Sezioni in c.a. La flessione semplice. Catania, 11 marzo 2004 Marco Muratore

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1 Sezioni in.a. La flessione semplie Catania, 11 marzo 004 Maro Muratore

2 Sezioni in.a. La flessione semplie ARGOMENTI 1. Verifia di sezioni inflesse. Progetto di sezioni inflesse 3. Considerazioni sulla duttilità 4. Differenze tra T.A. e S.L.U. 5. Appliazione

3 Verifia allo S.L.U. di sezione rettangolare Quando il legame tensioni-deformazioni non è lineare non è più possibile appliare le formule della Sienza delle ostruzioni ma oorre rifarsi direttamente alle ondizioni di equilibrio tra tensioni e deformazioni N = σ da M = σ z da M y da y z = σ z n 1 y Ns s 1 N+N s ε σ z n y Ns s N+N s ε σ

4 Verifia allo S.L.U. di sezione rettangolare Quando il legame tensioni-deformazioni non è lineare non è più possibile appliare le formule della Sienza delle ostruzioni ma oorre rifarsi direttamente alle ondizioni di equilibrio tra tensioni e deformazioni N = σ da M = σ z da M y da y z = σ Flessione semplie retta

5 Verifia a flessione di sezione rettangolare - Equilibrio Dati noti: Geometria della sezione Armature Inognite Diagramma di deformazione Momento resistente Equilibrio alla traslazione N ' + N s + N s = 0 n A s = u As x ε ε 's σ N s N κ x h d z ε s Ns As b

6 Verifia a flessione di sezione rettangolare - Equilibrio Alle Tensioni Ammissibili?

7 Verifia a flessione di sezione rettangolare - Equilibrio Dati Inognite Geometria della sezione Diagramma di tensione Armature Controllo tensioni o M max Equilibrio alla traslazione N ' + N s + N s = 0 n A s x σ max σ s / n N s N x 3 h d z σ s / n Ns As b

8 Verifia a flessione di sezione rettangolare Contributo Cls 1) Contributo del alestruzzo ompresso la parte ompressa ha un area b x e la risultante delle tensioni di ompressione vale N = α f b x d β h d n A s = u As x ε ε 's σ N s N z κ x As ε s Ns b

9 Verifia a flessione di sezione rettangolare Contributo Cls 1) Contributo del alestruzzo ompresso Il oeffiiente di riempimento β dipende dal diagramma di deformazione. Se la deformazione massima nel ls è inferiore a ε 1 In partiolare per ε max =ε 1 η max =1.00 β=0.666 y x β ε max ε = η max σ max σ η max N η = max ε κ x max ε 1

10 Verifia a flessione di sezione rettangolare Contributo Cls 1) Contributo del alestruzzo ompresso Il oeffiiente di riempimento β dipende dal diagramma di deformazione. Se la deformazione massima nel ls è superiore a ε 1 In partiolare per ε max =ε u β = η max η = max ε max ε 1 η max =1.75 β=0.810 x ε max ε1 σ max N d x1 N1 d1

11 Verifia a flessione di sezione rettangolare Contributo As ) Contributo dell armatura tesa In aso di flessione l armatura tesa è generalmente snervata (s=1) N σ A = s = s s s As f s = σ yd f s yd h d n A s = u As x ε ε 's σ N s N z κ x As ε s Ns b

12 Verifia a flessione di sezione rettangolare Contributo A s 3) Contributo dell armatura ompressa In aso di flessione l armatura ompressa è spesso snervata (s =1); dipende soprattutto da /d N = σ A = s u A f = σ s s A s = u As x n h d s s s s yd ε σ ε 's N s N f yd κ x z As ε s Ns b

13 Verifia a flessione di sezione rettangolare - Deformazioni Le tensioni σ s e σ s devono essere riavate dalle deformazioni ε s ed ε s tenendo onto della legge ostitutiva elastia-perfettamente plastia dell aiaio. ε = χ x ε = χ ( x ) ε = χ ( x d) s s h d n A s = u As x ε ε 's σ N s N z κ x As ε s Ns b

14 Verifia a flessione di sezione rettangolare - Deformazioni Per un assegnata posizione dell asse neutro, il diagramma limite omporterà il raggiungimento della deformazione ε u al bordo ompresso oppure di ε su in orrispondenza dell armatura tesa. Nel primo aso si ha: ε u χ = x x d ε s = ε x x ε s = ε x u u 1 ξ = ξ ξ γ = ε ξ ε u u h d n x ε u ε 's ε s ξ=x/d

15 Verifia a flessione di sezione rettangolare - Deformazioni Per un assegnata posizione dell asse neutro, il diagramma limite omporterà il raggiungimento della deformazione ε u al bordo ompresso oppure di ε su in orrispondenza dell armatura tesa. Nel seondo aso si ha: ε ε su χ = ε 's x d x x ξ γ n ε s = ε su = ε su x d 1 ξ h d x ξ ε = ε su = ε ε su su x d 1 ξ ξ=x/d In entrambi i asi le deformazioni ε,ε s,ε s sono funzioni di x

16 Verifia a flessione di sezione rettangolare - Proedura In generale, quindi, si potrebbe proedere per tentativi: - assegnando una posizione x per l asse neutro, - individuando il orrispondente diagramma limite - individuando il relativo stato tensionale - alolando le tre forze N,N s,n s. Se la somma algebria di queste è nulla la posizione dell asse neutro è esatta Equilibrio alla traslazione

17 Verifia a flessione di sezione rettangolare Momento resistente Determinata la posizione dell asse neutro si può alolare il momento resistente: M Rd = N s z h d n A s = u As x ε ε 's σ N s N z κ x As ε s Ns b

18 Verifia a flessione di sezione rettangolare Momento resistente Il valore del oeffiiente k dipende dal diagramma limite di deformazione. Se la deformazione massima nel ls è inferiore a ε 1 In partiolare per ε max =ε 1 κ = η 1 η max max / / 4 3 η = max ε max ε 1 η max =1.00 κ=0.375 ε max σ max N κ x x y ε σ

