PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA - INDIRIZZO PNI a.s. 2009/10

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1 LICEO SCIENTIFICO F. LUSSANA AREA DISCIPLINARE DI MATEMATICA E FISICA PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA - INDIRIZZO PNI a.s. 2009/10 FINALITA GENERALI acquisizione di conoscenze a livelli di astrazione via via più elevati; comprensione dei caratteri distintivi del linguaggio matematico; capacità di utilizzare modelli e strumenti matematici per la soluzione di problemi anche in altre discipline; acquisizione dell attitudine all esame critico e alla sistemazione logica dei contenuti. DI APPRENDIMENTO Vengono acquisiti progressivamente nei tre anni. Al termine del triennio lo studente deve : saper cogliere analogie e differenze, astrarre e generalizzare individuando invarianti (potenziamento in situazioni più complesse ed astratte di un obiettivo già perseguito al biennio); saper valutare in un problema gli elementi a disposizione per formulare un ipotesi di strategia risolutiva, riconducendolo eventualmente a sottoproblemi più semplici saper confrontare procedimenti diversi per la soluzione di un problema saper condurre con rigore logico argomentazioni o dimostrazioni; comprendere e saper usare in modo consapevole e rigoroso il linguaggio specifico della matematica; saper operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintattiche di trasformazione di formule essere in grado di risolvere problemi di geometria per via sintetica ed analitica anche con l uso delle trasformazioni del piano; saper utilizzare i metodi dell analisi infinitesimale per lo studio delle funzioni di una variabile e il calcolo di aree; INDICAZIONI DIDATTICHE Si concorda sulle seguenti indicazioni metodologiche: fare leva sull intuizione, ma non trascurare segmenti deduttivi; motivare la costruzione di nuovi concetti e modelli come soluzione di problemi aperti o per generalizzazione o analogia; svolgere esercizi significativi che consentano una reale ed approfondita comprensione di ogni singolo concetto, esercizi di rinforzo quando necessario ed esercizi conclusivi più articolati e complessi; stimolare la capacità a porre problemi, prospettare soluzioni e saperle valutare. STRUMENTI DIDATTICI libri di testo laboratorio di informatica software didattico di matematica disponibile sui computer dell Istituto (Cabri, Derive, Geogebra) VERIFICA La verifica è la premessa per l accertamento dei livelli raggiunti, dall analisi dei quali consegue il comportamento dell insegnante che : Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 1 di 17

2 a) nell ipotesi che gli obiettivi prefissati non siano stati raggiunti, o lo siano solo in parte, o solo per una esigua parte degli studenti, attiva quelle strategie che consentono il recupero per la maggior parte della classe; b) nell ipotesi che gli stessi obiettivi siano stati ampiamente conseguiti, può, compatibilmente con i tempi di cui dispone, attivare interventi in vista del miglioramento della qualità del processo culturale e della piena realizzazione delle potenzialità degli studenti. In tal modo la verifica diventerà il mezzo che consentirà agli insegnanti di fare il punto dello stato di avanzamento del processo di apprendimento e di trarre utili conclusioni in ordine ai tempi e ai modi della programmazione (per esempio apportare dei tagli ai contenuti, fatti salvi quelli minimi, oppure cambiare i tempi prefissati per la realizzazione delle unità didattiche). Gli strumenti di accertamento idonei a verificare i livelli conseguiti negli obiettivi di apprendimento già prefissati saranno: a) verifiche scritte; b) test; c) quesiti a risposta breve; d) verifiche orali. Nella stesura delle prove scritte l insegnante terrà in debito conto la giusta proporzione tra complessità della prova, tempo assegnato e punto in cui si è giunti nello svolgimento del programma, nonché l individuazione delle prove in rapporto ai livelli di partenza. I risultati delle prove saranno debitamente studiati dall insegnante che da essi trarrà elementi probanti per una idonea strategia di interventi volti a rimuovere le cause di insuccesso. Alla definizione del voto nello scritto concorreranno almeno due prove scritte nel primo periodo (Settembre-Dicembre) ed almeno quattro prove scritte nel secondo periodo (Gennaio-Giugno). Alla definizione del voto orale concorreranno almeno due valutazioni. VALUTAZIONE Le prove scritte saranno costituite in prevalenza da esercizi finalizzati alla verifica del raggiungimento degli obiettivi di ciascuna unità didattica con l aggiunta di qualche quesito più complesso che richieda particolari capacità di intuizione o creatività o rielaborazione. Ciò da una parte renderà esplicito a tutti gli studenti il livello di preparazione richiesto per superare positivamente la prova, dall altra consentirà agli elementi più dotati di cimentarsi con prove più stimolanti. Saranno oggetto della valutazione delle prove scritte : a) la conoscenza degli argomenti b) l uso corretto del linguaggio specifico c) lo svolgimento corretto, coerente, con percorso rigoroso e non prolisso d) un interpretazione adeguata dei risultati ottenuti, per esempio coerenza tra risultati del calcolo e rappresentazione grafica e) i commenti al procedimento svolto, in particolare citazione dei teoremi usati negli esercizi applicativi ed argomentazioni adeguate delle tesi sostenute f) la stesura ordinata dell elaborato e rappresentazioni grafiche accurate. Per l attribuzione della valutazione numerica si concordano i seguenti criteri: a) uno svolgimento che mostri il raggiungimento degli obiettivi fondamentali della corrente unità didattica sarà considerato pienamente sufficiente, mentre votazioni maggiori verranno attribuite a chi avrà sviluppato la parte più complessa o creativa; b) si privilegerà uno svolgimento esauriente di un numero limitato di esercizi rispetto ad una trattazione frammentaria e incompleta di tutti gli esercizi proposti. Per quanto riguarda le prove orali,vengono individuate le seguenti tipologie di domande utilizzate in misura diversa non solo in relazione alla propensione del docente, ma anche alle caratteristiche degli argomenti trattati nelle varie fasi del programma: a) enunciazione di definizioni e teoremi b) dimostrazione dei teoremi fondamentali c) esercizi finalizzati alla verifica di conoscenze limitate ma significative d) problemi di ricapitolazione. Si concorda, poi, che le abilità che concorrono alla formulazione del giudizio sono: a) conoscenza dei contenuti; b) analisi del problema ed organizzazione preliminare della strategia risolutiva; Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 2 di 17

