Geometria delle aree
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- Faustino Graziani
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1 eometra delle aree Lo studo de cocett ase relatv alla eometra delle ree: cosete d trasformare le azo tere sollectazo cosete d valutare l elastctà delle strutture forsce gl strumet per valutare le strutture perstatce Oettv: saper calcolare l arcetro, l mometo statco ed l mometo d erza d semplc fgure pae
2 Cocett troduttv defsce arcetro d u corpo, o cetro d gravtà, l puto el quale s può mmagare cocetrata tutta la sua forza peso. Per l arcetro, qud, passa la rsultate d tutte le forze peso delle sgole part del corpo, comuque questo vega oretato. Percò u corpo, sospeso el suo arcetro, s trova ua codzoe d equlro dfferete (sottoposto a u qualsas spostameto, rmae equlro ella uova poszoe) Partamo dalla defzoe d arcetro per u sstema d masse putform cosder u sstema d masse putform mmerse u campo gravtazoale Cascu puto sarà soggetto ad ua forza (peso) proporzoale alla propra massa I tal codzo esste ua retta, detta retta d applcazoe della rsultate lugo la quale s può applcare ua forza d modulo par alla somma delle forze peso (la rsultate apputo) ce è equpollete al sstema d parteza può pesare ce l sstema d masse costtusca l modello d u corpo rgdo (d massa totale m) se le dstaze mutue delle masse putform o varao
3 e s ruota tutto l sstema d put ua drezoe qualsas, la drezoe della rsultate vara coseguetemete. Tutte le possl rette d applcazoe della rsultate s tersecerao u puto ce vee defto arcetro o ace cetro delle forze parallele Nel caso d forze peso, le coordate del arcetro soo determate dall equazoe vettorale ( ) ( ) ( ) m m O P g m g m O P P p O P O N N N ) ( Nella quale O rappreseta l orge del sstema d rfermeto. Per come è scrtta, l equazoe afferma ce l arcetro è ace cetro d massa L equazoe precedete può essere proettata su u sstema d rfermeto cartesao come segue: m m N m m N m m z z N Cocett troduttv
4 Cocett troduttv Partedo dalla defzoe d arcetro per u sstema d put materal s può passare a quella valda per le dstruzo d massa cotue e qud a corp sold dotat d estesoe ello spazo. Ifatt u corpo cotuo può essere pesato come formato da u seme d N part d volume d. e all tero d cascua parte cosderamo u puto P el quale s può mmagare cocetrata la massa dell elemeto d allora l seme degl N put approssmerà tato meglo l corpo cotuo quato pù pccol sarao volum d cosderat. Dal puto d vsta del calcolo cò equvale a sostture le sommatore co gl tegral (d superfce o d volume) a secoda ce s tratt d sezo o sold. N m Nel caso de sold co massa volumca ρ s avrà: m ρ d m ρ d m z z ρ d m mρ d d z z d Essedo ρ costate e mρ
5 Nelle fgure pae.. ce el caso delle fgure pae, ce s ottegoo per esempo dalla sezoe d u compoete trdmesoale, s può acora defre u arcetro ce, ella fattspece, s defsce arcetro della sezoe Per trovare la poszoe del arcetro d ua sezoe s cosder l sstema d rfermeto cartesao fgura e s applco le relazo d d z z d teedo coto del fatto ce s può mmagare ce l soldo aa spessore s pccolo e uforme, le espresso ce forscoo le coordate del arcetro s semplfcao questo modo: Da queste equazo s pervee alla defzoe d «Mometo tatco» d ua sezoe X X d d
6 Mometo statco d ua sezoe Per trodurre l cocetto d «mometo statco» d ua sezoe, cosderamo: ua superfce paa qualsas d area ua retta r ad essa complaare: mmag d suddvdere la superfce tate pccole aree. Moltplcado cascu area elemetare per la rspettva dstaza dalla retta r, e sommado algercamete, s ottee ua uova gradezza defta mometo statco r della superfce rspetto alla retta assegata ossa: r Δ ovvero, per areole ftesme r d
