MODELLAZIONE COSTITUTIVA DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DEI LIMI

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1 MODELLAZIONE COSTITUTIVA DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DEI LIMI Ilaria Del Brocco Sapienza Università di Roma Luigi Callisto Sapienza Università di Roma Sommario In questa nota si tratta della descrizione del comportamento meccanico di terreni di transizione, di granulometria prevalentemente limosa, prendendo a riferimento la risposta di un modello costitutivo avanzato, originariamente proposto per terreni a grana grossa, ma in grado di descrivere lo sviluppo di deformazioni plastiche lungo percorsi tensionali proporzionali. Prendendo spunto dalla simulazione di alcune prove di laboratorio eseguite su un limo di origine artificiale, si valuta l efficacia del modello costitutivo nel riprodurre la risposta meccanica di questi terreni, con particolare riguardo all effetto dei valori iniziali assunti per le variabili di stato. 1. Introduzione Il modello costitutivo di Taiebat e Dafalias (2008) rientra tra i modelli elasto-plastici con incrudimento denominati SANISAND e sviluppati per riprodurre il comportamento meccanico delle sabbie nel contesto della teoria dello stato critico. Rispetto alle versioni precedenti, quella di Taiebat e Dafalias (2008) prevede lo sviluppo di deformazioni plastiche anche lungo percorsi tensionali di compressione per riprodurre il comportamento meccanico di sabbie poco addensate, oppure sollecitate a stati tensionali così elevati da mobilitare la resistenza dei grani. Il modello sembra adattarsi anche nella simulazione della risposta meccanica di quei terreni caratterizzati da granulometria assortita o a grana fine che manifestino, secondo quanto illustrato da Boulanger e Idriss (2006) un comportamento intermedio fra sabbie e argille. Tra gli elementi che distinguono le argille dalle sabbie vi è la stretta relazione fra l indice dei vuoti e lo stato tensionale efficace per condizioni di normale consolidazione, che nel modello costitutivo di Taiebat e Dafalias (2008) si ripristina al raggiungimento, nel piano della compressibilità, di una Curva di Compressione Limite (LCC). Per i limi non plastici diversi studi hanno mostrato l analogia del comportamento meccanico con quello delle sabbie evidenziandone anche la suscettibilità al fenomeno della liquefazione statica (Carrera et al.2011). Alcuni terreni di transizione, con caratteristiche di plasticità anche esterne ai campi individuati da Boulanger e Idriss (2006) possono avere comprimibilità elevate unite a resistenze simili a quelle delle sabbie. Inoltre, potendo presentare basse permeabilità, danno luogo a risposte sostanzialmente non drenate anche per effetto dell applicazione di azioni statiche, pur mostrando un comportamento in condizioni non drenate analogo a quello delle sabbie o intermedio. In questo lavoro, il legame costitutivo di Taiebat e Dafalias (2008) è stato implementato in un codice di calcolo agli elementi finiti e ne è stata verificata la capacità di riprodurre il comportamento meccanico di alcuni terreni di transizione, allo scopo di creare uno strumento di analisi utile per lo studio di problemi al finito che interessino questo tipo di depositi. Nella nota si presenta brevemente il modello e si confronta la risposta prevista con i risultati sperimentali relativi a un limo artificiale, evidenziando le potenzialità e i limiti della modellazione.