3 c) giustificazione di ogni passo del procedimento seguito, motivazione delle risposte ed eventuale dimostrazione dei teoremi utilizzati; d) nei casi di diversi percorsi di risoluzione, scelta del più diretto; e) utilizzazione rigorosa del linguaggio specifico della disciplina e dei suoi formalismi. I docenti concordano sulla opportunità di motivare allo studente la valutazione fatta e di comunicare il voto assegnato. Ciò perché egli possa prendere atto di eventuali lacune nella sua preparazione e di quali capacità di operare autonomamente,rispetto agli obiettivi prefissati, sia riuscito a maturare. STRATEGIE DI RECUPERO Il recupero, durante il periodo delle lezioni, avviene secondo le seguenti modalità: in itinere: soffermandosi o riprendendo contenuti su richiesta degli studenti, risolvendo alla lavagna problemi ed esercizi, assegnando lavori a casa che saranno poi discussi in classe; in sesta ora o in incontri pomeridiani, riservati agli studenti con verificate lacune o carenze nella disciplina. A tal proposito il collegio docenti, in data 20 ottobre 2009, ha deliberato le modalità di recupero / approfondimento. In particolare per le classi del triennio è stato stabilito un pacchetto di 25 seste ore (utilizzabili anche in orario pomeridiano) che i docenti potranno dedicare all intera classe o ad una sua parte, sia per attività di recupero che per attività di approfondimento. corsi di recupero pomeridiani, della durata di 10 unità orarie da 50 minuti (con eventuali accorpamenti di due classi), riservati agli studenti con insufficienza grave in matematica (voto inferiore a 5) al termine del primo periodo (19 dicembre 2009). [cfr. D.M. n. 80 del 3 ottobre 2007]. PROVE PARALLELE-TEST DI INGRESSO-USCITA Come stabilito dalla riunione di area del 12 settembre 2009, in continuità col precedente anno scolastico, per le prove parallele i docenti concordano: i. di non effettuare prove di ingresso parallele ad inizio anno ii. iii. iv. di somministrare prove parallele per matematica per tutte le classi del triennio, secondo il seguente calendario: classi terze: lunedì 12 aprile 2010 (ore ); classi quarte: martedì 13 aprile 2010 (ore ); classi quinte: venerdì 21 maggio 2010 (ore ) che le prove parallele di matematica per le terze e quarte PNI verteranno su argomenti concordati dai docenti interessati nella riunione di area prevista per martedì 19 gennaio che i singoli insegnanti informino per tempo (anche attraverso la programmazione personale) i propri alunni circa date e argomenti delle prove parallele e contestualmente organizzino la propria programmazione in modo da garantire lo svolgimento di tali argomenti in tempi utili per sostenere le prove NUCLEI TEMATICI IRRINUNCIABILI Tutti i contenuti del programma di matematica sono ritenuti irrinunciabili in quanto possibile oggetto della prova scritta dell esame di Stato. MINIMI DISCIPLINARI Sono ritenuti minimi disciplinari: 1) Conoscenza del simbolismo, della terminologia e dei codici specifici di base del linguaggio matematico. 2) Conoscenza di tutti i contenuti teorici. 3) Analisi degli elementi fondamentali di un testo, di un problema, di una figura geometrica. 4) Dimostrazione di teoremi fondamentali presentati in classe. 5) Applicazione delle regole in situazioni problematiche standard. 6) Semplici dimostrazioni all interno dei sistemi assiomatici proposti. Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 3 di 17

4 7) Individuazione di strategie risolutive di problemi che presentano analogie con quelli già trattati in classe. 8) Analisi di problemi, costruzione di algoritmi e traduzione in linguaggio informatico ATTIVITA INTEGRATIVE Partecipazione per alcuni studenti, delle classi terze e quarte, su base volontaria, al progetto MATh.en.JEANS, in collaborazione con l università degli studi di Milano Conferenza di matematica, tenuta da un docente universitario, come momento di approfondimento di un contenuto un po ai margini della programmazione ufficiale. La conferenza sarà pomeridiana, per gli studenti interessati delle classi del triennio. Il tema di quest anno sarà Caos e determinismo. Gare di matematica: Olimpiadi (novembre 2009); Kangourou (febbraio 2010) CLASSE TERZA UNITA 1 - Algebra ( prima parte) OBIETTIVO - consolidare e completare le conoscenze algebriche teoriche e operative che sono pre-requisiti per la geometria analitica - ripasso delle equazioni e dei sistemi di equazioni di primo e secondo grado - ripasso delle equazioni con valori assoluti, casi particolari f (x) = a e f (x) = g (x) - ripasso delle disequazioni intere e fratte e dei sistemi di disequazioni - condizioni di esistenza e di elevamento nelle equazioni irrazionali Verifica sul ripasso UNITA 2 - Punti nel piano cartesiano GENERALI DELLA GEOMETRIA ANALITICA (unità da 2 a 8 ) - acquisire il concetto di geometria analitica come ponte fra algebra e geometria - capire come nella geometria analitica ad ogni oggetto, concetto e costruzione geometrica corrisponda un oggetto, una proprietà o un procedimento dell'algebra (luogo equazione, intersezione sistema, regione disequazione, fascio equazione parametrica, tangenza retta-conica discriminante nullo, ecc.) - saper utilizzare consapevolmente le formule della geometria analitica (formule che trovano coordinate, formule che calcolano lunghezze, formule che consentono di scrivere equazioni di luoghi, possibilità di utilizzare formule inverse) - consolidare le conoscenze della geometria euclidea rivedendole attraverso le applicazioni dell'algebra - saper risolvere problemi di geometria piana con il metodo delle coordinate - saper risolvere questioni algebriche per via grafica - riprendere e sviluppare dimostrazioni (teoremi che enunciano proprietà di geometria analitica; teoremi che enunciano proprietà di geometria euclidea e le dimostrano riferendo la figura ad un opportuno sistema di riferimento Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 4 di 17