7 Momet statc Cosderamo la sezoe d u soldo d forma prsmatca geerca: defscoo momet statc d rspetto agl ass cartesa d rfermeto adottat le quattà: X d X d Mometo statco rspetto all asse X Mometo statco rspetto all asse I momet statc s esprmoo attraverso ua lugezza qud m, mm ecc. osserv ce momet statc s possoo otteere ace come prodott delle coordate del arcetro (X, ) per l area della sezoe, ossa: d X X X X d
8 Momet statc arcetrc Ua volta ce sa stata determata la poszoe del arcetro della sezoe, questa può essere assuta come orge degl ass per l sstema d rfermeto I questo caso, osservado ce le coordate del arcetro questo uovo sstema d rfermeto soo (0,0), rsulta ce: d 0 0 d 0 0 Queste equazo c dcoo ce momet statc, quado soo rfert ad u asse arcetrco, soo ull
9 I stes Qual è l sgfcato fsco del mometo statco? I sostaza l mometo statco descrve l "modo" cu la superfce è dstruta rspetto all asse rspetto al quale è calcolato La sua prcpale applcazoe s cocretzza ella rcerca del arcetro, la cu poszoe è determata mpoedo la codzoe 0. Cò equvale a cercare la poszoe dell'asse modo tale ce "sopra" (porzoe cu s cosderao le ordate postve) e "sotto" (porzoe cu s cosderao le ordate egatve) l'asse stesso, l'area sa dstruta maera smlare. Qud, l mometo statco dell'area ce sta "sopra" l'asse è uguale e opposto a quello dell'area ce sta "sotto e >0 vuol dre ce c sarà pù area "sopra, ecc.
10 Esempo: sezoe rettagolare proceda al calcolo de momet statc per ua sezoe rettagolare rspetto agl ass e sovrappost a due lat Utlzzado la defzoe vsta precedeza: d d d d d d Utlzzado la defzoe alteratva, s può osservare ce l arcetro della sezoe s trova alle coordate (/, /) ( ) ( )
11 Esempo: sezoe tragolare proceda al calcolo del mometo statco per ua sezoe tragolare rspetto ad u asse sovrapposto alla sua ase e alla determazoe dell ordata del suo arcetro d d l d Il valore d l può essere rcavato dal rapporto d smltude tra tragol ( ) l l : ) ( : ( ) ( ) d d d l d
12 ezo composte Per determare momet statc (e qud la poszoe del arcetro) d sezo d forma complessa d area ma faclmete scompol ua sere d fgure elemetar,,... delle qual soo ote le poszo de arcetr, s può sfruttare la seguete propretà: d d d d... ce, questo caso, s può ace scrvere come:... vedo dcato co e le aree e le ordate rspetto all asse de arcetr delle sgole aree elemetar. alogamete s trova l mometo statco rspetto all asse... La poszoe del arcetro della sezoe d area s calcola duque medate le relazo: Le coordate del arcetro s ottegoo come meda pesata delle coordate de arcetr delle aree parzal assumedo come pes valor delle stesse. X X
13 Esempo vuole determare la poszoe del arcetro d ua sezoe a «L» delle dmeso dcate fgura
14 Esempo vuole determare l mometo statco rspetto all asse e la poszoe del arcetro della sezoe a C delle dmeso dcate fgura ( 000) 000mm d ( t) 8( 60 0) ( 000) 000mm mm mm 4.0mm mm mm
15 Esempo vogloo determare: ) la poszoe del arcetro e ) momet statc rspetto agl ass ed, della sezoe a T delle dmeso dcate fgura H 00mm B 00mm d mm t mm ( 00) 00mm d ( t) ( 00 ) mm 979mm mm mm mm mm
16 Esempo 4 vuole determare la poszoe del arcetro della sezoe rportata fgura (attezoe è presete u foro) 7.8 mm 4.0 mm
17 Esempo 5 vuole determare la poszoe del arcetro della sezoe rportata fgura mm 9. mm
18 Esempo 7
19 Esempo 8 emcerco 4 r π