2 q Superficie di Dilatanza Superficie di Stato Critico Superficie di Picco r ef A 1 1 Positivo DS CSS BS r1 r ef Superficie di plasticizzazione Log (e) e -e c A LCC Linea di Ricompressione p 0 p CSL r2 r3 Log(p ) Fig 1. Rappresentazione delle superfici del modellocostitutivo: (a) sul piano degli invarianti, (b) sul piano deviatorico normalizzato. (c) CSL, LCC ed esemplificazione del regime di transizione. 2. Cenni sul legame costitutivo e sull implementazione Il modello costitutivo è formulato per stati di sforzo e deformazioni generali, attraverso relazioni tra i tensori della tensione e della deformazione. In questo paragrafo per semplicità ci si riferisce prevalentemente alla risposta del modello in termini di invarianti. La superficie di plasticizzazione del modello è chiusa lungo il proprio asse nello spazio delle tensioni e suscettibile di incrudimento isotropo e rotazionale. Nel piano degli invarianti q-p' (Figura 1) la superficie di plasticizzazione è descritta dalla seguente equazione: p' f q p' m p' 1 0 (1) p0 dove p 0 rappresenta un parametro di incrudimento isotropo e definisce la posizione del cap, mentre è un parametro di incrudimento cinematico e corrisponde nel piano p'-q alla pendenza dell asse della superficie. Nell espressione precedente compaiono i due parametri n e m: il primo modifica la forma della superficie mentre l altro ne descrive l apertura all origine. Come evidenziato in Fig. 1.a, lungo la superficie di plasticizzazione il rapporto q/p' non è costante e coincide con solo per p' = p 0. La differenza fra (stato corrente) e definisce la quantità r ef. Lo stato del materiale è definito dal tensore della tensione, dalle variabili di incrudimento, p 0 e edall indice dei vuoti, o equivalentemente dal parametrodi stato (Been e Jefferies 1985). Nella Fig. 1.a sono rappresentate le superfici di stato critico (CS), di picco (BS) e di dilatanza (DS). La traccia delle tre superfici nel piano deviatorico normalizzato (Fig. 1.c) è descritta dalla funzione proposta da Argyris et al (1974). Nello stesso piano, la traccia della superficie di plasticizzazione è invece circolare. Le aperture della DS e BS evolvono in funzione del valore corrente assunto dal parametro di stato. La Fig. 1.b mostra, nel piano di compressibilità, diverse curve di normal consolidazione che tendono alla linea di compressione limite (LCC) e la proiezione, sullo stesso piano, della Linea dello Stato Critico. Nel modello le deformazioni plastiche sono costituite da due contributi: uno deriva dalla classica formulazione dei modelli SANISAND (Manzari e Dafalias 1997 e Dafalias e Manzari 2004) e verrà indicato con (1), l altro (2) è specifico di questa versione. Le deformazioni volumetriche plastiche sono quindi dovute: in parte alla dilatanza (1) e in parte alla compressibilità (2). In modo analogo, le deformazioni distorsive dipendono in parte da un contributo diretto (1) e in parte da un contributo indiretto proporzionale a un parametro con significato analogo a quello della dilatanza (2). Nel corso del flusso plastico, la proporzione tra i due tipi di deformazioni plastiche e tra l entità dell incrudimento cinematico e isotropo dipende dal valore corrente di r ef o in altri termini dalla distanza della tensione efficace media corrente da p 0. Quando r ef = 0 si sviluppano deformazioni plastiche del solo tipo (2) e si produce solo incrudimento isotropo. Quando r ef = m le deformazioni plastiche sono solo del tipo (1) e l incrudimento è solo cinematico. n

3 È importante evidenziare che l accoppiamento tra i due meccanismi si determina in un intervallo di stati tensionali estremamente ristretto, regolato dal parametro n e da un ulteriore parametro V. Nei modelli SANISAND la legge di dilatanza e l incrudimento cinematico vengono descritti secondo una formulazione di tipo bounding surface per la quale l incrudimento cinematico e l entità delle deformazioni volumetriche plastiche del tipo (1) dipendono dalla distanza fra lo stato corrente e rispettivamente la DS e BS. Nel caso di stati di sforzo e deformazione triassiali, questa distanza è quantificata dalla differenza fra la pendenza dell asse delle superficie e quelle della DS o BS. L incrudimento isotropo e l entità delle deformazioni volumetriche del tipo (2) dipendono invece dalla distanza, misurata nel piano di compressibilità, tra lo stato corrente e la sua immagine sulla LCC, che in questa prospettiva assume un ruolo analogo a quello della BS. In questo lavoro il modello costitutivo di Taiebat e Dafalias (2008) è stato implementato nel codice di calcolo agli elementi finiti Abaqus Standard usando un algoritmo di integrazione di tipo esplicito adattativo con controllo dell errore e procedura di sub-stepping basati sullo schema di Runge Kutta Fehlberg al terzo ordine (RKF23) e seguendo le linee guida di Sloan et al. (2001). Lo stesso algoritmo di integrazione è stato utilizzato anche da Miriano (2011) e da Martinelli (2012) per l integrazione di precedenti versioni del modello SANISAND. 3. Il limo artificiale Le prove di laboratorio simulate in questa nota sono state eseguite sugli sterili prodotti nel processo di estrazione dell allumina dai minerali di bauxite e depositati in un bacino di contenimento di grande estensione. Le prove sono relative a campagne di indagine che hanno interessato diverse zone del bacino. La figura (2) mostra i profili delle caratteristiche fisiche e granulometriche del deposito. La Fig. 3.a mostra nel piano e-p' gli stati finali della fase di consolidazione isotropa (simboli) e le condizioni di stato critico (crocette) di quattro gruppi di prove triassiali eseguite su campioni prelevati fra le profondità di 10 e 13 m. Nonostante sia ravvisabile una certa dispersione, le prove consentono di tracciare un andamento della linea dello stato critico nel campo degli stati tensionali compresi tra 70 e 500 kpa. La figura mostra che per questo materiale, classificabile come un limo di alta plasticità normalmente consolidato, a livelli tensionali inferiori ai 300 kpa non sembra sussistere una correlazione biunivoca tra indice dei vuoti e tensione media efficace, in quanto gli stati al termine della consolidazione si collocano a distanze diverse dalla CSL, ed alcuni anche alla sinistra della CSL stessa. La dispersione degli stati iniziali e la loro collocazione rispetto alla linea dello stato critico inducono a un interpretazione del comportamento meccanico analogo a quello delle sabbie. La stessa figura riporta quindi l equazione della Limiting Compression Curve isotropa, individuata per tentativi ricercando iterativamente il migliore accordo nella simulazione del tratto finale delle prove di compressione edometrica, assunto rappresentativo della LCC edometrica. Fig 2. Caratteristiche fisiche, granulometriche e proprietà indice.