5 - coordinate cartesiane sulla retta e nel piano - distanza fra due punti - punto medio di un segmento e punto che lo divide in due parti di assegnato rapporto - baricentro di un triangolo AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE SAPER: - calcolare lati e mediane di un triangolo di assegnati vertici - calcolare aree di figure piane riconducibili a somma o differenza di aree di triangoli rettangoli con lati paralleli agli assi cartesiani - riconoscere triangoli isosceli e rettangoli - determinare il simmetrico di un punto rispetto a un dato centro di simmetria - calcolare il quarto vertice di un parallelogramma utilizzando il centro - trovare punti del piano cartesiano che soddisfano a condizioni date (problemi con una o due incognite) Verifica sulle conoscenze e su semplici esercizi applicativi UNITA 3 - Rette, fasci di rette e semipiani - pendenza di un segmento, condizione di allineamento di tre punti - concetto di luogo e corrispondenza luogo - equazione - equazione della retta in forma esplicita e implicita - formule per scrivere l equazione di una retta - intersezione tra rette - perpendicolarità e parallelismo - distanza punto - retta - asse del segmento e bisettrici di due rette come luoghi geometrici - fasci di rette propri e impropri e loro equazione - analisi di un equazione parametrica di primo grado e individuazione delle caratteristiche del fascio - disequazioni di primo grado in due variabili e semipiani AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: - saper stabilire se tre punti sono allineati - conoscere l equazione della retta in forma esplicita - saper disegnare una retta mediante m e q e riconoscere la pendenza e il "q" di una retta dal grafico - conoscere le differenze fra forma esplicita e forma implicita - conoscere e saper applicare la condizione di parallelismo e di perpendicolarità di due rette in forma sia esplicita che implicita - saper scrivere l equazione di una retta che soddisfa assegnate condizioni - saper determinare l'asse di un segmento come perpendicolare nel punto medio o come luogo - saper calcolare perimetro e area di triangoli rettangoli e isosceli definiti da rette - saper calcolare il quarto vertice di un parallelogramma utilizzando il parallelismo dei lati - saper determinare la proiezione di un punto su una retta e saperne calcolare la distanza - saper determinare il simmetrico di un punto rispetto ad una retta Possibile verifica sulle conoscenze e su semplici esercizi applicativi - conoscere la formula generale della distanza di un punto da una retta. - saper calcolare l area di un triangolo qualsiasi, di un parallelogramma o di un trapezio e la distanza tra due rette parallele, - saper determinare le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti - saper calcolare le coordinate dei punti notevoli dei triangoli verificando i teoremi studiati in geometria piana - saper determinare punti appartenenti ad una retta che soddisfano a condizioni date Verifica complessiva sui problemi con le rette Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 5 di 17

6 - saper rappresentare funzioni di primo grado contenenti valori assoluti - saper scrivere l equazione parametrica in forma esplicita del fascio delle rette aventi un assegnata direzione o passanti per un assegnato punto, conoscere il significato geometrico del parametro - saper riconoscere il fascio rappresentato da una equazione in forma di combinazione lineare individuando generatrici, tipo di fascio ed eventuale sostegno, retta esclusa dall equazione ed eventuale valore escluso del parametro, corrispondenza fascio insieme R e ordinamento del fascio - saper passare dalla combinazione lineare alla forma esplicita e alla forma implicita di un fascio e viceversa, con le opportune condizioni. - sapere che esistono infinite equazioni diverse che rappresentano lo stesso fascio - saper determinare in un fascio rette particolari: passanti per un assegnato punto (discussione dell equazione che può essere determinata, identicamente soddisfatta o impossibile essendo il parametro di primo grado ), parallele o perpendicolari a una assegnata retta ( in particolare agli assi), che soddisfano condizioni più complesse ( per esempio che formano con gli assi cartesiani un triangolo di assegnata area o che intersecano un assegnato segmento) - saper rappresentare domini piani definiti da disequazioni di primo grado - saper ricavare l equazione di una retta data in forma parametrica Verifica su funzioni con valori assoluti, fasci e domini TEMPI DI REALIZZAZIONE: 30 ore UNITA 4 - Circonferenze e fasci di circonferenze - equazione della circonferenza - intersezione retta - circonferenza, rette tangenti - problemi sulla circonferenza - intersezione fra circonferenze, asse radicale - fasci di circonferenze - funzioni definite implicitamente da una circonferenza - domini circolari AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: - conoscere l equazione della circonferenza come luogo geometrico e le proprietà della circonferenza in relazione ai valori dei coefficienti dell'equazione, (c = 0 passante per l'origine, b = 0 centro sull'asse x, ecc. ) - saper verificare se una equazione data rappresenta una circonferenza - saper scrivere l'equazione di una circonferenza che soddisfa a condizioni date, sia in base alla definizione come luogo geometrico che con il metodo delle condizioni, partendo se possibile dalla risoluzione del problema mediante costruzione geometrica e privilegiando il metodo che consente di risalire, dai dati, al centro e al raggio. Possibile verifica sulle conoscenze e su semplici esercizi applicativi - saper scrivere le equazioni delle tangenti a una circonferenza in un suo punto, condotte da un punto esterno o aventi una assegnata direzione (privilegiando il metodo che utilizza la distanza dal centro) - saper risolvere problemi di vario tipo su retta e circonferenza, per es. quadrilateri circoscrivibili ad una circonferenza, retta che stacca su una circonferenza una corda di lunghezza data (privilegiando il metodo che dalla corda fa risalire alla distanza della corda dal centro), ecc. - saper scrivere in casi particolari le equazioni delle tangenti comuni a due circonferenze - (facoltativo) saper determinare la circonferenza di Apollonio (come luogo dei punti del piano per i quali è costante il rapporto delle distanze dagli estremi di un segmento assegnato) e conoscerne le proprietà Verifica complessiva sui problemi con rette e circonferenze - saper determinare i punti comuni a due circonferenze - conoscere i diversi tipi di fasci di circonferenze, la posizione dei relativi assi radicali e l eventuale retta dei centri. - saper analizzare un equazione parametrica che rappresenta circonferenze individuando generatrici, punti base, asse radicale, condizione di realtà. - saper scrivere l equazione di un fascio di circonferenze che soddisfano assegnate proprietà sia col metodo delle condizioni che col metodo della combinazione lineare (utilizzando come generatrici la circonferenza di raggio minimo o degenere e l asse radicale) Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 6 di 17