19 Verifia a flessione di sezione rettangolare Momento resistente Il valore del oeffiiente k dipende dal diagramma limite di deformazione. Se la deformazione massima nel ls è superiore a ε 1 x ε max ε1 κ = In partiolare per ε max =ε u η max =1.75 κ= η 1 max σ max η 1 3 η max max N η = max d ε max ε 1 x1 N1 d1

20 ESEMPIO N 1 Verifia a flessione semplie di una sezione rettangolare

21 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Dati noti: Geometria: 30x50 Armature: A s =4φ0 A s = 4φ14 (FeB44k) Inognite x=? M rd =? n A s = u As x ε ε 's σ N s N κ x h d z ε s Ns As b

22 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro: 1 tentativo Anzihé proeder a aso, è utile individuare una prima posizione di tentativo dell asse neutro on qualhe ragionamento. Una sezione orrettamente progettata per la flessione avrà un diagramma limite quasi siuramente riadente nei ampi o 3, per i quali l armatura tesa è snervata N s = f yd A s = = kn

23 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro:1 tentativo Per quanto riguarda l armatura ompressa, non si può dire on altrettanta siurezza he anh essa sia snervata. Se fosse osì, si avrebbe N 1 s = f yd As = = 30.3 kn Infine, se la deformazione del alestruzzo raggiungesse il valore limite ε u il oeffiiente di riempimento β varrebbe e la forza N sarebbe proporzionale ad x N / x = α f d b β = = 6.78 kn/m

24 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro: 1 tentativo In questo aso si potrebbe riavare immediatamente la posizione dell asse neutro he garantise l equilibrio alla traslazione x = N s + N s N / x N x = = 8.94 m Si assegna ome primo tentativo x=8.94 m. + N x N s = + N N s ' s + = N 0 ' s

25 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro: 1 tentativo Il orrispondente diagramma limite di deformazioni deve annullarsi in orrispondenza dell asse neutro e raggiungere il valore limite: - al bordo superiore (ε = ε u = ) - o nell armatura inferiore (ε=ε su = 0.010). Nel primo aso si avrebbe: χ = ε u /x = / = m -1 ε s = ( )= (valore non aettabile)

26 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro: 1 tentativo La risultante delle tensioni di ompressione vale 1 = = 13.7 kn N Inoltre l armatura ompressa non è snervata e si ha σ s = ε s E s = = 74.6 MPa N 1 s = = kn La ondizione di equilibrio alla traslazione non è rispettata N + N s + N s = = 86.8 kn

27 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro: tentativo La risultante delle tensioni normali è positiva, ioè di trazione. Oorre quindi aumentare il valore di x in modo da aumentare il ontributo delle tensioni di ompressione. Supponendo he non varino né N s né β, si potrebbe assumere ome nuovo valore di x x = N N s + N / x s pre = / 8.94 = 1.57 m

28 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro: tentativo Con questa posizione dell asse neutro il diagramma limite di deformazione non può orrispondere al raggiungimento della deformazione limite in orrispondenza dell armatura inferiore, perhé si avrebbe χ = ε su /(x d) = m -1 ε = = (valore non aettabile) Il diagramma limite è aratterizzato da ε = ε u (β=0.810) ed entrambe le armature (tesa e ompressa) sono snervate: N = kn N s = 30.3 kn N s = kn N N + N = = 97.3 kn + s s

29 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione dell asse neutro: soluzione In questo aso la risultante delle tensioni normali è negativa, ioè di ompressione, ed oorre ridurre il valore di x. Proedendo on ulteriori tentativi si trova: -1 x =10.09 m χ = m ε = β = N = 54.5 kn ε s = σ s = MPa N s = 15. kn = = MPa = kn ε s N + N + s N s σ s = = 0.1kN N s 0

30 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione del momento resistente La posizione della risultante delle tensioni di ompressione nel alestruzzo si trova ad una distanza kx dal bordo superiore: max ε ηmax = = = > 1 ε κ = ηmax 6 η 1 1 3η max max = Si trova k=0.400, ioè k x =4.04 m (dal bordo ompresso).

31 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare Determinazione del momento resistente La risultante delle tensioni di ompressione di trova: ioè a 4.0 m (dal bordo ompresso) N k N x + N + N Il braio della oppia interna è z =d-4.0= m ed il momento limite della sezione è ' s ' s M Rd = N z s = = knm

32 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare in assenza di ε su Dati noti: Geometria: 30x50 Armature: A s =4φ0 A s = 4φ14 (FeB44k) Inognite x=? M rd =? n A s = u As x ε ε 's σ N s N κ x h d z ε s Ns As b

33 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare in assenza di ε su Determinazione dell asse neutro: 1 tentativo Si proede ome nel preedente esempio N s = f yd A s = = kn N 1 s = f yd As = = 30.3 kn N / x = α f d b β = = 6.78 kn/m x = N s N + N / s x = = 8.94 m

34 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare in assenza di ε su Per le ipotesi fatte il diagramma limite di deformazioni deve raggiungere il valore limite al bordo superiore: ε = ε u = , χ= ε u / x = m -1 Le onseguenti deformazioni nelle armature sono ε s = ( ) = ε s = ( ) =

35 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare in assenza di ε su Entrambe le armature (tesa e ompressa) sono quindi snervate Ns= kn N s =-30.3 kn La risultante delle tensioni sul alestruzzo è N =-39.4 kn N + N + N = 0.1kN 0 s s

36 Esempio -Verifia a flessione di sezione rettangolare in assenza di ε su La posizione dell asse neutro ipotizzata è quella effettivamente neessaria per l equilibrio ε u 1 3ηmax 6 ηmax ηmax = = 1.75 > 1 κ = = ε η max Il braio della oppia interna è: z = 4.04 m Il momento limite della sezione è M Rd = N z s = = knm

37 Verifia a flessione di sezioni generihe Sezioni rettangolari Sezioni quasi rettangolari Sezioni non rettangolari Equilibrio alla traslazione N ' + N s + N s = 0

38 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie

39 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie Si assegni un qualsiasi diagramma limite di deformazioni, individuato dalla distanza x dell asse neutro dal bordo superiore. x ε σ N C κ x n h d z N T b A s ε s

40 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie La forza di ompressione vale N = α f b x C ed è appliata ad una distanza κ x dal bordo ompresso d β x ε σ N C κ x d n z N T b A s ε s

41 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie La ondizione di equilibrio alla rotazione rispetto all armatura tesa si srive d n M = NC ( d κ x) = bd x ε βξ ( 1 κξ ) α fd σ N C κ x z ξ= x d N T b A s ε s

42 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie 1 Ponendo: r = si ha: βξ( 1 κξ) α f M = bd d r x n d ε σ d = r b = r N C M b κ x z M d N T b A s ε s

43 Progetto di sezione rettangolare alle T.A. per flessione semplie Si assegna un digramma di tensione he attinge i valori ammissibili nel alestruzzo ompresso e nell aiaio teso. h d n x σ s σ N T N C z x/3 r = N C β ξ = σ b xβ ξ= x d 1 ( 1 ) κ ξ σ max b A s x M = NC ( d ) = 3 bd r

44 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie Per onferire alla sezione una buona duttilità può assumersi ome diagramma di deformazioni di riferimento un diagramma aratterizzato dall attingimento di ε = ε u ε u nel ls ompresso x ε s =1% nell aiaio teso. d n b A s ε s = 1%

45 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie Utilizzando tale diagramma (per brevità hiamato C ), per il quale è ξ=0.59, β=0.810, κ=0.416, per un alestruzzo di lasse R k = 5 MPa si ha r = T.A T.A ( ) = T.A T.A r = βξ T.A ( 1 ) κξ σ max T.A. 8.50

46 ESEMPIO N Progetto a flessione di una sezione rettangolare a semplie armatura

47 Esempio-Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Dati di partenza: - momento flettente M sd =00 knm - diagramma di deformazioni C Inognite - dimensioni della sezione b, h -armatura As x ε σ N C κ x n h d z N T ε s b A s

48 Esempio-Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Utilizzando il diagramma C, per il quale è: - ξ=0.59, - β=0.810, - κ=0.416 Per un alestruzzo di lasse R k = 5 MPa si ha r = β ξ 1 (1 κ ξ ) α f d r = ( ) = 0.00

49 Esempio - Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Si assume per l elemento inflesso una larghezza b = 30 m T.A. 00/1.5 =133 knm M 00 knm d = r = 0.0 = m b 0.30 m T.A. T.A m

50 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie Progetto dell armatura Per quanto riguarda il progetto delle armature, l equilibrio alla rotazione rispetto al punto di appliazione di N fornise l espressione on z = ζ = 1 ζ d κ ξ h d A = s n M z f yd x ε σ N C κ x z b A s ε s N T

51 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie Progetto dell armatura Faendo riferimento al diagramma di deformazioni C, si ha ζ = 0.89 e si può quindi anora usare l espressione approssimata A s = 09. M d f yd Alle tensioni ammissibili la formula è analoga A s = M 0.9dσ s

52 Esempio - Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Progetto dell armatura Si ha : ς f = = 0.89 z = m = 0.50 = MPa ( FeB44k) T.A. yd A y M z f 00/1.5 =133 knm 00 knm m 0.50 m MPa sd S = = = yd T.A. 55 MPa T.A m

53 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie Sezione a doppia armatura In maniera analoga, per sezione a doppia armatura si può giungere alle formule M = bd r d = r M b b = r M d r dipende dal rapporto u tra armatura ompressa ed armatura tesa. 1 s u 1 γ r = k r = 1+ k 1 s u k 1 s u 1 κ ξ

54 S.L.U. per flessione semplie Il oeffiiente r o r I valori dipendono sostanzialmente - dal tipo di alestruzzo - dalla perentuale u di armatura ompressa; - dal rapporto γ tra opriferro ed altezza utile (ha influenza solo per sezioni molto basse) Il tipo di aiaio non interviene direttamente, perhé il limite di deformazione ε su è uguale per tutti gli aiai, ma può omportare solo modeste variazioni sulla tensione dell armatura ompressa (σ s =sσ s ).

55 S.L.U. per flessione semplie Confronto tra i oeffiienti r o r : S.L.U. Calestruzzo R k = 5 MPa Aiaio FeB44k f yd =373.9 M Pa ξ= κ ξ=0.891 α f d = 11.0 MPa γ = s = per u = 0 r = u = 0.5 r = u = 0.50 r =

56 ESEMPIO N 3 Progetto a flessione di una sezione rettangolare a doppia armatura

57 Esempio - Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Dati di partenza: - momento flettente M =00 knm - diagramma limite di deformazioni C Inognite - dimensioni della sezione b, h -armatura As x ε σ N C κ x n h d z ε s N T b A s

58 Esempio - Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Utilizzando il diagramma C, per il quale è ξ=0.59, β=0.810, κ=0.416, per un alestruzzo di lasse R k = 5 MPa si ha 1 r = β ξ (1 κ ξ ) α f r = d ( ) = 0.00 Si assume un'armatura in ompressione del k 1 r = k r = s u = = % :

59 Esempio - Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Utilizzando il diagramma C, per il quale è ξ=0.59, β=0.810, κ=0.416, per un alestruzzo di lasse R k = 5 MPa si ha Calestruzzo R k = 5 MPa Aiaio FeB44k f yd =373.9 M Pa ξ= κ ξ=0.891 α f d = 11.0 MPa γ = s = per u = 0 r = u = 0.5 r = u = 0.50 r =

60 Esempio - Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Si assume per l elemento inflesso una larghezza b = 30 m T.A. 00/1.5 =133 knm M 00 knm d = r = = m b 30m T.A. T.A m

61 Progetto di sezione rettangolare allo S.L.U. per flessione semplie Progetto dell armatura Per quanto riguarda il progetto delle armature, l equilibrio alla rotazione rispetto al punto di appliazione di N fornise l espressione on z ζ = ζ d = 1 κ ξ + s u ( κ ξ γ) A = s M z f Con buona approssimazione M As = 09. d f yd yd

62 Esempio - Progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Si ha : ς f = = 0.89 z = m = 0.41 = MPa ( FeB44k) T.A. yd A y M z f 00/1.5 =133 knm 00 knm m 0.41m MPa sd S = = = yd T.A. 55 MPa T.A. 1.8 m

63 Riflessioni e onfronti

64 Duttilità della sezione Un parametro fondamentale nel valutare il modo in ui la sezione giunge al ollasso è la duttilità, definita ome rapporto tra la rotazione ultima e la rotazione orrispondente allo snervamento dell armatura tesa Una sezione he presenti una rottura duttile dà hiari segnali di preavviso (elevata fessurazione, notevole inremento della deformazione) he possono mettere in allarme e onsentire interventi prima del rollo. In zona sismia la apaità di deformarsi plastiamente permette di dissipare on ili isteretii

65 Esempio - Duttilità della sezione Sezione 30x50 M sd = 300 knm Cls R k =5 MPa Aiaio FeB44k Si sono presi in esame più asi, orrispondenti al raggiungimento dello stato limite in ampi diversi, ottenuti utilizzando quattro perentuali di armatura ompressa: u=0.6 u=0.3 u=0.08 u=0

66 Esempio - Duttilità della sezione CASO 1 (u=0.6) ε s =0.01 x=11.0 m χ= M 300 snervamento SLU 00 sezione u= χ ε = A s = 11.5 m x=11.0 m A s = 19. m ε s =

67 Esempio - Duttilità della sezione CASO (u=0.3) ε s = x=0. m χ= M 300 snervamento SLU A s = 6. m ε = sezione x=0. m 100 u=0.3 A s = 0.6 m χ ε s =

68 Esempio - Duttilità della sezione CASO 3 (u=0.08) ε s = x=30.3 m χ= M 300 SLU ε = A s = 1.9 m sezione u=0.08 A s = 3.5 m x=30.3 m χ ε s =

69 Esempio - Duttilità della sezione CASO 4 (u=0) ε s = x=36.3 m χ= M 300 SLU ε = A s = 0 sezione u=0 A s = 50.0 m x=36.3 m χ ε s =

70 Duttilità della sezione E la quantità di armatura tesa presente nella sezione a determinare in quale ampo si avrà il ollasso le sezioni possono essere denominate - sezioni ad alta duttilità, o sezioni a debole armatura, quando si raggiunge la deformazione limite ε su - sezioni a media duttilità, o sezioni a media armatura, quando si raggiunge la deformazione ε yd <ε< ε su - sezioni a bassa duttilità, o sezioni a forte armatura, quando si raggiunge la deformazione ε< ε yd In fase di progetto è sempre bene mirare ad ottenere una buona duttilità (alte deformazioni nell aiaio teso)

71 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie Confronto tra i oeffiienti: onsiderazioni Il oeffiiente r SLU è ira il 0% più piolo di r TA. Il valore di alolo del ario F d (e quindi di M sd ) è maggiore di ira il 40-50% rispetto a F k (e quindi di M sk ) Il prodotto r M sd = b d assume in entrambi i asi all inira lo stesso valore l altezza d alolata mediante la formula è sostanzialmente la stessa in entrambi i asi.

72 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie ALLO S.L.U. Per Msd=00kNm - per una sezione a semplie armatura r = 0.0 d = 0.57 ALLE T.A. Msk = 00/1.5 = 133 knm - per una sezione a semplie armatura r = 0.08 d = 0.59

73 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie - Contributo dell armatura ompressa Il ontributo dell armatura ompressa nelle verifihe di resistenza allo S.L.U. è diverso da quello fornito nelle verifihe alle T.A. Ciò è dovuto al fatto he nel aso di stato limite ultimo l armatura ompressa lavora al massimo, o quasi (s 1) mentre nel metodo delle tensioni ammissibili essa ha un tasso di lavoro molto più basso di quello ammissibile (s = ).

74 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie - Contributo dell armatura ompressa: T.A. σ h d n x A s σ s < n σ σ s b A s l armatura ompressa ha un tasso di lavoro molto più basso di quello ammissibile s =

75 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie - Contributo dell armatura ompressa: S.L.U. ε = ε u h d n x A s ε s in genere > ε yd b A s ε s =1% l armatura ompressa lavora al massimo (f yd ) (s 1)

76 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie - Contributo dell armatura ompressa: onfronto SLU l armatura ompressa lavora al massimo T.A. l armatura ompressa ha un tasso di lavoro molto più basso di quello ammissibile (s 1) (s = ) u=0.50 allo SLU u=1.00 alle T.A.

77 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie ALLO S.L.U. Per M sd =00kNm ALLE T.A. M sk = 00/1.5 = 133 knm - per una sezione on il 5% di armatura ompressa r = d = per una sezione on il 5% di armatura ompressa r = d = 0.57

78 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 3 Margini progettuali I valori proposti per il oeffiiente r sono stati alolati on riferimento a ben preisi diagrammi di tensione o deformazione. Cosa ambia nei due metodi faendo variare il tasso di lavoro dell armatura?

79 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 3 Margini progettuali: T.A. Alle T.A., si utilizzano i valori limite delle tensioni σ e σ s. Se si usa σ s < σ s la parte ompressa aumenta l altezza neessaria diminuise. La riduzione di tensione rende neessaria una quantità di armatura maggiore sproporzionata al vantaggio he potrebbe omportare la riduzione di sezione

80 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 3 Margini progettuali: T.A. Ad esempio Se σ s = 0.5 x σ s As = As d = 0.85 d si può ridurre l altezza solo del 15%.

81 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 3 Margini progettuali: T.A. In alternativa per ridurre d si può aumentare A s. Anhe questo non è troppo vantaggioso: per u = 1 d 0.70 d u=0 (Riduzione del 30%) A tot 3 A s,u=0 (se si tiene onto anhe dell effetto della riduzione dell altezza) I margini di manovra del progettista sono limitati.

82 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 3 Margini progettuali: S.L.U. Nel aso dello stato limite ultimo, si è mirato a raggiungere ontemporaneamente: ε =ε u ε s =ε su Se si ridue la deformazione nell aiaio teso: ε s < ε su σ s =f yd (almeno fino a ε yd ) Crese, anhe notevolmente, il ontributo del alestruzzo ompresso

83 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 3 Margini progettuali: S.L.U. Se: As = As A parità di sezione si trova Mrd 1.80 Mrd Si può ridurre l altezza di oltre il 30%.

84 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 3 Margini progettuali: S.L.U. In alternativa per ridurre d si può aumentare A s. Questo è abbastanza vantaggioso: per u = 0.50 d 0.70 d u=0 (Riduzione del 30%) A tot 1.5 A s,u=0 (se si tiene onto anhe dell effetto della riduzione dell altezza) I margini di manovra del progettista sono ampi.

85 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 4 Consigli di buona progettazione allo S.L.U. Per il progetto della sezione assumere un valore r = 0.00 (ifra tonda) (orrisponde a u=5%) Per travi molto basse (a spessore) assumere valori un po maggiori r = (orrisponde a u=50%)

86 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 4 Consigli di buona progettazione allo S.L.U. Per il progetto dell armatura onsiderare un braio della oppia interna pari a 0.9 d. A s = 09. M d f yd In aso di sezioni a forte armatura può essere opportuno assumere il braio z pari a 0.8 d. A s M = Riorda la duttilità! 0.8 d f yd

87 Confronto sul progetto di una sezione rettangolare a flessione semplie 4 Consigli di buona progettazione allo S.L.U. Per il progetto dell armatura ompressa assumere un momento di progetto pari alla differenza tra Msd e il valore resistente della sezione on u=0. M = 0 b d r M = A' s σ' s ( d ) M = M sd M 0 A ' s = M ( ) ' d σ s

88 L edifiio in esame Tipologia: - edifiio per ivile abitazione - sei elevazioni Struttura portante prinipale: - in emento armato on struttura intelaiata Materiali: - alestruzzo Rk 5 MPa - aiaio FeB 44 k Altezze d interpiano: m al primo ordine, 3.00 m agli altri ordini Solai: - on travetti in emento armato gettati in opera e laterizi Azioni he solleitano la struttura: - arihi vertiali e vento

89 Carihi vertiali unitari Solaio: g k = 5.3 kn m - g d = γ g g k = 1.4 x 5.3 = 7.5 kn m - q k =.0 kn m - q d = γ q q k = 1.5 x.0 = 3.0 kn m - Balone: g k = 3.9 kn m - g d = 5.5 kn m - q k = 4.0 kn m - q d = 6.0 kn m - Tompagno: g k = 7. kn m -1 g d = 10.1 kn m -1 Travi: g k = 3.7 kn m -1 g d = 5. kn m g k =.4 kn m -1 g d = 3.4 kn m -1

90 Campata 3-7 G d Carihi vertiali agenti sulle travi Q d a spessore solaio a dx α=1.0 l = 5.90 m 6.6 kn m kn m -1 solaio a sx α=1.00 l = 4.90 m peso proprio Totale 48.4 kn m kn m S.L.U. 1.0x5.90x7.5/= G d +Q d = 66.4 kn m

91 Campata 3-7 G d Carihi vertiali agenti sulle travi Q d a spessore solaio a dx α=1.0 l = 5.90 m 6.6 kn m kn m -1 solaio a sx α=1.00 l = 4.90 m peso proprio Totale 48.4 kn m kn m T.A. 1.0x5.90x5.3/= T.A =34.1 G d +Q d = 66.4 kn m T.A =46.1 ( 1/1.44)

92 Carihi vertiali agenti sulle travi Campata 7-11 emergente G d Q d solaio a dx α=1.0 l = 5.90 m 6.6 kn m kn m -1 solaio a sin α=1.00 l = 4.90 m peso proprio totale 50. kn m kn m G d +Q d = 68. kn m T.A =47.9 ( 1/1.43)

93 Carihi vertiali agenti sulle travi Campata emergente G d Q d solaio α=1.00 l = 4.90 m 18.4 kn m kn m -1 sbalzo l = 1.50 m tompagno peso proprio totale 4.0 kn m kn m G d +Q d = 58.4 kn m T.A =40.9 ( 1/1.43)

94 Dimensionamento delle travi per.v. Una buona stima delle massime solleitazioni ausate dai arihi vertiali si ottiene assimilando la generia travata ad una trave ontinua: q 3-7 = 66.4 kn/m q 7-11 = 68. kn/m q = 58.4 kn/m m 5. m 5.4 m Campata a spessore Campate emergenti

95 Dimensionamento delle travi per.v. Campate emergenti Il massimo momento nelle ampate emergenti si registrerà nell appoggio 11. Il suo valore può essere stimato ome: 1 q7 11 l7 11 q11 15 l M Sd M11 = = + = knm Campata a spessore 1 Assimilando la ampata 3-7 ad una trave appoggiata ed inastrata il massimo momento positivo vale: q3 7 l3 7 M M Sd = 3 7 = knm 14 8 T.A ( 1/1.43) T.A ( 1/1.44)

96 Dimensionamento delle travi per.v. Limiti geometrii 1. La larghezza della trave b non deve essere minore di 0m. Per le travi a spessore la larghezza deve essere non maggiore della larghezza del pilastro aumentata da ogni lato di metà dell altezza della sezione trasversale del pilastro stesso. Il rapporto b/h deve essere non minore di 0.5. Vedi O.P.C.M. 374 ( Limiti geometrii)

97 S.L.U. M Sd =M slu = knm α f d = 11.0 N/mm f yd = N/mm ξ = β = k = r = β ξ α f 1 slu d ( k ξ) = Selta della sezione della ampata emergente T. A. M TA = 18.6 knm σ = 8.5 N/mm σ s r = 55.0 N/mm ξ = 1/ 3 β = 1/ k = 1/ 3 1 TA = β ξ σ ( 1 k ξ) = d slu = r slu M b slu d slu = 0. 0 = m 0. 3 d TA = r TA M b TA d TA = = m 0. 3

98 S.L.U. M Sd =M slu = knm α f d = 11.0 N/mm f yd = N/mm ξ = β = k = r = β ξ α f 1 slu d ( k ξ) = Selta della sezione della ampata emergente T. A. M TA = 18.6 knm σ = 8.5 N/mm σ s r = 55.0 N/mm ξ = 1/ 3 β = 1/ k = 1/ 3 1 TA = β ξ σ ( 1 k ξ) = d slu = r slu M b slu d TA = r TA M b TA d d r r M b b M TA slu slu slu = = = TA TA 0. 96

99 S.L.U. M Sd =M slu = knm α f d = 11.0 N/mm f yd = N/mm r ξ = β = k = Selta della sezione della ampata in spessore 1 f slu = β ξ α d ( 1 k ξ) = T. A. M TA = 69.7 knm σ = 8.5 N/mm σ s = 55.0 N/mm r ξ = 1/ 3 β = 1/ k = 1/ 3 1 TA = β ξ σ ( 1 k ξ) = rslu bslu = d M slu b slu = = m rta bta = d M TA b TA = = m 0. 0

100 S.L.U. M Sd =M slu = knm α f d = 11.0 N/mm f yd = N/mm r ξ = β = k = Selta della sezione della ampata in spessore 1 f slu = β ξ α d ( 1 k ξ) = T. A. M TA = 69.7 knm σ = 8.5 N/mm σ s = 55.0 N/mm r ξ = 1/ 3 β = 1/ k = 1/ 3 1 TA = β ξ σ ( 1 k ξ) = r r slu TA bslu = M bta = MTA slu d b b slu r M = slu slu = 1. 5 = TA rta MTA d 0. 87

101 Copriferro (EC, punto ) P(1) Il opriferro è la distanza tra la superfiie esterna della armatura (inlusi ollegamenti e staffe) e la superfiie di alestruzzo più viina. è hi usa la parola opriferro anhe per indiare la distanza tra il bordo della sezione e l asse delle armature. Per evitare la possibilità di fare di onfusione hiameremo rioprimento: la distanza tra la superfiie esterna della armatura (inlusi ollegamenti e staffe) e la superfiie di alestruzzo più viina; opriferro: la distanza tra il bordo della sezione e l asse delle armature staffa opriferro rioprimento

102 Copriferro (EC, punto ) (6) Il rioprimento minimo di tutte le armature, ompresi i ollegamenti e le staffe, deve di regola essere non minore del valore preselto fra quelli del prospetto 4., in funzione delle lassi di esposizione pertinenti quali definite nel prospetto 4.1. rioprimento minimo (mm) barre di armatura aiaio da pre. Prospetto 4. (ome modifiato dal D.M. 9 / 1 / 1996) Classe di esposizione definita nel prospetto a b 3 4a 4b 5a 5b Nel nostro aso (edifiio per ivile abitazione) =.0 + φ staffa + φ longitudinale / = / = 4.0 m

103 Copriferro (EC, punto ) Classi di esposizi one 1 ambien te seo a ambiente umido senza gelo b on gelo 3 ambiente umido on gelo e impiego di sali di d isgelo 4 ambiente marino a senza gelo b on gelo Prospetto 4.1 Esempi di ondizioni ambientali interno di edifii per abitazioni normali o uffii 1) a) interno di edifii in ui vi è elevata umidità (per esempio lava nderie) b) omponenti esterni ) omponenti in terreni e/o aque non aggressivi d) omponent i esterni esposti al gelo e) omponenti in terreni e/o aque non aggressivi ed esposti al gelo f) omponenti interni on alta umidità ed esposti al gelo g) omponenti interni ed esterni esposti al gelo e agl i effetti dei sali di disgelo h) omponenti totalmente o parzialmente immersi in aqua marina o soggetti a spruzzi i) omponenti esposti ad atmosfera satura di sale (zone osti ere) j) omponenti parzialmente immersi in aqua marina o soggetti a spruzzi ed esposti al gelo k) omponenti esposti ad atmosfera satura di sale ed esposti al gelo Le lassi he seguono si risontrano sole o ombinate on le lassi di ui sopra

104 Copriferro (EC, punto ) Prospetto ambiente himio aggressivo ) a ambiente himi o debolmente aggressivo (gas, liqu idi o solidi) atmosfera industriale a ggressiva b ambiente himio moderatamente aggressivo (gas, liquidi o solidi) ambiente himio fortemente aggressivo (gas, liquidi o solidi) a) Questa lasse di esposizione è da prendere in onsiderazione solo se, in fase di ostruzione, la struttura o aluni suoi omponenti non sono esposti a ond izioni ambientali più severe per lunghi peri odi. b) Gli ambienti himiamente aggressivi sono lassifiati nella ISO/DP Si possono ritenere equivalenti le seguenti ondizioni di espos izione: Classe di esposizione 5 a: lassifiazione ISO A1G, A1L, A1S Classe di esposizione 5 b: lassifiazione ISO AG, AL, AS Classe di esposizione 5 : lassifiazione ISO A3G, A3L, A3S

105 Combinazioni di ario in presenza di azione del vento Tensioni ammissibili Stato limite ultimo Solo arihi vertiali G k + Q k 1.4 G k Q k Carihi vertiali + vento G k + Q k + F vento,k 1.4 G k Q k (1.5 F vento,k ) 1.4 G k (1.5 Q k ) F vento,k

106 Pressione del vento Azione del vento q ref è la pressione inetia di riferimento (funzione dell altezza della ostruzione della rugosità e topografia del suolo e dell esposizione del sito); e è il oeffiiente di esposizione (funzione della tipologia e della geometria della ostruzione e del suo orientamento rispetto alla direzione del vento); p d p = q è il oeffiiente di forma (funzione della tipologia e della geometria della ostruzione e del suo orientamento rispetto alla direzione del vento); è il oeffiiente dinamio (tiene onto degli effetti riduttivi assoiati alla non ontemporaneità delle massime pressioni loali e degli effetti amplifiativi dovuti a vibrazioni strutturali). ref e p d

107 Azione del vento Pressione inetia di riferimento: q ref = v ref 1. 6 v ref = v ref,0 per a s a 0 v = v + k (a a ref ref, 0 a s 0 ) per a s > a 0 Il Comune di Misterbiano (a s = 390 m s.l.m.) riade nella zona di riferimento 4 a ui orrispondono i valori: v ref,0 = 8 m/s, a 0 = 500 m e k a = q ref = v ref = = 490 N/m = kn/m

108 Coeffiiente di esposizione: z Azione del vento è l altezza della ostruzione; per z z min per z < z min k r, z 0 ez min sono assegnati nella tab 7. del D.M. in funzione della ategoria di esposizione del sito ove sorge la ostruzione; t [ 7 + ln( z / z )] e( z ) = k r t ln( z / z0 ) t 0 ( z ) e = e ( z è il oeffiiente di topografia, he normalmente si pone uguale all unità. Il luogo si realizza l edifiio è un area suburbana, quindi si trova in una lasse di rugosità del terreno B (tab. 7.3 D.M.). Di onseguenza, poihé il sito riade nella zona 4 e in una fasia tra i 10 e i 30 km dalla osta, esso appartiene alla ategoria di esposizione III. I valori dei oeffiienti pertanto risultano: k r = 0.0 z 0 = 0.10 m z min = 5 m min )

109 Coeffiiente di esposizione: Azione del vento [ 7 + ln( z / z )] e( z ) = k r t ln( z / z0 ) t 0 ( z ) e = e ( z min ) Valori di e al variare di z: z e (z)

110 Coeffiiente di forma: Azione del vento Per l edifiio in esame si è utilizzato pertanto omplessivamente (faiata esposta + faiata sottovento) il valore: C p = 1.. Coeffiiente dinamio: La irolare espliativa della normativa presrive he in assenza di più preise valutazioni per edifii a pianta rettangolare in.a. o anhe in muratura è ira pari a 1. C d = 1.0.

111 Pressione del vento: Azione del vento p = qref e p d = e 1. 1 = e kn/m = 1.5 kn/m F6 F5 F4 F3 F = 1.09 kn/m F1

112 Azione del vento Forze orizzontali equivalenti al vento: La risultante della pressione del vento può essere alolata, piano per piano, moltipliando la pressione del vento per la larghezza della faiata ( =15.80 m) e per la dimensione di interpiano. Il telaio assorbe il 30% della forze orizzontali agenti sull intero edifiio. Impalato Telaio F k F d = 1.5 F k [kn] Forza totale [kn] [kn]

113 Combinazioni di ario 1) Cario prinipale: orizzontale; forze orizzontali verso destra ) p p Cario vertiale Campata 3-7 Campata 7-11 Campata g d q d = 61.4 kn = 63. kn = 53.5 kn Forze orizzontali pari a Impalato 6 Impalato 5 Impalato 4 Impalato 3 Impalato Impalato 1 F d kn kn 9.03 kn 6.8 kn 3.90 kn 5.19 kn

114 Combinazioni di ario ) Cario prinipale: orizzontale; forze orizzontali verso sinistra ) p p ; I valori dei arihi vertiali sono identii a quelli della ombinazione 1). Le forze orizzontali sono uguali a quelle della ombinazione 1) ma ambiate di segno.

115 Combinazioni di ario 3) Cario prinipale: vertiale; forze orizzontali verso destra ) p p Cario vertiale Campata 3-7 Campata 7-11 Campata g d + q d = 66.8 kn = 68.6 kn = 58.4 kn Forze orizzontali 0.7 F d Impalato = 10.0 kn Impalato = 1.57 kn Impalato = 0.3 kn Impalato = kn Impalato = kn Impalato = kn

116 Combinazioni di ario 4) Cario prinipale: vertiale; forze orizzontali verso sinistra ) p p I valori dei arihi vertiali sono identii a quelli della ombinazione 3). Le forze orizzontali sono uguali a quelle della ombinazione 3) ma ambiate di segno.

117 Risoluzione del telaio Solleitazioni nelle travi del I impalato Carihi vertiali ed azione del vento Sezione Comb. n.1 Comb. n. Comb. n.3 Comb. n.4 Inviluppo sx dx sx dx

118 Progetto dell armatura tesa Stato limite ultimo M Sd =M slu = 7.5 knm f yd = N/mm Tensioni ammissibili M TA M slu /1.5 = knm σ s = 55.0 N/mm A s,slu = Mslu 0. 9 d f yd A s,ta = MTA 0. 9 d σ s A, slu = s = m A, slu s = = m A A s,slu s,ta = M M slu TA 0. 9 d 0. 9 d f yd σ s = = 1. 0

119 Progetto dell armatura ompressa (S.L.U.) Aiaio FeB 44 k f yd = N/mm ε yd =1.8 o / oo b = 30 m h = 50 m d = 46 m = 4 m h = 50 m d = 46 m n A s x ε=3.5 /oo αfd ε s N C NC d - = 4 m b = 30 m As εs=10 /oo fyd NT M o = slu d = b = knm M = M M knm slu o = = r M = A' s σ' s ( d )

120 Progetto dell armatura ompressa (S.L.U.) Aiaio FeB 44 k f yd = N/mm ε yd =1.8 o / oo b = 30 m h = 50 m d = 46 m = 4 m h = 50 m d = 46 m A s x n = 4 m b = 30 m As ε=3.5 /oo εs=10 /oo αfd ε s N C NC NT fyd Dalla linearità del diagramma delle deformazioni: ε' ξ γ ξ o o s = ε = oo yd oo s yd = s d -. 3 / > ε = 1. 8 / σ' = f N/mm M A' s = = = 6. 1m 41% σ' ( d ) ( ) A s

121 Progetto dell armatura ompressa (T.A.) Aiaio FeB 44 k σ = 85.0 N/mm σ s = 55.0 N/mm b = 30 m h = 50 m d = 46 m = 4 m h = 50 m d = 46 m A s x n σ σ s N C NC d - = 4 m b = 30 m As σ s / n NT M o = TA d = b = knm M = M M knm TA o = = r M = A' s σ' s ( d )

122 Progetto dell armatura ompressa (T.A.) Aiaio FeB 44 k σ = 85.0 N/mm σ s = 55.0 N/mm b = 30 m h = 50 m d = 46 m = 4 m h = 50 m d = 46 m A s x n σ σ s N C NC d - = 4 m b = 30 m σ s As / n Dalla linearità del diagramma delle tensioni: ( 1 3 γ) 94. N/mm σ' s = n σ = NT M A' s = = = m 13% σ' s ( d ) 94. ( ) A s

123 Massima e minima perentuale di armatura (EC punto ) (1) L area effettiva della sezione trasversale delle armature di trazione deve essere non minore di quella rihiesta per il ontrollo della fessurazione (stato limite di fessurazione), ed inoltre: 0.6 bt d A s % bt d f yk f yk valore aratteristio della tensione di snervamento in MPa; b t larghezza media della zona tesa; d altezza utile della sezione. FeB 38 K: FeB 44 K: f yk = 375 N/mm A s bt d = bt d = % btd f 375 yk 0.6 f yk = 430 N/mm A s bt d = % btd A s % btd 430

124 Massima e minima perentuale di armatura (EC punto ) ()Le aree delle armature tese e delle armature ompresse non devono essere singolarmente maggiori di 0.03 A on eslusione delle zone di sovrapposizione. A s 3% b h, A' s 3% b h Ad esempio per una trave 30x60 (R k 5MPa - FeB44k): - A s, min = x 30 x 60 =.7 m - A s, max = x 30 x 60 = 54.0 m

125 Armature longitudinali delle travi Sezioni d estremità delle travi Sezione A s,req (m ) A s,min (m ) barre A s (m ) A s, max (m ) φ14 +5φ sx φ14 +7φ dx φ14 +4φ sx φ dx φ φ Sezioni in ampata Sezione A s,req (m ) A s,min (m ) barre A s (m ) A s, max (m ) φ14 +3φ φ14 +1φ φ14 +1φ

126 Verifia di una sezione inflessa Bisogna valutare la posizione dell asse neutro ξ =x/d e quindi il momento ultimo M u. La posizione dell asse neutro si determina risolvendo per tentativi l equazione di equilibrio alla traslazione: N S As fyd + N + = 0 ξ β u C N' S b d α f d ( s s' ) = 0 0 ξ 1 Imponendo l equilibrio alla rotazione si determina M u : M u = A 1 k ξ s + s' k ξ γ f 1 k ξ s ( ) yd u

127 Verifia trave a spessore (1) As fyd ξ β b d α f d ( s s' u) = 0 0 ξ 1 M sd = knm Calestruzzo R k 5 αf d = 11.0 N/mm Aiaio FeB 44 k f yd = N/mm ε yd = 1.8 o / oo b = 10 m h = 4 m d = 0 m = 4 m A s = 1.9 m A s = 16.7 m A s + A s = 38.6 m A' s 16.7 u = = = 0.76 As 1.9 As fyd ω = = b d α f d = 0.31 ξ ε ε s β σ s s ω(1 σ u) ξ β

128 La rihiesta di armatura ompressa è notevole soprattutto perhé l aiaio ompresso non è snervato. Verifia trave a spessore (1) A ξ β b d M sd = knm Calestruzzo R k 5 αf d = 11.0 N/mm Aiaio FeB 44 k f yd = N/mm ε yd = 1.8 o / oo s f α yd f d ( s s' u) = 0 0 ξ 1 b = 10 m h = 4 m d = 0 m = 4 m A s = 1.9 m A s = 16.7 m A s + A s = 38.6 m A' s 16.7 u = = = 0.76 As 1.9 As fyd ω = = b d α f M u = knm > M Sd Ok! σ s = 164. aiaio ompresso in ampo elastio ε = 3.5 o / oo ε s = 10 o / oo d = 0.31 siamo al limite del ampo (sezioni ad alta duttilità)

129 Verifia trave a spessore () As fyd ξ β b d α f d ( s s' u) = 0 0 ξ 1 M sd = knm Calestruzzo R k 5 αf d = 11.0 N/mm Aiaio FeB 44 k f yd = N/mm ε yd = 1.8 o / oo b = 10 m h = 4 m d = 0 m = 4 m A s =.7 m A s = 0.0 m A s + A s =.7 m A' s u = = As As fyd ω = b d α f d = = = ξ ε ε s β ω ξ β

130 Verifia trave a spessore () As fyd ξ β b d α f d ( s s' u) = 0 0 ξ 1 M sd = knm Calestruzzo R k 5 αf d = 11.0 N/mm Aiaio FeB 44 k f yd = N/mm ε yd = 1.8 o / oo M u = knm > M Sd ε = 3.5 o / oo ε s = 5.3 o / oo Ok! b = 10 m h = 4 m d = 0 m = 4 m A s =.7 m A s = 0.0 m A s + A s =.7 m A' s u = = As As fyd ω = b d α f d = = = siamo al limite del ampo 3 (sezioni a media duttilità)

131 Faraglioni (ACITREZZA) Foto Amastray Per questa presentazione: oordinamento M. Muratore realizzazione M. Muratore ultimo aggiornamento 11/03/004