DEFINIZIONI E GRANDEZZE. Corso di Acustica applicata. Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi industriali

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1 Università degli studi di Padova dtg DEFNZON E GRANDEZZE Corso di Acustica alicata Renato Lazzarin Diartimento di ecnica e Gestione dei Sistemi industriali l suono l suono si uò deinire come la roagazione di energia er movimenti vibratori in mezzi elastici. Esso è imutabile al movimento vibratorio di cori che ne costituiscono la sorgente. Un esemio caratteristico è quello di un istone che si muove all interno di un cilindro aerto. L aria che viene comressa dal istone inluisce sulla regione vicina e la erturbazione si muove ad una velocità che è unzione solo del mezzo: la velocità del suono. l mezzo è essenziale er la roagazione della erturbazione di ressione: il suono non si roaga in regioni dello sazio rive di materia.

2 Le articelle d aria si comortano come elementi elastici che sostati dalla loro osizione di equilibrio oscillano ino a rirendere la osizione di quiete: Nel enomeno ciò che si muove non sono le articelle d aria, bensì la erturbazione di ressione. l enomeno acustico riguarda tre elementi: la sorgente, il mezzo e il ricevitore. Si considerano er incominciare i rimi due elementi. La sorgente roduce erturbazioni di ressione nel mezzo: le onde sonore sono evidenziate da variazioni di ressione. L orecchio è un organo che rende ercettibili tali variazioni di ressione, urché esse siano comrese entro certi limiti. Le articelle del mezzo, investite dalle onde di comressione e di rareazione eseguono delle oscillazioni attorno alla loro osizione di rioso lungo la direzione di roagazione delle onde sonore: le onde sonore sono onde longitudinali. Un suono uro è caratterizzato da una requenza che è il numero di oscillazioni che intervengono nell unità di temo; esiste un immediata relazione ra la requenza e la lunghezza d onda λ in unzione della velocità del suono c: λ = c

3 Nel caso del istone si vede subito quale sia il signiicato isico della lunghezza d onda: La lunghezza d onda dei suoni udibili varia da alcuni metri a ochi millimetri: Con oche, semlici iotesi si uò trovare un esressione che consenta di valutare la velocità del suono, intesa come la velocità di roagazione di una erturbazione ininitesima di ressione. 3

4 La velocità del suono Si considerano inatti le rorietà dell aria all interno del cilindro in cui si muove il istone. n articolare nelle condizioni di quiete si avrà o, ρ o e o. l movimento del istone ad una velocità v molto iccola risetto a quella c del suono comorterà un incremento di ressione di Δ. A questo unto il ronte d onda dividerà l aria nel cilindro in due arti con valori diversi di ressione e di densità. Si uò scrivere subito l equazione di continuità er un rierimento solidale al ronte d onda: ρ ρosc = ( ρo+ Δρ) S( c v) da cui: Δρ = v o c Si uò scrivere oi l equazione delle quantità di moto: S ( + Δ) = ρ Sc ( c v) c o o o da cui: Δ = ρ o cv L esressione va sotto il nome di legge di Ohm acustica: la ressione sonora è roorzionale alla velocità di oscillazione delle articelle. Combinando le due equazioni si ottiene inine: c = Δ Δρ n arole: la velocità del suono è ari alla radice quadrata raorto ra la variazione di ressione e la variazione di densità da essa rodotta. 4

5 l raorto così calcolato diende dalla trasormazione in atto. Dato che la erturbazione si muove assai raidamente, non vi è temo er scambi termici ra le zone comresse a temeratura iù alta e quelle rareatte a temeratura iù bassa. La trasormazione sarebbe quindi adiabatica e con buona arossimazione reversibile. Ecco che l esressione che ermette di valutare la velocità del suono è la seguente: c ρ = F H G K J s A conerma, oltre al riscontro serimentale, si uò valutare lo scambio termico conduttivo ra un centro di comressione ed uno di rareazione che distano λ/ con una dierenza di temeratura Δθ (la conduttività termica dell aria è k=0,06 W/mK) l temo necessario all onda er assare da un centro di comressione ad uno di rareazione è λ/c. Lo scambio termico conduttivo nello stesso temo è: Δθ λ k S λ c Questa quantità di calore va conrontata con l energia necessaria ad incrementare di Δθ la zona a temeratura iù bassa, il cui volume è λs/ con calore seciico c v =77 J/kgK. anto iù ossero vicini questi valori tanto iù la trasormazione si avvicinerebbe ad un isoterma: cv S λ ρ θ Δ l raorto ornisce: k 0, ccv ρ = =, m , Si tratta della lunghezza d onda in cui la trasormazione uò essere considerata isoterma: si vede che questo avviene solo nel camo degli ultrasuoni. 5

6 n un luido si deinisce il modulo di comrimibilità isentroico come: E s = ρ s = v ρ v n arole l inverso del modulo è la variazione ercentuale di densità er una variazione unitaria di ressione ovvero la variazione di volume seciico: ovviamente se la ressione aumenta anche la densità aumenta, ma il volume seciico diminuisce. Si conclude che: c = Per un gas ideale da v k =cost si deduce che E s =k er cui: E s ρ c= kv = kr s La velocità del suono nell aria diende dalla temeratura ed un esressione arossimata è: c= 33, 4 + 0, 6t( C) m/s n altri mezzi la velocità uò essere assai diversa, assando da m/s nella gomma elastica a 500 m/s nel sughero ed ancora 460 m/s nell acqua ino a 5000 m/s nel erro. Bisogna restare attenzione a non conondere la velocità del suono con la velocità di vibrazione delle articelle attorno alla loro osizione di rioso. Questa uò essere stimata attraverso la legge di Ohm acustica, saendo che una variazione di ressione er un suono molto orte uò essere di 0 Pa: Δ = ρo v c =, 340 = 40 Ns/m 3 0 da cui v = 5 cm / s 40 6

7 Lunghezza d onda e requenza Rirendendo in esame il istone che si muove nel condotto, il eriodo è il temo necessario ad un giro dell albero, cioè alla generazione di un onda comleta (comressione+rareazione). l eriodo è in ovvia relazione con la velocità angolare ω dell albero: = π ω L inverso del eriodo è la requenza, cioè quante onde vengono generate nell unità di temo: = = ω π La requenza si esrime di solito in cicli/s o Hertz (Hz). Ovviamente un intervallo di requenza si uò esrimere in Hz; sesso si a ricorso alle ottave o a razioni di esse. Un ottava è un intervallo di requenza ra due suoni il secondo dei quali ha requenza doia del rimo. La scelta di questo tio di intervallo è dovuta essenzialmente alla risosta dell orecchio che valuta una variazione di requenza in termini ercentuali: ad esemio una dierenza di 00 Hz è molto signiicativa risetto ad un suono di 00 Hz, mentre lo è molto oco er un suono di 8000 Hz. L orecchio umano erceisce suoni su circa 0 ottave da 6 a Hz. Frequenze al di sotto di 6 Hz sono eventualmente erceibili come vibrazioni, mentre al di sora di Hz si entra nel camo degli ultrasuoni, cui alcuni animali sono sensibili. Ad esemio il cane riesce a erceire suoni ino a Hz ed il iistrello arriva addirittura a Hz. La requenza erceita da un osservatore in movimento relativo risetto alla sorgente è diversa risetto a quando osservatore e sorgente sono immobili risetto all aria. L eetto che uò essere chiaramente erceibile va sotto il nome di Eetto Doler ed è riscontrabile anche nei conronti di enomeni luminosi. 7

