Studia lo scambio di importi monetari aleatori, dunque di operazioni che comportano un RISCHIO FINANZIARIO.

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1 TEORIA MATEMATICA DEL PORTAFOGLIO FINANZIARIO

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3 ELEMENTI DI TEORIA DELL UTILITÀ Studia lo scambio di importi monetari aleatori, dunque di operazioni che comportano un RISCHIO FINANZIARIO. es. Generica operazione finanziaria rischiosa Un individuo I scambia una posizione finanziaria incerta x 1 con un altra posizione finanziaria incerta x 2, sia x 1 che x 2 sono variabili aleatorie, alle quali l individuo I, nell istante contrattuale, assegnerà una distribuzione di probabilità X. Queste due variabili rappresentano il patrimonio soggetto a rischio di I, prima e dopo lo scambio. Il guadagno di I è individuato dalla variabile aleatoria: G = x 2 x 1 Dati: I x 1 x 2 con Problema: G = x 2 x 1 In termini formali: Definendo l insieme delle opportunità, cioè l insieme di tutte le X possibili posizioni finanziarie nell istante decisionale, il problema delle decisioni finanziarie in condizioni di incertezza consiste nell introdurre nell insieme X un ordinamento di preferenza ( ), tale che: attraverso l introduzione di un numero reale:, tale che: E dunque necessario, per rappresentare un ordinamento di preferenza all interno dell insieme opportunità X, definire una funzione di valutazione: (*)

4 IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA Lo scopo della teoria delle decisioni è quello di descrivere il comportamento di un individuo razionale in condizione di incertezza. Si tratterà non già di determinare un ordinamento di preferenza valido per tutti gli agenti economici, quanto di individuare una classe di criteri decisionali che raccolga al suo interno i singoli criteri individuali e che sia caratterizzata da pochi principi generali economicamente significativi. Questi criteri dovranno essere quindi coerenti con quelli individuali da cui sono indotti e dovranno descrivere degli ordinamenti di preferenza riflessivi, transitivi e completi. Transitività Considerando la proprietà riflessiva come auto evidente ( X è indifferente a X: ), la proprietà transitiva richiede che: se e allora. Questo naturale criterio di coerenza implica che se l individuo I gradisce la posizione x 1 almeno quanto la posizione x 2 e se considera la posizione x 2 gradita almeno quanto la posizione x 3, allora non potrà considerare x 3 strettamente preferita a x 1. Completezza Un ordinamento si dice completo se risulta definita ogni relazione di preferenza o di indifferenza tra le possibili posizioni che compongono l insieme X. In sostanza, le decisioni dell individuo saranno univocamente determinate se I dispone di un criterio di scelta in base al quale, per ogni possibile operazione di scambio, è sempre possibile dire che x 2 (la posizione finale) è preferita a x 1 (la posizione iniziale), oppure che x 1 è preferita a x 2, oppure che x 1 e x 2 sono indifferenti. Definizione Data una generica variabile aleatoria X k e la sua funzione di ripartizione: con (che racchiude tutte le distribuzioni di probabilità per ) affinché l individuo possa scegliere in modo razionale, dovrà costruire una relazione di preferenza nell insieme di tutte le funzioni di ripartizione delle variabili aleatorie, tale che: All interno dell insieme F si possono inoltre introdurre ordinamenti parziali basati su ipotesi generali, come ad esempio il criterio della dominanza stocastica. Dominanza stocastica Si supponga ad esempio che la distribuzione di x 2 domini quella di x 1, nel senso che: e che la disuguaglianza valga in senso stretto per almeno un valore di x. Questa proprietà è detta di dominanza stocastica del primo ordine. Definizione Date due distribuzioni di probabilità F 1 e F 2 sugli esiti x, dove: si dice che F 2 (x) domina stocasticamente F 1 (x) al primo ordine, se accade che: cioè deve accadere che per tutto l insieme delle opportunità, la probabilità di ottenere un premio maggiore o uguale di un determinato minimo x sia maggiore nella prima

5 lotteria rispetto alla seconda, cioè:. Dunque, comunque fissato il numero reale x, la probabilità che la situazione patrimoniale x 1 risulti maggiore di x non è mai maggiore (ed in almeno un caso è minore) della probabilità che x 2 risulti maggiore di x. es. Dominanza stocastica del primo ordine Si considerino due variabili aleatorie X 1 ex 2 e il relativo andamento delle funzioni di densità f 1 (x) e f 2 (x). Come evidenziato dall andamento delle rispettive funzioni di ripartizione F 1 e F 2, X 1 domina stocasticamente X 2, nel senso che G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pgg Sotto opportune ipotesi di continuità si dimostra che se x 2 domina x 1, cioè vale, allora ogni individuo massimizzatore di profitto, cioè che preferisce importi monetari certi maggiori ad importi monetari certi minori, preferirà x 2 ad x 1. In ogni caso, l ordinamento introdotto dal criterio della dominanza stocastica è di tipo incompleto, poiché potranno di certo esistere coppie di funzioni di ripartizione appartenenti ad F per le quali non risulti verificata la disequazione. La dominanza stocastica va quindi considerata come un requisito necessario ma non sufficiente per la costruzione di un criterio generale di scelta. Infatti per descrivere adeguatamente il comportamento in condizioni di incertezza è necessario prendere in considerazione la tendenza degli individui ad evitare situazioni considerate pericolose, introducendo quindi ipotesi sull avversione al rischio. Per questo motivo è più utile sviluppare la teoria delle decisioni basandosi sul criterio dell utilità attesa. Posizioni finanziarie composte (misture) E comunque possibile considerare postulati di razionalità diversi da quello della dominanza stocastica, partendo per esempio dal concetto di posizione finanziaria composta o mistura. Si tratta di una posizione finanziaria incerta in cui un individuo I deve scegliere tra due posizioni finanziarie X 1 e X 2, anch esse incerte, in base all esito che avrà un certo evento A, al cui verificarsi I attribuisce una probabilità P(A) =, di valore strettamente compreso tra 0 e 1. Se l evento A si verifica l individuo assumerà la posizione X 1, viceversa dovrà assumere la posizione X 2. In linguaggio delle probabilità, la posizione composta rappresenta una variabile aleatoria mistura, indicata come X 1 X 2, la quale presenterà come possibili determinazioni sia quelle di X 1 che quelle di X 2 e assumerà le prime con probabilità e le seconde con probabilità (1 ). E immediato notare come la funzione di ripartizione della mistura X 1 X 2 è data dalla combinazione lineare, con coefficienti e (1 ), delle funzioni di ripartizione F 1 (x) e F 2 (x) di X 1 e X 2 ; si ha cioè:. Sulle misture sono definite molte proprietà delle relazioni di preferenza in X ( o in F ).