4 Fig 3. Rappresentazioni nel piano di compressibilità: (a) stati iniziali e finali delle prove di laboratorio, CSL e LCC-ISO assunte nella calibrazione e percorsi previsti nelle simulazioni numeriche delle prove drenate. (b) Confronto fra risultati sperimentali e simulazione numerica di una prova edometrica. Nella Figura (3.b) è riportato uno di questi confronti. Nella simulazione (linea spessa), il valore di p 0 iniziale coincide con la stima della tensione media efficace litostatica del campione (di circa 44 kpa, con k 0 = 0.4 e ' v0 = 74 kpa). Le Figure 4.a e 4.c mostrano nel piano p'-q i percorsi delle tensioni efficaci di quattro prove triassiali drenate e quattro non drenate, ottenuti nel corso della fase deviatorica. Nella Fig. 4.a i simboli individuano gli stati tensionali finali delle prove drenate e nella Fig. 4.b gli andamenti sperimentali q- a. Questi risultati mostrano che alcuni provini esibiscono un comportamento leggermente fragile associato a una risposta completamente contraente in termini di deformazioni volumetriche (Fig. 3). Per il provino IC01-3-(3) la fase finale della prova non individua esattamente lo stato critico dal momento che q non ha ancora raggiunto un andamento stazionario. Al termine delle prove non drenate, per tutti i provini le sovrappressioni interstiziali (non mostrate in figura) risultano stazionarie. Nelle Figure 4.a e 4.c è rappresenta la linea dello stato critico scelta per le simulazioni. Le prove triassiali mostrate nella Figura 4 sono state simulate numericamente con il modello costitutitvo di Taiebat e Dafalias (2008). Il modello prevede 19 parametri: di essi, otto hanno un significato fisico immediato e riguardano la definizione della LSC, della LCC e l andamento, nel piano di compressibilità, della transizione verso il regime LCC. Il parametro n b, che compare nella legge di variazione con dell ampiezza delle superficie BS può essere determinato da prove triassiali drenate nelle quali gli stati di fine consolidazione siano caratterizzati da valori negativi di. Il parametro n d, con ruolo analogo per la DS, può essere ricavato anche da prove non drenate nelle quali si manifesti il passaggio attraverso la condizione di transizione di fase. Poiché le prove a disposizione hanno fornito per n d un intervallo di valori piuttosto disperso e non hanno permesso di ricavare indicazioni su n b, otto parametri, tra i quali n b e n d sono stati determinati procedendo iterativamente fino a raggiungere una simulazione soddisfacente delle prove triassiali e edometriche. Il parametro V e i due che incidono sull ampiezza e forma della superficie di plasticizzazione, poco influenti sulle previsioni delle prove in esame, sono stati assunti sulla base delle calibrazioni riportate da Taiebat e Dafalias (2008). La variabile di stato è stata posta a zero in tutte le simulazioni. La posizione p 0 dell estremità della superficie di plasticizzazione è stata definita in base al segno del parametro di stato. Per gli stati con < 0 si è assunto un valore iniziale di p 0 uguale alla tensione media efficace a stato critico valutata corrispondente all indice dei vuoti iniziale. Nel caso di > 0 p 0 è stato posto pari alla tensione di consolidazione. La Fig. 4.c mostra che i percorsi tensionali simulati numericamente colgono con discreta efficacia la

5 Fig 4. Confronto fra simulazioni numeriche e risultati sperimentali di prove triassiali: (a) percorsi tensionali e (b) relazioni tensioni deformazioni, per le prove drenate; (c) percorsi tensionali e (d) relazioni tensioni deformazioni, per le prove non drenate. risposta sperimentale considerando che, gli errori sul valore del deviatore a rottura, evidenti nel caso dei provini SP02 2 (1) e IC01-2 (1), dipendono principalmente dalla dispersione del valore iniziale dell indice dei vuoti. La Fig. 5.a mostra in dettaglio i risultati della simulazione numerica della prova IC01-2 (1) caratterizzata da un valore iniziale negativo del parametro di stato, ottenuta, come in Fig.4, con p 0 appena superiore alla tensione efficace a stato critico. In