Script e Function Script (MAIN file) Function file. function y=fun01(x,a,b,c,d); y=a+b*x+c*x.^2+d*x.^3; return

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1 Script e Function Script (MAIN file) A3; B; C; D-0.; x[0:0.:0]; ya+b*x+c*x.^+d*x.^3; figure,plot(x,y) yfun0(x,a,b,c,d); figure,plot(x,y) y A + Bx + Cx + Dx 3 Function file function yfun0(x,a,b,c,d); ya+b*x+c*x.^+d*x.^3; return

2 Zero di funzione con MATLAB: fzero y A + Bx + Cx + Dx OPTIONS optiset('display','iter','tolx',.e-9); [xz,yz]fzero('fun0',x0,options,a,b,c,d); 3 A 3 B C D 0.5 function yfun0(x,a,b,c,d); ya+b*x+c*x.^+d*x.^3; return

3 4 Esercizi su ruote dentate

4 Esercizio B: traccia

5 Integrazione Equazioni Differenziali ode Il generico solutore ODExx di MATLAB risolve problei nella fora: y F( t, y) Prio ordine: y A + B y + ω n k C y ζ c ω n Secondo ordine: possono essere ricondotte ad un sistea di due equazioni del prio ordine: y y y y + x cx + kx x x y y y y y x (t) x ( c / ) y ( k / ) y y f y ζωn y ωn y + f / + f /

6 Integrazione Equazioni Differenziali ode A5; B-; C-3.5; MAIN file t00; tf; y00; OPTIONS[ ]; [t,y]ode45('fun03',[t0 tf],y0,options,a,b,c); FUNCTION file function ypfun03(t,y,flag,a,b,c); ypa+b*y+c*y^; return

7 MATLAB ODE: Options OPTIONS odeset OPTIONS[ ]; OPTIONS odeset( OutputFcn, odeplot ); OPTIONS odeset('outputfcn','odephas'); OPTIONS odeset('reltol',.e-6); OPTIONS odeset( AbsTol',.e-9); OPTIONS odeset( Stats', on ); OPTIONS odeset('events','on'); opzioni di default plot durante l integrazione grafica piano delle fasi iposta toll. relativa iposta toll. assoluta indica il costo coputaz. abilita ricerca eventi [t,y]ode45('function_nae',t0,y0,options,a,b,c, );

8 Sistea di Equazioni Differenziali A ; B ; A ; B ; An ; Bn ; t00; tf; y0[y0; y0; ; y0n]; OPTIONS[ ]; [t,y]ode45('fun04',[t0 tf],y0,options,a,b,a,b,,an,bn); function ypfun04(t,y,flag,a,b,a,b,,,an,bn); yp[a+b*y(); A+B*y(); ; An+Bn*y(n)]; return MAIN file FUNCTION file ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( t y B A t y B A t y B A t y t y t y n n n n

9 Sistea SDOF libero Sistea sotto-sorzato ζ Sistea sovra-sorzato ζ > < n x + ζω x + ω x n x x y y 0 y F( t, y)

10 Sistea SDOF libero MATLAB % Condizioni iniziali x0-; v00; % Intervallo di integrazione t00; tf; % Paraetri del sistea on0*pi; % rad/s zeta.; % OPTIONS odeset('outputfcn','odeplot'); % OPTIONS odeset('outputfcn','odephas'); OPTIONS [ ]; [t,y]ode45('eq_lib0',[t0 tf],[x0; v0],options,on,zeta); function dydt eq_lib0(t,y,flag,on,zeta); dydt [y(); -*zeta*on^*y()]; return

11 Sistea SDOF con attrito Coulobiano Equazione differenziale non lineare x > 0 + x kx µ g x < 0 + x kx µ g x + ωn x + sign( x ) µ g 0 y y y n y µ ω g sign( y )

12 Sistea SDOF con attrito Coulobiano MATLAB % Condizioni iniziali x0; v00; % Intervallo di integrazione t00; tf8; % Paraetri del sistea on3*pi; % rad/s % Paraetri dell'attrito u0.; g9.8; Fattu*g; % OPTIONS odeset('outputfcn','odeplot'); % OPTIONS odeset('outputfcn','odephas'); OPTIONS [ ]; [t,y]ode45('eq_attrito',[t0 tf],[x0; v0],options,on,fatt); y y y n y µ ω g sign( y ) function dydt eq_attrito(t,y,flag,on,fatt); dydt [y(); -on^*y()-fatt*sign(y())]; return

13 Ricerca di EVENTI A4 B-3 A5 B- A B-

14 Fase di strisciaento function ypfun04a(t,y,flag,a,b,a,b); yp[a+b*y(); A+B*y()]; return A4 B-3 A5 B- OPTIONS[ ]; [t,y]ode45('fun04a',[t0 tf],y0,options,a,b,a,b);

15 Fase di strisciaento Evento: y ( t) y( t) function varargoutfun04b(t,y,flag,a,b,a,b); switch flag case '' varargout{} f(t,y,a,b,a,b); case 'events' [varargout{:3}] events(t,y); otherwise error(['error essage']) end function yp f(t,y,a,b,a,b); yp[a+b*y(); A+B*y()]; function [value,isterinal,direction] events(t,y) % Locate the tie when y passes through the "event" value y()-y(); % event isterinal 0; % don't stop at the event direction 0; % don't care if increasing/decreasing OPTIONSodeset('Events','on'); [t,y,te,ye]ode45('fun04b',[t0 tf],y0,options,a,b,a,b);

16 Raggiungiento del REGIME Evento: y( t) C function varargoutfun04c(t,y,flag,a,b,c); switch flag case '' varargout{} f(t,y,a,b); case 'events' [varargout{:3}] events(t,y,c); otherwise error(['error essage']) end function yp f(t,y,a,b); ypa+b*y; function [value,isterinal,direction] events(t,y,c) % Locate the tie when y passes through the "event" value y()-c; % event isterinal 0; % don't stop at the event direction 0; % don't care if increasing/decreasing OPTIONSodeset('Events','on'); [t,y,tr,yr]ode45('fun04c',[te tf],ye,options,a,b,c);

17 Ricerca di EVENTI: risultati A4 B-3 A5 B- A B- Eventi: te 0.54 ye.66 y ( t) y( t) tr.77 yr.9 y( t) C C(-A/B)*0.95

18 Sistea SDOF forzato X 0 F0 x + ζω nx + ωn x cosωt ζ 0. ωn 0π f n 5 Hz x(t) Ω ω n

19 Sistea SDOF forzato in RISONANZA X 0 ζ 0 F0 x + ζω nx + ωn x cosωt ωn 0π f n 5 x(t) Hz x(t) ζ 0. Ω ω n

20 Sistea SDOF forzato: BATTIMENTO F0 x + ωn x cosωt ωn π f n Hz 9 Ω ω n 0 π ωn Ω ωn ε 0 0 π 0 ε ζ 0 x(t) t

21 >> help eig MATLAB: Autovalori e Autovettori EIG Eigenvalues and eigenvectors. E EIG(A) is a vector containing the eigenvalues of a square atrix A. [V,D] EIG(A) produces a diagonal atrix D of eigenvalues and a full atrix V whose coluns are the corresponding eigenvectors so that A*V V*D. [V,D] EIG(K,M) produces a diagonal atrix D of generalized eigenvalues and a full atrix V whose coluns are the corresponding eigenvectors so that K*V M*V*D.

22 Autovalori e Autovettori [ M ]{ x } + [ K]{ x} {0} ω [ M ] { X } + [ K ]{ X } { 0} ( ω [ I ] + [ M ] [ K ]){ X } { 0} { } { } i t x( t) X e ω ( λ[ I ] + [ A] ){ X } { 0} λ {X} autovalori di [A] autovettori di [A] [ A] [ M ] [ K] [V,D] EIG(A) A*V V*D [V,D] EIG(K,M) K*V M*V*D M - *K*V V*D

23 [ A] [ M ] [ K] Autovalori e Autovettori [V,D] eig(inv(m)*k); autovettori con nora [V,D] eig(m\k); autovettori con nora [V,D] eig(k,m); autovettori noralizzati rispetto alla atrice [M] [V] T [M][V] [I] Coe ordinarli e calcolare le frequenze [Hz] [o,ind] sort(diag(d)); freq sqrt(o)/(*pi); V V(:,ind);

24 Noralizzazione Autovettori Noralizzazione rispetto alla [M] p./sqrt(diag(v.'*m*v)) P (p*ones(,length(v))). V V.*P Pria coponente p V(,:). P (p*ones(,length(v))). V V./P Massia coponente [p,ind] ax(abs(v)) T M i pi{ X} i [ M ] pi{ X} i pi { X} [ M ]{ X} ind subind(size(v),ind,[:length(v)]) p (sign(v(ind)).*p). P (p*ones(,length(v))). V V./P T i i

25 Vibrazioni torsionali di un otore arino

26 3 Modifiche strutturali 3 k k k 3

27 Autovalori e Autovettori: esercizio 00 π k Hz k Hz k π ω π ω { } { } X X [V,D] eig(m\k); autovettori con nora [V,D] eig(k,m); autovettori noralizzati rispetto a [M] [V] T [M][V] [I]

28 Autovalori e Autovettori: esercizio 00 π k ω ω ω A* { } { } { } X X X ω ω A* A ω ω ω { } { } { } X X X { } { } X X A000 dofs

29 SIMULINK Esepio x ( t) u( t)

30 SIMULINK Esepio x ( t) x( t) + u( t)

31 x(t) SIMULINK Es. 3 F k x( t) + c x ( t) + k x( t) F( t) c x( t) c x ( t) k x( t) + F( t)

32 SIMULINK Es. 4 X0 K X M ( X X 0) C( X 0) X K X g C M F K ( X X g / ) X X > g / EL F K ( X X + g / ) X X < g / EL F 0 X X g / EL

33 SIMULINK Es. 5 dt /00; tie [0:dt:]; x sin(*pi*tie); A [tie; x].';

34 SIMULINK Esepio 6

35 SIMULINK Esepio 7

36 SIMULINK Es. 8

37 SIMULINK Es. 9 M X K ( X X ) C ( X X ) + K ( X X ) + C ( X X ) 0 0 M X K ( X X ) C ( X X )

38 PARAMETRI 0 Legge di Moto X0 [].5 kg kg q c/k 0-4 s k N/ k N/ f 4 Hz f 97 Hz Legge di oto cicloidale (file «LeggeEsepio09.at») Tepo [s] Corsa 0 Velocità 40 rp Due condizioni: g g 0 g g 0.0

39 Legge di oto SPOSTAMENTO ACCELERAZIONE 0 Legge di Moto X0 [] 50 Accelerazione Teorica [/s^] Tepo [s] Tepo [s] Legge di oto cicloidale file «LeggeEsepio09.at»

40 Equazioni del oto M X K ( X X ) C ( X X ) + K ( X X ) + C ( X X ) 0 0 M X K ( X X ) C ( X X ) Modello SIMULINK

41 Blocco LEGGE di MOTO

42 Blocco «Fev» Blocco «Massa»

43 Siulazione: Accelerazione assa g g 0 g g Accelerazione Massa M [/s^] 50 Accelerazione Massa M [/s^] Tepo [s] Tepo [s]

44 Modello di un azionaento con controllo di posizione e velocità Esepio / Esepio di odello di una trasissione eccanica e del relativo azionaento. L azionaento è costituito da un otore elettrico a corrente continua con controllo in loop di corrente. Il otore applica una coppia otrice ad un andrino che, a sua volta, trasette il oto ad una pinza terinale attraverso un albero interedio.

45 Il oto viene controllato in posizione ed in velocità confrontando le letture di posizione e velocità fornite da due encoder ontati in prossiità del andrino. Esepio /

46 Esepio /3 Legge di oto Regolatore di posizione Regolatore di velocità.

47 Modello otore elettrico a corrente continua Esepio /4 Coppia otrice Forza controelettrootrice K c costante di coppia, K b costante di velocità Equazione circuito di aratura (tensione di aratura)

48 Esepio /5 Modello eccanico Il odello eccanico ha tre gradi di libertà La pria coordinata è associata all inerzia del otore elettrico La seconda è associata al andrino (e quindi agli encoder) La terza è associata alla pinza ( ) ( ) c k J ( ) ( ) c k C J + + ( ) ( ) ( ) ( ) c k c k J

49 ( ) ( ) c k C J + + ( ) ( ) ( ) ( ) c k c k J ( ) ( ) c k J Dati del otore elettrico L [Vs/A] R 0.4 [Oh] K c 5 [N/A] K b 5 [Vs/rad] J 0.6 [kg ] Paraetri dei controllori ad azione Proporzionale Integrale Anello di corrente Anello di velocità Anello di posizione Kp c 8 [V/A] Kp v 95 [N/(rad/s)] Kp p 7 [/s] Ti c 0.00 [s] Ti v 0. [s] Ti p 000 [s] (di fatto è ad azione Proporzionale) Paraetri del odello eccanico J kg J kg k N/rad k N/rad Velocita di rotazione 0 rp q 0 5 s c q k c q k + s T K s G i p ) (

50 Modello dell intero azionaento Esepio /6

51 Esepio /7 Dati nuerici Dati del otore elettrico L [Vs/A] R 0.4 [Oh] J 0.6 [kg ] K c 5 [N/A] K b 5 [Vs/rad] Paraetri dei controllori ad azione Proporzionale Integrale Anello di corrente Anello di velocità Anello di posizione Kp c 8 [V/A] Kp v 95 [N/(rad/s)] Kp p 7 [/s] Ti c 0.00 [s] Ti v 0. [s] Ti p 000 [s] (di fatto è ad azione Proporzionale) Paraetri del odello eccanico J kg J kg k N/rad k N/rad q 0 5 s G( s) K p + Ti s c q k c q k Velocità di rotazione 0 rp

52 50 Legge teorica - spostaento [deg] Esepio / Legge teorica - velocita' [deg/s] s(t) [deg] Legge teorica - velocita' [rad/rad] s' ( ) [deg] d s( t) d s( ) d s ( t) s'( ) dt d dt Ω [deg] Velocità di rotazione 0 rp

53 50 Legge teorica - spostaento [deg] 50 Legge teorica - velocita' [deg/s] Es. / [deg] 4 x 0-5 Errore eccanico X-X [deg] [deg] [deg] x 0-4 Errore eccanico X3-X [deg] [deg]

54 Il regolatore di posizione è ad azione proporzionale. Ne consegue un oto effettivo ritardato rispetto a quello iposto. Sarebbe iproprio considerare coe errore la seplice differenza tra la coordinata e il oto iposto. E più opportuno considerare l errore a eno del ritardo. Es. / Errore del controllo X-Xrif [deg] Errore del controllo X-Xrif senza ritardo [deg] [deg] [deg]