6 Proprietà archimedea Se Proprietà di sostituzione Se allora, comunque scelta e per qualunque, deve risultare: Queste due proprietà piuttosto forti implicano altre proprietà più deboli ma comunque espressive e certo molto significative perché una relazione di preferenza sia transitiva e completa. Proprietà di continuità Se Proprietà di monotonia Se e se Proprietà di consistenza e, deve risultare: UTILITÀ ATTESA Adottando come assiomi alcune di queste proprietà delle relazioni di preferenza si può strutturare in maniera rigorosa la teoria dell utilità attesa. Ad esempio utilizzando il concetto di dominanza stocastica unito alle proprietà delle relazioni di preferenza, si giunge ad esporre un famoso teorema di rappresentazione, dimostrato da John von Neumann e Oskar Morgenstern. L enunciazione di quest ultimo avviene qui in forma semplificata, valida in effetti solo se gli elementi di X sono variabili aleatorie con un numero finito di determinazioni. Teorema di von Neumann e Morgenstern Se l ordinamento di preferenza ( dominanza stocastica, allora: ) definito su X è completo, consistente e coerente con la relazione di 1. Esiste una funzione u(x) tale che X 2 X 1, se e solo se: 2. La funzione u(x) è unica a meno di una trasformazione lineare crescente La prima conclusione di questo teorema di rappresentazione equivale ad affermare che esiste una funzione u(x), tale che: Dunque un ordinamento di preferenze così descritto può essere rappresentato attraverso un operatore ordinamento espresso come speranza matematica di una funzione u(x) degli importi aleatori. Supponendo

7 gli agenti massimizzatori di profitto, la funzione non potrà che essere strettamente crescente. Essa è nota come funzione di utilità di von Neumann e Morgenstern e l operatore di ordinamento E[u(X)] è l utilità attesa di X. Il secondo enunciato afferma che qualsiasi funzione z(x) che sia ottenuta effettuando una trasformazione lineare positiva di u(x), tale che sia con a costante positiva e b costante arbitraria, induce in X lo stesso ordinamento di preferenza di u(x), è cioè equivalente ai fini della rappresentazione delle preferenze dell individuo I. Ancora: funzioni z(x) che non rappresentano trasformazioni lineari di u(x) corrispondono necessariamente ad un diverso ordinamento di preferenza. Questo teorema, dimostrato su base assiomatica da von Neumann e Morgenstern nel 1947, è importante poiché qualifica l operatore E[u(X)] come l unica funzione di valutazione accettabile per descrivere le preferenze di un individuo dotato di caratteristiche di razionalità e coerenza. Inoltre lo studio dell andamento e del segno di questa funzione caratterizza l atteggiamento verso il rischio dell individuo: se si specifica una u(x) funzione lineare e crescente di x si definisce il criterio della speranza matematica, che caratterizza le scelte di un individuo indifferente al rischio. Se si sceglie una generale funzione crescente, si ottiene il principio dell utilità attesa, che unito alla concavità per u(x), fornisce il criterio di scelta caratteristico di qualsiasi individuo avverso al rischio. Criterio della speranza matematica Per trattare il problema del comportamento di un individuo di fronte ad una scommessa con guadagno aleatorio G, è necessario introdurre come metro di valutazione la speranza matematica del guadagno E(G). Ciò deriva dall aver assegnato alla funzione u(x) la forma di una qualsiasi funzione lineare crescente, accettando quindi, implicitamente, di considerare solamente il comportamento di un individuo I, massimizzatore di profitto. Se risulta, ad esempio,, con la scelta: la relazione dedotta da von Neumann e Morgenstern,, diventa: cioè: quindi, ricordando che G = x 2 x 1, la relazione, equivale a. Se vale, al contrario,, dovrà essere, mentre l annullarsi del guadagno atteso si avrà solo nel caso di. L operazione di scambio, deve esser valutata in base al segno di E(G): favorevole, equa, sfavorevole, se se se Il criterio seguito in questo contesto sarà dunque la massimizzazione del guadagno sperato. L utilizzo di questo criterio ha origini ben più lontane del lavoro di von Neumann e Morgenstern. Fino agli inizi del XVIII secolo, le nozioni di speranza matematica e di probabilità non erano ancora state distinte e si assumeva naturale che il valore di una scommessa e quindi il prezzo equo di un biglietto che dia diritto a parteciparvi, dovesse coincidere con il valore atteso della vincita. Tuttavia, nel 1738, Daniel Bernoulli descrisse il famoso paradosso di San Pietroburgo.

8 Caso storico: il paradosso di San Pietroburgo Si consideri un individuo I che partecipa a un gioco T o C con il lancio di una moneta perfetta e indeformabile. Se il risultato del lancio è TESTA, I vince 2 euro e il gioco termina; altrimenti la moneta viene lanciata una seconda volta e, se il risultato è TESTA, I vince 4 euro ed il gioco ha termine. Se il risultato è CROCE viene effettuato un terzo lancio, che frutterà ad I un guadagno di 8 euro nel caso si ottenga TESTA, in caso contrario, si continuerà a lanciare la moneta, ogni volta con guadagno raddoppiato. Il gioco consiste nella ripetizione del lancio della moneta finché non si ottiene TESTA per la prima volta. Se questo accade all n-esimo lancio, allora I incasserà 2 n euro. Dunque il problema è calcolare il valore atteso della vincita G di I. Dati: C n Problema: La variabile aleatoria X ha supporto numerabile, coincidente con l insieme delle potenze di 2, cioè. Se si indica con A n l evento La prima TESTA è estratta all n-esimo lancio, la speranza matematica di X è data da: dato che gli eventi A n sono tutti a due a due incompatibili. Se si indica con C n l evento Il risultato del lancio n-esimo è CROCE, l evento A n, per ogni, è rappresentato da: avendo indicato con la negazione di C n e dunque l evento Il risultato dell n-esimo lancio è TESTA. Ipotizzare l indeformabilità della moneta vuol dire accettare l ipotesi che i lanci siano stocasticamente

