Tutorato per il corso di Analisi Matematica II

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1 Contents Tutorato per il corso di Analisi Matematica II Integrali di Linea Campo Vettoriale Integrali Curvilinei per Funzioni Vettoriali Area Superficie Parametrizzata Area Superficie Parametrizzata Integrali di Superficie Rappresentazione di campi lungo una superficie Integrali di superficie per campi vettoriali circuitazioni e flussi Teorema di Stokes Divergenza e Flussi: Integrali di Linea syms s densita=sqrt(+s^); int(densita,,*pi) massa=double(ans) % Baricentro f=inline( 4*sqrt(+4*t.^).*cos(*t) ); g=inline( 4*sqrt(+4*t.^).*sin(*t) ); xbar=(/massa)*quadl(f,,pi) ybar=(/massa)*quadl(g,,pi) ans = asinh(*pi)/ + pi*(4*pi^ + )^(/) massa =.563 xbar =

2 .364 ybar = Campo Vettoriale f=inline( *x+, x, y ); f=inline( x+y.^, x, y ); x=linspace(-,3,); y=linspace(-,,); [X,Y]=meshgrid(x,y); % flusso/campo F=f(X,Y); F=f(X,Y); quiver(x,y,f,f) axis image % direzione del campo f=f./sqrt(f.^+f.^); f=f./sqrt(f.^+f.^); quiver(x,y,f,f) axis image % Gradiente figure(), [x,y]=meshgrid(-:.:); f=exp(-x.^/-y.^+x.*y); [fx,fy]=gradient(f,.,.); quiver(x,y,fx,fy, r ); contour(x,y,f,5); axis([- - ]) hold off

3 Integrali Curvilinei per Funzioni Vettoriali % campo: u=inline( x, x, y, z ); v=inline( z, x, y, z ); 3

4 w=inline( exp(x+y), x, y, z ); n=; % numero di intervalli t=linspace(,*pi,n+); dt=*pi/n; % passo di discretizzazione s=simpvec(n); % simpvec x=t.*cos(t); y=t.*sin(t); z=t.^; figure() plot3(x,y,z, r- ); grid on xlabel( x ) ylabel( y ) zlabel( z ) quiver3(x,y,z,x,z,exp(x+y)); hold off xdot=cos(t)-t.*sin(t); ydot=sin(t)+t.*cos(t); zdot=*t; I=u(x,y,z).*xdot; I=v(x,y,z).*ydot; I3=w(x,y,z).*zdot; integrale=dot(s,(i+i+i3))*dt/3 % Integrale da un insieme di punti: x=[ ]; y=[ ]; u=inline( x.*cos(y), x, y ); v=inline( x+y, x, y ); n=5; s=simpvec(n); figure() plot(x,y, r ); quiver(x,y,u(x,y),v(x,y)); 4

5 hold off ; dt=/n; lavoro=; for j=:length(x)- xx=linspace(x(j),x(j+),n+); yy=linspace(y(j),y(j+),n+); I=(x(j+)-x(j))*u(xx,yy)+(y(j+)-y(j))*v(xx,yy); integrale=dot(s,i)*dt/3; lavoro=lavoro+integrale; end lavoro integrale = lavoro = z y x 5 5

6 Area Superficie Parametrizzata [u,v]=meshgrid(:.5:,:pi/:pi); surf(u.*cos(*v),u.*sin(*v),v); du=/5; dv=pi/5; [u,v]=meshgrid(du/:du:-du/,dv/:dv:pi-dv/); Riemann=sum(sum(sqrt(+4*u.^)))*du*dv; T=[ Somma di Riemann=,numstr(Riemann)]; text(-.9,,3.4,t); tol=e-; Stima=pi*quad( sqrt(+4*u.^),,,tol); T3=[ Area stimata=,numstr(stima)]; text(-.9,,3,t3); syms u real Area=pi*int(sqrt(+4*u^),u,,); T=[ Area=,numstr(double(Area))]; 6

7 text(-.9,,3.8,t) 4 3 Area= Somma di Riemann= Area stimata= Area Superficie Parametrizzata [x,y]=meshgrid(:.5:); surfl(x,y,x.^+y.^); dx=/5; dy=/5; [x,y]=meshgrid(dx/:dx:-dx/); Riemann=sum(sum(sqrt(+4*x.^+4*y.^)))*dx*dy; T=[ Somma di Riemann=,numstr(Riemann)]; text(,,.3,t); Stima=dblquad( sqrt(+4*x.^+4*y.^),,,,); T=[ Area mediante dblquad=,numstr(stima)]; text(,,.,t); 7

8 Somma di Riemann=.865 Area mediante dblquad= Integrali di Superficie f=fcnchk( x+y+sin(+y.^).*sqrt(+cos(x+y.^).^.*(+4*y.^)), x, y ); [x,y]=meshgrid(:.:,:.:); z=f(x,y); surfl(x,y,z) S=dblquad(f,,,,); T=[ Massa =,numstr(double(s))]; text(-.9,,3.8,t); xbar=; ybar=; zbar=; plot3(xbar,ybar,zbar, r*, LineWidth,); % Ese: si calcoli il baricentro della superficie appena considerata: 8

9 6 4 Massa = Rappresentazione di campi lungo una superficie [x,y]=meshgrid(-::); surfl(x,y,-x-y); [x,y]=meshgrid(-:.5:); z=-x-y; quiver3(x,y,z,y,z,x); hold off 9

10 Integrali di superficie per campi vettoriali circuitazioni e flussi Teorema di Stokes t=:.5:*pi; rt=[/*cos(t) /+/*sin(t) /+/*sin(t)]; figure() [x,y]=meshgrid(-.5:.5:,:.5:); % paraboloide z=x^+y^ surfl(x,y,x.^+y.^) % colormap mi permette di modificare i colori base del plot colormap( Winter ) shading flat axis([-.5 ]) xlabel( x ); ylabel( y ); zlabel( z ); % piano z=y surfl(x,y,y);

11 % Possiamo vedere graficamente il senso di rotazione della curva usando il % comando comet3: comet3(/*cos(t),/+/*sin(t),/+/*sin(t)); plot3(/*cos(t),/+/*sin(t),/+/*sin(t), r, LineWidth,.5); figure() plot3(/*cos(t),/+/*sin(t),/+/*sin(t), r, LineWidth,.5); % Plot del disco incluso nella curva. [x,y]=meshgrid(-.5:.5:,:.5:); x=x.*(x.^+y.^<=y); y=y.*(x.^+y.^<=y); surf(x,y,y); shading flat colormap( Winter ) axis([-.5 ]) xlabel( x ); ylabel( y ); zlabel( z ); %Flusso: F=(-z,x,y) [x,y,z]=meshgrid(-.5:.:.5,:.:,:.5:); quiver3(x,y,z,-z,x,y, g ); % Teorema di Stokes: syms t real Ft=[-/-/*sin(t) /*cos(t) /+/*sin(t)]; % F=(-z,x,y) T=[-/*sin(t) /*cos(t) /*cos(t)]; fz_int=dot(ft,t); I=double(int(fz_int,,*pi)); T=[ Integrale circuitazionale =,numstr(i)]; text(,,.8,t);

12 .5 z.5.5 y.5 x.5 Divergenza e Flussi: % calcolo di un flusso di un campo vettoriale % % Flusso definito da:

13 % $F(x,y,z)=(y,x,z\sqrt(x^+y^))$ figure() [x,y,z]=meshgrid(:.5:,-:.5:,:.5:); Fx=y; Fy=x; Fz=z.*sqrt(x.^+y.^); quiver3(x,y,z,fx,fy,fz, r ); % Volume: % $E=\left{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^-x+y^\leq, \leq z\leq \right}.$ % $\Sigma$ la superficie laterale % parametrizzata: % $(r,p,t)\in[,]\times[,\pi)\times[,]: x=+r*cos(p), y=r*sin(p), z=t;$ t=[:.:*pi]; [x,y,z] = cylinder(ones(,),5); surfl(+x,y,z), shading flat; [x,y]=meshgrid(:.:,-:.:); x=x.*((x-).^+y.^<=); y=y.*((x-).^+y.^<=); z=.*x; surfl(x,y,z+); shading flat surfl(x,y,z+); shading flat xlabel( x ); ylabel( y ); zlabel( z ); % Vogliamo calcolare $\int_e divf(x,y,z)dxdydz=\int_\sigma$ % Integrale della divergenza del Flusso: f=fcnchk( sqrt(+rho.^+*rho.*cos(theta)).*rho, rho, theta ); S=dblquad(f,,,,*pi); T=[ \int_e divf(x,y,z)dxdydz=\int_\sigma F\cdot n_\sigma d\sigma\approx,numstr(double( text(,.5,.5,t); 3

14 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Author: Giacomo Albi % % Dipartimento di Matematica, % % Universita degli Studi di Ferrara % % Adress: Via Macchiavelli 35, Ferrara % % giacomo.albi@unife.it % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4