazioni di carattere tecnologico. In Figura 1.7, è mostrato lo schema circuitale semplificato di un ADC, in cui la capacità C SH si carica e scarica seguendo la tensione di ingresso, finché un interruttore apre il circuito a monte della capacità, la quale mantiene il livello di tensione che rappresenta il campione da quantizzare. Idealmente, il tempo di commutazione (o di apertura) dell interruttore e il tempo di assestamento del livello di tensione all uscita del condensatore sul valore finale dovrebbero essere nulli. Sempre idealmente, la capacità dovrebbe mantenere il livello di tensione immagazzinato per un tempo indefinitamente lungo. Entrambe queste condizioni non si verificano nella pratica, dando luogo a variazioni aleatorie sulla tensione di uscita; tali variazioni devono essere considerate come effetti di disturbo. Figura 1.7 Schema di ADC con Sample & Hold. F. Argenti, L. Mucchi, E. Del Re, Elaborazione numerica dei segnali, McGraw-Hill, c 2011

7 Complementi 7 Consideriamo l effetto di un tempo di apertura, nel seguito indicato con τ, non nullo. Si può dimostrare che, fissato il valore di deviazione massimo accettabile sul livello di tensione da acquisire, esso pone dei limiti sulla banda massima del segnale da acquisire e quindi sulla massima frequenza di campionamento che può essere usata. Supponiamo, per esempio, che durante l intervallo di tempo τ, il livello di uscita debba variare al massimo di una quantità di tensione equivalente a 1 2 LSB (Least Significant Bit). Per semplicità, assumiamo che il segnale sia sinusoidale, con frequenza f 0, cioè x(t) = Acos(2πf 0 t). La massima variazione x max del segnale durante un intervallo di tempo di durata τ si ha nel punto di massima derivata; approssimativamente, vale x max max dx(t) dt τ = A2πf 0τ. Dalle specifiche sul tempo di apertura, si ricava che tale deviazione deve essere inferiore alla metà del livello di ampiezza corrispondente a quello rappresentato dal LSB. Se2A è l ampiezza dell intervallo di variazione del segnale, abbiamo x max < 2 = 1 2 2A 2 B, dove è il passo di quantizzazione del convertitore. Usando tale relazione nell espressione precedente, si ricava la condizione A2πf 0 τ < 1 2 2A 2 B, dalla quale risulta un vincolo per la frequenzaf 0 massima che può essere assunta dal segnale, cioè 1 f 0 < 2π τ 2 B. Per esempio, supponiamo che il tempo di apertura di un convertitore analogicodigitale a B = 8 bit sia τ = 10 8 s. In questo caso, la massima frequenza del segnale compatibile con le specifiche date èf 0 = khz e quindi si può usare una frequenza di campionamento massimaf c = khz.

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9 Bibliografia [1] S. K. Mitra, Digital signal processing, 3 a edizione, McGraw-Hill, [2] J. G. Proakis, D. G. Manolakis, Digital signal processing, 4 a edizione, Prentice Hall, [3] W. Kester, The Data Conversion Handbook, Elsevier/Newnes, [4] W. Kester, Aperture Time, Aperture Jitter, Aperture Delay Time - Removing the Confusion, Analog Devices, Tutorial MT-007, 2009.