9 indipendenti e se si aggiunge a questa l ipotesi che a ciascun evento C n corrisponda una probabilità di ½, allora la probabilità di A n è data da: Il valore atteso del gioco risulta quindi: dato che tutti i termini della serie sono uguali a 1. Questo equivale a dire che il costo del biglietto è infinito o meglio, è maggiore di qualunque cifra l individuo I proponga di pagare, per elevata che essa sia. Proprio per superare il problema del valore monetario atteso della vincita pari a, la soluzione classica del paradosso richiede l'introduzione esplicita del concetto di utilità attesa e di diminuzione dell'utilità marginale del denaro. Quest'ultima idea fu un'intuizione di Bernoulli, sebbene già dieci anni prima che il matematico svizzero pubblicasse la sua opera, un altro suo illustre concittadino nonché matematico di fama, Gabriel Cramer, avesse introdotto parzialmente la stessa idea, scrivendo al fratello maggiore Nicholas Bernoulli: "I matematici stimano il denaro in proporzione alla sua quantità, mentre un uomo di buon senso lo stima in proporzione all'uso che può farne". Dunque la vincita non deve esser presa in considerazione solo per il suo importo monetario, quanto piuttosto secondo una funzione di questo importo che sia adatta a esprimere il valore morale che l'individuo I attribuisce alla vincita. Bernoulli introdusse così una funzione di utilità logaritmica, abbandonando quella che veniva considerata una pietra miliare delle funzioni di utilità: funzioni lineari positive crescenti e superando d'altro canto, anche grazie alle proprietà delle funzioni logaritmiche, l'impasse del valore atteso infinito. Scegliendo infatti di misurare gli importi secondo una scala logaritmica si ottiene il nuovo valore del gioco, che Bernoulli chiamò speranza morale di G: Utilizzando le proprietà delle serie geometriche, si ricava che il valore morale del gioco risulta finito: Questo risultato introduce un superamento del criterio della speranza matematica e può essere considerato l origine storica della teoria dell utilità attesa. Il valore morale della vincita introdotto da Bernoulli produce una distorsione non-lineare della scala degli importi corrispondente all uso di una funzione di utilità logaritmica. G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pg.58 Criterio dell utilità attesa Il paradosso di San Pietroburgo dimostra dunque come l approccio del guadagno sperato non tenga conto di ulteriori importanti circostanze che dipendono dall individuo e che concorrono a determinarne l effettivo comportamento di fronte al rischio. Dal punto di vista bernoulliano invece il criterio dell utilità attesa utilizza un cambiamento della scala con cui si misurano gli importi, sostituendo la scala oggettiva del valore monetario con una scala soggettiva basata sull utilità. Viene cioè introdotta una funzione u(x) del capitale x, che rappresenta l importanza che ha per l individuo I il possesso del capitale x. Questa funzione, detta

10 funzione di utilità, per semplicità, sarà definita su un intervallo, eventualmente coincidente con R + stesso e avrà media finita, ovvero l opportunità X 2 sarà preferita ad X 1 se e solo se. Per il teorema di rappresentazione,. Il criterio decisionale di I consisterà quindi nella massimizzazione dell utilità attesa. In base a questo criterio, l individuo I, dotato di funzione di utilità u(x) come descritta, che si trovi nella situazione finanziaria X 1, reputerà l operazione finanziaria di scambio : vantaggiosa, indifferente, svantaggiosa, se se se Ad esempio, un individuo che possiede un capitale certo c reputerà l operazione di guadagno aleatorio G : vantaggiosa, se indifferente, se svantaggiosa, se Oss. E utile osservare che se la funzione di utilità è lineare e crescente, cioè se: allora ci si ricondurrà al criterio della speranza matematica e si avrà sempre: Perciò si può affermare che un individuo che presenti funzione di utilità lineare e crescente ritiene indifferente un operazione equa. Scala dell utilità Le caratteristiche della scala dell utilità significative per la descrizione delle decisioni economiche in condizioni di incertezza possono essere riassunte e precisate nella forma di proprietà della funzione reale di variabile reale u(x). G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pg.71 Insieme di definizione Crescenza Come già notato il dominio D della funzione di utilità u(x) sarà un opportuno intervallo o eventualmente coinciderà con l insieme dei numeri reali nonnegativi. Tuttavia in casi particolari potrà avere senso utilizzare funzioni di utilità definite anche per numeri negativi ad esempio per considerare situazioni patrimoniali che includano anche posizioni debitorie. Converrà inoltre supporre che la funzione sia continua su tutto il suo insieme di definizione. Avendo ipotizzato agenti economici massimizzatori di profitto, la u(x) sarà una funzione strettamente crescente di x, per cui varrà la relazione:

11 Concavità Secondo Bernoulli: Non c'è dubbio che un guadagno di mille ducati ha più valore per un povero che per un ricco, nonostante entrambi guadagnino la stessa quantità. Si può affermare infatti che l ipotesi fondamentale sulla funzione di utilità è che ad incrementi uguali di capitale corrispondono incrementi di utilità tanto più piccoli quanto più grande è il capitale posseduto dall individuo. Questa affermazione, avendo supposto la funzione continua su tutto il suo insieme di definizione, implica che u(x) sia concava su tutto il dominio D. Infatti se si scelgono due incrementi x 0 consecutivi a partire da (x x 0 ), si può notare come: cioè: Quest ultima relazione è valida e. Questa disuguaglianza si presta poi ad un ulteriore interpretazione: se un individuo con capitale x scommette x 0 euro a T o C, il valore sperato dell utilità, media dell utilità in caso di vincita e dell utilità in caso di perdita, è minore dell utilità che esso avrebbe astenendosi dal gioco, I reputa dunque svantaggioso scommettere ed è quindi avverso al rischio.