alternativa, nella Fig. 5.b è mostrato il percorso tensionale ottenuto con p 0 pari alla tensione media efficace di fine consolidazione. In questo caso, nella fase dilatante il percorso tensionale assume un andamento quasi verticale. Mentre p' tende a p 0, il rispetto della condizione di consistenza fa sì che si riduca fino a un valore tale da rendere r ef sufficientemente piccolo perché possa iniziare l incrudimento di p 0. Quando viene attinta la condizione p' = p 0 i meccanismi (1) e (2) descritti nel 2 coesistono. La riduzione di r ef determina però un considerevole decremento della tendenza a dilatare derivante dal meccanismo (1). La variazione di p', più che dal valore corrente di, viene perciò a dipendere dalla posizione relativa dello stato corrente rispetto alla LCC, e a causa di questo fenomeno il raggiungimento della condizione di stato critico diventa sostanzialmente impossibile, come evidente anche in Fig. 5.d. La simulazione ottenuta con questa diversa condizione iniziale può essere migliorata incrementando il parametro A d incrementando così le variazioni di p' del tipo (1). Nella Fig. 5.c è mostrato il percorso tensionale ottenuto assumendo per il parametro A d un valore considerevolmente maggiore di quello scelto nelle simulazioni

6 Fig 5. Simulazioni numeriche della prova triassiale IC01-2-(1): (a) percorso tensionale ottenuto con la calibrazione e inizializzazione assunta. (b) con diversa inizializzazione di p 0, (c) con seconda assunzione per p 0 e modifica del parametro A d. (d) Confronto fra le relazioni tensioni deformazioni per i tre casi. precedenti, che mostra un andamento nuovamente confrontabile con quello sperimentale. In definitiva, nonostante nel modello costitutivo p 0 sia una variabile interna, è possibile inizializzarne il valore in modo opportuno, distinguendo fra condizioni iniziali con valori positivi o negativi del parametro di stato, per cogliere correttamente la risposta non drenata del materiale. Questa scelta si riflette però sulla risposta a percorsi tensionali proporzionali e poiché nel caso di < 0 potrebbe compromettere la possibilità di modellare correttamente la compressibilità, dando luogo a una risposta molto rigida, come nella parte iniziale della simulazione di Fig. 3.b, deve essere valutata sulla base degli aspetti più importanti ai quali si rivolge la simulazione di un caso applicativo. In alternativa, per stati con < 0 si può recuperare il significato originario di p 0, assumendone un valore iniziale corrispondente allo stato tensionale litostatico, assegnando però valori estremi al parametro costitutivo A d e accettando la discontinuità del percorso tensionale seguito in condizioni non drenate, come in Fig. 5.c. Bibliografia Argyris J. H., Faust G., Szimmat J., Warnke E. P., Willam K. J., (1974). Recent developments in the finite element analysis of prestressed concrete reactor vessels, Nuclear Engineering and Design, 282, Been K., Jefferies M. G. (1985). A state parameter for sands, Géotechnique, 35, Boulanger R. W., & Idriss I. M. (2006). Liquefaction susceptibility criteria for silts and clays J. Geoth. Geoenviron. Eng. 132, Carrera A., Coop M., Lancellotta R. (2011). Influence of grading on the mechanical behaviour of Stava tailings, Géotechnique, 61, Dafalias Y. F., Manzari M. T. (2004). Simple plasticity sand model accounting for fabric change effects Journal of Engineering Mechanics, 130, Manzari M. T., Dafalias Y. F. (1997). A critical state two-surface plasticity model for sands Géotechnique, 47, Martinelli M. (2012). Comportamento dinamico di fondazioni su pali in sabbia, Roma: Sapienza Università di Roma. Miriano C. (2011). Modellazione numerica della risposta sismica di strutture di sostegno flessibili, Roma: Sapienza Università di Roma. Sloan S. W., Abbo A. J. & Sheng D. (2001). Refined explicit integration of elastoplastic models with automatic error control, Engineering computations, 18: Taiebat M., Dafalias Y. F. (2008). SANISAND: Simple Anisotropic sand plasticity model Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., 32: