Analisi Matematica II Corso di Matlab

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1 Università degli Studi di Ferrara Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Analisi Matematica II Corso di Matlab Anno Accademico Lezione 5 - Integrali di Superficie Elena Pacchin elena.pacchin@unife.it Dipartimento di Ingegneria, ufficio 107

2 1. Integrali curvilinei Una prima applicazione degli integrali curvilinei di prima specie è il calcolo della massa e del baricentro di un filo la cui densità sia descritta da una certa funzione. Supponiamo che il filo abbia la forma di una semicirconferenza di raggio 2 nel piano, e che la sua densità sia descritta dalla funzione f s = 1 + s 2 Essendo L = 2π la lunghezza del filo, la massa totale sarà: M = 0 2π 1 + s 2 ds Ipotizzando che il parametro s sia il parametro d arco calcolato a partire dal punto (2,0), la parametrizzazione sarà: r: 0, 2π R 2, r s = 2 cos s 2, 2 sin s 2 Si può considerare anche un altra parametrizzazione data da: γ: 0; π R 2, γ(t) = (2 cos t; 2 sin t)dt Vediamo come procedere in Matlab.

3 a_s = 0; b_s = 2*pi; a_t = 0; b_t = pi; % per il grafico var_s = linspace(a_s,b_s, 200); var_plot1 = (2*cos(var_s/2)); var_plot2 = (2*sin(var_s/2)); % parametrizzazione mediante parametro d'arco syms s real densita_s=sqrt(1+s^2); integrale_s = int(densita_s,a_s,b_s); massa=double(integrale_s); % parametrizzazione equivalente syms t real densita_t = 2*sqrt(1+(2*t)^2); integrale_t = int(densita_t,a_t,b_t); massa_t=double(integrale_t); % stampa risultati fprintf(['massa filo (param s) = ',... num2str(massa, '%13.16g') '\n']); fprintf(['massa filo (param t) = ',... num2str(massa_t, '%13.16g') '\n']);

4 % calcolo baricentro integrando_x 2*cos(t_x).*sqrt(1+4*t_x.^2)*2; integrando_y 2*sin(t_y).*sqrt(1+4*t_y.^2)*2; xbar=(1/massa)*integral(integrando_x,a_t,b_t); ybar=(1/massa)*integral(integrando_y,a_t,b_t); % grafico figure; plot(var_plot1, var_plot2, 'LineWidth', 6); hold on plot(xbar, ybar,'xr', 'LineWidth', 6); grid on; axis equal; text(-1, 2.3,['massa M = ',... num2str(massa)],... 'FontSize', 16); text(xbar+0.05, ybar,['baricentro G =(',... num2str(xbar), ',' num2str(ybar) ')'],... 'FontSize', 16); title('filo'); xlabel('x','color','r'); ylabel('y','color','r'); hlab=get(gcf,'currentaxes'); set(hlab,'fontsize',20);

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6 2. Campi vettoriali Prima di affrontare il problema del calcolo di integrali curvilinei per funzioni vettoriali, proviamo a dare una rappresentazione grafica dei campi di vettori che vogliamo integrare. Campi nel piano: Un campo di vettori nel piano è determinato da una coppia di funzioni scalari, F x, y = (F 1 x, y, F 2 x, y ) e il metodo migliore per visualizzare un campo di vettori, come già visto nei capitoli precedenti, è l'utilizzo del comando quiver. Ad esempio, supponiamo di voler disegnare il campo F x, y = 1, x + y 2, x, y 2, 3 [ 1, 2] La cosa importante è non disegnare troppi vettori del campo in considerazione. f1=inline('0*x+1','x','y'); % funzione Fx f2=inline('x+y.^2','x','y'); % funzione Fy x=linspace(-2,3,11);y=linspace(-1,2,11); [X,Y]=meshgrid(x,y); F1=f1(X,Y); F2=f2(X,Y); % le ricalcolo sulla griglia quiver(x,y,f1,f2) % x,y componenti di posizione - f1,f2 componenti vettoriali axis image

7 Se vogliamo disegnare il grafico delle direzioni del campo F, possiamo modificare i comandi precedenti, semplicemente normalizzando il vettore F(x; y). f1=f1./sqrt(f1.^2+f2.^2); f2=f2./sqrt(f1.^2+f2.^2); quiver(x,y,f1,f2) axis image Potremmo anche disegnare il campo gradiente di una funzione assegnata; se prendiamo ad esempio la funzione [x,y]=meshgrid(-2:.2:2); f=exp(-x.^2/2-y.^2+x.*y); [fx,fy]=gradient(f,.2,.2); quiver(x,y,fx,fy); f x, y = e x2 2 y3 xy, x, y [ 2,2]

8 Campi nello spazio: In modo analogo possiamo disegnare campi vettoriali nello spazio; ad esempio, consideriamo il campo F x, y, z = 1, x + y 2, z, x, y, z 2,3 1,2 [ 1,1] u=inline('1+0*x','x','y','z'); v=inline('x+y.^2','x','y','z'); w=inline('z','x','y','z'); x=linspace(-2,3,6); y=linspace(-1,2,6); [X,Y]=meshgrid(x,y); for z = -1:.4:1 Z=z+0*X; U=u(X,Y,Z); V=v(X,Y,Z); W=w(X,Y,Z); quiver3(x,y,z,u,v,w) hold on end hold off

9 2. Integrali curvilinei per funzioni vettoriali Data una funzione F: D R 3 e una curva r: [a, b] D, si definisce l'integrale curvilineo di seconda specie come: r Fd r = a b F(r(t)) r t dt Applichiamo questa formula ad un caso pratico. Calcolare l'integrale della funzione : F(x, y, z) = (x, z, e x+y ) definita sulla curva: r t = t cos t, t sin t, t 2 ; t 0; 2π Vediamo come procedere in Matlab per calcolare l integrale curvilineo. a = 0; b = 2*pi; % definisco per componente la F(x,y,z) F_x=inline('x','x','y','z'); % inline restituisce F_x(x,y,z) = x F_y=inline('z','x','y','z'); F_z=inline('exp(x+y)','x','y','z');

10 syms t real % definisco per componenti la curva Phi phi_x=t.*cos(t); phi_y=t.*sin(t); phi_z=t.^2; % definisco per componenti la derivata prima di Phi phi_xdot=cos(t)-t.*sin(t); phi_ydot=sin(t)+t.*cos(t); phi_zdot=2*t; % prodotto per componenti F * Phi' I1=F_x(phi_x,phi_y,phi_z).*phi_xdot; I2=F_y(phi_x,phi_y,phi_z).*phi_ydot; I3=F_z(phi_x,phi_y,phi_z).*phi_zdot; % integro la somma delle componenti su t da a a b Int1=int((I1+I2+I3),t,a,b); integrale = double(int1); fprintf(['risultato [int] = ',... num2str(integrale, '%13.16g') '\n']);

11 Intermezzo: Function m-files Il software matlab consente di creare funzioni personalizzate... basta «dirglielo». Le nuove funzioni sono degli m-file esattamente come gli altri, solo che dichiarano di essere un nuova funzione (function) ed hanno lo stesso nome di file della funzione che definiscono. Con un esempio il tutto risulta più chiaro. Si scriva un m-file siffatto: function y = pippo(x) y = x.^2 lo si salvi con nome pippo e si presti attenzione al fatto che il linguaggio matlab è keysensitive. In un altro m-file di nome qualsiasi si implementi: x = linspace(-2,2,100); y = pippo(x) plot(x,y)

12 3. Aree di superfici parametrizzate Data una superficie parametrizzata da r: D R 2 R 3 la formula per il calcolo dell area di una superficie Σ = r(d) è data dalla formula: Area Σ = D r u u, v r v (u, v) dudv Nel caso di una superficie cartesiana r u, v = (u, v, f(u, v)) l area della superficie può essere calcolata come: Area = D 1 + f u, v 2 dudv Applichiamo questa formula ad un caso pratico. Calcolare l area di un elicoide: r u, v = u cos 2v, u sin 2v, v per u, v 0,1 0, π L area da calcolare diventa: Area = 0 π dv u 2 du Vediamo come procedere in Matlab per calcolare l area.

13 a_u = 0; b_u = 1; a_v = 0; b_v = pi; % per il grafico [u_plot,v_plot]=meshgrid(a_u:.05:b_u,... a_v:pi/20:b_v); % somme di Riemann du=1/50; dv=pi/50; [u_riem,v_riem]=meshgrid(a_u+du/2 : du : b_u-du/2,... a_v+dv/2 : dv : b_v-dv/2); Riemann=sum(sum(sqrt(1+4*u_Riem.^2)))*du*dv; % function 'quad' e 'fcnchk' integrale_quad=pi*quad(fcnchk('sqrt(1+4*u.^2)'),... a_u,b_u); % function 'integral' integrando_u sqrt(1+4*var_u.^2); integrale_integral = pi*integral(integrando_u,... a_u, b_u);

14 % symbolic toolbox syms u v real int_symbolic=int(int(sqrt(1+4*u^2),u,a_u,b_u),... v, a_v,b_v); integrale_symbolic = double(int_symbolic); % grafico e risultati figure; surf(u_plot.*cos(2*v_plot),u_plot.*sin(2*v_plot),v_plot); text(-.9,1,3.8,['somma Riemann = ',num2str(riemann)],... 'FontSize', 16) text(-.9,1,3.4,['integrale [quad] = ',num2str(integrale_quad)],... 'FontSize', 16); text(-.9,1,3, ['Integrale [intgr] = ',num2str(integrale_integral)],... 'FontSize', 16); text(-.9,1,2.6,['integrale [symbl] = ',num2str(integrale_symbolic)],... 'FontSize', 16); title('elicoide'); xlabel('x','color','r'); ylabel('y','color','r'); zlabel('z','color','r'); hlab=get(gcf,'currentaxes'); set(hlab,'fontsize',20);

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16 Vediamo un secondo caso pratico. Calcolare l area della superficie cartesiana data dal grafico della funzione: L area da calcolare diventa: f x, y = x 2 + y 2 per x, y 0,1 2 Area = 0, x 2 + 4y 2 dxdy a_x = 0; b_x = 1; a_y = 0; b_y = 1; % per il grafico [x_plot,y_plot]=meshgrid(a_x:.05 :b_x); z_plot = x_plot.^2+y_plot.^2; % somme di riemann dx=1/50; dy=1/50; [x_riem,y_riem]=meshgrid(a_x+dx/2: dx :b_x-dx/2); Riemann=sum(sum(sqrt(1+4*x_riem.^2+4*y_riem.^2)))*dx*dy; % function 'quad' e 'fcnchk' integrale_quad=dblquad(fcnchk('sqrt(1+4*x.^2+4*y.^2)'),... a_x,b_x,a_y,b_y);

17 figure; surf(x_plot,y_plot,z_plot); text(0,1,2.4,['somma Riemann= ',num2str(riemann)],... 'FontSize', 16); text(0,1,2.2,['integrale [quad] = ',num2str(integrale_quad)],... 'FontSize', 16); text(0,1,2,['integrale ["gen"] = ',num2str(integrale_symbolic_gen)],... 'FontSize', 16); xlabel('x','color','r'); ylabel('y','color','r'); zlabel('x\^2 + y\^2','color','r'); hlab=get(gcf,'currentaxes'); set(hlab,'fontsize',20); % caso "generale" per grafici di funzioni (questa è la regola generale) syms x y real funz = x^2 + y^2; gradiente = [diff(funz, 'x'),... diff(funz, 'y')]; integrando = sqrt(1 + norm(gradiente)^2); int_symbolic_gen=int(int(integrando,x,a_x,b_x),... y, a_y,b_y); integrale_symbolic_gen = double(int_symbolic_gen);

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19 3. Integrali di superficie per funzioni scalari Data una funzione f: Σ R definita su una superficie regolare Σ parametrizzata da una funzione r D R 2 R 3 si definisce l'integrale di una funzione continua f: Σ R ponendo Σ fdσ D f(r(u, v)) r u u, v r v (u, v) dudv Per una superficie cartesiana r(u, v) = (u, v, g(u, v)), la formula precedente diventa: Σ fdσ D f(u, v, g(u, v)) 1 + g u, v 2 dudv Come applicazione pratica, calcolare l'integrale di: f(x, y, z) = x + y + z sulla superficie grafico della funzione g(x, y) = sin(x + y 2 ), (x, y) 0, 2 2

20 % caso "generale" per grafici di funzioni syms x y real g_xy = sin(x + y^2); gradiente = [diff(g_xy, 'x'),diff(g_xy, 'y')]; funzione = x+y+g_xy; integrando = funzione*sqrt(1 + norm(gradiente)^2); int_symbolic_gen=int(int(integrando,x,a_x,b_x), y, a_y,b_y); integrale_symbolic_gen = double(int_symbolic_gen); fprintf(['integrale ["gen"] =',num2str(integrale_symbolic_gen) '\n']); a_x = 0; b_x = 2; a_y = 0; b_y = 2; % somme di riemann dx=1/50; dy=1/50; [x_riem,y_riem]=meshgrid(a_x+dx/2: dx :b_x-dx/2); Riemann=sum(sum((x_riem+y_riem +... sin(x_riem +y_riem.^2)).*... sqrt(1+(1+4*y_riem.^2)....*(cos(x_riem+y_riem.^2).^2))))*dx*dy; fprintf(['somma Riemann= ',num2str(riemann) '\n']); % function 'quad' e 'fcnchk' lafunzione = fcnchk('(x+y+sin(x +... y.^2)).*sqrt(1+(1+4*y.^2).*(cos(x+y.^2).^2))'); integrale_quad=dblquad(lafunzione, a_x, b_x, a_y, b_y); fprintf(['integrale [quad] = ',num2str(integrale_quad) '\n']);

21 Lezione 4 Integrali Multipli ESERCIZIO FINALE (parte 1 4 pt; parte 2 2 pt; parte 3 4 pt) Si consideri un toro di parametri r=[2;8] e R=[3;3]. All interno del ciclo for: 1. Si calcoli l area superficiale del toro: con la formula matematica vista a lezione; con le somme di Riemann; con il comando integral2; con il Symbolic Toolbox. Tenete memoria solo di quello che serve, cioè il valore degli integrali; il resto può essere sovrascritto. 2. Si crei un grafico 3D del toro provvisto di etichette agli assi e titolo con testi indicanti il valore dell area superficiale calcolata al punto precedente con i vari metodi. Fissare gli assi in modo che siano chiare le particolarità della figura (consiglio: pensate a cosa sono r e R). 3. Create una function (cioè un m.file) per calcolare la somma di Riemann per il toro di parametri r=2 e R=3 (controllate che il calcolo con la functione dia lo stesso risultato visto al punto 1) e ripetete il calcolo per un toro di parametri r=20 e R=30.