8 L eetto Doler Si consideri il caso semlice di un moto di osservatore verso la sorgente secondo la retta che li congiunge. La sorgente S emetta un suono di requenza, mentre l osservatore O si avvicini alla sorgente con velocità u. Nel temo τ l osservatore ercorre quindi lo sazio OO =uτ ed è quindi interessato non solo dalle τ onde che gli ervengono dalla sorgente, ma anche da quelle contenute nel tratto OO. La requenza ricevuta dall osservatore è quindi: OO' u u ' = + = + = ( + ) λτ c c Se l osservatore si muove verso la sorgente erceisce un suono iù acuto di quello emesso e viceversa se si allontana dalla sorgente. Non è diicile mostrare che un eetto analogo si ha quando è la sorgente a muoversi. Se, ad esemio, la sorgente si muove verso l osservatore con velocità w, le onde emesse in un secondo si troveranno anziché in uno sazio c, in uno iù ridotto c-w. Di conseguenza si avrà una nuova lunghezza d onda: c w La requenza erceita dall osservatore sarà allora: λ''= Se la sorgente si muove verso l osservatore si avrà la ercezione di un suono iù acuto di quello emesso. Qualora vi sia moto contemoraneo di entrambi la requenza erceita è (u e w ositivi se hanno lo stesso verso della roagazione del suono da sorgente ad osservatore e negativi nel caso contrario): c '' = = λ'' w c '''= c u c w 8

9 Pressione ed intensità sonore La ressione sonora è la variazione di ressione rodotta dal enomeno sonoro risetto alla ressione di quiete. Essa è unzione del temo ed assume valori ositivi e negativi (comressioni e rareazioni). Per quantiicarla conviene rierirsi al valore eicace: e = z dτ 0 La ressione eicace assume un dato valore semre ositivo e sorattutto è di raida rilevazione strumentale. Per onde sinusoidali si uò dimostrare che: ωτ e = max sen ωτ = cos e z = t = 0 maxsen ωτ d τ max 0 ( cos )d max sen ωτ τ ω 0 = z = max Potenza ed intensità sonore La otenza sonora W di una sorgente è la totale energia sonora emessa dalla sorgente nell unità di temo. l camo di variabilità della otenza sonora è molto amio. 9

10 L intensità sonora in un unto in una certa direzione è il lusso di energia sonora trasmessa in quella direzione attraverso un area di sezione unitaria normale alla direzione stessa. La relazione ra le due grandezze in un camo libero dove le onde sonore si roagano indisturbate nasce da semlici considerazioni geometriche: W = 4 π r La otenza sonora che comete alle onde generate dal istone che si muove nel cilindro si calcola dal rodotto della orza S er lo sostamento nell unità di temo v. La otenza media è ari a: W = vs dove v = z vdτ 0 Questa otenza W si dionde secondo onde iane attraverso la sezione S del cilindro; ne consegue che l intensità è data da: W = = v S Per la legge di Ohm acustica si ha che: = ρcv Si conclude che: = ρc Una grandezza utile nello studio dei enomeni sonori è la densità D, deinita come l energia sonora contenuta in un volume unitario; er il caso aena trattato, raresentativo di onde iane, essa vale: D = = ρcc ρc 0

11 Caita sesso che la roagazione dell energia sonora non avvenga er onde iane con direzione erettamente deinita lungo la direttrice che arte dalla sorgente, ma in maniera diusa cioè con onde rovenienti dalle diverse direzioni. E il caso degli ambienti chiusi dove sesso si a l iotesi semliicativa di camo erettamente diuso con onde sonore rovenienti uniormemente da tutte le direzioni. n un camo sonoro di questo tio si ossono considerare iane solo le onde rovenienti ad O da un angolo solido elementare dω. Data l uniormità nella distribuzione il quadrato della ressione sonora (ormai di qui in avanti sarà semre quella eicace) è roorzionale al eso di tale angolo sull angolo solido totale 4π: 4 π L intensità sonora corrisondente sul unto O è: dω d = cosθdω 4πρc L intensità sonora si ottiene sommando i contributi da tutte le direzioni dello sazio, valutabili in una semisera. Si ottiene: ds π r cosθdω cosθ π S 4πρc 4πρc r 4πρc r = z = z = n conclusione er un camo acustico erettamente diuso si ha: = 4ρc l risultato dierisce er il 4 al denominatore con quanto trovato recedentemente er il camo libero.

12 Se ora si calcola la densità D di energia sonora in un camo diuso si trova il seguente imortante risultato; D = ρ c La relazione che collega la densità di energia sonora con il quadrato della ressione sonora è la stessa sia in camo libero che in camo erettamente diuso. La legge di Ohm acustica mostra la roorzionalità ra ressione sonora e velocità di vibrazione delle articelle: = ρcv Quest ultima velocità è legata al rodotto dell amiezza di oscillazione er la requenza. Nel caso semlice del istone si ha ad esemio: s= Asinωτ v = Aωcosωτ a = Aω sinωτ L emissione di requenze elevate uò essere ottenuta con amiezza ridotta, mentre basse requenze richiedono amiezze notevoli. Ci si uò rendere conto di questo considerando il movimento della membrana di una cassa acustica. noltre si ha: A r r v A A ma anche

13 l decibel L orecchio umano non giudica le grandezze acustiche in termini assoluti, ma di quante volte una è iù grande dell altra. enendo conto dell amia variazione delle grandezze, risulta oortuno l uso di una scala logaritmica. Per questa scala è necessario ornire un livello di rierimento. Per la ressione sonora si sceglie il livello di soglia uditiva a 000 Hz che è ari a o =x0-5 Pa. l livello della ressione sonora esresso in db (decibel) è ari a: L = 0log L estremo sueriore er la ressione sonora si uò orre alla soglia del dolore er l orecchio che è a circa 00 Pa (notare che è aena lo 0,0% della ressione atmoserica). L intervallo dei valori er il livello va allora da 0 a 0 db. o La abella riorta valori di livello della ressione sonora di rumori caratteristici. Verrà chiarito iù avanti il signiicato dell aggiunta (A) al valore in db. Si uò deinire similmente il livello er la otenza sonora. Per rierimento si sceglie la otenza W o =0 - watt. 3

14 L W W = 0log W o Si uò oerare la stessa scelta anche er l intensità sonora con un valore di rierimento convenzionalmente assunto ari a o =0 - W/m : L Dal momento che : = 0log o = ρc L ρc ( 0 ) = 0log = 0log ma ρc=, kg / m s= ρc 0 o Si conclude che: o L L 5 = o o La recedente identità è veriicata solo nei limiti er i quali vale: ρc Essa risulta semre meno arossimata quando ressione e temeratura si allontanino semre di iù dai valori correnti. =, kg/m s 4

15 Può risultare utile er arezzare l entità della otenza sonora eseguire alcune valutazioni sulle casse acustiche che rientrano nelle eserienze di tutti. Si deinisce otenza di lavoro er una cassa acustica la otenza RMS (elettrica eicace) necessaria er ottenere 96 db ad m di distanza. Un valore indicativo otrebbe essere attorno ad 8 watt. Questa otenza non va assolutamente conusa con la otenza sonora che è valutabile in camo libero, calcolando l intensità : 9 6 = 0 0, Di qui è acile stimare la otenza sonora in camo libero con un raggio di metro: W = 4π = 005, watt Questo mostra che l eicienza di trasormazione da otenza elettrica a otenza sonora è (er ortuna!) molto bassa e comunque il livello della otenza sonora è ragguardevole: W W 0, 007 LW = 0log = 07 db W o W RMS L intensità risultante di due suoni di eguale intensità dà luogo generalmente ad un intensità doia: = Questo imlica un aritmetica diversa er i livelli: L 0 3 = 0log = (log + log ) L + o o Per due suoni di diversa intensità si alica la stessa rocedura salvo che la dierenza del suono risultante dagli originari sarà <3 db 5

16 Oscillogrammi e settri sonori L orecchio coglie tre caratteristiche rinciali di un suono: l altezza, l intensità e il timbro. L altezza è legata alla requenza, l intensità alla otenza sonora e alla distanza, il timbro alle leggi delle vibrazioni che comongono il suono. Le tre caratteristiche ossono essere qualiicate dalla unzione temorale della ressione sonora, ottenibile attraverso un oscilloscoio a raggi catodici. l risultato ottenuto è un oscillogramma. Come er qualsiasi vibrazione eriodica comlessa si uò eettuare la scomosizione in vibrazioni elementari sinusoidali tramite il teorema di Fourier. Data una unzione eriodica di eriodo : g() t = g( t + n) n =,,... Ovviamente la requenza è o =/ con ulsazione ω o =π/=π o Si dimostra sotto condizioni molto generali che la unzione uò essere considerata la sovraosizione di un numero ininito di unzioni armoniche di requenze multile di quella della unzione g(t): gt () = ao+ ancos( nω o t φ ) n= Dove a n e φ n sono risettivamente l amiezza e lo sasamento della generica unzione di ordine n. La comonente er n= è detta ondamentale, mentre er n> si hanno le armoniche. n 6

17 Con una ormulazione diversa si uò eliminare il termine di sasamento: gt () = ao+ bncos( nωo t) + cn sin( nωo t) n= termini che deiniscono lo sviluo in serie sono: a b c o n n = z = z = z gt () dt gt ()cos( nω o t) dt gt ( ) sin( nω o t) dt n n = n+ n φn = φn = n a b c sin c a cos b a n n Nel caso di una unzione non eriodica che raresenti un enomeno isico che si esaurisce in un intervallo di temo inito Δt è ossibile egualmente eettuare uno sviluo in serie di Fourier, immaginando di sostituire alla unzione g(t) una nuova unzione ottenuta rietendo la g(t) ad intervalli qualsiasi di temo, urché >Δt. La raresentazione del livello di ressione di ogni armonica del suono costituisce lo settro sonoro. Nel caso di un suono uro lo settro è costituito da una sola linea in corrisondenza della requenza del suono stesso. Nel caso di un suono eriodico comlesso lo settro è ormato da iù linee in corrisondenza delle armoniche. 7

18 Un suono aeriodico uò essere scomosto in una somma di ininiti termini armonici in cui la dierenza di requenza di due termini successivi è ininitesima: l insieme delle requenze dei termini comonenti dà luogo ad uno settro continuo. La raresentazione uò essere semliicata con l introduzione delle bande di requenza. Lo settro udibile di requenze viene suddiviso in modo tale da avere er ogni banda larghezza costante o roorzionale alla larghezza ineriore della banda. Di solito in acustica si oera quest ultima scelta: l amiezza di banda e le requenze ineriori e sueriori risultano in rogressione geometrica. La requenza centrale è deinita dalla relazione: c = Le requenze utilizzate in acustica hanno la ragione della rogressione geometrica ari ad una otenza di : n = Per n= si ottengono le bande d ottava: c = = = c Per un analisi iù accurata si ricorre alla banda di /3 di ottava (n=/3): = = = 3 c 6 l raorto ra amiezza di banda e la c è ari a e er /3 ottava a: , Questo numero è molto vicino a 0,357 6 c 3 8

19 La suddivisione è issata con convenzione internazionale. Per misure iù accurate si eseguono analisi settrali in banda stretta, di amiezza costante, in genere di Hz. Lo settro in /3 di ottava dà iù dettaglio della banda di ottava che si uò ricavare inatti da questo (non viceversa!). Nei conronti di uno stesso rumore lo settro in banda di ottava si trova un o iù in alto di quello in banda di /3 di ottava dal momento che il rimo deriva dalla somma di 3 livelli del secondo 9

20 Lo schema ornisce un idea della distribuzione delle requenze dell udibile: 0