7 - saper determinare in un fascio le circonferenze che soddisfano assegnate condizioni di passaggio per un punto, riguardanti la posizione del centro o la misura del raggio o la posizione rispetto a una retta o di natura più complessa ( lunghezza di corde, aree, ecc. ) - (facoltativo) saper determinare col metodo delle condizioni famiglie di circonferenze che non sono fasci (per es. circonferenze con centro sulla prima bisettrice e tangenti a entrambi gli assi) - conoscere il significato geometrico delle disequazioni associate all equazione di una circonferenza - saper rappresentare domini aventi per contorno rette e circonferenze - saper rappresentare circonferenze contenenti valori assoluti, sfruttando eventuali simmetrie rispetto agli assi - conoscere le problematiche algebriche connesse col passaggio dalla forma implicita alla forma esplicita dell equazione di una circonferenza. - saper ricavare le funzioni y = f ( x ) e x = g ( y ) definite implicitamente da una circonferenza, precisando dominio e codominio - saper tracciare il grafico di funzioni irrazionali riconducibili a semicirconferenze - (facoltativo) saper risolvere problemi di geometria piana e/o analitica con parametro discutendo graficamente un sistema misto con circonferenza e fascio di rette oppure con retta e fascio di circonferenze Verifica su fasci, funzioni e domini TEMPI DI REALIZZAZIONE: 20 ore UNITA 5 - Parabole e fasci di parabole - parabola come luogo geometrico e suoi elementi caratteristici - equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x o y - intersezioni retta parabola, condizione di tangenza - segmento parabolico - problemi sulla parabola - fasci di parabole - funzioni definite implicitamente da una parabola - domini limitati da parabole e rette AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: - conoscere la definizione di parabola e le sue proprietà geometriche - saper determinare, noti fuoco e direttrice, alcune caratteristiche o alcuni elementi di una parabola, senza ricorrere all equazione - saper disegnare una parabola data l equazione - saper ricavare vertice, fuoco e direttrice in funzione dei coefficienti dell equazione generale - saper scrivere l'equazione di una parabola di assegnate caratteristiche in base alla definizione come luogo geometrico o col metodo delle condizioni Possibile verifica sulle conoscenze e su semplici esercizi applicativi - saper scrivere l'equazione delle rette tangenti ad una parabola in un suo punto, condotte da un punto esterno o aventi assegnata direzione - saper determinare l area di un segmento parabolico - saper scrivere in casi particolari le equazioni delle tangenti comuni a due parabole Verifica complessiva su problemi con rette e parabole (ed eventualmente circonferenze). - saper analizzare una equazione parametrica in forma esplicita che, al variare del parametro, rappresenta parabole con asse parallelo a uno degli assi, discutendo concavità, apertura, posizione del vertice e individuando punti base ed eventuale parabola degenere. - saper scrivere l equazione di un fascio di parabole che soddisfano assegnate proprietà col metodo delle condizioni. - saper determinare in un fascio le parabole che soddisfano assegnate condizioni di passaggio per un punto, riguardanti la posizione del vertice, del fuoco, della direttrice o la posizione rispetto a una retta o di natura più complessa ( lunghezza di corde, aree, ecc. ) - (facoltativo) saper determinare col metodo delle condizioni famiglie di parabole che non sono fasci (per es. le parabole aventi per direttrice una retta data e vertice su uno degli assi) Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 7 di 17

8 - saper discutere un'equazione del tipo ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0, con i coefficienti dipendenti da un parametro, in modo che rappresenti una parabola con asse parallelo all'asse x, all'asse y oppure una circonferenza - saper rappresentare domini aventi per contorno rette e parabole - saper rappresentare parabole contenenti valori assoluti, sfruttando eventuali simmetrie rispetto agli assi - saper ricavare le funzioni y = f ( x ) e x = g ( y ) definite implicitamente da una parabola, precisando dominio e codominio - saper tracciare il grafico di funzioni irrazionali riconducibili a semiparabole - (facoltativo) saper risolvere problemi di geometria piana e/o analitica con parametro discutendo graficamente un sistema misto con parabola e fascio di rette oppure con retta e fascio di parabole Verifica su fasci, funzioni e domini TEMPI DI REALIZZAZIONE: 20 ore UNITA 6 - Trasformazioni del piano - richiami sulle isometrie - simmetrie centrali e assiali - traslazioni - omotetie con centro nell origine - dilatazioni lungo gli assi - composizione di trasformazioni. AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: - conoscere la definizione geometrica delle isometrie fondamentali - conoscere il significato delle equazioni di una trasformazione e le equazioni della traslazione, della simmetria rispetto a un punto qualunque, a una retta parallela agli assi e alle bisettrici dei quadranti, dell omotetia con centro nell origine e della dilatazione lungo gli assi - saper scrivere le equazioni della simmetria rispetto a un asse qualunque - saper determinare le equazioni di una trasformazione composta - saper utilizzare le equazioni di una isometria per trasformare punti e curve - saper riconoscere se una curva è simmetrica rispetto agli assi o all origine. - saper determinare per via analitica una trasformazione che muta una nell'altra due curve assegnate. Verifica sulle conoscenze e su semplici esercizi applicativi UNITA 7 - Ellisse e iperbole - ellisse come luogo geometrico e sua equazione canonica - rette ed ellisse - problemi sull ellisse - ellisse come dilatazione di una circonferenza - iperbole come luogo geometrico e sua equazione canonica - rette ed iperbole - problemi sull iperbole - (facoltativo) ellisse e iperbole traslata - iperbole equilatera e sua equazione riferita agli asintoti - iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani e funzione omografica AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 8 di 17

9 - conoscere le caratteristiche geometriche dell ellisse e dell iperbole e saper ricavare dalla definizione come luogo la loro equazione nel caso di fuochi sull asse x - saper disegnare un ellisse o un iperbole data la sua equazione in forma canonica - conoscere l equazione che rappresenta un ellisse o un iperbole con i fuochi sull asse y - saper determinare l equazione canonica di un ellisse o di un iperbole che soddisfa opportune condizioni - saper determinare l equazione delle tangenti a un ellisse o a un iperbole passanti per un assegnato punto o aventi assegnata direzione - saper individuare la dilatazione che fa corrispondere ad una circonferenza con centro nell origine un ellisse in forma canonica e saperla utilizzare per scrivere l equazione della tangente ad un ellisse in un suo punto - saper discutere un'equazione del tipo ax 2 + by 2 + c = 0, con i coefficienti dipendenti da un parametro, in modo che rappresenti un ellisse, un iperbole o una circonferenza - (facoltativo) saper traslare un ellisse o un iperbole - (facoltativo) riconoscere quando un equazione di secondo grado in due incognite rappresenta un ellisse o un iperbole traslata, determinare le coordinate del centro e la lunghezza dei semiassi - (facoltativo) saper scrivere l equazione di un ellisse o di un iperbole traslata che soddisfa assegnate condizioni Possibile verifica sulle conoscenze e su semplici esercizi applicativi - conoscere la definizione di iperbole equilatera, saper dimostrare la proprietà geometrica che la caratterizza e saper ricavare la sua equazione riferita agli asintoti - riconoscere che la legge di proporzionalità inversa ha come grafico un iperbole - saper rappresentare un iperbole equilatera riferita agli asintoti data la sua equazione - saper traslare un iperbole equilatera riferita agli asintoti - saper studiare e rappresentare una funzione omografica - saper ricavare le funzioni y = f ( x ) e x = g ( y ) definite implicitamente da un ellisse o da un iperbole, precisando dominio e condominio - saper tracciare il grafico di funzioni irrazionali riconducibili a semi-ellissi o semi-iperboli Verifica complessiva sull intera unità TEMPI DI REALIZZAZIONE: 15 ore UNITA 8 - Approfondimenti di geometria analitica - ricerca di luoghi geometrici - problemi geometrici con studio dell andamento di una grandezza - (facoltativo) proprietà comune delle coniche e loro equazione generale (in quarta, dopo aver affrontato le rotazioni, l argomento potrà venir ripreso) - (facoltativo) altre proprietà delle coniche: i diametri coniugati AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: - conoscere il significato di equazioni parametriche di un luogo, saper determinare alcuni punti significativi di un luogo assegnato in forma parametrica (per esempio le intersezioni con gli assi), saper eliminare il parametro e ricavare l equazione cartesiana - (facoltativo) saper passare dall equazione cartesiana di una retta o di una conica alle sue equazioni parametriche - saper costruire graficamente un luogo di punti definiti a partire da un elemento geometrico dipendente da un parametro, saperne determinare le coordinate in funzione del parametro e saper individuare eventuali casi limite o particolari ( per esempio luogo dei baricentri dei triangoli ABC, aventi i vertici A e B fissi, al variare del vertice C su una parabola, luogo dei vertici delle parabole un fascio, luogo dei punti medi delle corde staccate da una conica su un fascio di rette usando la semisomma delle radici, ecc.) - conoscere un applicazione della geometria analitica alla fisica: come dedurre la traiettoria di un proiettile dalle leggi orarie del suo moto - saper scegliere in un problema relativo a un luogo geometrico tra: a) l impostazione cartesiana, individuando la proprietà che ne caratterizza i punti b) l impostazione parametrica, individuando la corrispondenza fra i suoi punti e un opportuno parametro c) la via sintetica, utilizzando teoremi noti (per esempio luogo dei centri delle circonferenze tangenti a una retta e passanti per un assegnato punto Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 9 di 17

10 - saper determinare, in un problema di geometria analitica o euclidea, l espressione di una grandezza richiesta (lunghezza di un segmento, perimetro, area, ecc. ) in funzione di un punto o di una retta variabile, saperne tracciare il grafico (funzioni note), commentare l andamento e individuare eventuale massimo e minimo assoluto. - (facoltativo) saper dedurre dall equazione generale la natura di una conica - (facoltativo) assegnati una conica e un fascio di rette, saper determinare i diametri coniugati nei vari casi Verifica su luoghi e problemi con funzioni UNITA 9 - Algebra (seconda parte) OBIETTIVO - completare le conoscenze e le competenze relative alle disequazioni algebriche - equazioni e disequazioni con valori assoluti - equazioni e disequazioni irrazionali - interpretazione grafica di una disequazione AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: - riconoscere particolari disequazioni razionali intere, o fratte, risolubili senza ricorrere allo schema delle variazioni dei segni dei fattori - saper impostare consapevolmente il sistema o i sistemi equivalenti alle disequazioni del tipo f ( x) < g( x) e f ( x) > g( x) - saper impostare e condurre la risoluzione di equazioni e disequazioni irrazionali con più radicali - saper risolvere disequazioni e sistemi fratti irrazionali e/o con valori assoluti - conoscere l interpretazione grafica delle disequazioni di secondo grado - saper verificare graficamente semplici disequazioni irrazionali che richiedono grafici di semiconiche Verifica su disequazioni e sistemi di disequazioni UNITA 10 - Statistica descrittiva OBIETTIVO - acquisire conoscenze elementari di statistica, da utilizzare anche in fisica e scienze nell elaborazione di dati sperimentali - introduzione alla statistica descrittiva. - valori medi statistici (media aritmetica, geometrica, armonica, quadratica, moda, mediana) - misure di variabilità (scarti, deviazione standard) - (facoltativo) statistica descrittiva bivariata: tabelle a doppia entrata, distribuzioni statistiche congiunte, condizionate, marginali - indipendenza o dipendenza di due variabili statistiche, coefficiente di correlazione, retta di regressione. AL TERMINE DELLA SEZIONE L'ALUNNO DEVE: - conoscere e saper calcolare i valori medi statistici, le misure di variabilità, il coefficiente di correlazione, la retta di regressione di una serie di dati - saper calcolare i valori sopra-citati con un foglio elettronico - saper analizzare criticamente i risultati ottenuti. - (facoltativo) risolvere semplici problemi di statistica bivariata Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 10 di 17

11 Verifica UNITA 11 - Informatica PREMESSA - I docenti delle tre terze pni (proff. Brena, Parimbelli e Mora) propongono per il presente anno scolastico un percorso sperimentale (per le classi 3L, 3M e 3N) sull utilizzo di Excel e delle relative macro (in sostanza si tratta di sviluppare l ambiente di programmazione Visual Basic applicato per controllare le funzionalità di Excel). - consolidare la capacità di impostare algoritmi ed implementarli mediante l utilizzo delle Macro di Excel (linguaggio VBA = Visual Basic for Application) - acquisire alcune nozioni relativi alle successioni numeriche - ripasso delle strutture fondamentali della programmazione (selezione a una o più vie, iterazione enumerativa e non enumerativa, uso degli array) - successioni e progressioni numeriche - sviluppo di algoritmi relativi a argomenti di geometria analitica, statistica e questioni di fisica AL TERMINE DELL ANNO SCOLASTICO L'ALUNNO DEVE: - saper scrivere in modo autonomo semplici Macro in linguaggio VBA for Excel, dopo che ne è stata discussa l impostazione logica Verifiche: due, entrambe nel secondo periodo dell anno scolastico (gen 2010 mag 2010) TEMPI DI REALIZZAZIONE: 20 ore MATEMATICA CLASSE QUARTA SEZIONE 1: Ripasso recupero argomenti classe terza All'inizio dell'anno scolastico è previsto un momento di ripasso degli argomenti svolti in terza. In questa fase è possibile recuperare eventuali argomenti o approfondimenti che non sono stati affrontati nell'anno precedente. TEMPI DI REALIZZAZIONE: 15 ore SEZIONE 2: Goniometria Al termine dell unita lo studente deve sapere: Definire il radiante come unità di misura degli angoli e convertire le misure degli angoli da gradi a radianti e viceversa Definire le funzioni goniometriche. Determinare il valore delle funzioni goniometriche per angoli particolari Applicare le formule goniometriche per la verifica di identità e la semplificazione di espressioni. Determinare il valore delle funzioni goniometriche di un angolo, nota una di esse. Tracciare il grafico di funzioni goniometriche a partire da quelli elementari applicando formule e trasformazioni (traslazioni, simmetrie e dilatazioni). Risolvere equazioni e disequazioni goniometriche in un intervallo assegnato. Risolvere graficamente particolari equazioni, disequazioni goniometriche. (*)Convertire da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 11 di 17

12 Circonferenza goniometrica: relazioni fondamentali. Funzioni goniometriche Archi particolari. Archi associati Formule di addizione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi Grafici delle funzioni goniometriche e grafici deducibili Funzioni goniometriche inverse e grafici Equazioni e disequazioni goniometriche: elementari e ad esse riconducibili, in una funzione, lineari, omogenee, fratte. Applicazioni della goniometria alla geometria analitica: coefficiente angolare, angolo tra due rette, (*)sistema di riferimento polare TEMPI DI REALIZZAZIONE: 35 ore SEZIONE 3: Trigonometria Al termine dell unita lo studente deve sapere: Conoscere in un triangolo rettangolo, le relazioni tra ipotenusa, cateti, seno, coseno e tangente degli angoli acuti. Risolvere problemi relativi ai triangoli rettangoli. Stabilire se esiste un triangolo di assegnate caratteristiche e determinarne gli elementi incogniti. Risolvere problemi numerici applicando i teoremi della corda, dei seni, del coseno e dell'area. Impostare e risolvere problemi formalizzandoli con equazioni o disequazioni o studio di funzioni elementari o deducibili. Teoremi triangoli rettangoli Teoremi triangoli qualsiasi: teorema della corda, del seno del coseno, dell'area TEMPI DI REALIZZAZIONE: 20 ore SEZIONE 4 : Affinità Al termine dell unità lo studente deve saper Determinare e riconoscere l'equazione di una rotazione Studiare un affinità di assegnate equazioni Determinare il corrispondente di un punto o di una curva in una data affinità o nella composizione di più affinità Determinare le equazioni di una affinità date due terne di punti corrispondenti Determinare, se esiste, una trasformazione che muta una nell altra due curve assegnate Riconoscere la similitudine come una particolare affinità e individuare le equazioni delle trasformazioni componenti. Determinare l'area della trasformata di una figura attraverso un'affinità (*) Applicare le rotazioni allo studio delle coniche Equazioni della rotazione Equazioni di un affinità Studio analitico di una affinità, punti uniti, rette unite Composizione di affinità Affinità e similitudini Equivalenza di figure a meno di trasformazioni TEMPI DI REALIZZAZIONE : 15 ore SEZIONE 5 Calcolo combinatorio e probabilita Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 12 di 17

13 Al termine dell unita lo studente deve sapere Risolvere problemi applicando le formule del calcolo combinatorio Calcolare lo sviluppo della potenza di un binomio Definire uno spazio degli eventi, riconoscendo gli eventi elementari Definire e calcolare la probabilità secondo la definizione classica Effettuare una stima della probabilità di un evento sulla base della frequenza Stabilire se un gioco è equo Stabilire se una relazione è una funzione di probabilità Calcolare la probabilità di eventi definiti con i connettivi e, o, non Calcolare la probabilità di un evento, condizionata al verificarsi di un altro Stabilire se due eventi sono stocasticamente dipendenti Calcolare la probabilità di un evento utilizzando il calcolo combinatorio, gli assiomi della probabilità o i grafi ad albero. Applicare il teorema di Bayes per stabilire la probabilità che un evento sia causa di un altro Determinare la probabilità che in n prove indipendenti si abbiano k successi. Disposizioni, Permutazioni, Combinazioni semplici e con ripetizione Coefficienti binomiali, Formula di Stifel. Teorema del binomio di Newton La probabilità: definizione classica, frequentista e soggettiva Definizione assiomatica di probabilità Variabili aleatorie indipendenti Probabilita congiunta e legge della moltiplicazione Teorema di Bayes Prove ripetute e teorema di Bernoulli TEMPI DI REALIZZAZIONE: 20 ore SEZIONE 6: Funzioni esponenziali e logaritmiche Al termine dell unità lo studente deve saper: Definire una potenza ad esponente reale; Enunciare le caratteristiche della funzione esponenziale (a seconda del valore della base); Definire la funzione logaritmica e analizzarne le caratteristiche Definire il logaritmo di un numero reale positivo Calcolare il logaritmo di un numero esprimibile come potenza della base Ricavare, a partire dalle proprietà delle potenze, le proprietà dei logaritmi; Applicare le proprietà dei logaritmi per il calcolo di espressioni Disegnare il grafico di una funzione esponenziale o logaritmica applicando le trasformazioni (traslazioni, simmetrie dilatazioni) Determinare la funzione inversa di una funzione esponenziale o logaritmica e tracciarne il grafico Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche Risolvere graficamente particolari equazioni o disequazioni esponenziali logaritmiche. - Potenze ad esponente reale; - la funzione esponenziale, il suo grafico e relative proprietà; - la funzione logaritmica, il suo grafico e relative proprietà; - le proprietà dei logaritmi; - cambiamento di base per un logaritmo; - traslazioni e affinità applicate alle funzioni logaritmiche ed esponenziali; - il numero e ; - equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. TEMPI DI REALIZZAZIONE: 15 ore SEZIONE 7.a Matrici e determinanti Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 13 di 17

14 Al termine dell unita lo studente deve sapere: Eseguire operazioni tra matrici Comporre trasformazioni geometriche utilizzando le matrici Calcolare il determinante di una matrice Interpretare geometricamente il determinante di una matrice di ordine 2 Determinare il rango di una matrice Discutere il rango di una matrice dipendente da uno o due parametri Le matrici (riga, colonna, trasposta, nulla, quadrata, diagonale, triangolare, identica) Operazioni con le matrici (somma, prodotto di uno scalare per una matrice, prodotto di matrici) e relative proprietà Determinante (i complementi algebrici, calcolo di determinanti, regola di Sarrus, proprietà dei determinanti) (*) Matrici invertibili e matrice inversa Caratteristica o rango, teorema di Kronecker (solo enunciato) Matrici e trasformazioni: composizione di trasformazioni, (*)trasformazione inversa SEZIONE 7.b Sistemi lineari Al termine dell unita lo studente deve sapere: Stabilire se un sistema assegnato e determinato, indeterminato od impossibile Risolvere i sistemi lineari utilizzando le matrici (metodo di Cramer) Discutere e risolvere sistemi lineari dipendenti da uno o due parametri Interpretare geometricamente sistemi lineari in due incognite Sistemi lineari Risolubilita dei sistemi lineari di m equazioni in n incognite Teorema di Rouche Capelli e risoluzione dei sistemi lineari di m equazioni in n incognite Metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema TEMPI DI REALIZZAZIONE: 15 ore SEZIONE 8 Informatica Al termine dell unita lo studente deve sapere: - Esprimere in linguaggio Pascal semplici algoritmi relativi ad argomenti trattati nelle varie unità didattiche utilizzando anche procedure e funzioni e algoritmi ricorsivi Sviluppo di algoritmi relativi a argomenti di calcolo combinatorio e a successioni numeriche TEMPI DI REALIZZAZIONE : 10 ore SEZIONE 9 I numeri Complessi (eventuale approfondimento) Al termine dell unita lo studente deve sapere: Definire l'insieme dei numeri complessi Risolvere un'equazione di secondo grado in C Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 14 di 17

15 Rappresentare nel piano un numero complesso Eseguire le quattro operazioni sui numeri complessi in forma algebrica. Calcolare espressioni con numeri complessi Scrivere e rappresentare un numero complesso in forma goniometrica Eseguire moltiplicazione e divisione di numeri complessi in forma goniometrica Calcolare e rappresentare le radici di un numero complesso C come ampliamento di R e sua rappresentazione nel piano: numeri immaginari e complessi Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi Operazioni tra numeri complessi in forma algebrica e trigonometrica Radici n-esime dell unita SEZIONE 10 : Geometria dello spazio (argomento che si conclude in quinta) : Al termine dell unità lo studente deve : Saper esprimere attraverso una rappresentazione grafica l'intuizione geometrica nello spazio; Conoscere le posizioni reciproche di una retta e di un piano nello spazio Conoscere le posizioni reciproche di due piani nello spazio Definire la relazione di perpendicolarità tra retta e piano Individuare l'angolo tra due piani incidenti e tra una retta e un piano Conoscere il teorema delle tre perpendicolari (*) Conoscere e saper classificare le principali figure solide; (*) Saper risolvere problemi metrici riguardanti aree e volumi di solidi geometrici. Assiomi di incidenza tra punti, rette e piani Incidenza e parallelismo nello spazio: posizioni reciproche di due rette, di una retta e un piano e di due piani Rette e piani perpendicolari: perpendicolarità tra retta e piano, teorema delle tre perpendicolari distanza punto piano Diedri, angoloidi e triedri: il diedro, piani perpendicolari e angoli di due piani, angolo tra una retta e un piano, il triedro. (*) I principali solidi geometrici: prisma, piramide, cono cilindro, sfera e relativo calcolo di aree e volumi MATEMATICA CLASSE QUINTA SEZIONE 1 - Limiti e continuità di una funzione Al termine dell unità lo studente deve sapere - dare la definizione di limite e interpretarla graficamente - verificare in base alla definizione limiti e continuità di funzioni semplici - effettuare il calcolo dei limiti precisando i riferimenti teorici e risolvendo le forme indeterminate - applicare i teoremi sui limiti e sulle funzioni continue - individuare e classificare i punti di discontinuità di una funzione fare la previsione di grafico di una funzione dopo averne determinato intersezioni con gli assi, segno e comportamento agli estremi del dominio Sottinsiemi di R, intervalli, intorni, punti di accumulazione Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 15 di 17

16 Definizione di limite Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno e del confronto Funzione continua in punto, tipi di discontinuità Funzione continua in un intervallo, teoremi sulle funzioni continue Dalla continuità al calcolo dei limiti; operazioni con i limiti, forme indeterminate; limiti notevoli; * Confronto di infiniti e infinitesimi Asintoti obliqui Tempi di realizzazione: 25 ore SEZIONE 2 - Calcolo differenziale e sue applicazioni Al termine dell unità lo studente deve saper: Calcolare mediante la definizione la derivata di funzioni semplici Calcolare derivate mediante le regole di derivazione Individuare e classificare i punti di non derivabilità di una funzione Scrivere l equazione della tangente a una curva in un suo punto o uscente da un punto esterno Risolvere forme indeterminate di limiti utilizzando il teorema di De l Hopital Applicare i teoremi di Rolle e Lagrange Effettuare applicazioni delle derivate in ambito extra-matematico Tracciare il grafico di una funzione dopo averne determinato tutti gli elementi significativi Dedurre dal grafico di y=f(x) i grafici di y=f (x), y = 1 / f(x), y = f(x), y = ln f(x), e f(x) * Studiare famiglie di funzioni dipendenti da un parametro, individuando le caratteristiche comuni Determinare i parametri di una funzione in modo che soddisfi assegnate condizioni Risolvere problemi di massimo e minimo tratti da vari contesti. Rapporto incrementale e derivata in un punto, significato geometrico La funzione derivata; derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate, derivata della funzione composta e della funzione inversa Relazione tra continuità e derivabilità Punti angolosi, cuspidi, punti a tangente parallela all asse y Differenziale, significato geometrico. Calcolo di derivate in fisica Teoremi di Rolle, Lagrange e De l Hopital Punti di massimo e minimo relativo Crescenza e descrescenza di una funzione Concavità e convessità di una curva Punti di flesso Massimi e minimi assoluti Tempi di realizzazione : 35 ore SEZIONE 3 - Integrali Al termine dell unità lo studente deve saper: eseguire il calcolo di integrali indefiniti e definiti calcolare aree di superfici piane integrando sia rispetto a x che rispetto a y calcolare volumi di solidi di rotazione e lunghezze di archi dedurre dal grafico di una funzione quello della sua funzione integrale effettuare applicazioni degli integrali in ambito extramatematico Integrale indefinito e sue proprietà Integrali indefiniti immediati Integrazione per scomposizione, sostituzioe, parti Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 16 di 17

17 Area del trapezoide, integrale definito e sue proprietà, teorema della media Funzione integrale e teorema di Torricelli Integrali generalizzati Volumi di solidi di rotazione e lunghezza di archi di curve Calcolo di integrali in fisica Tempi di realizzazione : 25 ore SEZIONE 4 - Variabili aleatorie Al termine dell'unità lo studente deve saper. - rappresentare mediante una tabella la funzione di distribuzione di una variabile aleatoria discreta e calcolarne il valore medio e la varianza - studiare e risolvere problemi relativi alle prove ripetute applicando la formula di Bernoulli - stabilire se una variabile aleatoria ha caratteristiche di discretezza o continuità - studiare una variabile aleatoria continua calcolandone valore medio e varianza - data una variabile aleatoria, determinarne la variabile standardizzata - calcolare, utilizzando la tavola della curva normale, la probabilità che i valori di una variabile standardizzata siano all'interno di un dato intervallo - Variabili aleatorie discrete: distribuzione di probabilità, ripartizione della probabilità - Studio di variabili aleatorie discrete: valore medio, varianza - Giochi equi - Distribuzione binomiale di probabilità - Teorema di Bernoulli (legge dei grandi numeri) - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, ripartizione della probabilità - Studio di una variabile aleatoria continua: valore medio, varianza - Distribuzione normale e normale standardizzata (curva degli errori) - Relazione fra distribuzione binomiale e normale - Teorema del limite centrale Tempi di realizzazione : 15 ore SEZIONE 5 - Informatica e calcolo numerico Al termine dell unità lo studente deve sapere: scrivere in linguaggio Pascal semplici algoritmi relativi ad argomenti trattati nelle varie sezioni utilizzare il foglio di calcolo Excel per elaborare serie di dati e produrre rappresentazioni grafiche utilizzare software didattico (Microcalc e/o Derive) per risolvere questioni di analisi e calcolo numerico Soluzione approssimata di equazioni: metodo di bisezione, metodo della secante e della tangente Integrazione numerica: metodo dei rettangoli e dei trapezi Integrazione numerica con metodi Montecarlo Tempi di realizzazione: 10 ore Bergamo, dicembre 2009 Il coordinatore dell area di matematica e fisica Paolo Mora Programmazione d area / matematica (A049) / classi III, IV, V / indirizzo PNI / 0910 / pag. 17 di 17