12 Proprietà differenziali della funzione di utilità Assunto che u(x) sia continua, derivabile almeno due volte e, in alcuni casi, sviluppabile in serie di Taylor, la derivata prima u (x), detta utilità marginale del capitale x, sarà strettamente positiva su tutto D (per la crescenza) e la derivata seconda u (x) sarà strettamente negativa su tutto D (per la concavità, data l avversione al rischio). Dunque si dirà che, se u (x) > 0 e u (x) < 0, l utilità marginale diminuisce all aumentare del capitale. Sarà proprio l andamento della derivata seconda di u(x) la discriminante della propensione/avversione al rischio dell individuo I: avversione al rischio, se indifferenza al rischio, se propensione al rischio, se Misure di avversione al rischio Se il segno di u (x) individua il comportamento dell individuo I rispetto al rischio, esistono operatori in grado di misurare il livello di propensione al rischio. Ad esempio, un utile misura di avversione al rischio, detta appunto misura assoluta di avversione al rischio in forma locale, introdotta in teoria dell utilità da J. Pratt e K. Arrow, è data dalla cosiddetta funzione concavità relativa di u(x): Le dimensioni di questo coefficiente saranno pari al reciproco di un importo, dunque euro -1. Questa funzione misura localmente la concavità di u(x) e, pur misurandola solo in un intorno di x, la misura più correttamente rispetto a u (x). Né u (x) né la curvatura di u(x) possono infatti misurare il grado di avversione al rischio di un individuo poiché non sono invarianti per trasformazioni lineari della funzione utilità. Il che significa che qualificherebbero come caratterizzati da diverso grado di avversione al rischio individui dotati di funzioni utilità u(x) e z(x) equipollenti nel senso di von Neumann Morgenstern. Infatti se si calcola la misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt per trasformazioni lineari crescenti di u(x), si ottiene, correttamente: A sua volta, il reciproco di r(x): fornisce una misura di tolleranza del rischio in forma locale dell individuo I. Questa relazione, che ha dimensioni euro, rappresenterà un importo tanto più grande quanto meno l individuo è avverso al rischio. In conclusione, è importante supporre che r(x) sia una funzione non crescente di x. Ciò è suggerito da un comportamento degli agenti economici, spesso osservato nella pratica, per cui si paga tanto meno per assicurarsi contro un dato rischio quanto maggiore è il capitale posseduto. Infatti una compagnia di

13 assicurazione può trovare vantaggioso assumere posizioni rischiose, pur essendo avversa al rischio, fatta forte dell entità del capitale gestito. Molti contratti assicurativi possono essere giustificati anche in base al principio della compensazione dei rischi, secondo il quale, per la legge dei grandi numeri, l incertezza di un portafoglio di polizze relative a variabili aleatorie stocasticamente indipendenti diminuisce con l aumentare della numerosità del portafoglio G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pg.80 Alcuni tipi di funzioni di utilità Utilità logaritmica u Questo modello di funzione fu proposto inizialmente da Daniel Bernoulli, il quale assunse l incremento di utilità come direttamente proporzionale all incremento di capitale e inversamente proporzionale al capitale posseduto, cioè: 0 1 x da cui: dove sono costanti arbitrarie. In questo caso l avversione al rischio è data da: quindi la tolleranza al rischio è pari a:. Soddisfa perciò l ipotesi di decrescenza. Utilità esponenziale u a In alcune applicazioni è utile riferirsi a funzioni di utilità superiormente limitate. Tra queste, l utilità esponenziale, nella sua forma più semplice, è senz altro un caso interessante: 0 x Essa presenta come estremo superiore il parametro a, la cosiddetta potenzialità massima. La proprietà caratteristica di questa funzione consiste nell avere avversione al rischio costante. Infatti si ricava immediatamente che la misura assoluta di avversione al rischio in forma locale di Arrow Pratt è pari a:. Dunque se si escludono i casi di funzioni lineari, per cui, le funzioni utilità esponenziale sono le uniche dotate

14 di questa proprietà. Un altra proprietà interessante recita che, sotto ipotesi di utilità esponenziale, un operazione somma di più operazioni indipendenti e indifferenti è indifferente. Utilità quadratica u In molte applicazioni viene ipotizzata una funzione di utilità di tipo quadratico, nella forma: 1 2a La concavità è assicurata dalla nonnegatività del parametro a. Per garantire la monotonia è necessario limitarsi al ramo ascendente della parabola, riducendo quindi il dominio D della funzione all intervallo di valori x compresi tra 0 e 1/a. L utilità marginale è e la misura di avversione al rischio è pari a: 0 1/a x L avversione al rischio ha quindi un andamento iperbolico e, nel dominio di definizione funzione crescente di x., è una Funzioni di utilità di tipo HARA La denominazione di tale classe di funzioni di utilità deriva dall'inglese Hyperbolic Absolute Risk Aversion, a causa della forma funzionale del coefficiente assoluto di avversione al rischio r(x), ad esse associato: con a 1 e a 2 costanti tali da garantire valori sempre positivi di r(x). La forma funzionale delle funzioni della classe HARA è utilizzata soprattutto perché include classi di funzioni di utilità ampiamente utilizzate, come l'utilità quadratica (per a 1 = 1 / a e a 2 = -1), l'utilità esponenziale (per a 1 = a e a 2 = 0) e l'utilità logaritmica (per a 1 = 0 e a = 1). Per le loro proprietà di trattabilità e adattabilità a rappresentare diversi tipi di preferenze, le funzioni della classe HARA sono largamente utilizzate in macroeconomia e in finanza. Equivalente certo La strategia decisionale di un individuo risulta dunque determinata una volta introdotta una funzione di valutazione definita nell insieme X delle opportunità. Detto questo, assunte per la funzione utilità u(x) tutte le proprietà fondamentali e ipotizzando, in aggiunta, che la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria sia discreta e finita, si può introdurre il concetto di equivalente certo di una posizione finanziaria aleatoria come una specificazione molto espressiva della funzione. Come

15 detto la variabile aleatoria X assumerà i valori: con probabilità (valendo naturalmente ). Il valore atteso di X, sarà quindi: e l utilità attesa sarà: Considerando il piano (x, y), si rappresenti sull asse delle x gli importi e sull asse delle y le utilità. Si può immaginare le masse p k, che rappresentano la distribuzione di probabilità di X, disposte sulla curva nei punti P 1, P 2, P3,, P n. Il baricentro B della distribuzione di masse ha coordinate e, uguali cioè al guadagno sperato e all utilità sperata (i baricentri degli assi). Per la concavità su u(x), B cade all interno del poligono convesso di vertici P 1, P 2, P 3,, P n e perciò sarà:

16 Questa relazione è un interpretazione in termini probabilistici della proprietà caratteristica delle funzioni concave, nota come disuguaglianza di Jensen. In teoria dell utilità, questa disuguaglianza afferma che l utilità sperata di un importo aleatorio non è mai superiore all utilità dell importo sperato. Per l ipotesi di monotonia, il segno di uguaglianza varrà soltanto se la variabile aleatoria ha una sola determinazione, cioè solo se X è una variabile aleatoria degenere. Definizione Si definisce equivalente certo dell importo aleatorio X, l importo certo m u che produce un utilità uguale all utilità sperata dell importo aleatorio X; m u si può anche intendere come il prezzo che si è disposti a pagare per acquisire il diritto di partecipare ad una scommessa che ponga nella situazione incerta X. L equivalente certo è anche detto speranza utilitaria di X. In simboli: ovvero: dato che u(x), per l ipotesi di monotonia e continuità, è dotata di funzione inversa u -1. Dato che u(x) è funzione crescente di x, lo stesso varrà per la sua funzione inversa. Quindi calcolando u -1 per ambo i membri della disuguaglianza di Jensen, il verso della disuguaglianza si conserva. Si ha cioè: ovvero: Si ricava quindi che l equivalente certo di un importo aleatorio X non è mai superiore alla speranza matematica di X. Il segno di uguaglianza vale ancora solo nel caso di X degenere. L equivalente certo è inoltre invariante per trasformazioni lineari della funzione di utilità: per una fissata distribuzione di probabilità di X, se è allora risulta. Ricordando inoltre la definizione di avversione al rischio di Arrow Pratt, si può scrivere: Ovvero: l equivalente certo di X per un individuo è tanto minore quanto maggiore è la sua avversione al rischio. es. Equivalente certo del gioco di San Pietroburgo In base alla funzione utilità logaritmica usata da Bernoulli, si ottiene calcolando l esponenziale (funzione inversa del logaritmo) del valore morale del gioco, dunque si avrà:

17 CONTRATTI ASSICURATIVI E TEORIA DELL UTILITÀ La teoria dell utilità attesa trova naturale applicazione in campo assicurativo. Una polizza d assicurazione infatti è essenzialmente un operazione finanziaria in cui il policyholder riduce o, se possibile, annulla l aleatorietà del valore monetario di un certo bene esposto a rischio. Per semplicità, si procederà ad analizzare polizze assicurative ramo danni, rappresentandole come contratti uniperiodali e come fossero ad esecuzione immediata. Il caso sarà quello delle polizze a copertura totale. Polizze a copertura totale Si consideri un individuo I, avverso al rischio, il cui patrimonio è composto da un capitale certo c e da un bene esposto a rischio, con valore aleatorio X. Poiché I si trova in una posizione finanziaria esposta a loss, si supponga che stipuli una polizza assicurativa che gli garantisca il rimborso integrale del danno da parte di una compagnia di assicurazione, dietro pagamento di un premio assicurativo. I u(x) c X x m L individuo si assicura totalmente: La posizione X 2 è dunque una posizione certa. Dunque se si suppone finito x m, il livello massimo di X, cioè il valore del bene se questo fosse esente da rischio e pari a zero il suo livello minimo, si può affermare che I, il cui patrimonio è composto da c e da X, si trova in una posizione finanziaria ed è esposto a un danno di ammontare aleatorio, il cui valore possibile è compreso tra un minimo di zero e un massimo di x m. Si consideri il premio puro, cioè il costo dell operazione di assicurazione: è possibile ora affermare che, per l individuo I, assicurarsi totalmente contro il rischio di danno, cioè assumere la posizione finanziaria X 2, vuol dire assumere una posizione certa pari a.

18 A questo punto l operazione di scambio, può dirsi equa? Sì, poiché considerando il valore atteso della posizione finanziaria e il valore atteso della posizione finanziaria X 2, essi risultano identici. ; è un operazione equa Se l operazione di scambio può dirsi equa, il premio puro viene detto premio equo. L operazione risulta tuttavia vantaggiosa, svantaggiosa o indifferente? L operazione, per un individuo avverso al rischio, risulta vantaggiosa: Ricordando la Disuguaglianza di Jensen: Se X 2 è una variabile aleatoria degenere Quindi se l operazione risulta vantaggiosa per un individuo avverso al rischio. Questa operazione vantaggiosa per I, resterà tale anche se l individuo pagherà un caricamento o sovrappremio, purché questo sia inferiore alla soglia di indifferenza, cioè al valore per cui la disuguaglianza diventa un uguaglianza. Il sovrappremio o caricamento massimo accettabile è denominato caricamento per il rischio, in inglese risk loading. Premio caricato Posto come il sovrappremio e come il caricamento per il rischio, si definisce, dove: definendo η il tasso di caricamento percentuale. Considerando dunque il premio puro, il sovrappremio e η il tasso di caricamento percentuale, si definisce il premio totale π come premio caricato:

19 Dunque se I versa il premio caricato, consegue la posizione finale: cioè dato che vale, l individuo si assicura l importo certo: Evidentemente, per I l operazione di scambio non è più equa, ma sfavorevole, poiché: quindi I accetta di scambiare una posizione finanziaria con valore atteso con una posizione finanziaria con valore atteso minore ed è disposto a pagare un sovrappremio, tale che: purché la disuguaglianza massimo accettabile sarà tale che: sia soddisfatta. In questo caso quindi il caricamento Ovvero: Applicando ad ambo i membri la funzione inversa e ricordando la definizione di equivalente certo: Si definisce caricamento massimo accettabile, la grandezza: Esprimendo inoltre come percentuale η del premio equo, cioè in termini di tasso di caricamento:

20 Si definisce tasso massimo di caricamento, la grandezza: Dunque si può giungere ad affermare che, per, l operazione sfavorevole è vantaggiosa. Conclusione In conclusione, se un individuo I avverso al rischio e dotato di funzione di utilità u(x), si trova in una posizione finanziaria incerta e vuole scambiarla con una posizione finanziaria certa X 2, può stipulare una polizza assicurativa di copertura integrale dietro pagamento di un premio in danaro. Per definizione il premio equo è quello che rende equa l operazione di assicurazione. Quindi, se I pagasse solo il premio equo, la sua posizione patrimoniale finale sarebbe X 2. Naturalmente questa operazione sarebbe vantaggiosa per I, dunque l individuo potrà accettare di pagare un caricamento del premio equo, assumendo la posizione finale certa, purché rispetti la condizione di vantaggiosità: dove rappresenta il premio di indifferenza associato da I alla propria posizione rischiosa. Il caricamento massimo accettabile per assicurare integralmente una posizione finanziaria rischiosa è uguale alla differenza tra il valore atteso di e il suo equivalente certo; per la concavità della funzione di utilità, questa differenza è positiva. G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pgg. 113

21 ANALISI RISCHIO RENDIMENTO Come si è visto le scelte in condizioni di incertezza hanno carattere tipicamente multidimensionale. La massimizzazione dell utilità attesa consente però una riduzione della complessità del problema di scelta, costituendo un obiettivo di tipo globale. Tuttavia, per analizzare la struttura del problema decisionale, molto spesso conviene recuperare la multidimensionalità del problema, disaggregando l obiettivo globale in più obiettivi parziali. E espressivo infatti scomporre il criterio della massimizzazione dell utilità attesa introducendo due obiettivi parziali: la massimizzazione del profitto e la minimizzazione del rischio. Formalmente: Con riferimento al decisore I avverso al rischio, quindi dotato di funzione di utilità crescente e concava u(x), che deve valutare la situazione finanziaria incerta, la scomposizione può essere effettuata in modo rigoroso definendo una misura generalizzata di rischiosità di, come: come risulta dalla disuguaglianza di Jensen:, se I è avverso al rischio questa misura di rischiosità non è mai negativa e si annulla solo in caso di variabile aleatoria degenere o di funzione di utilità lineare. Per costruzione: Dunque massimizzare l utilità attesa equivarrà a massimizzare il profitto e minimizzare il rischio: Dato che u(x) è una funzione monotona crescente di :, il primo di questi obiettivi si riduce a massimizzare il secondo equivarrà a minimizzare la misura di rischiosità di : Criteri di scelta parziali: rendere massimo il valore atteso dell importo incerto e minima la sua rischiosità.

22 Utilità attesa come funzione di rischio e rendimento L espressività di questo approccio risulta evidente se si rappresentano la rischiosità e la speranza matematica di su di un piano cartesiano, secondo il metodo dell analisi rischio rendimento. Per semplicità si indichi con la speranza matematica e con la rischiosità. Evidentemente, ogni possibile posizione finanziaria sarà caratterizzata da un valore della media e da un valore della rischiosità; sarà quindi rappresentata da un punto nel piano. Di conseguenza l insieme delle opportunità si assumerà come sottoinsieme del piano. Indicando ora e ricordando la relazione:, si può scrivere l utilità attesa come funzione del rischio e del rendimento : per cui: Geometricamente, ad ogni punto, cui corrisponde una situazione patrimoniale incerta, corrisponderà un valore della funzione e quindi l utilità attesa sarà rappresentata da una superficie, nello spazio tridimensionale, definita sull insieme delle opportunità. E utile ricordare come il teorema di rappresentazione di von Neumann e Morgerstern abbia valore anche su questo piano. Tuttavia lavorando sul piano volte: e assumendo che la funzione di utilità u(x) sia derivabile almeno due si può affermare che tra due punti aventi stessa ascissa sarà preferito quello avente ordinata maggiore, dato che l utilità attesa è funzione crescente di, per fissata. Analogamente: conseguentemente, presi due punti sulla retta con, sarà preferito tra essi quello con valore minore dell ascissa.

23 es. Le opportunità nel piano Ad esempio, nella figura risulta a parità di rischiosità il punto, dato che corrisponde ad una situazione finanziaria con valore atteso, quindi con rendimento, maggiore. Analogamente, poiché per uno stesso livello di importo atteso (rendimento), la posizione caratterizzata da un valore più basso della rischiosità. Naturalmente questo criterio introduce un ordinamento soltanto parziale, infatti le posizioni corrispondenti ai punti e non risultano tra loro confrontabili. Evidentemente, la rappresentazione completa delle preferenze potrà ottenersi solo considerando congiuntamente gli obiettivi e attraverso la valutazione della funzione. Le ipotesi generali sulla funzione utilità permettono di ricavare l andamento qualitativo delle linee di livello della superficie cioè la forma del luogo dei punti del piano cge corrispondono ad uno stesso livello dell utilità attesa e che risultano pertando indifferenti tra loro. Queste linee di livello, dette curve di indifferenza, sono implicitamente descritte dall equazione, dove assume il significato di un parametro che contraddistingue tra di loro le singole curve. è Dato che u(x) è dotata di funzione inversa, ques equazione può esser risolta rispetto a l espressione esplicita della curva di indifferenza con utilità attesa :, fornendo quindi La soluzione di rappresenta l equivalente certo dei punti sulla curva di indifferenza al livello. Crescenza e concavità delle curve di indifferenza Dal teorema delle funzioni implicite, la derivata prima ha forma: ed è positiva per l ipotesi di crescenza su u(x). Calcolando la derivata seconda, invece: anch essa positiva per la crescenza e la concavità su u(x)

24 Ottimizzazione: la frontiera delle opportunità e la frontiera efficiente Il problema della massimizzazione dell utilità attesa è significativo solo in presenza di vincoli sulle variabili decisionali e, infatti in assenza di limitazioni sulla rischiosità e sul valore atteso di esisterà sempre la soluzione banale e. Ricordando come l insieme, al suo interno rivestono un ruolo importante le cosiddette opportunità di frontiera. Un opportunità di frontiera è definita come l opportunità che ha minima rischiosità tra tutte le opportunità che presentano medesima speranza matematica. Per ogni fissato livello del valore atteso, la corrispondente opportunità di frontiera sarà la soluzione del problema: Al variare di vengono individuate tutte le opportunità di frontiera di, o la frontiera delle opportunità, che si indica con il simbolo. Su questa frontiera possono esistere delle opportunità caratterizzate da stessa rischiosità, ma da diversa speranza matematica; possono cioè esistere dei punti di frontiera situati sulla retta verticale. Si definisce allora opportunità efficiente ogni opportunità di frontiera che presenti massimo valore atteso fra tutte le opportunità di aventi uguale rischiosità. Un opportunità efficiente sarà dunque la soluzione del problema: Naturalmente, il luogo delle opportunità efficienti, corrispondenti ai diversi valori di, è un sottoinsieme della frontiera, ed è chiamato frontiera efficiente dell insieme delle opportunità. E bene ricordare come sia una funzione strettamente crescente e che tutti i suoi punti siano punti di ottimo Paretiano. Il procedimento con cui si è ricavata la frontiera garantisce che non ci si possa spostare su di essa per aumentare il rendimento, senza aumentare contemporaneamente la rischiosità. Dall ottimizzazione alla massimizzazione Con l individuazione della frontiera efficiente si esaurisce la fase di ottimizzazione. Il problema decisionale sarà infine risolto individuando il punto di massimo dell obiettivo globale e questo non potrà che essere uno dei punti di ottimo Paretiano. Si tratterà quindi di individuare il punto della frontiera efficiente che si situa sulla curva di indifferenza con il valore più alto dell utilità attesa.

25 Massimizzazione dell utilità rappresentano le posizioni a utilità massima, soluzione del problema di scelta; naturalmente le due soluzioni sono tra loro indifferenti. Si può anzi osservare che anche il punto con l asse delle, intersezione della curva, è indifferente a questi due punti di massimo. E interessante ancora notare come l ordinata di è l equivalente certo delle posizioni rischiose rappresentata da. Questo punto non corrisponde ad una posizione finanziaria effettivamente raggiungibile, poiché, ma ha un significato rilevante, dato che per il decisore I, sarebbe indifferente avere a disposizione l importo certo oppure l intero insieme delle opportunità. Quindi può essere interpretato come il prezzo dell indifferenza, per I, dell insieme delle opportunità. Frontiere convesse In assenza di ipotesi specifiche, la frontiera efficiente potrà assumere forme anche molto irregolari. Tuttavia in molte applicazioni dell analisi rischio rendimento, la struttura che caratterizza l insieme delle alternative garantisce che la frontiera efficiente sia convessa: garantisce cioè che, comunque scelti due punti, il tratto di curva compreso tra retta tra giace all esterno del tratto di. Se sono ammissibili inoltre anche le opportunità non-rischiose, l insieme includerà almeno un punto dell asse delle e la frontiera efficiente avrà la forma di una curva crescente e concava, uscente da un punto con ordinata e rischiosità nulla. La convessità delle curve di indifferenza garantisce l esistenza di un unico punto a utilità massima, situato su ℇ ma con rischiosità. Inoltre il punto che rappresenta l equivalente certo di si situerà al di sopra della posizione, avrà quindi ordinata L ordinata di, a sua volta, sarà maggiore di. Si può quindi concludere che, pur essendo disponibile la posizione non-rischiosa con valore, sarà in genere vantaggioso per I assumere una posizione rischiosa, individuata determinando i punti di ottimo in e scegliendo tra questi il punto di massimo. Questo punto si trova infatti su una linea di indifferenza a utilità più elevata di quella passante per. Dunque per un individuo che abbia un patrimonio certo e che debba quindi decidere se scambiare la posizione non-rischiosa con una rischiosa sita in, la differenza: rappresenta il prezzo di indifferenza delle opportunità. Invece la differenza: è il premio al rischio di indifferenza associato da I alla relativa posizione.

26 MERCATO E SCELTE DI PORTAFOGLIO Mercato elementare Mercato monoperiodale A Short sales in t in s: a 1, a 2,..., a n a k Q k = W(t, A k ) A k N k Struttura elementare del mercato Si consideri un mercato uniperiodale, aperto solamente alla data corrente e alla data futura. Nessuna transazione è possibile al di fuori degli istanti e : le scelte degli agenti economici verranno così effettuate in per produrre i loro effetti unicamente alla data. Per semplicità si potrà far riferimento ad un periodo di lunghezza unitaria, ponendo e. Alla data di stipula gli agenti economici hanno a disposizione, possono cioè comprare o vendere, contratti finanziari: Con per si indicherà il generico contratto finanziario (di solito un azione ordinaria), il cui payoff a scadenza, esigibile alla data e con quotazione alla data, sarà al più positivo per il principio di responsabilità limitata degli azionisti ( limited liability). Supponendo che i contratti siano tutti titoli rischiosi, nel senso che rappresenta una variabile aleatoria nota solo all istante ; se si indica con il valore di mercato in della variabile aleatoria esigibile in, si ha: Se si assume che sul mercato valga il principio di assenza di arbitraggi privi di rischio discenderà come conseguenza necessaria che il prezzo di un contratto con payoff non negativo sia al più positivo: Con riferimento al generico titolo, potranno essere eventualmente inclusi, come casi degeneri, titoli risk-free, cioè investimenti il cui valore in sarà già noto in : basti pensare al caso in cui la variabile aleatoria assuma il valore fissato non-negativo con probabilità 1. Si pensi ai contratti come a titoli azionari (dove i redditi staccati siano tutti incorporati in ) quotati su mercati regolamentati e al titolo risk-free come ad uno ZCB esente da rischio di insolvenza, con scadenza e valore facciale. Quando non diversamente specificato si assumerà inoltre che sui titoli siano consentite short sales (vendite allo scoperto).