20 Mometo d erza mlmete a quato vsto el caso de momet statc, s possoo trodurre delle uove gradezze defte momet d erza (assal) o momet d area del secod orde d d Il mometo d erza ( ) s può pesare come la somma de prodott delle areole d per la loro dstaza dall asse (o ) al quadrato Queste quattà, al cotraro de momet statc, soo sempre postve dpedetemete dalla scelta degl ass e. L utà d msura de momet statc è ua lugezza 4 qud m 4, mm 4 ecc. Esempo: determare l mometo d erza d ua sezoe rettagolare rspetto all asse arcetrco e parallelo al lato corto 8 8 d d d
21 Mometo d erza E ee sottoleare ce momet d erza, ecé dpedao esclusvamete dalle dmeso e dalla forma d ua superfce, o ao solo u sgfcato geometrco. I pratca, l mometo d erza può essere pesato come ua msura d quato l corpo s oppoe alle varazo d veloctà agolare I momet d erza costtuscoo la ase per l dmesoameto d elemet struttural e orga meccac sollectat a flessoe e taglo e a torsoe studado la ressteza de materal. osserv, fatt ce, a partà d materale mpegato, elemet struttural co sezo pae d forma e dmeso dverse, coè co dverso mometo d erza, ao dverse capactà d ressteza alle sollectazo. d esempo, l espereza sega ce ua trave, d lego o d accao o d altro materale, s flette maera dversa a secoda d come vee dsposta sotto u carco Lo studo de momet d erza è mportate partcolare per le sezo pae ce pù comuemete soo utlzzate ella progettazoe strutturale
22 Esempo 0 mm mm4 0 mm mm4
23 Mometo d erza polare defsce mometo d erza polare l mometo d area del secod orde espresso dalla seguete relazoe: p r d Co rfermeto alla fgura, s osserv ce la dstaza d u qualuque puto dall orge degl ass può essere espressa come: r E qud potremo scrvere: p ( ) d d r d d Questa relazoe cosete d calcolare agevolmete l mometo d erza polare (per esempo d sezo rettagolar) ot momet d erza assal, oppure d calcolare momet d erza assal per altre geometre (come quella crcolare) per la quale rsulta pù semplce l calcolo del mometo d erza polare
24 Caso della sezoe crcolare pea Il mometo d erza polare d ua sezoe crcolare rspetto al suo arcetro C s calcola medate la relazoe C r d L area della coroa crcolare s può esprmere come prodotto della crcofereza meda per lo spessore dr, qud d πr dr C R 4 4 R D r πr dr π 0 R 0 r dr 4 r π 4 0 R π 4 4 D π 64 π s possoo fare, oltre, delle cosderazo sulla smmetra della sezoe. Ifatt la scelta dell asse dametrale rspetto al quale fare l calcolo è assolutamete artrara e qud fe s a: C π D 4 π D 64 4 C
25 Caso della sezoe crcolare cava cosder ua sezoe crcolare cava, la cu geometra è dvduale attraverso u dametro estero D ed u dametro tero d. ezo trasversal d femore umao Il mometo d erza d questa sezoe s può calcolare faclmete per dffereza tra l mometo d erza relatvo alla sezoe avete dametro D e l mometo d erza relatvo alla sezoe d dametro more d. Rcordado ce: C π D 4 C D 4 4 d π 4 4 ( D d ) π π
26 Momet d erza rspetto ad ass parallel e soo ot momet d erza rspetto ad u sstema d rfermeto arcetrco, è possle calcolare momet d erza rspetto ad ass parallel cegledo u sstema d rfermeto X, e ote le coordate del arcetro X e s può scrvere: X X llora l mometo d erza rspetto all asse X s può scrvere come: ( ) ( ) X d d d d d d X Fo a questo puto le relazo soo valde ace se l sstema d rfermeto o è arcetrco. e, vece, s applca la codzoe ce l sstema d rfermeto sa arcetrco allora l mometo statco è ullo e qud X X Espresso ote come Teorema d Huges o Teorema del Trasporto
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