Modelli di assegnazione (cenni)

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1 Corso di Trasporti e Ambiente ing. Antonio Comi novembre Modelli di assegnazione (enni)

2 Struttura del sistema di modelli per la simulazione dei sistemi di trasporto OFFERTA DI INFRASTRUTTURE E SERVIZI DI TRASPORTO MODELLO DI LOCALIZZAZIONE E LIVELLO DELLE ATTIVITA SISTEMI DELLE ATTIVITA MODELLO DI OFFERTA Reti di trasporto Attributi di livello di servizio (tempi, osti) MODELLO DI DOMANDA Flussi MODELLI DI ASSEGNAZIONE MATRICI O/D Funzioni di prestazione Valutazione eetti MODELLO DEL SISTEMA DI TRASPORTO

3 Simulano l interazione domanda-oerta e onsentono di: alolare i lussi di utenti le prestazioni per iasun elemento del sistema di oerta (arhi della rete) ome risultato dei lussi di domanda Origine-Destinazione, dei omportamenti di selta del perorso e delle reiprohe interazioni ra domanda e oerta. I risultati della simulazione ostituisono gli elementi di ingresso per la progettazione e/o la veriia del sistema di trasporto.

4 Deinizioni ed ipotesi Relazioni tra osti d aro e osti di perorso detti: o nodo (zona) origine dello spostamento; d nodo (zona) destinazione dello spostamento; od oppia Origine-Destinazione; I od insieme dei perorsi rilevanti per gli utenti della oppia od A matrie di inidenza arhi-perorsi omplessiva vettore dei osti di aro, l ; C vettore omplessivo dei osti di perorso, ormato dai vettori dei osti di perorso C od relativi a iasuna oppia od; C A T

5 5 5(,) (,) (,) (,) (,) 6 5 A A C C C C C C C C T ADD Deinizioni ed ipotesi G (N,L) N {(,,,)} L {(,),(,),(,),(,),(,)} Centroidi origine {,,} Centroide destinazione {} 6 Relazione ra osti di aro e osti di perorso C A T GRAFO PERCORSI C A T

6 Deinizioni ed ipotesi Per reti non ongestionate: ost Per reti ongestionate: (),,5, γ γ C A T (), lusso detti: vettore dei lussi di aro, l ; F vettore omplessivo dei lussi di perorso, ormato dai vettori dei lussi di perorso F od relativi a iasuna oppia od; sarà: AF osto,5,,5 γ 6

7 7 5(,) (,) (,) (,) (,) 6 5 A F A Deinizioni ed ipotesi G (N,L) N {(,,,)} L {(,),(,),(,),(,),(,)} Centroidi origine {,,} Centroide destinazione {} 6 GRAFO PERCORSI 5 5 Relazione ra lussi di aro e lussi di perorso A F

8 Il modello di selta del perorso d vettore di domanda, le ui omponenti sono i valori di domanda d od per le singole oppie O-D. Comportamento di selta del perorso Modello di utilità asuale p[/od] Prob[V -V j ε j - ε j Є I od ] od, Modello di utilità deterministio Modello di utilità stoastio ε ε 8

9 Il modello di selta del perorso p od p od (C od ) od P P(C) p od vettore delle probabilità di selta dei perorsi he ollegano l origine o on la destinazione d; P matrie delle probabilità di selta dei perorsi, on una olonna per iasuna oppia od e una riga per iasun perorso ; l elemento generio è dato da p[/od] se il perorso ollega la oppia od, altrimenti è nullo. 9

10 Matrie di selta dei perorsi HP: modello di selta del perorso stoastio. C 6 [ ] p/od α.6.9 p p.88 p.867 [ - ].7 ; [ - ] ; [ - ] [.] exp n ( αcod, ) ( αcod,n ) exp Coppie O-D Perorsi P

11 Flussi di perorso F d od p[/od] F P (C) d on F lusso sul perorso d od lusso di domanda sulla relazione od p[/od] probabilità di selta del perorso F vettore dei lussi di perorso P matrie delle probabilità di selta dei perorsi C vettore dei osti di perorso d vettore di domanda A matrie d inidenza arhi-perorsi vettore dei osti di aro

12 Il modello di assegnazione F d od p[/od] F P (C) d AF A P (C) d F vettore dei lussi di perorso; P matrie delle probabilità di selta dei perorsi; C vettore dei osti di perorso; d vettore di domanda; vettore dei lussi di aro; A matrie d inidenza arhi-perorsi; vettore dei osti di aro.

13 Classiiazione dei modelli di assegnazione MODELLI DI ASSEGNAZIONE Modello di selta del perorso Deterministio Stoastio ost DNL (AoN) SNL () equilibrio DUE SUE DNL Deterministi Networ Loading AoN All or Nothing SNL Stohasti Networ Loading DUE Deterministi User Equilibrium SUE Stohasti User Equilibrium

14 Classiiazione dei modelli di assegnazione MODELLI DI ASSEGNAZIONE Modello di selta del perorso Deterministio Stoastio ost DNL (AoN) SNL () equilibrio DUE SUE DNL Deterministi Networ Loading AoN All or Nothing SNL Stohasti Networ Loading DUE Deterministi User Equilibrium SUE Stohasti User Equilibrium

15 Modelli di ario della rete on osti ostanti COSTI DI ARCO FLUSSI DI DOMANDA FLUSSI DI ARCO INCIDENZA ARCHI PERCORSI INCIDENZA ARCHI PERCORSI COSTI DI PERCORSO FLUSSI DI PERCORSO MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO PROBABILITA' DI SCELTA DEL PERCORSO X MODELLO DI CARICO DELLA RETE 5

16 Modelli di assegnazione SNL Calolo dei lussi di perorso HP: modello di selta del perorso stoastio. HP: osti di aro ostanti. Coppie O-D Perorsi 6 exp( αcod, ) C pod, α n exp( αcod, n ).6.9 p.7 ; p ; p [.] F P.9.88 d

17 Modelli di assegnazione SNL Calolo dei lussi di aro NL NL (; d) A P(A T ) d A F

18 Modelli di assegnazione SNL d - d d - 8 Flussi di aro

19 9 Modelli di assegnazione DNL (AoN) Calolo dei lussi di perorso [] ; ; 6 p p p C Perorsi Coppie O-D d P F HP: modello di selta del perorso deterministio. HP: osti di aro ostanti.

20 NL NL (; d) A P(A T ) d A F Modelli di assegnazione DNL (AoN) Calolo dei lussi di aro

21 Modelli di assegnazione DNL (AoN) Calolo dei lussi di perorso d - d d - 8 Flussi di aro 5 8 8

22 Classiiazione dei modelli di assegnazione MODELLI DI ASSEGNAZIONE Modello di selta del perorso Deterministio Stoastio ost DNL (AoN) SNL () equilibrio DUE SUE DNL Deterministi Networ Loading AoN All or Nothing SNL Stohasti Networ Loading DUE Deterministi User Equilibrium SUE Stohasti User Equilibrium

23 Classiiazione dei modelli di assegnazione Equilibrio FUNZIONI DI COSTO-FLUSSO COSTI DI ARCO FLUSSI DI ARCO INCIDENZA ARCHI PERCORSI INCIDENZA ARCHI PERCORSI COSTI DI PERCORSO FLUSSI DI PERCORSO PROBABILITA' DI SCELTA DEL PERCORSO X MATRICE OD Modello d interazione domanda-oerta

24 Classiiazione dei modelli di assegnazione Equilibrio () A F (A F) Dipendenza irolare tra lussi e osti F* P [A T (A F*)] d * A P [A T (*)] d Lo stato, o onigurazione, nel quale si trova una rete di trasporto in un determinato periodo di rierimento (ad esempio nel periodo di punta della mattina di un erto giorno), può essere deinito dal vettore del lussi di perorso F, da questi è possibile risalire al vettore dei lussi di aro e quindi al vettore dei osti di aro e dei osti di perorso.

25 Introduzione al problema dell equilibrio Esempio o d d od vei h ( ) ( )

26 Introduzione al problema dell equilibrio Esempio C + 5 C 5 9 C 75 C 55 7 C C L evoluzione si arresta in ondizioni di equilibrio. 6

27 Introduzione al problema dell equilibrio Prinipio di Wardrop Esiste una onigurazione del sistema he si mantenga uguale da giorno all altro? Ovvero se esiste una onigurazione di equilibrio e ome are per individuarla. l equilibrio si raggiunge quando per ogni oppia OD i osti su tutti i perorsi alternativi sono uguali e questo osto è minore o uguale del osto he un singolo utente sperimenterebbe utilizzando un altro perorso. USER EQUILIBRIUM 7

28 Condizioni di equilibrio stoastio Durante la ase di evoluzione del sistema, gli utenti si spostano sulla rete segliendo perorsi di minimo osto perepito Ĉ, he in generale è dierente dal osto he essi risontrano sulla rete dopo la selta, per eetto degli spostamenti degli utenti da un perorso ad un altro. Il sistema evolve ino a quando gli utenti risontrano sulla rete proprio i osti in base ai quali hanno selto. Pertanto la ondizione di equilibrio genera la partiolare onigurazione di lussi ui orrispondono dei osti di aro he generano dei osti perepiti di perorso Ĉ he l utente poi risontra eettivamente sulla rete. Questa ondizione può essere espressa matematiamente ome un problema di punto isso. * A P [ A T ( *) ]d 8

29 Modelli di assegnazione all equilibrio on () FUNZIONI DI COSTO-FLUSSO COSTI DI ARCO FLUSSI DI DOMANDA FLUSSI DI ARCO INCI DENZA ARCHI PERCORSI INCIDENZA ARCHI PERCORSI COSTI DI PERCORSO FLUSSI DI PERCORSO MODELLO DI SCELTA DEL PERCORSO PROBABILITA' DI SCELTA DEL PERCORSO X MODELLO DI CARICO DELLA RETE 9

30 Assegnazione Stoastia di Equilibrio (SUE) Problema di punto isso Determinare * tale he: A P [ ] T A ( ) d S Condizioni di esistenza e uniità: Esistenza di * () ontinua Uniità di * J[()] positiva deinita ( ) i i si veriia se ( ) > i i i i

31 Corso di PROGETTAZIONE DEI SISTEMI DI TRASPORTO (tutti i CCS tranne Civile e Gestionale) ing. Antonio Comi ottobre 7 Appendie

32 Algoritmo per il alolo dei lussi SUE Nel aso di unzioni di osto separabili. ( ) ( ) ( ) ( ) T + S d v dv ij ij ij ij ij ij ij argminz ij ij ( ) ( ) ( ) T Z J AP A ( ) d In orrispondenza di un qualsiasi vettore dell insieme (onvesso) di attibilità S onsideriamo la direzione (ammissibile) h A P ( T ( ) A d

33 Algoritmo per il alolo dei lussi SUE La derivata direzionale della unzione Z in, lungo la direzione h e`: Z ' ( ) ( ), T h Z h [ ( T ( ) ] T [ ( )] [ ( T ( ) ] A P A d J A P A d < perhe` J[ ( )] e` deinita positiva ( x T J x >, x ) Risulta allora he h Si noti he h SNL e` una direzione di disesa.

34 Algoritmo per il alolo dei lussi SUE Algoritmo risolutivo genera una sequenza di vettori di lusso: ( ) ( ) ( ) SNL SNL SNL T d A P A h h + + μ + μ + +

35 Algoritmo MSA Step Inizializzazione ε max sarto % di arresto ij SNL ij ( ) A P SNL T ( A ( ) ) d Step Aggiornamenti ij ij ( ) ij + Step Calolo Step + se: max ij + SNL Test di arresto + ij ij ij < ε STOP altrimenti si torna al passo Step Calolo SNL SNL A P T ( A ) d 5

36 Esempio C C C d o d ( ) +.5 od ( ) +.5 ( ) ( ) SNL + ( ) SNL + ( ) SNL + ( ) RAMI ε% ε% SNL ε%... 6