27 Portafogli e linearità di prezzo Date opportunità di investimento, un portafoglio, selezionato sul paniere delle attività, è un vettore a componenti, che rappresentano il numero di unità acquistate di ciascuna delle attività. Se si indica con il numero di quote di con, il portafoglio corrispondente è il vettore definito come: Poiché non è esclusa la possibilità di short saling le quote potranno anche essere negative, formalmente varrà, dove è lo spazio dei numeri reali a dimensioni. Si consideri ora un portafoglio P costituito detenendo quote di e si indichi con il corrispondente payoff aleatorio con scadenza. Il prezzo in di questo portafoglio sarà dato da: Si assumerà così valida la proprietà di linearità dell operatore prezzo, si assumerà cioè che il prezzo di mercato del portafoglio sia dato dalla combinazione lineare dei prezzi dei titoli componenti: Dato che è il valore di mercato del portafoglio a fine periodo, anche il payoff sarà combinazione lineare dei payoffs dei titoli componenti, si avrà cioè: Qualora sia non-rischioso, se cioè coincide col valore certo, varrà la proprietà di indipendenza dall importo: dove è il prezzo di mercato in di una unità monetaria certa esigibile in. Questo prezzo unitario espresso come rappresenterà quindi il fattore di sconto di mercato da a. E importante notare come un portafoglio P con vettore di quote che non abbia valore nullo può anche essere rappresentato definendo la frazione di capitale investita in ciascuna delle attività detenute. Se è si può cioè specificare il portafoglio P con il vettore: avendo definito: valendo naturalmente la proprietà di normalizzazione:. Le componenti del portafoglio esprimono i pesi o le percentuali di composizione del portafoglio stesso. Per esempio, un portafoglio equiripartito si definisce come un portafoglio che suddivide il capitale investito in parti uguali su tutti i titoli trattati, cioè tale che:. Anche in questo caso la possibilità di vendite allo

28 scoperto implicherà che alcuni dei pesi possano essere negativi e, per la condizione di normalizzazione, che altri pesi potranno avere valori maggiori di uno. Rendimenti Nei mercati finanziari è consuetudine diffusa caratterizzare le opportunità d investimento in termini di rendimento, oltre che di prezzo. In effetti gli operatori sono interessi a valutare le perfomances di un investimento non tanto in termini di guadagno assoluto, quanto di guadagno relativo. Questo guadagno relativo o rendimento può essere definito in vari modi. Nell ambito della selezione del portafoglio è di solito preferita la definizione in senso percentuale, in termini di tasso.

29 MODELLO MEDIA VARIANZA L approccio media varianza alla selezione di portafoglio Questo modello fu introdotto da Harry Markowitz nel Il problema della selezione di portafoglio qui consiste nella scelta di un portafoglio tra tutti i portafogli che possono essere costruiti con gli titoli presenti sul mercato alla data di selezione. Cioè attuare una portfolio selection significa scegliere al tempo un portafoglio in modo che il suo rendimento soddisfi determinati criteri di ottimalità. Ancora in altri termini, l insieme delle opportunità è costituito dai vettori compatibili con i vincoli imposti dalla selezione. Secondo l approccio rischio rendimento, i criteri di ottimalità sono tipicamente costituiti da una misura di profitto da massimizzare e da una misura di rischio da minimizzare. Nello schema media varianza la misura di profitto adottata è il valore atteso del rendimento del portafoglio e la misura di rischio è la sua varianza o, equivalentemente, la sua deviazione standard. L obiettivo principale dell approccio media varianza è l individuazione dei portafogli efficienti. Un portafoglio è efficiente in media varianza se ha rendimento a varianza minima per un fissato livello di rendimento atteso, oppure se ha rendimento atteso massimo per un fissato livello di varianza del rendimento. Questi portafogli efficienti rappresentano ottimi paretiani, dato che non è possibile aumentare il rendimento atteso senza aumentare la varianza o diminuire la varianza senza diminuire il rendimento atteso. Anche l approccio media varianza scompone il processo di scelta in due fasi successive: l ottimizzazione, in cui vengono individuati i portafogli efficienti, cioè i punti Pareto ottimali, sulla base delle caratteristiche probabilistiche, sintetizzate da media e varianza del rendimento e la massimizzazione, in cui, se il processo di ottimizzazione risulta coerente con la teoria dell utilità, avviene la selezione del portafoglio che massimizza l utilità attesa, individuando così un punto di ottimo globale in base alle curve di indifferenza. L approccio media varianza non utilizza in modo completo l informazione probabilistica sulle variabili aleatorie rilevanti per il problema di selezione del portafoglio: si limita infatti a basarsi solo sulle caratteristiche di primo e secondo ordine delle distribuzioni di probabilità dei rendimenti. Per questo motivo, non è, in genere, compatibile col criterio dell'utilità attesa. E' comunque importante stabilire in quali condizioni i due metodi, media varianza e utilità attesa, possono esser considerati tra loro coerenti. Compatibilità col criterio dell utilità attesa Si consideri in un individuo I con funzione di utilità u(x), che abbia già deciso di consumare immediatamente un capitale e che possieda un capitale eccedente da destinare al consumo in. L individuo ha a disposizione titoli di investimento con quotazione in e payoff in ; in generale uno dei titoli può anche rappresentare uno ZCB risk-free. Sia la composizione del portafoglio fissata in e sia il suo payoff esigibile in, naturalmente varrà la relazione con e la condizione di normalizzazione. Dunque, tra tutte le posizioni finanziarie prodotte in dalla scelta in, si tratterà di selezionare quella alla quale l investitore I attribuirà il gradimento più elevato. Se le preferenze dell individuo sono rappresentate dal criterio dell utilità attesa, il problema di selezione potrà essere scritto come:

30 Senza perdita di generalità, si assumerà che u(x) sia sviluppabile in serie di Taylor con punto iniziale avrà cioè:, si dove indica la derivata k-esima di. Effettuando lo sviluppo di prendendo il valore medio come punto iniziale, quindi, l utilità attesa di si può esprimere come: cioè nella forma: dove l ultimo termine, il cosiddetto resto di terz ordine, raccoglie tutti i momenti centrali della distribuzione di superiori al secondo. Intuitivamente, se I è avverso al rischio, cioè se è crescente e, la struttura delle preferenze del decisore dovrebbe indurlo a ricercare portafogli con maggiore valore atteso di e con più bassa varianza di. Tuttavia è evidente che il perseguimento di questi obiettivi parziali non è, in generale, sufficiente per garantire il conseguimento dell obiettivo globale, che è la massimizzazione di, dato che i momenti di ordine superiore al secondo possono avere importanza non trascurabile nella strategia di massimizzazione. Quindi solo se è trascurabile, allora: ovvero: In generale esistono solo due casi particolari in cui i momenti centrali della distribuzione di superiori al secondo non inficiano il criterio dell utilità attesa e rendono dunque compatibile il modello di Markowitz con la teoria dell utilità. Il resto di terz ordine è trascurabile sotto ipotesi di funzione di utilità quadratica o sotto ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti.